가가속도

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1. 개요
2. 정의
3. 표현
4. 생리적 영향 및 인지
5. 힘, 가속도 및 가가속도
6. 이상적인 환경에서
7. 회전에서의 가가속도
8. 탄성 변형체에서
9. 도로 및 트랙의 기하학적 설계에서
10. 운동 제어에서
- 10.1. 제조 분야에서
11. 추가적인 미분
참조

1. 개요

가가속도는 가속도를 시간에 대해 미분한 물리량으로, 가속도의 변화율을 나타낸다. 가가속도는 벡터량이며, 큰 가가속도는 생물에게 불쾌감을 주거나 기계 장치에 손상을 줄 수 있다.

가가속도는 가속도의 1차 시간 미분, 속도의 2차 시간 미분, 위치의 3차 시간 미분으로 표현된다. 생리적으로 인체는 급격한 힘의 변화에 적응하기 어려워 가가속도가 클 경우 불편함이나 부상을 겪을 수 있으며, 차량, 특히 고성능 스포츠카의 가속 및 제동 과정에서 가가속도가 발생한다.

도로 및 트랙 설계, 롤러코스터 설계 시에는 가가속도를 제한하여 승차감을 개선하며, 운동 제어 시스템에서도 가가속도 제한은 중요한 설계 요소로 작용한다. 제조 분야에서는 절삭 공구의 가속도 변화를 제어하기 위해 가가속도 제한 기능이 사용된다. 가가속도를 시간에 대해 미분한 자운스, 크래클 등의 고차 미분도 존재한다.

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가속도 - 중력 가속도
중력 가속도는 물체가 중력에 의해 가속되는 정도를 나타내는 값으로, 자유 낙하하는 물체의 가속도와 같으며, 지구의 경우 자전에 의한 원심력으로 인해 적도에서 가장 작고 극에서 가장 크게 나타난다.
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가가속도
가가속도 정보
명칭	가가속도 (加加速度)
영어 명칭	Jerk, Jolt
차원	L T
SI 단위	m/s³
CGS 단위	센티미터 매 초 제곱 (cm/s³)
FPS 단위	피트 매 초 제곱 (ft/s³)
정의	시간 변화에 따른 가속도의 변화율
수식	= d가속도/dt = d²속도/dt² = d³위치/dt³
설명	가가속도는 물체의 가속도가 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내는 물리량임.

2. 정의

수학적으로 가가속도 j는 가속도 a를 시간 t로 미분한 것으로 정의된다. 즉, 속도 v의 2차 시간 미분, 변위 r의 3차 시간 미분과 같다.

: $\mathbf{j} = \frac{\mathrm d \mathbf{a}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2 \mathbf{v}}{\mathrm dt^2} = \frac{\mathrm d^3 \mathbf{r}}{\mathrm dt^3}$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\mathbf{j}$ : 가가속도
$\mathbf{a}$ : 가속도
$\mathbf{v}$ : 속도
$\mathbf{r}$ : 변위
$t$ : 시간

가속도는 벡터량이므로, 가가속도 역시 벡터량이다. 하지만 때로는 그 절댓값의 크기만을 가리키는 스칼라량으로 사용되기도 한다.

변위를 x로 표기하는 경우, 가가속도는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

\boldsymbol{j} = \frac{\mathrm d^{2}\boldsymbol{v}}{\mathrm dt^{2}} = \frac{\mathrm d^3\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^3}

3. 표현

벡터로서, 가가속도 '''j'''는 가속도의 첫 번째 시간 미분, 속도의 2차 시간 미분, 위치의 3차 시간 미분으로 표현될 수 있다.

수학적으로 가가속도는 다음과 같이 정의된다.

$\mathbf{j}(t) = \frac{\mathrm{d} \mathbf a(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 \mathbf v(t)}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf r(t)}{\mathrm{d}t^3}$

여기서:

'''a'''는 가속도
'''v'''는 속도
'''r'''는 위치
''t''는 시간

가속도가 벡터량이므로, 가가속도도 마찬가지로 벡터량이다. 때로는 그 절댓값을 가리키기도 한다.

다음과 같은 형태의 3차 미분 방정식

J\left(\overset{\mathbf{...}}{x}, \ddot{x}, \dot{x}, x\right) = 0

은 때때로 '가가속도 방정식'이라고 불린다. 이 방정식을 동등한 3개의 일반 1차 비선형 미분 방정식 시스템으로 변환하면, 카오스적 행동을 보이는 해를 위한 최소 설정이 된다. 이러한 조건은 '가가속도 시스템'에 대한 수학적 관심을 불러일으킨다. 4차 또는 그 이상의 미분을 포함하는 시스템은 그에 따라 '초가가속도 시스템'이라고 불린다.^[1]

4. 생리적 영향 및 인지

G-force에 대한 인간의 내성 및 인간의 생리적 반응과 모션과 관련하여, 인체의 자세는 길항근의 힘의 균형을 통해 제어된다. 무게를 지탱하는 것과 같은 특정 힘에 균형을 맞추기 위해 중심후회는 원하는 평형 상태를 이루기 위한 제어 루프를 형성한다. 그러나 힘이 너무 빠르게 변하면 근육이 충분히 신속하게 이완하거나 긴장하지 못해 일시적으로 자세 제어에 실패할 수 있다. 힘의 변화에 대한 반응 시간은 개인의 생리적 한계와 뇌의 주의력 수준에 따라 달라진다. 예상된 변화에 대해서는 갑작스러운 부하 변화보다 더 빠르게 안정될 수 있다.

차량 탑승자가 신체 운동에 대한 통제력을 잃거나 부상을 입는 것을 방지하기 위해서는 최대 힘(가속도)뿐만 아니라 최대 가가속도(저크)도 제한해야 한다. 이는 근육이 긴장을 조절하고 변화하는 스트레스에 적응하는 데 시간이 걸리기 때문이다. 가속도의 급격한 변화는 채찍질 손상과 같은 부상을 유발할 수 있다.^[6] 또한, 과도한 가가속도는 부상을 일으키지 않는 수준에서도 불편한 승차감을 유발할 수 있다. 엔지니어들은 엘리베이터, 노면 전차 및 기타 운송 수단에서 "불규칙한 움직임"을 최소화하기 위해 상당한 설계를 수행한다.

예를 들어, 차를 탈 때 가속도와 가가속도의 영향을 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.

숙련되고 경험이 풍부한 운전자는 부드럽게 가속할 수 있지만 초보자는 종종 '불규칙한' 승차감을 제공한다. 발로 조작하는 클러치가 있는 차에서 기어를 변경할 때 가속력은 엔진 출력에 의해 제한되지만 미숙한 운전자는 클러치를 통해 간헐적인 힘의 폐쇄로 인해 심한 충격을 일으킬 수 있다.
고성능 스포츠카에서 좌석에 밀려드는 느낌은 가속도 때문이다. 차가 정지 상태에서 출발하면 가속도가 급격히 증가하면서 큰 양의 충격이 발생한다. 출발 후 공기 저항의 힘이 차의 속도에 따라 증가함에 따라 작은 지속적인 음의 충격이 발생하여 가속도를 점차 감소시키고 승객을 좌석에 누르는 힘을 줄인다. 차가 최고 속도에 도달하면 가속도는 0에 도달하여 일정하게 유지되며, 운전자가 감속하거나 방향을 바꾸기 전까지 충격은 없다.
갑작스러운 제동 또는 충돌 시 승객은 제동 또는 충돌이 시작된 후 근육의 긴장이 신체의 제어력을 빠르게 회복하기 때문에 제동 과정의 나머지 동안보다 초기 가속도가 더 커진다. 이러한 효과는 시체와 충돌 시험용 인체 모형에는 능동적인 근육 조절이 없기 때문에 차량 테스트에서 모델링되지 않는다.
충격을 최소화하기 위해 도로의 곡선은 클로토이드로 설계되었으며 철도 곡선과 롤러코스터 루프도 마찬가지다.

가속도는 벡터량이므로, 가가속도도 마찬가지로 벡터량이 되지만, 그 절댓값을 가리키는 경우도 있다.

가속도를 '''a'''라고 하면, 정의로부터 가가속도 '''j'''는 '''a'''의 시간에 관한 미분

:

\boldsymbol{j} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{a}}{\mathrm dt}

로 주어진다.

이것은, 변위를 '''x''', 속도를 '''v'''로 하여

:

\boldsymbol{j} = \frac{\mathrm d^{2}\boldsymbol{v}}{\mathrm dt^{2}} = \frac{\mathrm d^3\boldsymbol{x}}{\mathrm dt^3}

라고 나타낼 수도 있다.

큰 가가속도 (가속도, 힘의 급격한 변화)는 생물에게 불쾌감을 주거나, 기계 장치에 손상을 주기도 한다. 특히 큰 가속도에 대응해야 하는 전투기 조종사에게는, 가가속도가 크면 대응할 수 없어 기절할 위험성이 높아지고, 이어서 추락할 위험도 생긴다^[16]。

그 때문에, 생체 등의 운동 제어에서 역모델을 생각하는 경우, 가가속도를 최소로 하는 것을 제어계의 구속 조건으로 주어, 불량 설정 문제에 유일해를 가져오는 방법이 있다.

5. 힘, 가속도 및 가가속도

질량 ''m''이 일정할 때, 가속도 '''a'''는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 힘 '''F'''에 정비례한다.

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

강체의 고전역학에서는 가속도의 시간에 대한 변화율, 즉 가가속도와 직접적으로 관련된 '힘'은 정의되지 않는다. 그러나 물리적 시스템은 가가속도의 결과로 진동이나 변형을 겪을 수 있다. 예를 들어, 미국 항공우주국(NASA)은 허블 우주 망원경을 설계할 때 기기의 정밀한 제어를 위해 가가속도와 자운스(jounce, 가가속도의 시간 미분) 모두에 제한을 두었다.^[2]

전자기학에서는 가가속도와 관련된 힘의 예로 아브라함-로렌츠 힘이 있다. 이 힘은 방사선을 방출하며 가속하는 전하를 띤 입자에 작용하는 반작용 힘으로, 입자의 가가속도와 전하량의 제곱에 비례한다. 휠러-파인만 흡수체 이론은 상대론적 및 양자적 환경에 적용 가능하며 자기 에너지를 고려하는 더 발전된 이론이다.

큰 가가속도, 즉 힘의 급격한 변화는 기계 장치에 손상을 줄 수 있으며, 생물에게는 불쾌감을 유발할 수 있다. 특히 급격한 가속도 변화를 겪는 전투기 조종사의 경우, 큰 가가속도는 대응 시간을 단축시켜 G-LOC(중력 가속도에 의한 의식 상실)의 위험성을 높이고 추락 사고로 이어질 수 있다.^[16]

6. 이상적인 환경에서

실제 환경에서는 변형, 양자역학적 효과 등 여러 요인으로 인해 가속도가 순간적으로 급격하게 변하는 불연속성은 나타나지 않는다. 하지만 이상적인 상황, 예를 들어 질량을 가진 한 점(점 질량)이 여러 개의 매끄러운 경로 조각으로 이루어진 연속적인 경로를 따라 움직이는 경우를 가정하면, 가속도의 점프 불연속성(jump discontinuity), 즉 순간적인 급변이 발생할 수 있다. 이러한 불연속성은 경로가 매끄럽게 이어지지 않는 지점에서 나타난다. 이처럼 이상적인 모델을 통해 실제 상황에서 나타나는 가가속도의 효과를 간략하게 설명하고 예측하는 데 도움을 받을 수 있다.

가속도의 점프 불연속성은 그 변화량에 맞춰 크기가 조절된 디랙 델타 함수를 사용하여 가가속도로 모델링할 수 있다. 디랙 델타 함수를 포함하는 가가속도를 시간에 대해 적분하면 가속도의 점프 불연속성을 얻을 수 있다.

몇 가지 구체적인 예를 통해 이상적인 환경에서의 가속도 불연속성을 살펴보자.

곡선과 직선 경로: 반지름 r인 원호 경로가 직선 경로에 접선으로 연결된 경우를 생각해보자. 전체 경로는 끊어짐 없이 이어져 있고, 각 부분(원호, 직선)은 매끄럽다. 만약 점 입자가 이 경로를 따라 일정한 속도 v로 움직인다면, 경로 방향의 접선 가속도는 0이다. 하지만 원호 위에서는 경로 안쪽으로 향하는 구심 가속도 v²/r 이 존재한다. 입자가 원호에서 직선 경로로 또는 그 반대로 이동하는 순간, 구심 가속도가 v²/r 만큼 급격하게 변하게 된다. 이 가속도의 점프 불연속성은 디랙 델타 함수를 포함하는 가가속도로 표현될 수 있다.

마찰이 있는 용수철-질량 시스템: 마찰이 있는 이상적인 평면 위에서 용수철에 매달린 질량이 진동하는 경우를 고려해보자. 질량에 작용하는 힘은 용수철이 당기거나 미는 힘과 운동 마찰력의 벡터 합이다. 질량이 방향을 바꾸는 지점(최대 또는 최소 변위 지점)에서는 속도의 부호가 바뀌고, 이때 운동 마찰력의 방향도 반대로 바뀐다. 용수철 힘은 연속적으로 변하지만 마찰력의 방향이 급격히 바뀌므로, 질량에 작용하는 총 힘의 크기는 마찰력 크기의 두 배만큼 순간적으로 변한다. 뉴턴의 제2법칙(F=ma)에 따라 가속도 역시 힘의 변화량만큼 점프 불연속성을 겪게 된다. 이러한 불연속적인 가속도 변화는 질량이 멈출 때까지 계속되며, 해당 순간의 가가속도는 디랙 델타 함수를 포함한다. 질량이 멈추면 정지 마찰력이 남은 용수철 힘과 평형을 이루어 알짜힘과 속도가 모두 0이 된다.

자동차의 제동: 자동차가 브레이크를 밟아 감속하는 상황을 생각해보자. 브레이크 패드는 바퀴의 디스크나 드럼에 마찰력을 발생시켜 일정한 제동 토크를 만들어낸다. 이로 인해 바퀴의 회전 속도는 일정한 각감속도로 선형적으로 감소하여 0이 된다. 바퀴가 완전히 멈추는 순간, 마찰력, 토크, 그리고 자동차의 감속도는 갑자기 0이 된다. 이상적인 모델에서는 이 순간에 디랙 델타 함수 형태의 가가속도가 발생한다고 볼 수 있다. 실제 환경에서는 타이어의 미끄러짐, 서스펜션의 움직임, 차체의 변형 등으로 인해 이러한 변화가 완화되어 나타난다.

로프 절단: 끝에 입자가 매달린 로프가 끊어지는 경우도 비슷한 예이다. 입자가 로프에 매달려 원운동을 하고 있다면 0이 아닌 구심 가속도를 가진다. 로프가 끊어지는 순간, 입자를 안쪽으로 당기던 힘(장력)이 갑자기 사라지고 입자는 관성에 의해 직선 경로로 나아가게 된다. 안쪽 방향의 힘과 가속도가 순간적으로 0으로 변하는 것이다. 만약 레이저 등을 이용해 아주 짧은 시간에 로프를 절단한다면, 입자는 매우 큰 가가속도를 경험하게 될 것이다.

7. 회전에서의 가가속도

한 바퀴 회전하는 동안의 각도, 각속도, 각가속도, 각자크에 대한 타이밍 다이어그램

관성 좌표계에서 고정된 축을 중심으로 회전하는 강체를 생각해 보자. 시간의 함수로서의 각 위치가

\theta(t)

이면, 각속도, 각가속도 및 각자크(가가속도)는 다음과 같이 표현할 수 있다.

각속도, $\omega(t)=\dot\theta(t)=\frac{\mathrm {d}\theta(t)} {\mathrm {d}t}$ 는 $\theta(t)$ 의 시간 미분이다.
각가속도, $\alpha(t)=\dot\omega(t)=\frac{\mathrm {d}\omega(t)} {\mathrm {d} t}$ 는 $\omega(t)$ 의 시간 미분이다.
각자크, $\zeta(t) = \dot {\alpha}(t) =\ddot\omega(t) = \overset{...}{ \theta}(t)$ 는 $\alpha(t)$ 의 시간 미분이다.

각가속도는 물체에 작용하는 토크를 물체의 순간 회전축에 대한 관성 모멘트로 나눈 값과 같다. 토크의 변화는 각자크를 발생시킨다.

회전하는 강체의 일반적인 경우는 운동학적 스크루 이론을 사용하여 모델링할 수 있으며, 여기에는 하나의 축 유사벡터, 각속도

\boldsymbol{\Omega}(t)

와 하나의 극 유사벡터, 선형 속도

\boldsymbol{v}(t)

가 포함된다. 이를 통해 각가속도는 다음과 같이 정의된다.

\boldsymbol{\alpha}(t) = \frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t} \boldsymbol{\omega}(t)= \dot {\boldsymbol\omega}(t)

각자크는 다음과 같다.

\boldsymbol{\zeta}(t) = \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\boldsymbol{\alpha}(t)=\dot{\boldsymbol{\alpha}}(t) = \ddot{\boldsymbol{\omega}}(t)

각가속도#3차원 공간의 입자에서 각가속도 식

\boldsymbol{\alpha} = \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}= \frac{\mathbf r\times \mathbf a}{r^2} - \frac{2}{r}\frac{dr}{dt}\boldsymbol{\omega}

을 이용하여 각자크를 구하면 다음과 같다.

\begin{align}\boldsymbol{\zeta} = \frac{d \boldsymbol{\alpha} }{dt} &=\frac{1}{r^2}\left( \mathbf r \times \frac{d \mathbf a}{dt} + \frac{d \mathbf r}{dt} \times \mathbf a \right)

\frac{2}{r^3}\frac{dr}{dt}\left( \mathbf r \times \mathbf a \right)

+ \frac{2}{r^2}\left(\frac{dr}{dt} \right)^2 \boldsymbol{\omega}

\frac{2}{r}\frac{d^2r}{dt^2} \boldsymbol{\omega}
\frac{2}{r}\frac{dr}{dt} \frac{d \boldsymbol{\omega} }{dt} \\

&= \frac{\mathbf r\times \mathbf j}{r^2}+ \frac{\mathbf v\times \mathbf a}{r^2}

\frac{4}{r^3}\frac{dr}{dt}\left( \mathbf r \times \mathbf a \right)

+ \frac{6}{r^2}\left(\frac{dr}{dt} \right)^2 \boldsymbol{\omega}

\frac{2}{r}\frac{d^2r}{dt^2} \boldsymbol{\omega}

\end{align}

여기서

\mathbf j

는 가가가속도 (jerk)이다.

\mathbf r \times \mathbf a = r^2 \boldsymbol{\alpha} + 2r \frac{dr}{dt} \boldsymbol{\omega}

관계를 이용하여

\boldsymbol{\alpha}

로 표현하면 다음과 같다.

\begin{align}\boldsymbol{\zeta} = \frac{\mathbf r\times \mathbf j}{r^2}+ \frac{\mathbf v\times \mathbf a}{r^2}

\frac{4}{r}\frac{dr}{dt} \boldsymbol{\alpha}
\frac{2}{r^2}\left(\frac{dr}{dt} \right)^2 \boldsymbol{\omega}
\frac{2}{r}\frac{d^2r}{dt^2} \boldsymbol{\omega}

\end{align}

예를 들어, 제네바 기어는 구동 휠(애니메이션의 파란색 휠)의 연속 회전을 통해 피동 휠(애니메이션의 빨간색 휠)의 불연속 회전을 생성하는 장치이다. 구동 휠의 한 사이클 동안 피동 휠의 각 위치

\theta

는 90도만큼 변한 다음 일정하게 유지된다. 피동 휠 포크(구동 핀용 슬롯)의 유한한 두께로 인해 이 장치는 피동 휠에서 각가속도

\alpha

의 불연속성과 이론적으로 무한한 각자크

\zeta

를 생성한다.

이러한 특성에도 불구하고 제네바 기어는 영화 영사기나 캠과 같은 응용 분야에서 사용된다. 영화 영사기의 경우, 필름은 프레임 단위로 전진하지만, 작동 시 필름 부하가 낮고(몇 그램의 필름 일부만 구동), 속도가 중간 정도(2.4 m/s)이며 마찰이 적어 소음이 적고 신뢰성이 높다.

캠 구동 시스템에서는 이중 캠을 사용하여 단일 캠에서 발생하는 급격한 각자크 변화를 피할 수 있다. 하지만 이중 캠은 부피가 크고 비용이 더 많이 드는 단점이 있다. 이중 캠 시스템은 하나의 축에 두 개의 캠을 설치하여 두 번째 축을 한 바퀴의 일부만큼 회전시킨다. 위 그림은 구동 축의 한 바퀴 회전당 1/6 및 1/3 회전의 단계 구동을 보여준다. 스텝 휠의 두 팔이 항상 이중 캠과 접촉하고 있기 때문에 반경 방향의 유격이 없다. 일반적으로 이러한 결합된 접촉 방식은 단일 팔로워(follower) 시스템에서 발생할 수 있는 각자크(및 관련 마모, 소음)를 줄이는 데 사용된다. 예를 들어, 슬롯을 따라 움직이며 접촉 지점이 한쪽에서 다른 쪽으로 바뀌는 단일 팔로워 대신, 각각 슬롯의 한쪽 면을 따라 움직이는 두 개의 팔로워를 사용하면 이러한 문제를 피할 수 있다.

'''각가속도 변화율'''(angular jerk|앵귤러 저크^영어)은 각가속도의 시간에 대한 변화율을 의미한다. 단위는 국제단위계(SI)에서 라디안 매 초 세제곱 (rad/s³)이며, 또는 도 매 초 세제곱 (deg/s³)이 사용되기도 한다. 수식에서는 주로 그리스 문자 '''

\zeta

'''로 나타낸다.

8. 탄성 변형체에서

탄성 변형 질량은 가해지는 힘(또는 가속도)에 따라 변형된다. 변형은 재료의 강성과 가해지는 힘의 크기에 따라 달라진다. 힘의 변화가 느리다면, 즉 가가속도가 작다면, 파동 전파는 가속도 변화에 비해 순간적으로 일어나는 것으로 간주할 수 있다. 이 경우 왜곡된 물체는 마치 준정적 하중 상태에 있는 것처럼 작동한다.

그러나 변화하는 힘, 즉 0이 아닌 가가속도는 기계적 파동(하전 입자의 경우 전자기파)의 전파를 유발할 수 있다. 따라서 0이 아닌 높은 가가속도에서는 충격파와 그것이 물체 내부를 통해 전파되는 현상을 고려해야 한다.

변형의 전파는 탄성 변형 재료를 통해 압축 평면파 형태로 나타날 수 있다.

또한, 가가속도에 의해 원형 패턴으로 전파되는 변형파가 발생할 수도 있는데, 이는 전단 응력 및 기타 고유진동 모드의 진동을 유발할 수 있다. 경계면에서 파동이 반사되면 보강 간섭 패턴이 발생하여 재료가 견딜 수 있는 한계를 초과하는 응력이 생길 수 있다. 이러한 변형파는 진동을 유발하며, 특히 공진 현상이 발생하면 소음, 마모 및 파손으로 이어질 수 있다.

예를 들어, 질량이 큰 상단이 있는 탄성 기둥에 연결된 블록을 고려해 보자. 블록이 가속되면 기둥이 구부러진다. 가속이 멈추면 상단 부분은 기둥의 강성과 감쇠비에 따라 진동하게 된다. 더 큰 (주기적인) 가가속도는 충격파에 의한 강화 효과 이전에 작은 진동이 감쇠될 시간을 충분히 주지 못하므로, 더 큰 진폭의 진동을 유발할 수 있다. 또한, 더 큰 가가속도는 충격파에 포함된 파동 성분 중 더 높은 주파수와 푸리에 계수를 가지는 성분을 포함하므로, 공진 모드를 자극할 가능성을 높인다.

이러한 응력파와 진동의 진폭을 줄이기 위해서는 움직임을 제어하여 가속도 변화를 가능한 한 완만하게 만들어 가가속도를 제한하는 것이 중요하다. 즉, 가속도 그래프의 기울기를 평평하게 만드는 것이다. 추상적인 모델의 한계를 넘어, 실제 진동을 줄이기 위한 알고리즘에서는 가속도와 가가속도뿐만 아니라 자운스와 같은 더 높은 차수의 미분값까지 연속적으로 제어하는 방법도 제안된다. 가가속도를 제한하는 한 가지 개념은 가속과 감속 구간을 정현파 모양으로 만들고 그 사이에는 가속도를 0으로 유지하는 것이다. 이렇게 하면 속도 변화는 정현파처럼 부드럽게 보이지만, 가속도가 0인 구간에 진입하거나 벗어날 때 가가속도는 여전히 불연속적인 값을 가진다.

9. 도로 및 트랙의 기하학적 설계에서

도로와 철도 트랙은 곡선 구간에서 곡률이 변할 때 발생하는 가가속도를 제한하도록 설계된다. 이는 승객의 승차감을 높이고 안전을 확보하기 위함이다. 특히 고속철도 설계에서는 가가속도 제한이 중요한 요소로 고려되며, 설계 기준은 일반적으로 0.2 m/s³에서 0.6 m/s³ 사이의 값을 가진다.^[3]

트랙 전이 곡선은 가가속도를 제한한다. 전이는 파란색 직선과 녹색 호 사이의 빨간색으로 표시된다.

트랙 전이 곡선(완화 곡선)은 직선 구간에서 곡선 구간으로, 또는 그 반대로 부드럽게 전환하면서 가가속도를 제한하는 역할을 한다. 원운동하는 물체는 곡선 안쪽 방향으로 구심 가속도를 받는데, 전이 곡선은 이 구심 가속도가 점진적으로 증가하거나 감소하도록 곡률을 서서히 변화시킨다.

이론적으로 가장 이상적인 전이 곡선은 오일러 나선(클로토이드)이다. 이 곡선은 구심 가속도를 이동 거리에 비례하여 선형적으로 증가시키므로 가가속도를 일정하게 유지할 수 있다. 도로의 곡선 설계에 주로 사용된다.

실제 철도 트랙에서는 곡선 구간에서 열차가 기울어지도록 선로의 높낮이를 조절하는 캔트를 적용한다. 이는 수직 방향의 가속도를 발생시키며, 트랙과 열차 바퀴의 마모를 줄이기 위한 중요한 고려 사항이다. 비너 곡선(Viennese Curve)은 이러한 마모를 최소화하기 위해 특별히 고안된 곡선이다.^[4]^[5]

롤러코스터 역시 가가속도를 제한하기 위해 트랙 전이 구간을 활용하여 설계된다.^[6] 예를 들어, 루프 구간에 진입할 때 가속도는 약 4''g''(40 m/s²)에 달할 수 있는데, 이러한 높은 가속도를 승객이 견딜 수 있는 것은 트랙 전이를 통해 가속도의 변화율(가가속도)을 제어하기 때문이다. 8자 모양과 같은 S자형 곡선에서도 부드러운 주행 경험을 제공하기 위해 트랙 전이가 사용된다.

10. 운동 제어에서

운동 제어 분야에서 가가속도(jerk)는 시스템의 움직임을 부드럽게 하고 안정성을 확보하는 데 중요한 요소이다. 특히 사람이 탑승하는 장치에서는 승차감과 안전에 직접적인 영향을 미친다.

인체는 길항근의 힘 조절을 통해 자세를 유지한다. 뇌의 중심후회는 외부 힘의 변화에 맞춰 근육의 긴장도를 조절하는 제어 루프를 형성하여 기계적 평형을 유지하려고 한다. 그러나 힘의 변화율인 가가속도가 너무 크면 근육이 제때 반응하지 못해 과도하게 수축하거나 이완하게 되고, 일시적으로 신체 제어력을 잃을 수 있다. 이러한 반응 시간은 외부 변화를 예측했는지 여부나 뇌의 주의력 수준에 따라 달라진다. 예상치 못한 갑작스러운 힘의 변화는 신체가 안정성을 회복하는 데 더 오랜 시간을 필요로 한다.

따라서 차량이나 엘리베이터와 같이 사람을 태우는 장치를 설계할 때는 최대 가속도뿐만 아니라 최대 가가속도 역시 제한해야 한다. 가속도가 갑자기 변하면 근육이 미처 적응하지 못해 채찍질 손상과 같은 부상을 입을 수 있으며,^[6] 부상 수준이 아니더라도 급격한 움직임은 불쾌한 승차감을 유발한다. 엔지니어들은 엘리베이터, 노면 전차 등 다양한 운송 수단에서 이러한 급격한 움직임을 최소화하기 위해 많은 노력을 기울인다.

예를 들어 자동차 운전 시 가가속도의 영향을 쉽게 느낄 수 있다.

숙련된 운전자는 부드럽게 가속하지만, 초보 운전자는 가속 페달이나 클러치 조작 미숙으로 인해 차가 덜컥거리는, 즉 높은 가가속도를 발생시키는 경우가 많다.
고성능 스포츠카가 정지 상태에서 급출발할 때 몸이 시트에 강하게 밀착되는 것은 높은 가속도 때문이지만, 이 가속도가 급격하게 증가하는 순간 발생하는 높은 양(+)의 가가속도를 느끼게 된다. 이후 속도가 증가함에 따라 공기 저항이 커지면 가속도는 점차 감소하는데, 이때는 음(-)의 가가속도가 발생한다. 최고 속도에 도달하면 가속도는 0에 도달하여 일정하게 유지되며, 운전자가 감속하거나 방향을 바꾸기 전까지 가가속도는 없다.
급제동 시에는 초기 제동 순간에 가장 큰 가속도 변화, 즉 높은 가가속도를 경험하게 된다. 이후에는 근육이 긴장하여 변화에 대비하므로 가가속도의 영향이 줄어든다. 이러한 근육의 능동적인 반응은 충돌 시험용 인체 모형에는 없기 때문에 실제 사고 상황과 차이가 있을 수 있다.

이러한 가가속도를 최소화하여 승차감을 높이고 안전성을 확보하기 위해, 도로의 곡선 구간은 오일러 곡선(클로토이드) 형태로 설계된다. 철도 선로나 롤러코스터의 수직 루프 등도 마찬가지 원리가 적용된다.

운동 제어 시스템 설계, 특히 한 지점에서 다른 지점으로 이동하는 점대점 운동에서는 주로 수직 방향의 가가속도를 관리하는 것이 중요하다. 엘리베이터의 경우, 수직 가가속도를 제한하는 것이 승차감 확보에 필수적이다.^[7] ISO 8100-34 표준은 엘리베이터의 승차감 품질을 가가속도, 가속도, 진동, 소음 등을 기준으로 측정하는 방법을 명시하고 있다.^[8] 비록 표준 자체에서 허용 가능한 승차감 수준을 규정하지는 않지만, 한 연구에 따르면^[9] 대부분의 승객은 2 m/s³의 수직 가가속도를 허용 가능한 수준으로, 6 m/s³는 견디기 힘든 수준으로 평가한다고 한다. 병원용 엘리베이터의 경우 0.7 m/s³ 이하의 가가속도가 권장된다.

이 그림은 가가속도, 가속도, 속도가 모두 제한된 상황에서 한 지점에서 다른 지점으로 선형 이동할 때의 운동 프로파일을 보여준다. 각 단계에서 최대값에 도달할 충분한 시간이 있다고 가정한다.

운동 제어 시스템의 주요 목표 중 하나는 속도, 가속도, 가가속도 제한을 넘지 않으면서 목표 지점까지 이동하는 데 걸리는 시간(전환 시간)을 최소화하는 것이다. 이를 위해 일반적으로 3차 운동 제어 프로파일이 사용된다. 이 프로파일은 가가속도를 일정하게 유지하며 가속도를 선형적으로 증가/감소시키는 구간(램프 구간)과 가속도를 일정하게 유지하는 구간, 속도를 일정하게 유지하는 구간 등으로 구성되어 총 7개의 단계로 이루어진다.

# 가속 증가 단계: 가가속도를 양(+)의 최댓값으로 유지하며 가속도를 선형적으로 증가시킨다. 속도는 이차 함수 형태로 증가한다.

# 등가속 단계: 가가속도를 0으로 유지하며 가속도를 최댓값으로 유지한다. 속도는 선형적으로 증가한다.

# 가속 감소 단계: 가가속도를 음(-)의 최댓값으로 유지하며 가속도를 선형적으로 감소시킨다. 속도 증가율이 점차 줄어든다.

# 등속 단계: 가가속도와 가속도 모두 0으로 유지하며 속도를 최댓값으로 유지한다. 이동 거리가 충분히 길 때만 이 단계가 존재한다.

# 감속 증가 단계: 가가속도를 음(-)의 최댓값으로 유지하며 가속도를 음(-)의 방향으로 선형적으로 증가시킨다(감속도 증가). 속도는 이차 함수 형태로 감소한다.

# 등감속 단계: 가가속도를 0으로 유지하며 가속도를 음(-)의 최댓값으로 유지한다(최대 감속도). 속도는 선형적으로 감소한다.

# 감속 감소 단계: 가가속도를 양(+)의 최댓값으로 유지하며 가속도를 0으로 선형적으로 증가시킨다(감속도 감소). 속도 감소율이 점차 줄어들어 목표 지점에서 속도 0, 가속도 0 상태로 정지한다.

이동 거리가 짧을 경우, 등속 단계(4)나 등가속/등감속 단계(2, 6)가 생략되거나 단축될 수 있다. 주어진 전환 시간 동안 가가속도의 제곱을 최소화하는 프로파일^[10]이나 사인파 형태의 가속도 프로파일 등 다양한 운동 프로파일 전략이 특정 응용 분야(예: 엘리베이터, 체인 호이스트, 자동차, 로봇 공학)의 요구사항에 맞춰 사용된다.

매우 큰 가가속도는 생물에게 불쾌감을 주거나 심한 경우 G-LOC(중력 가속도에 의한 의식 상실)를 유발하여 전투기 조종사에게는 치명적인 결과를 초래할 수도 있다.^[16]

10. 1. 제조 분야에서

가가속도(저크)는 제조 공정에서 중요한 고려 사항이다. 절삭 공구의 가속도가 급격하게 변하면 공구의 조기 마모를 유발하고 고르지 못한 절삭 결과를 초래할 수 있기 때문이다. 이러한 이유로 현대적인 모션 제어 장치에는 가가속도 제한 기능이 포함되어 있다. 또한 기계 공학 분야에서는 속도 및 가속도 외에도 마찰학적 측면이나, 캠 프로파일을 따라 움직이는 물체가 가공 진동 없이 작동할 수 있는지 등을 평가할 때 가가속도를 고려한다.^[11]

가가속도는 진동이 문제가 되는 상황에서 자주 검토되며, 가가속도를 측정하는 장치를 "저크미터"라고 부른다.

11. 추가적인 미분

위치를 시간에 대해 미분하는 것을 반복하여 얻는 더 높은 차수의 도함수에도 이름이 붙어 있다. 위치의 4차 미분은 자운스(jounce) 또는 스냅(snap), 5차 미분은 크래클(crackle), 6차 미분은 팝(pop)이라고 부른다.^[12]^[13] 7차 미분은 뱅(Bang), 8차 미분은 붐(Boom), 9차 미분은 크래시(Crash)로 알려져 있기도 하다. 하지만 위치의 4차 미분 이상은 실제 물리 현상에서 거의 다루어지지 않는다.^[14]

위치의 4차, 5차, 6차 미분을 가리키는 "스냅", "크래클", "팝"이라는 이름은 스냅, 크래클 앤 팝이라는 광고 캐릭터 이름에서 유래했다.^[13]

참조

_[1] 논문 Chaotic hyperjerk systems http://sprott.physic[...] 2020-02-04
_[2] 웹사이트 Third derivative of position http://math.ucr.edu/[...] 2019-09-08
_[3] 간행물 High-Speed Rail Turnout Literature Review https://railroads.do[...] U.S. Department of Transportation – Office of Research, Development, and Technology 2023-11-09
_[4] 문서 https://depatisnet.d[...]
_[5] 웹사이트 Archived copy http://www.mplusm.at[...] 2014-08-17
_[6] 웹사이트 How Things Work: Roller Coasters - The Tartan Online http://thetartan.org[...] Thetartan.org 2013-09-15
_[7] 웹사이트 Archived copy http://www.schindler[...] 2014-08-22
_[8] 웹사이트 Lifts for the transport of persons and goods -- Part 34: Measurement of lift ride quality https://www.iso.org/[...] International Organization for Standardization 2014-12-31
_[9] 웹사이트 Elevator Ride Quality - The Human Ride Experience http://www.lift-repo[...] VFZ-Verlag für Zielgruppeninformationen GmbH & Co. KG 2014-12-31
_[10] 논문 An organizing principle for a class of voluntary movements 1984
_[11] 문서 Making the Cam 2005-09
_[12] conference Snap, Crackle, and Pop https://info.aiaa.or[...] 2020-02-29
_[13] 논문 Jerk, snap and the cosmological equation of state 2004-03-31
_[14] 웹사이트 What is the term used for the third derivative of position? http://math.ucr.edu/[...] Math Dept., University of California, Riverside 2015-10-24
_[15] 서적 ジャーク (加加速度，躍度) の測定法 https://doi.org/10.2[...]
_[16] 웹사이트 戦闘機パイロットの耐G訓練を素人が体験してみたムービーが公開中 https://gigazine.net[...] 2022-06-26
_[17] 문서 한국물리학회 물리학 용어집에

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