가측 함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 위상 공간에서의 정의
3. 성질
4. 주요 유형
- 4.1. 보렐 가측 함수
- 4.2. 르베그 가측 함수
5. 예시
- 5.1. 가측 함수의 예시
- 5.2. 가측 함수가 아닌 예시
참조

1. 개요

가측 함수는 두 가측 공간 사이에서 정의되는 함수로, 공역의 가측 집합의 역상이 정의역의 가측 집합이 되는 함수이다. 가측 함수는 확률 변수, 보렐 함수, 르베그 가측 함수 등 다양한 유형으로 분류되며, 합성 함수, 수열의 극한 등에서 중요한 성질을 갖는다. 실수값 가측 함수, 바나흐 공간 값 가측 함수 등 다양한 형태가 존재하며, 해석학 및 확률론에서 중요한 역할을 한다.

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가측 함수
개요
정의	함수 f: X → Y가 주어졌을 때, Y의 모든 가측 집합 E에 대해 f⁻¹(E)가 X의 가측 집합이면 f를 가측 함수라고 한다.
관련 개념	측도 공간 가측 공간 가측 집합 보렐 집합
세부 정보
가측 공간	(X, Σ)에서 (Y, T)로 가는 함수 f가 모든 T ∈ T에 대해 f⁻¹(T) ∈ Σ이면, f는 Σ-T 가측 함수라고 한다.
실수-값 함수	f: X → ℝ이 가측 함수인 것은 모든 a ∈ ℝ에 대해 {x : f(x) > a}가 가측 집합인 것과 동치이다. 복소수 값 함수의 경우 실수 부분과 허수 부분이 모두 가측 함수여야 한다.
성질	가측 함수의 합, 곱, 극한은 모두 가측 함수이다.
예시	연속 함수는 가측 함수이다. 가측 집합의 지시 함수는 가측 함수이다.
참고 문헌

2. 정의

두 가측 공간 사이의 함수가 가측 함수라는 것은, 공역의 가측 집합에 대한 원상이 정의역에서 가측 집합이 됨을 의미한다.

2. 1. 기본 정의

두 가측 공간

(X,\mathcal F)

,

(Y,\mathcal G)

사이의 '''가측 함수'''

f\colon X\to Y

는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

모든 $S\in\mathcal G$ 에 대하여, $f^{-1}(S)\in\mathcal F$

만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 경우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수

\mathbb R\to\mathbb R

"는 보통

(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))

을 의미한다.

(X,\Sigma)

와

(Y,\Tau)

를 가측 공간이라고 하자. 여기서

X

와

Y

는 각각

\sigma

-대수

\Sigma

와

\Tau

가 갖춰진 집합을 의미한다. 함수

f:X\to Y

가 모든

E\in \Tau

에 대해

f

에 의한

E

의 역상이

\Sigma

에 속할 경우 가측 함수라고 한다. 즉, 모든

E \in \Tau

에 대해

:

f^{-1}(E) := \{ x\in X \mid f(x) \in E \} \in \Sigma.

다시 말해,

\sigma (f)\subseteq\Sigma

이며, 여기서

\sigma (f)

는 f에 의해 생성된 σ-대수이다.

f:X\to Y

가 가측 함수인 경우,

\sigma

-대수

\Sigma

와

\Tau

에 대한 의존성을 강조하기 위해 다음과 같이 표기한다.

:

f \colon (X, \Sigma)  \rightarrow (Y, \Tau).

또는

f

를

(\Sigma,\Tau)

-가측이라고도 한다.

2. 2. 위상 공간에서의 정의

정의역과 공역이 위상 공간인 경우, 보통 보렐 시그마 대수를 고려하여 가측 함수를 정의한다. 예를 들어, 정의역이 유클리드 공간일 경우, 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다.^[1] 함수 값이 무한 차원 벡터 공간에 속하는 경우, 약 가측성 및 보흐너 가측성과 같이 가측성에 대한 다른 정의가 존재한다.

3. 성질

두 복소수 값 가측 함수의 합과 곱은 가측 함수이다.^[9] 0으로 나누기가 발생하지 않는 한, 몫에 대해서도 마찬가지로 성립한다.^[7]

실숫값 가측 함수의 가산 열의 (각 점에서의) 상한, 하한, 상극한 및 하극한은 모두 마찬가지로 가측 함수이다.^[7]^[10]

$Y$ 를 거리 공간으로 두면, 점별 수렴하는 가측 함수 열 $f_n: X \to Y$ 의 극한도 가측 함수이다. 이 성질은 $Y$ 가 거리 공간이 아닌 일반적인 경우에는 성립하지 않을 수 있다.^[11] 여기서, 연속 함수에 대해 이와 유사한 성질이 성립하려면, 점별 수렴보다 강한 균등 수렴과 같은 조건이 필요하다는 점에 주의해야 한다.

3. 1. 기본 성질

두 가측 함수

:

f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_2,\mathcal F_2)

:

g\colon(X_2,\mathcal F_2)\to(X_3,\mathcal F_3)

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

:

g\circ f\colon(X_1,\mathcal F_1)\to(X_3,\mathcal F_3)

역시 가측 함수이다.^[1]

만약

f : (X,\Sigma_1) \to (Y,\Sigma_2)

와

g:(Y,\Sigma_3) \to (Z,\Sigma_4)

가 가측 함수라면, 그 합성 함수

g\circ f: X\to Z

는

\Sigma_3 \subseteq \Sigma_2

가 아니라면

(\Sigma_1,\Sigma_4)

-가측 함수가 아닐 수 있다. 실제로, 두 르베그 가측 함수의 합성함수가 르베그 가측 함수가 아니도록 구성할 수 있다.

두 복소수 값 가측 함수의 합과 곱은 가측 함수이다.^[3] 0으로 나누는 경우가 아니라면 몫도 가측 함수이다.^[1]

실함수 가측 함수의 수열(가산 개의)의 (점별) 상한, 하한, 상극한, 하극한은 모두 가측 함수이다.^[1]^[4]

가측 함수 수열

f_n: X \to Y

의 점별 극한은

Y

가 거리 공간(보렐 대수로 부여됨)일 때 가측 함수이다. 이는

Y

가 가측화 가능하지 않은 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 연속 함수의 경우에 해당하는 명제는 점별 수렴보다 더 강한 조건, 즉 균등 수렴과 같은 조건을 필요로 한다.^[5]^[6]

3. 2. 실수값 가측 함수

두 가측 함수

f,g\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))

에 대하여,

f+g

및

f\cdot g

는 가측 함수이다. 가측 함수의 열

f_1,f_2,\dots\colon(X,\mathcal F)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))

의 점별 극한은 가측 함수이다. 모든 르베그 적분 가능 함수

X\to\mathbb R

는 가측 함수이다. 실함수 가측 함수의 수열(가산 개)의 (점별) 상한, 하한, 상극한, 하극한은 모두 가측 함수이다.^[1]^[4]

3. 3. 바나흐 공간 값 가측 함수

가측 공간 $(X,\mathcal F)$와 $\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$가 주어졌을 때, (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) $\mathbb K$-바나흐 공간 $Y$에 대하여, 함수 $f\colon X\to Y$에 대해 다음 세 가지 조건을 정의한다.

('''강가측 함수''', 强可測函數, strongly measurable function^영어) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
('''약가측 함수''', 弱可測函數, weakly measurable function^영어) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 $\phi\in Y^*$에 대하여, $\phi\circ f\colon(X,\mathcal B(X))\to(\mathbb K,\mathcal B(\mathbb K))$는 가측 함수이다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, '''페티스 가측성 정리'''(Pettis可測性定理, Pettis measurability theorem^영어)에 따르면, 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[12]

강가측 함수이다.
약가측 함수이며, $f(X)\subset\widetilde Y$인 분해 가능 부분 공간 $\widetilde Y\subset Y$가 존재한다.

특히, 만약 $Y$가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

강가측 함수이다.
가측 함수이다.
약가측 함수이다.

4. 주요 유형

가측 함수는 정의역과 공역의 특성에 따라 다양한 유형으로 분류된다.

4. 1. 보렐 가측 함수

(X, \Sigma)

와

(Y, T)

가 보렐 공간이면, 가측 함수

f:(X, \Sigma) \to (Y, T)

는 '''보렐 함수'''라고도 불린다.^[1] 연속 함수는 보렐 함수이지만 모든 보렐 함수가 연속인 것은 아니다.^[1] 하지만 가측 함수는 거의 연속 함수와 같으며, 루진의 정리를 참조하라. 만약 보렐 함수가

Y\xrightarrow{~\pi~}X,

맵의 단면인 경우, 이를 '''보렐 단면'''이라고 한다.^[1]

(X, \Sigma)

및

(Y, \Tau)

가 보렐 공간이면 가측 함수

f\colon (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)

는 '''보렐 가측 함수''' 또는 단순히 '''보렐 함수'''라고도 불린다. 연속 함수는 보렐 함수이지만, 반드시 모든 보렐 함수가 연속 함수가 되는 것은 아니다. 그러나 가측 함수는 거의 연속 함수이다. 루진의 정리를 참조하라. 보렐 함수가 어떤 사상

Y\stackrel{\pi} X

의 단면이 될 때, 이를 보렐 단면이라고 부른다.^[2]

4. 2. 르베그 가측 함수

르베그 가측 함수는 가측 함수

f : (\mathbb{R}, \mathcal{L}) \to (\mathbb{C}, \mathcal{B}_\mathbb{C})

이다. 여기서

\mathcal{L}

는 르베그 가측집합족이고,

\mathcal{B}_\mathbb{C}

는 복소수 전체 집합 '''C''' 위의 보렐 집합족이다.^[2] 르베그 가측 함수는 피적분 함수가 될 수 있다는 점에서 해석학에서 연구 대상이 된다.

f : X \to \mathbb{R}

인 경우,

f

가 르베그 가측일 필요충분조건은 모든

\alpha\in\mathbb{R}

에 대해

\{f > \alpha\} = \{ x\in X : f(x) > \alpha\}

가 가측인 것이다. 이는 모든

\alpha

에 대해

\{f \geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\le\alpha\}

중 하나가 가측이거나, 임의의 열린 집합의 역상이 가측인 것과 동등하다.^[2] 연속 함수, 단조 함수, 계단 함수, 반연속 함수, 리만 적분 가능 함수, 유한 변동 함수는 모두 르베그 가측이다.^[2] 함수

f:X\to\mathbb{C}

는 실수부와 허수부가 가측일 때만 가측이다.

5. 예시

정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들어, 실수 집합 $\mathbb R$ 의 부분집합 $A$ 가 가측 집합이 아닌 경우, $A$ 에 대한 지시 함수 $1_A$ 는 가측 함수가 아니다. 응용 분야에서 나타나는 실숫값 함수는 가측 함수인 경우가 많지만, 비가측 함수를 찾는 것이 불가능한 것은 아니다.

거리 공간에 non-measurable set|비가측 집합^영어이 존재하는 한, 그 공간 상의 비가측 함수가 존재한다. $(X, \Sigma)$ 를 가측 공간이라 하고, $A \subset X$ 가 비가측 집합, 즉 $A \not \in \Sigma$ 이면, 지시 함수 $1_A : (X, \Sigma) \rightarrow \mathbb{R}$ 는 가측 집합 $\{1\}$ 의 원상이 비가측 집합 $A$ 이므로 비가측이다. 여기서 $\mathbb{R}$ 는 통상적인 보렐 대수를 가지며, $1_A$ 는 다음과 같이 주어진다.

:

1_A(x) = \begin{cases}    1 & \text{ if } x \in A \\    0 & \text{ otherwise}    \end{cases}

어떤 비정수 함수라도 그 정의역과 치역에 적절한 $\sigma$ -대수를 갖춤으로써 비가측으로 만들 수 있다. $f : X \rightarrow \mathbb{R}$ 를 임의의 비정수 실숫값 함수로 했을 때, $X$ 에 이산적이지 않은 대수 $\Sigma = \{0, X\}$ 가 주어지면, $f$ 는 비가측이다. 왜냐하면, 그 치역의 임의의 점의 원상은 $X$ 의 공집합이 아닌 진부분집합이며, 따라서 $\Sigma$ 에 포함되지 않기 때문이다.

5. 1. 가측 함수의 예시

확률 변수는 정의상 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.^[2]
연속 함수는 보렐 함수이지만 모든 보렐 함수가 연속인 것은 아니다. 하지만 가측 함수는 거의 연속 함수와 같으며, 루진의 정리를 참조하라.
르베그 가측 함수는 가측 함수 $f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_\Complex)$ 이며, 여기서 $\mathcal{L}$ 는 르베그 가측 집합의 $\sigma$ -대수이고, $\mathcal{B}_\Complex$ 는 복소수 $\Complex$ 에 대한 보렐 대수이다. 르베그 가측 함수는 적분될 수 있기 때문에 수학적 해석학에서 관심의 대상이다. 연속 함수, 단조 함수, 계단 함수, 반연속 함수, 리만 적분 가능 함수, 유한 변동 함수는 모두 르베그 가측이다.^[2]
모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들어, 만약 $A\subset\mathbb R$ 가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 $1_A$ 는 가측 함수가 아니다.

5. 2. 가측 함수가 아닌 예시

non-measurable set|비가측 집합^영어의 지시 함수는 가측 함수가 아니다.^[12] 예를 들어, 실수 집합(

\mathbb{R}

)의 부분집합

A

가 가측 집합이 아닌 경우,

A

에 대한 지시 함수

1_A

는 가측 함수가 아니다.

분해 불가능한 바나흐 공간

X

위의 항등 함수

:

f \colon x \mapsto x

는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나

f(X) = X

가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라

f

는 강가측 함수가 아니다.^[12]

참조

_[1] 서적 The Way of Analysis https://archive.org/[...] Jones and Bartlett
_[2] 서적 Real Analysis https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Real Analysis: Modern Techniques and their Applications Wiley
_[4] 서적 Real Analysis Prentice Hall
_[5] 서적 Real Analysis and Probability Cambridge University Press
_[6] 서적 Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide Springer
_[7] 서적 The Way of Analysis Jones and Bartlett
_[8] 서적 測度と確率 1 岩波書店
_[9] 서적 Real Analysis: Modern Techniques and their Applications Wiley
_[10] 서적 Real Analysis Prentice Hall
_[11] 서적 Real Analysis and Probability Cambridge University Press
_[12] 서적 Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory Springer 2016

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