곡면

3. 예

구, 유클리드 평면, 원환면은 대표적인 곡면이다. 클라인 병은 3차원 유클리드 공간으로 매장할 수 없는 곡면의 예이다.

다양한 예를 살펴보면 일반적인 곡면의 개념과 곡면 개념이 얼마나 다양하고 풍부한지 알 수 있다. 어떤 형식적 정의로도 이 다양성을 포괄할 수 없을 것이다.

• 전개면(developable surface)은 내재적으로 "굽어 있지 않은" 곡면, 즉 평면으로부터 늘이거나 줄이지 않고 얻을 수 있는 곡면이다. 예시로 원주면, 원뿔면, 4차원 공간에서의 토러스가 있다. 종이 공예는 전개면으로 구성된다.
• 선직면(ruled surface)은 각 점에 대해 그 점을 지나는 내재적으로 "곧은" 선이 존재하는 곡면이다. 원주면이나 일엽쌍곡면이 그 예이다.
• 회전면(surface of revolution)은 원주 대칭성을 가진 곡면이다.
• 극소 곡면(minimal surface)은 주어진 경계 조건에 대해 면적을 극소, 최소로 하는 곡면이다. 카테노이드(현수면)나 헬리코이드(나선면)가 예로 꼽힌다. 철사 틀에 씌운 비눗방울 막은 표면 장력이 작용하여 극소 곡면을 이룬다.
• 대수 곡면은 대수 방정식계의 영점집합으로 정의된다. 예로 이차 곡면, 삼차 곡면, 베로네세 곡면이 있다.
• 음함수 곡면(implicit surface)은 일반적인 방정식계의 영점 집합으로 정의된다.
• 클라인 병이나 뫼비우스의 띠는 방향을 부여할 수 없는 다양체의 예이다.
• 리만 곡면은 복소해석적인 구조를 가진 곡면으로, 특히, 이들 사이의 정칙 사상의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 구면이나 토러스가 있다.
• 사영 곡면은 사영 공간 내에서 정의된다.
• 알렉산더 각진 구면은 일반적인 매끄러운 곡면과 칸토어 집합이 되어 있는 특이점 집합을 합한 위상 구조를 가진 곡면의 예이다.

4. 닫힌 곡면의 분류

닫힌 곡면은 콤팩트하고 경계가 없는 곡면이다. 닫힌 곡면의 예로는 구, 토러스, 클라인 병이 있다. 닫히지 않은 곡면의 예로는 열린 원판(구에 구멍이 있는 것), 원기둥(구에 두 개의 구멍이 있는 것), 뫼비우스 띠가 있다.^[1]

4. 1. 모노이드 구조

다음이 성립한다.

• S # S = S
• S # M = M (M은 임의의 곡면)
• P # P = K
• P # K = P # T

• ''g''T (''g''-중 토러스): 종수 ''g''의 방향 있는 곡면 (''g'' ≥ 0)
• ''g''P (''g''-중 사영 평면): 종수 ''g''의 방향 없는 곡면 (''g'' ≥ 1)

5. 경계가 있는 곡면

콤팩트 곡면은 경계를 가질 수 있으며, 이는 유한 개의 구멍(제거된 열린 원반)을 가진 닫힌 곡면으로 볼 수 있다. 연결된 콤팩트 곡면은 경계 성분의 수, 가향성, 오일러 지표(또는 종수)로 분류된다.^[2]

이 분류는 닫힌 곡면의 분류에서 거의 즉시 따른다. 닫힌 곡면에서 열린 원반을 제거하면 경계 성분으로 원이 있는 콤팩트 곡면이 생성되고, ''k''개의 열린 원반을 제거하면 경계 성분으로 ''k''개의 서로소인 원이 있는 콤팩트 곡면이 생성된다. 위상동형 사상군이 차원이 2 이상인 연결된 다양체에서 ''k''-추이적으로 작용하기 때문에 구멍의 정확한 위치는 관련이 없다.

반대로, 콤팩트 곡면의 경계는 닫힌 1-다양체이며, 따라서 유한 개의 원의 서로소인 합집합이다. 이러한 원을 원반으로 채우면 (형식적으로, 원뿔을 취하면) 닫힌 곡면이 생성된다.

종수 ''g''와 ''k''개의 경계 성분을 가진 유일한 콤팩트 가향 곡면은 종종 $\backslash Sigma\_\{g,k\}$로 표시되는데, 예를 들어 매핑 클래스 군 연구에서 사용된다.

경계가 있는 콤팩트 곡면은 경계가 없는 곡면에서 교차하지 않는 몇 개의 닫힌 원판 내부를 제거한 형태로 구성된다.

6. 비콤팩트 곡면

비콤팩트 곡면은 분류하기가 더 어렵다. 간단한 예로, 닫힌 매니폴드에서 점을 뚫어(유한한 점 집합을 제거하여) 비콤팩트 곡면을 얻을 수 있다. 반면에, 콤팩트 곡면의 모든 열린 부분 집합은 그 자체로 비콤팩트 곡면이다. 예를 들어, 칸토어 집합의 여집합인 칸토어 트리 곡면을 생각해 볼 수 있다. 하지만, 모든 비콤팩트 곡면이 콤팩트 곡면의 부분 집합은 아니다. 두 개의 전형적인 반례는 무한 종수를 가진 비콤팩트 곡면인 야곱의 사다리와 네스 호의 괴물이다.

비콤팩트 곡면 ''M''은 비어 있지 않은 끝 공간 ''E''(''M'')을 가지며, 이는 비공식적으로 말해 곡면이 "무한대로 뻗어 나가는" 방식을 설명한다. 공간 ''E''(''M'')은 항상 칸토어 집합의 닫힌 부분 공간과 위상적으로 동일하다. ''M''은 유한 개 또는 가산 무한 개 N_h의 손잡이와 유한 개 또는 가산 무한 개 ''N''_''p''의 사영 평면을 가질 수 있다. ''N''_''h''와 ''N''_''p''가 모두 유한하면, 이 두 숫자와 끝 공간의 위상적 유형은 위상적 동치까지 곡면 ''M''을 분류한다. ''N''_''h''와 ''N''_''p'' 중 하나 또는 둘 다가 무한하면 M의 위상적 유형은 이 두 숫자뿐만 아니라 무한대가 끝 공간에 접근하는 방식에 따라 달라진다. 일반적으로 M의 위상적 유형은 무한히 많은 손잡이와 무한히 많은 사영 평면의 극한점, 손잡이만의 극한점, 사영 평면만의 극한점, 그리고 어느 쪽도 아닌 극한점인 ''E''(''M'')의 네 개의 부분 공간에 의해 결정된다.

7. 구성

각 닫힌 곡면은 짝수 개의 변을 가진 유향 다각형, 즉 곡면의 기본 다각형으로부터 변들을 쌍으로 식별하여 구성할 수 있다. 예를 들어, 아래 그림과 같이 화살표가 같은 방향을 가리키도록 일치하는 레이블(''A''와 ''A'', ''B''와 ''B'')을 가진 변들을 부착하면 해당 곡면이 생성된다.

어떤 기본 다각형이라도 다음과 같이 기호로 쓸 수 있다. 임의의 꼭짓점에서 시작하여 시작 꼭짓점으로 돌아올 때까지 다각형의 둘레를 어느 방향으로든 따라간다. 이 순회 동안, 각 변의 레이블을 순서대로 기록하고, 변이 순회 방향과 반대 방향을 가리키는 경우 지수를 -1로 한다.

구와 실사영 평면은 모두 2-각형의 몫으로 실현될 수 있는 반면, 원환면과 클라인 병은 4-각형(정사각형)을 필요로 한다.

이렇게 곡면의 기본 다각형에서 파생된 표현은 다각형 변 레이블을 생성자로 하는 곡면의 기본군의 표현에서 유일한 관계임이 밝혀졌다. 이는 자이페르트-판 캄펜 정리의 결과이다.

다각형의 변을 접착하는 것은 일종의 몫공간 과정이다. 몫 개념은 더 일반적으로 곡면의 새로운 또는 대체적인 구성을 생성하는 데 적용될 수 있다. 예를 들어, 실사영 평면은 구의 반대쪽 모든 점의 쌍을 식별하여 구의 몫으로 얻을 수 있다. 또 다른 몫의 예는 연결합이다.

7. 1. 다각형으로부터의 구성

• 구: ABB^-1A^-1
• 실사영 평면: ABAB
• 원환면: ABA^-1B^-1
• 클라인 병: ABAB^-1

7. 2. 연결합

다음이 성립한다.

• S # S = S
• S # M = M (M은 임의의 곡면)
• P # P = K
• P # K = P # T

• ''g''T (''g''-중 토러스): 종수 ''g''의 방향 있는 곡면 (''g'' ≥ 0)
• ''g''P (''g''-중 사영 평면): 종수 ''g''의 방향 없는 곡면 (''g'' ≥ 1)

8. 기하학에서의 곡면

다면체(예: 정육면체의 경계)는 기하학에서 처음 접하는 곡면 중 하나이다. 각 점이 '''E'''²의 어떤 열린 집합에 미분동형인 근방을 갖는 ''매끄러운 곡면''을 정의하는 것도 가능하다. 이러한 정교함은 미적분학을 곡면에 적용하여 많은 결과를 증명할 수 있게 해준다.

두 개의 매끄러운 곡면은 위상동형인 경우에만 미분동형이다. 따라서 닫힌 곡면은 오일러 지표와 가향성에 따라 미분동형까지 분류된다.

리만 계량을 갖춘 매끄러운 곡면은 미분기하학에서 근본적인 중요성을 갖는다. 리만 계량은 곡면에 측지선, 거리, 각도, 면적의 개념을 부여한다. 또한 각 점에서 곡면이 얼마나 휘어져 있는지 설명하는 가우스 곡률도 발생시킨다. 곡률은 곡면의 일반적인 미분동형사상에 의해 보존되지 않는다는 점에서, 즉, 단단하고 기하학적인 속성이다. 그러나 닫힌 곡면에 대한 유명한 가우스-보네 정리는 전체 곡면 ''S''에 대한 가우스 곡률 ''K''의 적분이 오일러 지표에 의해 결정된다고 말한다.

:$\backslash int\_S\; K\; \backslash ;\; dA\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash chi(S).$

이 결과는 곡면의 기하학과 위상의 깊은 관계를 보여준다.

기하학에서 곡면이 나타나는 또 다른 방법은 복소수 영역으로 들어가는 것이다. 복소수 1-다양체는 매끄러운 방향성을 가진 곡면으로, 리만 곡면이라고도 한다. 복소수 다양체로 간주되는 모든 복소수 비특이 대수 곡선은 리만 곡면이다. 실제로 모든 콤팩트 가향 곡면은 리만 곡면으로 실현 가능하다. 따라서 콤팩트 리만 곡면은 종수: 0, 1, 2, ....에 의해 위상적으로 특징지어진다. 반면에 종수는 복소수 구조를 특징짓지 않는다. 예를 들어, 종수 1인 비동형 콤팩트 리만 곡면이 무수히 많다(타원 곡선).

9. R³로의 매장

방향성을 가지거나 경계를 가진 모든 콤팩트 곡면은 '''R'''³에 매장될 수 있다. 휘트니 매장 정리에 따르면 모든 곡면은 '''R'''⁴에 매장될 수 있다.

10. 추가 정보

곡면의 개념은 여러 분야에서 널리 사용된다. 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 등에서 주로 물리적 물체의 표면을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어, 항공역학적 특성을 분석할 때 가장 중요한 것은 비행기 표면을 따라 흐르는 공기의 흐름이다.

일반적인 곡면의 개념은 매우 다양하며, 다음과 같은 예시들이 있다.

• 전개면: 평면으로부터 늘이거나 줄이지 않고 얻을 수 있는 곡면이다. 원주면, 원뿔면 등이 있다.
• 선직면: 각 점에 대해 그 점을 지나는 직선이 존재하는 곡면이다. 원주면이나 일엽쌍곡면이 그 예이다.
• 회전면: 원주 대칭성을 가진 곡면이다.
• 극소 곡면: 주어진 경계 조건에 대해 면적을 최소화하는 곡면이다. 카테노이드(현수면)나 헬리코이드(나선면)가 예시이다.
• 대수 곡면: 대수 방정식계의 영점 집합으로 정의되는 곡면이다. 이차 곡면, 삼차 곡면 등이 있다.
• 음함수 곡면: 일반적인 방정식계의 영점 집합으로 정의된다.
• 클라인 병이나 뫼비우스의 띠는 방향을 부여할 수 없는 다양체의 예이다.
• 리만 곡면: 복소해석적인 구조를 가진 곡면이다. 구면이나 토러스가 예시이다.
• 사영 곡면: 사영 공간 내에서 정의된다.
• 알렉산더 각진 구면: 일반적인 매끄러운 곡면과 칸토어 집합이 되어 있는 특이점 집합을 합한 위상 구조를 가진 곡면의 예이다.

참조

_[1] 서적
_[2] 간행물 Singularities II https://books.google[...] Amer. Math. Soc., Providence, RI
_[3] 논문 On the classification of noncompact surfaces 1963