곡선좌표계

\quad \Rightarrow \quad |\mathbf{e}_1| = |\mathbf{b}_1|\cos \alpha

여기서 |'''e'''₁|, |'''b'''₁|는 두 기저 벡터들의 크기들이다(즉, 변의 스칼라 길이들 ''PB'' 및 ''PA'').

''PA''는 또한 ''x'' 축에 대한 '''b'''₁의 투영이다.

하지만, 방향 코사인을 사용하여 기저 벡터를 변환하는 이 방법은 아래의 이유들 때문에 곡선 좌표계에는 적용될 수 없다.

# ''P''로부터의 거리가 증가함에 따라, 곡선 ''q''¹ 과 데카르트 축 ''x'' 사이의 각도와 앞서의 각도 $\backslash alpha$ 사이의 편차가 점차 증가한다.

# 거리 ''PB'' 에서, 실제 각도는 점 C에서의 접선이 x 축과 이루는 것으로, 이 각도는 $\backslash alpha$와는 명백히 다르다.

점 P로 다가갈수록, ''q''¹ 라인 및 그 축이 x축과 이루는 각도들은 값에 있어서는 가까워지고, 특히, P에서는 정확하게 같아진다.

점 ''E'' 는, 거리 ''PE''가 극한적으로 작아지도록(infinitesimally small), P에 아주 가깝게 위치한다고 하자. 그러면, ''q''¹ 축 상에서 측정된 ''PE''는 ''q''¹ 라인 상에서 측정된 ''PE''와 거의 일치한다. 동시에, 비율 ''PD/PE'' (''PD''는 x축에 대한 ''PE'' 의 투영 길이)는 $\backslash cos\backslash alpha$와 거의 같아진다.

이러한 극한적으로 작은 길이들 ''PD'' 및 ''PE''를 각각 ''dx'' 및 d''q''¹로 표기하기로 하자. 그러면,

:$\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash cfrac\{dx\}\{dq^1\}\; =\; \backslash frac$

.

따라서, 변환들에서, 방향 코사인은 극한적으로 작은 좌표 길이들 사이의 보다 정확한 비율들로 대체될 수 있다. 이에 따라, x 축에 대한 '''b'''₁의 성분(즉, 투영 길이)는 아래와 같다.

:$p^1\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_1\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash mathbf\{e\}\_1\}$

= |\mathbf{b}_1|\cfrac

\cos\alpha = |\mathbf{b}_1|\cfrac{dx}{dq^1} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{p^1}

= \cfrac{dx}{dq^1}.

만일, ''qⁱ'' = ''qⁱ''(''x''₁, ''x''₂, ''x''₃) 과 ''x_i'' = ''x_i''(''q''¹, ''q''², ''q''³) 이 매끄러운 (연속적으로 미분가능한) 함수들이라면, 변환 비율들은 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; x\_j\}$ 및 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}$로서 쓰여질 수 있다. 즉, 그러한 비율들은 다른 좌표계에 속한 좌표들에 대한, 한 좌표계에 속한 좌표들의 편미분들이다.

2. 3. 2. 3차원에서 공변 기저 만들기

3차원 공간에서 곡선 좌표계의 공변 기저 벡터(b₁, b₂, b₃)는 직교 좌표계의 표준 기저 벡터(e₁, e₂, e₃)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\

\mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\

\mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3

\end{align}

여기서 ''x''_i는 직교 좌표, ''q''ⁱ는 곡선 좌표를 나타낸다. 이 식은 표준 기저 {'''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃}를 국소 기저 {'''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃}로 변환하는 것을 의미한다.

그림 3에서 점 ''P''를 원점으로 할 때, ''x''는 데카르트 좌표 중 하나이고, ''q''¹은 곡선 좌표 중 하나이다. 국소 기저 벡터 '''b'''₁은 점 ''P''에서 ''q''¹ 좌표 선에 접한다. ''q''¹ 축과 벡터 '''b'''₁은 데카르트 ''x''축 및 데카르트 기저 벡터 '''e'''₁과 각도 $\backslash alpha$를 이룬다.

하지만 방향 코사인을 이용하는 방법은 곡선 좌표에 적용하기 어렵다. 왜냐하면 점 P에서 멀어질수록 곡선 ''q''¹과 데카르트 축 ''x'' 사이의 각도가 $\backslash alpha$에서 벗어나기 때문이다.

점 ''E''가 ''P''에 매우 가까워 ''PE'' 거리가 무한히 작으면, ''q''¹ 축에서 측정된 ''PE''는 ''q''¹ 선에서 측정된 ''PE''와 거의 일치한다. 이때, 비율 ''PD/PE'' (''PD''는 ''PE''를 ''x'' 축에 투영한 것)는 $\backslash cos\backslash alpha$와 거의 같아진다.

무한히 작은 절편 ''PD''와 ''PE''를 각각 ''dx'' 및 d''q''¹으로 표시하면, $\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash cfrac\{dx\}\{dq^1\}\; =\; \backslash frac$

가 된다.

따라서, '''b'''₁을 ''x'' 축에 대한 성분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$p^1\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_1\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash mathbf\{e\}\_1\}$

= |\mathbf{b}_1|\cfrac

\cos\alpha = |\mathbf{b}_1|\cfrac{dx}{dq^1} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{p^1}

= \cfrac{dx}{dq^1}

''qⁱ'' = ''qⁱ''(''x''₁, ''x''₂, ''x''₃) 및 ''x_i'' = ''x_i''(''q''¹, ''q''², ''q''³)가 매끄러운 함수이면, 변환 비율은 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; x\_j\}$ 및 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}$로 쓸 수 있다.

반대로, 국소 기저에서 표준 기저로의 역변환은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\

\mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\

\mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3

\end{align}

이러한 변환은 야코비 행렬을 사용하여 나타낼 수 있으며, 야코비 행렬의 행렬식이 0이 아닐 때 역변환이 존재한다.

2. 3. 3. 변환의 야코비안

3차원 공간에서 표준 기저 벡터 '''e'''_''x'', '''e'''_''y'', '''e'''_''z''를 사용하여 데카르트 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')로 정의된 점 ''P''의 위치 벡터 '''r'''은 곡선 좌표 (''q''¹, ''q''², ''q''³)로도 표현될 수 있다. 이때 좌표 간의 관계는 다음과 같은 가역적 변환 함수로 주어진다.

:$x\; =\; f^1(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; y\; =\; f^2(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; z\; =\; f^3(q^1,\; q^2,\; q^3)$

:$q^1\; =\; g^1(x,y,z),\backslash ,\; q^2\; =\; g^2(x,y,z),\backslash ,\; q^3\; =\; g^3(x,y,z)$

이때, 좌표면 ''q''¹ = 상수, ''q''² = 상수, ''q''³ = 상수는 '''좌표면'''이라고 하며, 쌍으로 교차하는 공간 곡선은 '''좌표 곡선'''이라고 한다. 그리고 세 좌표면이 교차하는 지점에서 각 좌표 곡선에 대한 접선은 '''좌표축'''을 결정한다.

데카르트 좌표계에서 표준 기저 벡터는 다음과 같이 국소 좌표에 대한 점 ''P''의 위치 미분으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_x\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; x\};\; \backslash ;$

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \;

\mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.

마찬가지로, 곡선 좌표계에서 점 ''P''에 대해 국소적으로 적용하면 자연 기저 벡터를 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{h\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^1\};\; \backslash ;$

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \;

\mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.

이러한 기저 벡터들은 점마다 방향이나 크기가 변할 수 있으며, 이를 '''국소 기저'''라고 한다. 곡선 좌표와 관련된 모든 기저는 국소적이며, 모든 점에서 동일한 기저 벡터는 '''전역 기저'''라고 하며, 아핀 좌표계와만 연결될 수 있다.

일반적으로 곡선 좌표에서 자연 기저 벡터 '''h'''_i는 서로 수직일 필요가 없으며, 단위 길이를 가질 필요도 없다. 그러나, 유체 역학 및 연속체 역학과 같은 일부 물리학 및 공학 분야에서는 복잡한 방향 의존성을 설명하기 위해 비직교 기저가 필요하다.

그림 3과 같이 1차원 곡선을 고려해 보자. 점 ''P''에서 ''x''는 데카르트 좌표 중 하나이고, ''q''¹은 곡선 좌표 중 하나이다. 국소 기저 벡터 '''b'''₁은 점 ''P''에서 ''q''¹ 축을 기반으로 구축되며, 해당 좌표 선에 접한다. 축 ''q''¹과 벡터 '''b'''₁은 데카르트 ''x''축 및 데카르트 기저 벡터 '''e'''₁과 각도 $\backslash alpha$를 이룬다.

삼각형 ''PAB''에서 다음 관계를 얻을 수 있다.

:$\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash cfrac$

\quad \Rightarrow \quad |\mathbf{e}_1| = |\mathbf{b}_1|\cos \alpha

여기서 |'''e'''₁|, |'''b'''₁|는 두 기저 벡터의 크기이다. 그러나 방향 코사인을 사용한 기저 벡터 변환 방법은 곡선 좌표에 적용할 수 없다.

''q''¹ 선과 해당 축이 ''x'' 축과 이루는 각도는 점 ''P''에 가까워질수록 더 정확해진다. 무한히 작은 절편 ''dx'' 및 d''q''¹에 대해, $\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash cfrac\{dx\}\{dq^1\}\; =\; \backslash frac$

가 성립한다.

따라서 '''b'''₁의 ''x'' 축에 대한 성분은 다음과 같다.

:$p^1\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_1\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash mathbf\{e\}\_1\}$

= |\mathbf{b}_1|\cfrac

\cos\alpha = |\mathbf{b}_1|\cfrac{dx}{dq^1} \quad \Rightarrow \quad \cfrac{p^1}

= \cfrac{dx}{dq^1}

''qⁱ'' = ''qⁱ''(''x''₁, ''x''₂, ''x''₃) 및 ''x_i'' = ''x_i''(''q''¹, ''q''², ''q''³)가 매끄러운 함수이면, 변환 비율은 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; x\_j\}$ 및 $\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}$로 쓸 수 있다.

다른 두 좌표에 대해서도 동일하게 수행하면, '''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{b}_1 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} \mathbf{e}_3 \\

\mathbf{b}_2 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} \mathbf{e}_3 \\

\mathbf{b}_3 & = \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \mathbf{e}_2 + \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \mathbf{e}_3

\end{align}

마찬가지로, 역변환은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\

\mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\

\mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3

\end{align}

위의 선형 방정식 체계는 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 행렬 형식으로 쓸 수 있다.

:$\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^k\}\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_k,\; \backslash quad\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; x\_k\}\; \backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_k$

이 선형 시스템의 계수 행렬은 변환의 야코비 행렬(및 그 역행렬)이다. 야코비 행렬은 데카르트 기저를 곡선 좌표 기저로, 또는 그 반대로 변환하는 데 사용된다.

3차원에서 야코비 행렬과 그 역행렬의 전개된 형태는 다음과 같다.

:$$

\mathbf{J} = \begin{bmatrix}

\cfrac{\partial x_1}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_1}{\partial q^3} \\

\cfrac{\partial x_2}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_2}{\partial q^3} \\

\cfrac{\partial x_3}{\partial q^1} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^2} & \cfrac{\partial x_3}{\partial q^3} \\

\end{bmatrix},\quad

\mathbf{J}^{-1} = \begin{bmatrix}

\cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \\

\cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \\

\cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} & \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \\

\end{bmatrix}



특정 위치에 대해 오직 하나의 기저 벡터 집합만 존재할 수 있으며, 이는 방정식 체계가 단일 해를 가질 때에만 충족된다. 선형대수학에서 선형 방정식 체계는 시스템 행렬의 행렬식이 0이 아닐 때에만 단일 해를 갖는다.

:$\backslash det(\backslash mathbf\{J\}^\{-1\})\; \backslash neq\; 0$

이는 역 야코비 행렬식에 대한 요구 사항의 근거를 보여준다.

2. 4. n 차원으로의 일반화

실수유클리드 n차원 공간(n차원) '''R'''^''n''을 생각해 보자. '''R'''^''n''은 '''R''' × '''R''' × ... × '''R''' (''n''번)으로 정의되며, 여기서 '''R'''은 실수의 집합이고 ×는 데카르트 곱을 나타내는 벡터 공간이다.

이 공간의 좌표는 '''x''' = (''x''₁, ''x''₂,...,''x_n'')으로 나타낼 수 있다. 이는 벡터(벡터 공간의 원소)이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\backslash mathbf\{e\}^i$

여기서 '''e'''¹ = (1,0,0...,0), '''e'''² = (0,1,0...,0), '''e'''³ = (0,0,1...,0),...,'''e'''^''n'' = (0,0,0...,1)은 '''R'''^''n'' 공간의 표준 기저 벡터 집합이고, ''i'' = 1, 2,...''n''는 성분을 나타내는 인덱스이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 가지며, 이들은 서로 직교(수직)하며 단위 크기를 갖는다(정규화).

보다 일반적으로, '''q''' = (''q''₁, ''q''₂,...,''q_n'')에 의존하는 기저 벡터 '''b'''_''i'' = '''b'''_''i''('''q''')를 정의할 수 있다. 즉, 기저 벡터들은 점마다 달라진다. 이 대안적 기저를 통해 동일한 점 '''x'''를 정의하는 경우, 이 기저에 대한 좌표 ''v_i''는 필연적으로 '''x'''에 의존한다. 즉, ''v_i'' = ''v_i''('''x''')이다. 그러면, 이러한 대안적 좌표들과 기저 벡터들에 대한, 이 공간에서의 벡터 '''v'''는 이러한 기저에서의 선형 결합으로 확장될 수 있다(각 기저 벡터 '''e'''_''i'' 와 숫자(스칼라 곱셈) ''v_i''를 곱하는 것을 의미한다).

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash bar\{v\}^j\backslash mathbf\{b\}\_j\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash bar\{v\}^j(\backslash mathbf\{q\})\backslash mathbf\{b\}\_j(\backslash mathbf\{q\})$

새로운 기저에서 '''v'''를 기술하는 벡터 합은 그 합 자체는 동일하게 유지되더라도, 다른 벡터들로 구성된다.

3. 좌표들의 변환

보다 일반적인 관점에서, 곡선 좌표계는 n차원 유클리드 공간 '''E'''ⁿ 상의 미분 다양체에서, 데카르트 좌표 조각(coordinate patch)에 대해 미분동형적인 좌표 조각일 뿐이다.^[23] 두 미분동형적 좌표 조각은 미분가능하게 중첩될 필요는 없다.

변환 함수들은 "오래된" 좌표계와 "새로운" 좌표계에서 점들 사이에 일대일 관계, 즉 전단사 함수 관계가 되도록 구성되며, 정의역 내에서 다음 조건을 만족시킨다.

1. 이들은 매끄러운 함수들이다. 즉, q^''i'' = q^''i''('''x''')이다.

2. 역 야코비안 행렬식은 0이 아니다.

:$J^\{-1\}=\backslash begin\{vmatrix\}$

\dfrac{\partial q^1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^1}{\partial x_n} \\

\dfrac{\partial q^2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^2}{\partial x_n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\dfrac{\partial q^n}{\partial x_1} & \dfrac{\partial q^n}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial q^n}{\partial x_n}

\end{vmatrix} \neq 0

이는 변환이 가역적(''x_i''('''q'''))임을 의미한다.

역함수 정리에 따르면, 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 조건은 다른 패밀리들로부터의 세 표면들이 단 하나의 점에서 교차하고, 따라서 이 점의 위치는 유일하게 결정될 수 있음을 나타낸다.^[24]

4. 곡선 좌표계에서의 벡터 및 텐서 대수

곡선 좌표계에서의 기본적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며,^[25] 1900년대 초반 및 중반부터의 작업을 이해하는 데 필수적일 수 있다.

3차원 공간의 점 ''P''의 위치 벡터 '''r'''은 데카르트 좌표 (''x'', ''y'', ''z'') 또는 곡선 좌표 (''q''¹, ''q''², ''q''³)로 나타낼 수 있다. 좌표 간에는 가역적 변환 함수 관계가 존재한다.

:$x\; =\; f^1(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; y\; =\; f^2(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; z\; =\; f^3(q^1,\; q^2,\; q^3)$

:$q^1\; =\; g^1(x,y,z),\backslash ,\; q^2\; =\; g^2(x,y,z),\backslash ,\; q^3\; =\; g^3(x,y,z)$

''q''¹ = 상수, ''q''² = 상수, ''q''³ = 상수로 정의되는 면은 '''좌표면'''이며, 쌍으로 교차하여 형성된 공간 곡선은 '''좌표 곡선'''이다. '''좌표축'''은 세 좌표면이 교차하는 지점에서 좌표 곡선에 대한 접선으로 결정된다. 일반적으로 곡선 좌표에 대한 자연적인 전역 기저는 없다.

데카르트 좌표계에서 표준 기저 벡터는 국소 좌표에 대한 점 ''P''의 위치 미분으로 파생된다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_x\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; x\};\; \backslash ;$

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \;

\mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.

마찬가지로, 곡선 좌표계를 사용하여 점 ''P''에서 국소적으로 자연 기저 벡터를 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{h\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^1\};\; \backslash ;$

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \;

\mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.

이러한 기저는 점마다 방향 및/또는 크기가 변하는 '''국소 기저'''이다. 곡선 좌표와 관련된 모든 기저는 필연적으로 국소적이다. 모든 점에서 동일한 기저 벡터는 '''전역 기저'''이며, 선형 또는 아핀 좌표계와만 연결될 수 있다.

이 문서에서 '''e'''는 표준 기저 (데카르트)를 위해, '''h''' 또는 '''b'''는 곡선 기저를 위해 사용된다.

일반적으로 곡선 좌표는 자연 기저 벡터 '''h'''_i가 서로 수직일 필요가 없으며 단위 길이를 가질 필요도 없다. 직교 기저가 비직교 기저보다 벡터 조작이 더 간단하지만, 유체 역학 및 연속체 역학과 같은 일부 물리학 및 공학 분야에서는 복잡한 방향 의존성을 설명하기 위해 비직교 기저가 필요하다.

공간 기울기, 거리, 시간 미분 및 스케일 인자는 두 그룹의 기저 벡터에 의해 좌표계 내에서 상호 연관된다.

• 기저 벡터는 연관된 좌표 경로에 국소적으로 접한다: $$\backslash mathbf\{b\}\_i=\backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^i\}$$ 는 반변 벡터 (낮은 지수로 표시됨)이다.
• 기저 벡터는 다른 좌표에 의해 생성된 등표면에 국소적으로 수직이다: $$\backslash mathbf\{b\}^i=\backslash nabla\; q^i$$ 는 공변 벡터 (높은 지수로 표시됨)이고, ∇는 델 연산자이다.

일반적인 곡선 좌표계는 모든 점에 대해 두 세트의 기저 벡터를 갖는다: {'''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃}는 반변 기저이고, {'''b'''¹, '''b'''², '''b'''³}는 공변(일명 상호) 기저이다. 공변 및 반변 기저 벡터 유형은 직교 곡선 좌표계에 대해 동일한 방향을 가지지만, 일반적으로 서로 역수 관계의 단위를 갖는다.

다음 등식을 참고한다.

$$\backslash mathbf\{b\}^i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j\; =\; \backslash delta^i\_j$$

여기서 $\backslash delta^i\_j$ 는 일반화된 크로네커 델타를 나타낸다.

벡터 '''v'''는 공변 좌표(낮은 지수, ''v_k''로 표기) 또는 반변 좌표(높은 지수, ''v^k''로 표기)로 지정할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; v^1\backslash mathbf\{b\}\_1\; +\; v^2\backslash mathbf\{b\}\_2\; +\; v^3\backslash mathbf\{b\}\_3\; =\; v\_1\backslash mathbf\{b\}^1\; +\; v\_2\backslash mathbf\{b\}^2\; +\; v\_3\backslash mathbf\{b\}^3$

아인슈타인 표기법을 사용하면, 기저 벡터는 다음과 같이 성분과 관련된다.^[7]

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash mathbf\{b\}\_k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash delta^i\_k\; =\; v^i$

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash mathbf\{b\}^k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash delta\_i^k\; =\; v\_i$

여기서 ''g''는 계량 텐서이다.

벡터 및 텐서 표현의 주요 특징은 벡터 성분이 공변 또는 반변 방식으로 변환될 때, 기저 벡터는 반대 방식(반변 또는 공변)으로 변환되어 쌍을 이룬다는 점에서 ''불변성''을 갖는다는 것이다.

4. 1. 곡선 좌표계에서의 텐서

2차 텐서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$

\boldsymbol{S} = S^{ij}\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}_j = S^i{}_j\mathbf{b}_i\otimes\mathbf{b}^j = S_i{}^j\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}_j = S_{ij}\mathbf{b}^i\otimes\mathbf{b}^j



(아인슈타인 표기법 사용)

여기서 $\backslash scriptstyle\backslash otimes$는 텐서곱을 나타낸다. ''S^ij''는 2차 텐서의 '''반변 성분'''이라 불리고, ''Sⁱ _j''는 '''혼합된 우-공변 성분''', ''S_i ^j''는 '''혼합된 좌-공변 성분''', ''S_ij''는 '''공변 성분'''이라 불린다. 2차 텐서의 성분들은 아래의 식에 의해 관련지어진다.

:$S^\{ij\}\; =\; g^\{ik\}S\_k\{\}^j\; =\; g^\{jk\}S^i\{\}\_k\; =\; g^\{ik\}g^\{j\backslash ell\}S\_\{k\backslash ell\}$

4. 2. 직교하는 곡선 좌표계에서 메트릭 텐서

작은 선 요소 $d\backslash mathbf\{x\}$의 길이의 제곱은 스칼라 곱 $d\backslash mathbf\{x\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{x\}$이며, 그 공간의 계량으로 불린다. 이 값은 다음과 같이 표현된다.

:$d\backslash mathbf\{x\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_i\}\{\backslash partial\; q^k\}dq^jdq^k$.

위 식에서,

:$\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_k\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash cfrac\{\backslash partial\; x\_k\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; g\_\{ij\}(q^i,q^j)\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j$

부분은 곡선 좌표계에서 유클리드 공간의 '''근본(또는 계량 텐서) 텐서'''로 불리는 대칭 텐서이다.

인덱스들은 아래와 같이 위 메트릭을 이용하여 올리거나 내릴 수 있다.

:$v^i\; =\; g^\{ik\}v\_k$

스케일 인수 ''h_i''를 다음과 같이 정의하면,

:$h\_ih\_j\; =\; g\_\{ij\}\; =\; \backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; h\_i\; =\backslash sqrt\{g\_\{ii\}\}=\; \backslash left|\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash right|=\backslash left|\backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash right|$

라메 계수와의 관계를 얻을 수 있다. 또한,

:$g\_\{ij\}\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^j\}$

= \left( h_{ki}\mathbf{e}_k\right)\cdot\left( h_{mj}\mathbf{e}_m\right)

= h_{ki}h_{kj}

여기서, ''h_ij''는 라메 계수들이다. 이에 더하여, 직교 기저의 경우, 아래의 식을 얻을 수 있다.

:$g\; =\; g\_\{11\}g\_\{22\}g\_\{33\}\; =\; h\_1^2h\_2^2h\_3^2\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; \backslash sqrt\{g\}\; =\; h\_1h\_2h\_3\; =\; J$

예를 들어, '''R'''²에 대한 극좌표계를 고려하면,

:$(x,\; y)=(r\; \backslash cos\; \backslash theta,\; r\; \backslash sin\; \backslash theta)$

(''r'', θ)는 곡선 좌표이며, 변환 (''r'', θ) → (''r'' cos θ, ''r'' sin θ)의 야코비 행렬식은 ''r''이다.

직교 기저 벡터는 '''b'''_''r'' = (cos θ, sin θ), '''b'''_θ = (−r sin θ, r cos θ)이다. 스케일 인자는 ''h''_''r'' = 1이고 ''h''_θ= ''r''이다. 따라서 이 경우의 기본 텐서는 ''g''₁₁ = 1, ''g''₂₂ = ''r''², ''g''₁₂ = ''g''₂₁ = 0이다.

4. 3. 얼터네이팅 텐서(alternating tensor)

3차원 유클리드 공간에서 얼터네이팅 텐서(alternating tensor)는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\; \backslash varepsilon\_\{ijk\}$

여기서,

• $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비치비타 기호이다.
• $g$는 계량 텐서 $g\_\{ij\}$의 행렬식이다. 직교 좌표계에서는 $\backslash sqrt\{g\}\; =\; h\_1\; h\_2\; h\_3\; =\; J$이며, 여기서 J는 야코비안 행렬식이다.

얼터네이팅 텐서는 다음과 같은 성질을 갖는다.

:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; \backslash epsilon\_\{jki\}\; =\; \backslash epsilon\_\{kij\}$

:$\backslash epsilon\_\{ijk\}\; =\; -\backslash epsilon\_\{jik\}\; =\; -\backslash epsilon\_\{ikj\}$

4. 4. 크리스토펠 기호

크리스토펠 기호(Christoffel symbol)는 곡선좌표계에서 좌표 변환에 따른 기저 벡터의 변화를 나타내는 값이다. 제1종 크리스토펠 기호와 제2종 크리스토펠 기호 두 가지 종류가 있다.
제1종 크리스토펠 기호제1종 크리스토펠 기호는 Γ_ijk로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{b\}\_\{i,j\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; \backslash Gamma\_\{ijk\}\backslash mathbf\{b\}^k\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad$

\mathbf{b}_{i,j} \cdot \mathbf{b}_k = \Gamma_{ijk}

여기서 콤마(,)는 편미분을 나타낸다. 제1종 크리스토펠 기호는 계량 텐서 ''g_ij''를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash Gamma\_\{ijk\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(g\_\{ik,j\}\; +\; g\_\{jk,i\}\; -\; g\_\{ij,k\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}[(\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_k)\_\{,j\}\; +\; (\backslash mathbf\{b\}\_j\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_k)\_\{,i\}\; -\; (\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j)\_\{,k\}]$


제2종 크리스토펠 기호제2종 크리스토펠 기호는 Γ_ij^k로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\; =\; \backslash Gamma\_\{ji\}\{\}^k,\backslash quad\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\; =\; \backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\backslash mathbf\{b\}\_k$

이는 다음을 의미한다.

:$\backslash Gamma\_\{ij\}\{\}^k\; =\; \backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}\_i\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^k\; =\; -\backslash mathbf\{b\}\_i\backslash cdot\backslash cfrac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{b\}^k\}\{\backslash partial\; q^j\}$

제2종 크리스토펠 기호는 기저 벡터의 편미분을 나타내며, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$$

\cfrac{\partial \mathbf{b}^i}{\partial q^j} = -\Gamma^i{}_{jk}\mathbf{b}^k,\quad

\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}_i = \Gamma_{ij}{}^k\mathbf{b}_k\otimes\mathbf{b}^j,\quad

\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}^i = -\Gamma_{jk}{}^i\mathbf{b}^k\otimes\mathbf{b}^j

^[1]

4. 5. 벡터 계산

3차원 공간에서 점 ''P''의 위치 벡터 '''r'''은 데카르트 좌표 (''x'', ''y'', ''z'') 또는 곡선 좌표 (''q''¹, ''q''², ''q''³)로 나타낼 수 있다. 이때, 좌표 간에는 다음과 같은 가역적 변환 함수 관계가 존재한다.

:$x\; =\; f^1(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; y\; =\; f^2(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; z\; =\; f^3(q^1,\; q^2,\; q^3)$

:$q^1\; =\; g^1(x,y,z),\backslash ,\; q^2\; =\; g^2(x,y,z),\backslash ,\; q^3\; =\; g^3(x,y,z)$

곡선 좌표계에서 각 좌표 ''q''ⁱ가 상수로 주어지는 면들은 '''좌표면'''을 이루고, 이 좌표면들이 쌍으로 만나 형성되는 공간 곡선은 '''좌표 곡선'''이 된다. 그리고 세 좌표면이 한 점에서 만날 때, 각 좌표 곡선에 대한 접선이 '''좌표축'''을 결정한다.

데카르트 좌표계의 표준 기저 벡터 '''e'''_''x'', '''e'''_''y'', '''e'''_''z''는 점 ''P''의 위치를 각 좌표로 편미분하여 얻을 수 있다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_x\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; x\};\; \backslash ;$

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \;

\mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.

마찬가지로 곡선 좌표계에서도 점 ''P''에서 국소적으로 자연 기저 벡터 '''h'''_i를 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{h\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^1\};\; \backslash ;$

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \;

\mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.

이러한 기저는 점마다 방향 또는 크기가 변하는 '''국소 기저'''이다. 곡선 좌표와 관련된 모든 기저는 국소적이며, 모든 점에서 동일한 기저 벡터는 '''전역 기저'''라고 하며, 선형 또는 아핀 좌표계와만 연결될 수 있다.

일반적으로 곡선 좌표의 자연 기저 벡터 '''h'''_i는 서로 직교하지 않으며, 단위 길이도 아니다. 직교하는 경우, 라메의 이름을 딴 '''Lamé 계수'''를 다음과 같이 정의한다.

:$h\_1\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_1|;\; \backslash ;\; h\_2\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_2|;\; \backslash ;\; h\_3\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_3|$

이를 이용하여 곡선 직교 기저 벡터 '''b'''_i를 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{b\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash mathbf\{h\}\_1\}\{h\_1\};\; \backslash ;$

\mathbf{b}_2 = \dfrac{\mathbf{h}_2}{h_2}; \;

\mathbf{b}_3 = \dfrac{\mathbf{h}_3}{h_3}.

이 기저 벡터는 ''P''의 위치에 따라 달라지므로, 영역에서 상수라고 가정할 수 없다.

직교 곡선 좌표계에서 '''r'''의 전미분 변화는 다음과 같다.

:$d\backslash mathbf\{r\}=\backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^1\}dq^1\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^2\}dq^2\; +\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^3\}dq^3\; =\; h\_1\; dq^1\; \backslash mathbf\{b\}\_1\; +\; h\_2\; dq^2\; \backslash mathbf\{b\}\_2\; +\; h\_3\; dq^3\; \backslash mathbf\{b\}\_3$

따라서 축척 인자는 $h\_i\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash right|$이다.

비직교 좌표계에서 $d\backslash mathbf\{r\}=\; dq^1\; \backslash mathbf\{h\}\_1\; +\; dq^2\; \backslash mathbf\{h\}\_2\; +\; dq^3\; \backslash mathbf\{h\}\_3$의 길이는 $d\backslash mathbf\{r\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\; =\; dq^i\; dq^j\; \backslash mathbf\{h\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{h\}\_j$ (아인슈타인 표기법)의 양의 제곱근이다. 자연 기저 벡터의 여섯 개의 독립적인 스칼라 곱 ''g_ij''='''h'''_''i''.'''h'''_''j''는 직교 좌표계에 대해 위에서 정의된 세 개의 축척 인자를 일반화한다. 아홉 개의 ''g_ij''는 계량 텐서의 성분이며, 직교 좌표계에서는 세 개의 0이 아닌 성분만 갖는다. ''g''₁₁=''h''₁''h''₁, ''g''₂₂=''h''₂''h''₂, ''g''₃₃=''h''₃''h''₃.

* 벡터 '''v''' ('''빨간색''')은

• 기저 벡터('''노란색, 왼쪽:''' '''e'''₁, '''e'''₂, '''e'''₃), 좌표 곡선에 접하는 벡터('''검은색''')
• 공변 벡터 또는 코기저('''파란색, 오른쪽:''' '''e'''¹, '''e'''², '''e'''³), 좌표 표면에 수직인 벡터('''회색''')

로 표현된다. 이는 ''일반적인'' (반드시 직교는 아닌) 곡선 좌표(''q''¹, ''q''², ''q''³)에서 표현된다. 좌표계가 직교가 아닌 한, 기저 및 코기저는 일치하지 않는다.^[1]]]

곡선 좌표계에서는 공간 기울기, 거리, 시간 미분 및 스케일 인자가 두 그룹의 기저 벡터에 의해 상호 연관된다.

• 기저 벡터는 연관된 좌표 경로에 국소적으로 접한다: $$\backslash mathbf\{b\}\_i=\backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^i\}$$ 는 반변 벡터 (낮은 지수로 표시됨)이다.
• 기저 벡터는 다른 좌표에 의해 생성된 등표면에 국소적으로 수직이다: $$\backslash mathbf\{b\}^i=\backslash nabla\; q^i$$ 는 공변 벡터 (높은 지수로 표시됨)이고, ∇는 델 연산자이다.

일반적인 곡선 좌표계는 모든 점에 대해 두 세트의 기저 벡터를 갖는다. {'''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃}는 반변 기저이고, {'''b'''¹, '''b'''², '''b'''³}는 공변(일명 상호) 기저이다. 공변 및 반변 기저 벡터 유형은 직교 곡선 좌표계에 대해 동일한 방향을 가지지만, 일반적으로 서로 역수 관계의 단위를 갖는다.

다음 등식을 참고한다.

$$\backslash mathbf\{b\}^i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j\; =\; \backslash delta^i\_j$$

여기서 $\backslash delta^i\_j$ 는 일반화된 크로네커 델타를 나타낸다.

벡터 '''v'''는 공변 좌표(낮은 지수, ''v_k''로 표기) 또는 반변 좌표(높은 지수, ''v^k''로 표기)로 지정할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; v^1\backslash mathbf\{b\}\_1\; +\; v^2\backslash mathbf\{b\}\_2\; +\; v^3\backslash mathbf\{b\}\_3\; =\; v\_1\backslash mathbf\{b\}^1\; +\; v\_2\backslash mathbf\{b\}^2\; +\; v\_3\backslash mathbf\{b\}^3$

아인슈타인 표기법을 사용하면, 기저 벡터는 다음과 같이 성분과 관련된다.^[7]

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash mathbf\{b\}\_k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash delta^i\_k\; =\; v^i$

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash mathbf\{b\}^k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash delta\_i^k\; =\; v\_i$

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v^k\backslash mathbf\{b\}\_k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; g\_\{ki\}v^k$

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v\_k\backslash mathbf\{b\}^k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; g^\{ki\}v\_k$

여기서 ''g''는 계량 텐서이다.

벡터 및 텐서 표현의 주요 특징은 벡터 성분이 공변 또는 반변 방식으로 변환될 때, 기저 벡터는 반대 방식(반변 또는 공변)으로 변환되어 쌍을 이룬다는 점에서 ''불변성''을 갖는다는 것이다.

• '''내적''':^[22]

곡선 좌표계에서 두 벡터의 내적은 다음과 같다.

:$$

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u^iv_i = u_iv^i = g_{ij}u^iv^j = g^{ij}u_iv_j

• '''외적''':^[22]

두 벡터의 외적은 다음과 같다.

:$$

\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \epsilon_{ijk}{u}_j{v}_k\mathbf{e}_i



여기서 $\backslash epsilon\_\{ijk\}$는 순열 기호이고, $\backslash mathbf\{e\}\_i$는 데카르트 기저 벡터이다. 곡선 좌표계에서 동등한 표현은 다음과 같다.

:$$

\mathbf{u}\times\mathbf{v} = [(\mathbf{b}_m\times\mathbf{b}_n)\cdot\mathbf{b}_s]u^mv^n\mathbf{b}^s

= \mathcal{E}_{smn}u^mv^n\mathbf{b}^s



여기서 $\backslash mathcal\{E\}\_\{ijk\}$는 3차 교대 텐서이다.

5. 3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산

3차원 공간의 점 ''P''의 위치 벡터 '''r'''은 데카르트 좌표계 (''x'', ''y'', ''z'') 또는 (''x''¹, ''x''², ''x''³)를 사용하여 $\backslash mathbf\{r\}\; =\; x\; \backslash mathbf\{e\}\_x\; +\; y\backslash mathbf\{e\}\_y\; +\; z\backslash mathbf\{e\}\_z$로 나타낼 수 있다. 여기서 '''e'''_''x'', '''e'''_''y'', '''e'''_''z''는 표준 기저 벡터이다.

같은 점을 '''곡선 좌표''' (''q''¹, ''q''², ''q''³)로 나타낼 수도 있다. 좌표 간의 관계는 다음과 같은 가역적 변환 함수로 주어진다.

:$x\; =\; f^1(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; y\; =\; f^2(q^1,\; q^2,\; q^3),\backslash ,\; z\; =\; f^3(q^1,\; q^2,\; q^3)$

:$q^1\; =\; g^1(x,y,z),\backslash ,\; q^2\; =\; g^2(x,y,z),\backslash ,\; q^3\; =\; g^3(x,y,z)$

''q''¹ = 상수, ''q''² = 상수, ''q''³ = 상수로 정의되는 면은 '''좌표면'''이며, 이들이 쌍으로 교차하여 만들어지는 곡선은 '''좌표 곡선'''이다. '''좌표축'''은 세 좌표면이 만나는 점에서 각 좌표 곡선에 대한 접선으로 결정된다. 곡선 좌표계에서는 좌표축이 데카르트 좌표계처럼 고정된 방향을 갖지 않고 점에 따라 변할 수 있다.

데카르트 좌표계에서 표준 기저 벡터는 점 ''P''의 위치를 각 좌표로 미분하여 얻을 수 있다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_x\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; x\};\; \backslash ;$

\mathbf{e}_y = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}; \;

\mathbf{e}_z = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.

마찬가지로 곡선 좌표계에서 점 ''P''의 위치를 각 곡선 좌표로 미분하여 자연 기저 벡터를 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{h\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^1\};\; \backslash ;$

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2}; \;

\mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3}.

이 기저 벡터들은 점마다 방향이나 크기가 변할 수 있으므로 '''국소 기저'''라고 한다. 모든 점에서 같은 기저 벡터는 '''전역 기저'''이며, 아핀 좌표계에서만 가능하다.

이 문서에서 '''e'''는 데카르트 좌표계의 표준 기저를, '''h''' 또는 '''b'''는 곡선 좌표계의 기저를 나타낸다.

자연 기저 벡터 '''h'''_i는 서로 수직이 아닐 수도 있고, 단위 길이를 갖지 않을 수도 있다. 직교하는 경우, 라메의 이름을 딴 '''Lamé 계수'''를 다음과 같이 정의한다.

:$h\_1\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_1|;\; \backslash ;\; h\_2\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_2|;\; \backslash ;\; h\_3\; =\; |\backslash mathbf\{h\}\_3|$

이를 이용하여 곡선 직교 기저 벡터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{b\}\_1\; =\; \backslash dfrac\{\backslash mathbf\{h\}\_1\}\{h\_1\};\; \backslash ;$

\mathbf{b}_2 = \dfrac{\mathbf{h}_2}{h_2}; \;

\mathbf{b}_3 = \dfrac{\mathbf{h}_3}{h_3}.

이 기저 벡터들은 점 ''P''의 위치에 따라 달라지므로, 특정 영역에서 상수로 취급할 수 없다.

일반적으로 곡선 좌표계에서는 자연 기저 벡터가 서로 수직일 필요도 없고, 단위 길이를 가질 필요도 없다. 직교 기저를 사용하면 벡터 연산이 간단해지지만, 유체 역학이나 연속체 역학과 같이 복잡한 물리 현상을 다룰 때는 비직교 기저가 필요할 수 있다.

공간 기울기, 거리, 시간 미분 및 스케일 인자는 좌표계 내에서 다음과 같은 두 그룹의 기저 벡터에 의해 상호 연관된다.^[1]

# 기저 벡터는 연관된 좌표 경로에 국소적으로 접한다: $$\backslash mathbf\{b\}\_i=\backslash dfrac\{\backslash partial\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash partial\; q^i\}$$ 는 반변 벡터(낮은 지수로 표시됨)이다.

# 기저 벡터는 다른 좌표에 의해 생성된 등표면에 국소적으로 수직이다: $$\backslash mathbf\{b\}^i=\backslash nabla\; q^i$$ 는 공변 벡터(높은 지수로 표시됨)이고, ∇는 델 연산자이다.

아인슈타인 표기법에 따라 벡터의 지수 위치는 좌표의 위치와 반대이다.

일반적인 곡선 좌표계는 모든 점에 대해 두 세트의 기저 벡터를 갖는다. {'''b'''₁, '''b'''₂, '''b'''₃}는 반변 기저이고, {'''b'''¹, '''b'''², '''b'''³}는 공변(일명 상호) 기저이다. 공변 및 반변 기저 벡터 유형은 직교 곡선 좌표계에 대해 동일한 방향을 가지지만, 일반적으로 서로 역수 관계의 단위를 갖는다.

다음의 중요한 등식을 참고할 수 있다.

$$\backslash mathbf\{b\}^i\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_j\; =\; \backslash delta^i\_j$$

여기서 $\backslash delta^i\_j$ 는 일반화된 크로네커 델타를 나타낸다.

벡터 '''v'''는 다음 두 기저 중 하나로 지정할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{v\}\; =\; v^1\backslash mathbf\{b\}\_1\; +\; v^2\backslash mathbf\{b\}\_2\; +\; v^3\backslash mathbf\{b\}\_3\; =\; v\_1\backslash mathbf\{b\}^1\; +\; v\_2\backslash mathbf\{b\}^2\; +\; v\_3\backslash mathbf\{b\}^3$

아인슈타인 표기법을 사용하면, 기저 벡터는 다음과 같이 성분과 관련된다.^[7]

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash mathbf\{b\}\_k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}^i\; =\; v^k\backslash delta^i\_k\; =\; v^i$

:$\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash mathbf\{b\}^k\backslash cdot\backslash mathbf\{b\}\_i\; =\; v\_k\backslash delta\_i^k\; =\; v\_i$

벡터는 공변 좌표(낮은 지수, ''v_k''로 표기) 또는 반변 좌표(높은 지수, ''v^k''로 표기)로 지정할 수 있다.

인덱싱된 성분과 기저 벡터를 사용하여 벡터 및 텐서를 표현하는 주요 특징은 벡터 성분이 공변 방식으로(또는 반변 방식으로) 변환될 때, 반변 방식(또는 공변 방식)으로 변환되는 기저 벡터와 쌍을 이룬다는 의미에서 ''불변성''이다.

5. 1. 기하학적 요소들

φ = φ('''x''')를 잘 정의된 스칼라장, '''v''' = '''v'''('''x''')를 잘 정의된 벡터장이라고 하고, ''λ''₁, ''λ''₂...를 좌표의 매개변수라고 하자.

1. '''접선 벡터:''' '''x'''(''λ'')가 데카르트 좌표계에서 곡선 ''C''를 매개변수화한다면,

:math>\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \lambda} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial q^i}\frac{\partial q^i}{\partial \lambda} = \left( h_{ki}\frac{\partial q^i}{\partial \lambda}\right)\mathbf{b}_k

는 곡선 좌표계에서 ''C''의 접선 벡터이다 (연쇄 법칙 사용). 라메 계수의 정의와, 계량 ''g_ij'' = 0 (''i'' ≠ ''j''일 때)을 사용하면 크기는 다음과 같다.

:$\backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\; \backslash right|\; =\; \backslash sqrt\{h\_\{ki\}h\_\{kj\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\; g\_\{ij\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\}\; =\; \backslash sqrt\{h\_\{i\}^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash right)^2\}$

2. '''접평면 요소:''' '''x'''(''λ''₁, ''λ''₂)가 데카르트 좌표계에서 표면 ''S''를 매개변수화한다면, 접선 벡터의 외적은 무한소 평면 요소의 크기를 가진 ''S''의 법선 벡터가 곡선 좌표계에 있다. 위의 결과를 사용하여,

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\; =\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^i\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; q^j\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right)\; =\; \backslash mathcal\{E\}\_\{kmp\}\backslash left(\; h\_\{ki\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^i\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash right)\backslash left(h\_\{mj\}\backslash frac\{\backslash partial\; q^j\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right)\; \backslash mathbf\{b\}\_p$

여기서 $\backslash mathcal\{E\}$는 순열 기호이다. 행렬식 형태로:

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\}\{\backslash partial\; \backslash lambda\_2\}$

=\begin{vmatrix}

\mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\

h_{1i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{2i} \dfrac{\partial q^i}{\partial \lambda_1} & h_{3i} \dfrac{\partial q^i }{\partial \lambda_1} \\

h_{1j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{2j} \dfrac{\partial q^j}{\partial \lambda_2} & h_{3j} \dfrac{\partial q^j }{\partial \lambda_2}

\end{vmatrix}

5. 2. 적분

곡선 좌표계에서 기본적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 일부 오래된 과학 문헌에서 사용되었으며, 1900년대 초중반의 연구를 이해하는 데 필수적일 수 있다.^[4]

선 적분, 면 적분 및 체적분 계산 시 조정이 필요하다. 편의상 다음 내용은 3차원 및 직교 곡선 좌표로 제한한다. 그러나 동일한 논리가 ''n''차원 공간에도 적용된다. 좌표계가 직교하지 않으면 식에 몇 가지 추가 항이 있다.

φ = φ('''x''')를 잘 정의된 스칼라장, '''v''' = '''v'''('''x''')를 잘 정의된 벡터장이라고 하고, ''λ''₁, ''λ''₂...를 좌표의 매개변수라고 하자.

연산자	스칼라장	벡터장
선적분	$\backslash int\_C\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{x\})\; ds\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{x\}(\backslash lambda))\backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash right|\; d\backslash lambda$	$\backslash int\_C\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{s\}\; =\; \backslash int\_a^b\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{x\}(\backslash lambda))\backslash cdot\backslash left(\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\}\backslash right)\; d\backslash lambda$
면적분	$\backslash int\_S\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{x\})\; dS\; =\; \backslash iint\_T\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{x\}(\backslash lambda\_1,\; \backslash lambda\_2))\; \backslash left|\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right|\; d\backslash lambda\_1\; d\backslash lambda\_2$	$\backslash int\_S\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash cdot\; dS\; =\; \backslash iint\_T\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{x\}(\backslash lambda\_1,\; \backslash lambda\_2))\; \backslash cdot\backslash left(\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\_1\}\backslash times\; \{\backslash partial\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash lambda\_2\}\backslash right)\; d\backslash lambda\_1\; d\backslash lambda\_2$
체적분	$\backslash iiint\_V\; \backslash varphi(x,y,z)\; dV\; =\; \backslash iiint\_V\; \backslash chi(q\_1,q\_2,q\_3)\; Jdq\_1dq\_2dq\_3$	$\backslash iiint\_V\; \backslash mathbf\{u\}(x,y,z)\; dV\; =\; \backslash iiint\_V\; \backslash mathbf\{v\}(q\_1,q\_2,q\_3)\; Jdq\_1dq\_2dq\_3$