굴절률

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1. 개요

굴절률은 빛이 물질을 통과할 때 속도가 느려지는 정도를 나타내는 물리량으로, 진공에서의 빛의 속도와 매질 내에서의 속도의 비로 정의된다. 물질의 종류에 따라 굴절률이 다르며, 빛의 파장, 물질의 온도, 압력 등에 의해서도 변화한다. 굴절률은 렌즈, 프리즘, 광섬유 등 다양한 광학 기기의 설계와 성능을 결정하는 중요한 요소이며, 물질의 식별, 순도 확인, 농도 측정 등에도 활용된다. 굴절계는 굴절률을 측정하는 데 사용되는 기기이며, 굴절률은 비유전율 및 투자율, 파동 임피던스, 밀도 등 다양한 물리량과 관련이 있다.

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굴절은 빛이 한 매질에서 다른 매질로 진행할 때 속도 변화로 인해 진행 방향이 꺾이는 현상이며, 렌즈, 프리즘, 광섬유 등 다양한 분야에 응용된다.

굴절률
굴절률
정의	빛이 진공에서 매질로 진행할 때 속도가 느려지는 정도를 나타내는 무차원량이다.
기호	n
수식	n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂
설명	n₁은 첫 번째 매질의 굴절률이다. θ₁은 첫 번째 매질에서의 입사각이다. n₂는 두 번째 매질의 굴절률이다. θ₂는 두 번째 매질에서의 굴절각이다.
빛의 속도와의 관계	v = c / n (여기서 v는 매질 내 빛의 속도, c는 진공에서의 빛의 속도)
파장과의 관계	λ = λ₀ / n (여기서 λ는 매질 내 파장, λ₀는 진공에서의 파장)
주파수와의 관계	f = v / λ
굴절률의 의미
빛의 속도 감소	굴절률이 클수록 빛의 속도가 느려진다.
파장 감소	굴절률이 클수록 파장이 짧아진다.
주파수 불변	굴절률 변화에 따라 빛의 주파수는 변하지 않는다.
스넬의 법칙	굴절률을 이용하여 입사각과 굴절각의 관계를 설명한다.
응용 분야	광학 렌즈 설계 광섬유 통신 분광학
매질에 따른 굴절률
진공	1
공기	약 1.0003
물	약 1.33
유리	약 1.5 ~ 1.9
다이아몬드	약 2.42
참고 문헌

2. 정의

굴절률(refractive index^영어)은 빛이 어떤 매질을 통과할 때 속도가 느려지는 정도를 나타내는 물리량이다. 굴절률 $n\,$ 은 진공에서의 빛의 위상속도 $c\,$ 와 매질 내에서의 위상속도 $v_{\mathrm ph}\,$ 의 비로 정의된다.

: $n = \frac{c}{v_{\mathrm ph}}$

'''상대 굴절률'''은 기준 매질 1에 대한 광학 매질 2의 굴절률 ( $n_{21}\,$ )로, 매질 1에서의 빛의 속도와 매질 2에서의 빛의 속도의 비율로 나타낸다.

$n_{21}=\frac{v_1}{v_2}.$

기준 매질 1이 진공인 경우, 매질 2의 굴절률은 절대 굴절률이라고 하며, $n_2$ 로 표시된다.

'''절대 굴절률''' ''n''은 진공에서의 빛의 속도 ( $c$ )와 매질 내에서의 빛의 위상 속도 ( $v$ )의 비율로 정의된다.

$n=\frac{\mathrm{c}}{v}.$

$c$ 는 상수이므로, $n$ 은 $v$ 에 반비례한다.

$n\propto\frac{1}{v}.$

위상 속도는 파동의 마루 또는 위상이 이동하는 속도이며, 빛의 펄스 또는 파동의 포락선이 이동하는 속도인 군 속도와 다를 수 있다.^[1]

MKSA 단위계 또는 국제단위계(SI)에서 굴절률 ''n''은 진공 속의 광속 ''c''을 매질 속의 광속 ''v''(보다 정확하게는 위상속도)로 나눈 값으로 나타낸다.

: $n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_0 \mu_0}}$

: 여기서 ''μ'' , ''ε''는 물질의 투자율, 유전율

: ''μ''₀, ''ε''₀는 진공의 투자율, 유전율

몇몇 물질의 굴절률은 다음과 같다(나트륨의 D선, 파장 589.3 nm의 빛에 대해).

물질	굴절률	비고
공기	1.000292	0℃, 1기압
이산화탄소	1.000450
얼음	1.309	0℃
물	1.3334	20℃
에탄올	1.3618
파라핀유	1.48
폴리메타크릴산메틸	1.491	20℃
수정	1.5443	18℃
광학 유리	1.43 - 2.14
사파이어	1.762 - 1.770
다이아몬드	2.417

3. 역사

Thomas Young의 점묘화 — 토머스 영은 1807년에 "굴절률"이라는 용어를 만들었다.

토머스 영은 1807년에 "굴절률"이라는 이름을 처음 사용하고 고안한 사람으로 보인다.^[4] 그는 굴절력의 값을 두 수의 비율 대신 단일 숫자로 변경했다. 뉴턴은 "입사각과 굴절각의 비율"이라고 부르며 물에 대해 "529 대 396" (거의 "4 대 3")과 같이 두 수의 비율로 기록했다.^[5] 호크스비는 "굴절 비율"이라고 부르며 소변에 대해 "10000 대 7451.9"와 같이 고정된 분자를 가진 비율로 기록했다.^[6] 허턴은 물에 대해 "1.3358 대 1"과 같이 고정된 분모를 가진 비율로 기록했다.^[7]

영은 1807년에 굴절률에 대한 기호를 사용하지 않았다. 이후 다른 사람들은

n

,

m

,

µ

와 같은 다른 기호를 사용하기 시작했으며,^[8]^[9]^[10]

n

기호가 점차 보편화되었다.

4. 빛과 매질의 상호작용

빛은 입자 또는 파동으로 생각할 수 있으며, 광학에서는 파동으로 다룬다. 빛이 하나의 매질에서 다른 매질로 통과할 때, 파동은 다른 속도로 진행한다. 예를 들어, 물을 통과할 때와 공기를 통과할 때 속도에는 차이가 있다. 빛 파동이 투명한 물질로 들어가면, 물질을 이루는 원자들의 전자가 여기된다. 여기된 전자들은 고유의 빛 파동을 방출한다. 원자들 사이에서 빛은 진공에서의 빛의 속도(c^영어 = 300,000,000 m/s)로 진행한다. 그러나 유리의 경우, 빛의 속도는 약 200,000,000 m/s이다.

굴절률은 빛의 전파 속도뿐만 아니라 굽힘각과 물질에 의해 전파 및 굴절된 양으로 기술된다. 또한 브루스터 각, 편광이 완전 흡수될 때의 각으로 정의된다.

4. 1. 미시적 설명

원자 수준에서 전자기파의 위상 속도는 물질 내에서 느려진다. 전기장이 각 원자(주로 전자)의 전하에 매질의 전기 감수율에 비례하는 교란을 일으키기 때문이다. (자기장 역시 자기 감수율에 비례하는 교란을 일으킨다.) 전자기장이 파동에서 진동함에 따라 물질 내의 전하는 같은 주파수로 앞뒤로 흔들린다.^[4] 전하는 같은 주파수의 전자기파를 방출하지만, 일반적으로 위상 지연이 발생한다. (정현파로 구동되는 조화 진동자 참조). 매질 내에서 진행하는 빛 파동은 원래 파동과 모든 움직이는 전하에 의해 방출되는 파동의 거시적 중첩(합)이다. 이 파동은 보통 원래 파동과 주파수는 같지만 파장이 더 짧아, 파동의 위상 속도가 느려진다. 진동하는 물질 전하에서 나오는 대부분의 복사는 들어오는 파동의 속도를 변화시킨다. 그러나 일부 에너지는 다른 방향이나 다른 주파수로 방출되기도 한다(산란 참조).

원래 구동 파동과 전하 운동에 의해 방출되는 파동의 상대 위상에 따라 여러 가지 경우가 나타날 수 있다.

전자가 빛 파동을 흔드는 빛 파동과 90° 위상차를 가지는 빛 파동을 방출하면 총 빛 파동이 더 느리게 이동한다. 이는 유리나 물과 같은 투명 물질의 일반적인 굴절 현상으로, 실수이고 1보다 큰 굴절률에 해당한다.^[26]
전자가 빛 파동을 흔드는 빛 파동과 270° 위상차를 가지는 빛 파동을 방출하면 파동이 더 빠르게 이동한다. 이를 "이상 굴절"이라고 하며, 흡수선(주로 적외선 스펙트럼에서) 근처, 일반적인 물질의 X선, 지구 전리층의 전파에서 관찰된다. 이는 1보다 작은 유전율에 해당하며, 굴절률이 1보다 작고 빛의 위상 속도가 진공에서의 빛의 속도보다 커진다(신호 속도는 여전히 빛의 속도보다 작다). 반응이 충분히 강하고 위상이 맞지 않으면 금속이나 플라즈마에서 관찰되는 것처럼 유전율이 음수가 되고 굴절률이 허수가 될 수 있다.^[26]
전자가 빛 파동을 흔드는 빛 파동과 180° 위상차를 가지는 빛 파동을 방출하면 원래 빛과 상쇄 간섭하여 총 빛 강도를 감소시킨다. 이는 불투명 물질에서의 빛 흡수 현상이며, 허수 굴절률에 해당한다.
전자가 빛 파동을 흔드는 빛 파동과 위상이 맞는 빛 파동을 방출하면 빛 파동이 증폭된다. 이는 드물지만 유도 방출을 통해 레이저에서 발생하며, 흡수와 반대 부호의 허수 굴절률에 해당한다.

가시광선 주파수에서 대부분의 물질은 위상이 90°와 180° 사이이며, 이는 굴절과 흡수가 결합된 현상으로 나타난다.

5. 굴절률의 값

굴절률은 빛의 파장에 따라 달라지며, 이를 분산이라고 한다. 코시의 방정식은 굴절률과 파장의 관계를 나타내는 방정식이다. 일반적인 형태는 다음과 같다.

: $n(\lambda) = A + \frac {B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots,$

여기서 $n$ 은 굴절률, $\lambda$ 는 파장, $A$ , $B$ , $C$ 등은 계수이다. 일반적으로 이 방정식의 이항 형태를 사용하는 것으로 충분하다.

: $n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2},$

광학 유리 제조업체는 보통 헬륨의 황색 분광선( $d$ 선)과 수은의 녹색 분광선( $e$ 선)에서 주 굴절률을 정의하며, 아베 수는 두 선 모두에 대해 정의되며 $V_d$ 및 $V_e$ 로 표시된다.

실제 응용에서는 아베 굴절계와 같은 굴절계를 사용하여 굴절률을 측정한다. 이러한 상용 장치의 측정 정확도는 0.0002 정도이다.^[36]^[37] 굴절계는 일반적으로 나트륨 이중선 $D$ 에 대해 정의된 굴절률 $n_D$ 를 측정하는데, 이는 나트륨의 두 황색 분광선 사이의 중간점이다.

MKSA 단위계 또는 국제단위계(SI)에서 굴절률 ''n''은 진공 속의 광속 ''c''을 매질 속의 광속 ''v''로 나눈 값으로 나타낸다.

: $n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_0 \mu_0}}$

여기서 $\mu$ , $\epsilon$ 는 물질의 투자율, 유전율이고, $\mu_0$ , $\epsilon_0$ 는 진공의 투자율, 유전율이다.

최근에는 포토닉 결정 등으로 특정 주파수에서 굴절률이 음수가 되는 현상도 관찰되고 있다. 또한, 펨토초 펄스 레이저와 같이 매우 강한 레이저 광을 사용하면 비선형 광학 현상이 일어나 굴절률이 광 강도에 의존하는 현상도 알려져 있다.

5. 1. 일반적인 값

가시광선의 경우 대부분의 투명한 매질은 1과 2 사이의 굴절률을 갖는다. 대기압에서 기체는 밀도가 낮기 때문에 굴절률이 1에 가깝다. 거의 모든 고체와 액체는 1.3보다 높은 굴절률을 가지며, 에어로젤이 예외이다. 적외선의 경우 굴절률이 상당히 높을 수 있다.^[18] 게르마늄은 파장 영역에서 투명하며 약 4의 굴절률을 갖는다. 최근에는 근적외선에서 중적외선 주파수 범위에서 최대 6의 높은 굴절률을 갖는 "위상 절연체"라는 새로운 유형의 재료도 발견되었다.^[19]

다음은 나트륨의 D선, 파장 589.3 nm의 빛에 대한 몇몇 물질의 굴절률을 나타낸 표이다.^[15]

= 에서 굴절률
물질	굴절률
진공	1
기체 (0 °C 및 1 atm)
공기	1.000293
헬륨	1.000036
수소	1.000132
이산화탄소	1.00045
액체 (20 °C)
물	1.333
에탄올	1.36
올리브 오일	1.47
고체
얼음	1.31
융용 실리카 (석영)	1.46^[11]
PMMA (아크릴)	1.49
창유리	1.52^[12]
폴리카보네이트 (렉산™)	1.58^[13]
플린트 유리 (일반적인)	1.69
사파이어	1.77^[14]
큐빅 지르코니아	2.15
다이아몬드	2.417
무아사나이트	2.65

보석 다이아몬드 — 다이아몬드는 2.417이라는 매우 높은 굴절률을 갖는다.

다양한 유리의 파장 증가에 따른 굴절률 감소를 보여주는 그래프 — 다양한 유리의 파장에 따른 굴절률 변화. 음영 영역은 가시광선의 범위를 나타낸다.

에어로젤은 1.002~1.265 범위의 굴절률을 가질 수 있는 매우 낮은 밀도의 고체이다.^[16] 무아사나이트는 최대 2.65의 굴절률을 갖는다. 대부분의 플라스틱은 1.3~1.7 범위의 굴절률을 갖지만, 일부 고굴절률 폴리머는 1.76만큼 높은 값을 가질 수 있다.^[17]

굴절률이 높은 소재일수록 곡률이 작아도 되어 렌즈를 얇게 만들 수 있기 때문에, 안경 등에 고굴절률 소재를 사용한 렌즈가 개발되고 있다.

5. 2. 1보다 작은 굴절률

상대성이론에 따르면 어떤 정보도 진공에서 빛의 속도보다 빠르게 이동할 수 없지만, 굴절률이 1보다 작을 수는 있다. 굴절률은 정보를 전달하지 않는 빛의 위상 속도를 측정한다.^[20] 위상 속도는 파동의 마루가 이동하는 속도이며, 진공에서 빛의 속도보다 빠를 수 있고, 따라서 1보다 작은 굴절률을 가질 수 있다. 이는 흡수 매질의 공명 주파수 근처, 플라스마, 그리고 X선의 경우에 발생할 수 있다.^[20]^[21]

X선 영역에서 굴절률은 1보다 작지만 매우 1에 가깝다 (일부 공명 주파수 근처는 예외).^[21] 예를 들어, 물은 광자 에너지가 30 keV(0.04 nm 파장)인 X선 방사에 대해 1 - 2.6 × 10⁻⁷인 굴절률을 갖는다.^[21]

지구의 전리층은 굴절률이 1보다 작은 플라스마의 예이다. 전리층(플라스마)의 굴절률은 1보다 작기 때문에 플라스마를 통과하는 전자기파는 "법선에서 멀어지는 방향"으로 굴절된다(기하광학 참조). 이로 인해 전파가 지구로 다시 굴절되어 장거리 무선 통신이 가능해진다. 무선 전파 전파 및 천파도 참조.^[22]

흡수가 있는 물질 내에서는 복소 굴절률의 실수 부분이 1보다 작아지고, 위상속도가 진공 중의 광속보다 커지는 경우가 있지만, 에너지나 정보가 위상속도로 전달되는 것은 아니므로, 상대성이론과는 모순되지 않는다.

5. 3. 음의 굴절률

최근 연구는 유전율과 투자율이 동시에 음의 값을 가질 때 발생할 수 있는 음의 굴절률을 갖는 물질의 존재를 증명했다.^[23] 이것은 주기적으로 구성된 메타물질을 사용하여 달성할 수 있다. 결과적으로 나타나는 음의 굴절(즉, 스넬의 법칙의 역전)은 슈퍼렌즈 및 기타 새로운 현상을 메타물질을 통해 적극적으로 개발할 가능성을 제공한다.^[24]^[25]

마이크로파에 대해 음의 굴절률을 생성하도록 배열된 분할 고리 공진기 어레이

6. 분산

물질의 굴절률은 빛의 파장(진동수)에 따라 달라진다.^[27] 이를 분산이라고 하며, 프리즘과 무지개가 흰색 빛을 구성하는 스펙트럼 색으로 나누는 원인이 된다.^[28] 굴절률이 파장에 따라 다르기 때문에, 빛이 한 물질에서 다른 물질로 이동할 때 굴절 각도도 달라진다.

삼각 프리즘을 통과할 때 다른 색깔로 분산되는 흰색 광선 — 삼각 프리즘에서 분산은 서로 다른 색깔이 서로 다른 각도로 굴절되어 흰색 빛을 무지개 색깔로 분리시킨다. 파란색은 빨간색보다 더 많이 굴절되므로 파란색의 굴절률이 빨간색보다 높다.

분산은 또한 렌즈의 초점 거리가 파장에 따라 달라지는 원인이 된다. 이것은 일종의 색수차이며, 종종 이미징 시스템에서 보정해야 한다. 물질이 빛을 흡수하지 않는 스펙트럼 영역에서는 굴절률이 파장이 증가함에 따라 감소하고, 따라서 진동수가 증가함에 따라 증가하는 경향이 있다. 이를 "정상 분산"이라고 하며, 굴절률이 파장에 따라 증가하는 "비정상 분산"과 대조된다.^[27] 가시광선의 경우 정상 분산은 파란색 빛의 굴절률이 빨간색 빛보다 높다는 것을 의미한다.

가시광선 범위의 광학에서 렌즈 재료의 분산량은 종종 아베 수로 정량화된다.^[28]

:

V = \frac{n_\mathrm{yellow} - 1}{n_\mathrm{blue} - n_\mathrm{red}}.

굴절률의 파장 의존성을 보다 정확하게 설명하기 위해 셀마이어 방정식을 사용할 수 있다.^[29] 이는 분산을 설명하는 데 효과적인 경험적 공식이다. 표에서는 굴절률 대신 ''셀마이어 계수''가 자주 인용된다.

분산 때문에 굴절률을 측정하는 빛의 진공 파장을 명시하는 것이 일반적으로 중요하다. 일반적으로 측정은 다양한 잘 정의된 분광 방출선에서 수행된다.

일반적으로 광학 유리 제조업체는 헬륨의 황색 분광선()과 수은의 녹색 분광선()에서 주 굴절률을 정의하며, 각각 선과 선이라고 한다. 아베 수는 두 선 모두에 대해 정의되며 및 로 표시된다. 유리 제조업체가 제공하는 분광 데이터는 이 두 파장에 대해 더 정밀한 경우가 많다.^[30]^[31]^[32]^[33]

선과 선은 모두 단일선이므로 분광 고니오메터법과 같이 매우 정밀한 측정을 수행하는 데 적합하다.^[34]^[35]

실제 응용 분야에서는 아베 굴절계와 같은 다양한 굴절계에서 굴절률을 측정한다. 이러한 일반적인 상용 장치의 측정 정확도는 0.0002 정도이다.^[36]^[37] 굴절계는 일반적으로 나트륨 이중선 ()에 대해 정의된 굴절률 을 측정하는데, 이는 실제로 나트륨의 두 개의 인접한 황색 분광선 사이의 중간점이다. 헬륨의 황색 분광선()과 나트륨의 황색 분광선()은 정도 떨어져 있는데, 이는 일반적인 굴절계에서는 무시할 수 있지만 정확도가 중요한 경우 혼란을 야기하고 오류를 발생시킬 수 있다.

응용 분야와 지역에 따라 세 가지 일반적인 주 굴절률 정의를 모두 찾을 수 있으므로,^[38] 모호성을 피하기 위해 적절한 아래 첨자를 사용해야 한다.

굴절률은 코시의 방정식으로 주어지는 것처럼 빛의 파장에 따라 변화한다. 코시 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.^[66]

:

n(\lambda) = A + \frac {B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots,

7. 복소 굴절률

빛이 매질을 통과할 때, 항상 일부는 흡수된다. 복소 굴절률을 정의하여 이를 고려할 수 있다.

: $\underline{n} = n + i\kappa.$

여기서 실수부 n는 굴절률이며 위상 속도를 나타내고, 허수부 κ는 '''소광 계수'''^[39]라고 하며 전자기파가 물질을 통과할 때 감쇠량을 나타낸다.^[1]

복소 굴절률의 실수부 n와 허수부 κ는 크라머스-크로니히 관계를 통해 관련된다. 1986년 A.R. 포루히(Forouhi)와 I. 블루머(Bloomer)는 비정질 재료에 적용 가능한 광자 에너지 E의 함수로 κ를 설명하는 방정식을 유도했다. 그런 다음 포루히와 블루머는 크라머스-크로니히 관계를 적용하여 E의 함수로 n에 대한 해당 방정식을 유도했다. 같은 형식이 1988년 포루히와 블루머에 의해 결정질 재료에 적용되었다.

'''복소굴절률'''(複素屈折率)은 굴절률의 정의를 흡광이 있는 물질에 대해 확장한 물리량이다.

복소굴절률 m을 실수부와 허수부로 분해하여

: $m=n-ik$

로 표기할 때, 실수부 n은 일반적인 굴절률을 나타내고, 허수부 k는 '''소광계수'''(消衰係数)라고 한다.^[67] 비흡광성 물질에서는 k = 0이다.

굴절률과 소광계수 사이에는 크라머스-크로니히 관계식이 성립한다.

8. 다른 물리량과의 관계

굴절률은 빛의 위상 속도, 굴절, 전반사, 반사율, 렌즈의 초점 거리, 현미경 분해능, 비유전율 및 투자율, 파동 임피던스, 밀도, 군 지수, 분극률 등 다양한 물리량과 밀접하게 관련되어 있다.

굴절: 빛이 한 매질에서 다른 매질로 이동할 때 방향이 바뀌는 현상이다. 스넬의 법칙에 따라 굴절각이 결정되며, 굴절률이 높은 매질로 들어갈 때 빛은 법선 쪽으로 굴절된다.
전반사: 빛이 굴절률이 낮은 매질로 이동할 때, 특정 임계각 이상으로 입사하면 빛이 투과되지 않고 전부 반사되는 현상이다. 광섬유 등 다양한 광학 기기에 활용된다.
반사율: 빛이 매질의 경계면에서 반사되는 정도를 나타낸다. 프레넬 방정식을 이용하여 계산할 수 있으며, 굴절률과 입사각에 따라 달라진다.
렌즈: 렌즈의 초점 거리는 굴절률과 표면의 곡률 반지름에 의해 결정된다. 렌즈메이커 공식을 사용하여 렌즈의 배율을 계산할 수 있다.
현미경 분해능: 광학 현미경의 분해능은 개구수에 의해 결정되며, 개구수는 매질의 굴절률과 빛의 반각에 따라 달라진다.
비유전율 및 투자율: 굴절률은 물질의 비유전율과 비투자율의 제곱근으로 나타낼 수 있다. ( $n = \sqrt{\varepsilon_\mathrm{r} \mu_\mathrm{r}}$ ) 대부분의 자연 물질은 광학 주파수에서 비자성체이므로, 굴절률은 비유전율의 제곱근에 가깝다.
파동 임피던스: 비자성 매질에서 굴절률은 진공 파동 임피던스와 매질의 파동 임피던스의 비율이다.
밀도: 일반적으로 유리의 굴절률은 밀도가 증가함에 따라 증가하지만, 모든 경우에 선형적인 관계가 성립하는 것은 아니다.
군 지수: 군 속도 굴절률은 군 속도와 관련된 물리량이며, 분산이 작을 때 위상 속도와 관련된 굴절률과 연결될 수 있다.
분극률: 굴절률은 로렌츠-로렌츠 방정식을 사용하여 분극률과 관련지을 수 있다.

8. 1. 광로 길이

광로 길이(OPL)는 빛이 계를 통과하는 경로의 기하학적 길이 ''d''와 그것이 진행하는 매질의 굴절률의 곱이다.^[40]

\text{OPL} = nd.

이는 빛의 위상을 결정하고 빛이 진행함에 따라 간섭과 회절을 지배하기 때문에 광학에서 중요한 개념이다. 페르마의 원리에 따르면, 빛살은 광로 길이를 최적화하는 곡선으로 특징지어질 수 있다.^[1]

비눗방울의 색깔은 박막 간섭이라는 현상에서 얇은 비눗막을 통과하는 광로 길이에 의해 결정됩니다.

8. 2. 굴절

굴절률이 다른 두 매질의 경계면에서 빛의 굴절, ''n''₂ > ''n''₁. 위상 속도가 두 번째 매질에서 더 낮기 때문에 (''v''₂ < ''v''₁), 굴절각 ''θ''₂는 입사각 ''θ''₁보다 작다. 즉, 굴절률이 더 높은 매질의 광선은 법선에 더 가깝다.

빛이 한 매질에서 다른 매질로 이동할 때, 방향이 바뀌는 굴절 현상이 일어난다. 굴절률이 n₁인 매질에서 굴절률이 n₂인 매질로 빛이 이동할 때, 법선에 대한 입사각이 θ₁이면, 굴절각 θ₂는 스넬의 법칙으로 계산할 수 있다.^[41]

빛이 굴절률이 더 높은 물질에 들어갈 때, 굴절각은 입사각보다 작아지고 빛은 표면의 법선 쪽으로 굴절된다. 굴절률이 높을수록 빛은 법선 방향에 더 가까워진다. 굴절률이 더 낮은 매질로 통과할 때, 빛은 법선에서 멀어지는 방향, 즉 표면 쪽으로 굴절된다.

8. 3. 전반사

스넬의 법칙을 만족하는 각도 ${\displaystyle \theta _{2}}$가 존재하지 않을 경우, 즉,

:${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}>1,}$

빛은 투과될 수 없으며, 대신 전반사를 겪게 된다.^[4] 이 현상은 광학적으로 덜 밀한 매질, 즉 굴절률이 더 낮은 매질로 이동할 때만 발생한다. 전반사를 얻으려면 입사각 ${\displaystyle \theta _{1}}$이 임계각^[42]보다 커야 한다.

:${\displaystyle \theta _{\mathrm {c} }=\arcsin \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.}$

8. 4. 반사율

투과된 빛 외에도 반사된 부분이 있다. 반사각은 입사각과 같으며, 반사되는 빛의 양은 표면의 반사율에 의해 결정된다. 프레넬 방정식을 이용하여 굴절률과 입사각으로부터 반사율을 계산할 수 있으며, 수직 입사의 경우에는^[4]

: ''R''₀ = |(''n''₁ - ''n''₂) / (''n''₁ + ''n''₂)|²

로 간소화된다. 공기 중의 일반적인 유리의 경우, ''n''₁ ≈ 1이고 ''n''₂ ≈ 1.5이므로, 입사 광량의 약 4%가 반사된다.^[43] 다른 입사각에서는 반사율이 편광에도 의존한다. 브루스터 각이라고 하는 특정 각도에서는 ''p''-편광(전기장이 입사면에 있는 빛)이 완전히 투과된다. 브루스터 각은 계면의 두 굴절률로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

: ''θ''_B = arctan (''n''₂ / ''n''₁)

8. 5. 렌즈

렌즈의 초점 거리는 렌즈의 굴절률 ''n''과 표면의 곡률 반지름 ''R''₁ 및 ''R''₂에 의해 결정된다. 공기 중의 얇은 렌즈의 배율은 렌즈메이커 공식의 간략화된 버전으로 주어지며,^[44] 여기서 ''f''는 렌즈의 초점 거리이다.

8. 6. 현미경 분해능

우수한 광학 현미경의 분해능은 주로 대물렌즈의 개구수(Numerical Aperture, NA)에 의해 결정된다. 개구수는 시료와 렌즈 사이의 공간을 채우는 매질의 굴절률 ''n''과 빛의 반각 θ에 따라 결정되며, Carlsson (2007)에 따르면 다음과 같다.^[45]

:''A''_Num = ''n''sin θ

이러한 이유로 현미경에서 고해상도를 얻기 위해 액침법(oil immersion)이 일반적으로 사용된다. 이 기술에서는 대물렌즈를 연구 중인 시료 위의 고굴절률 액침유 한 방울에 담근다.^[45]

8. 7. 비유전율 및 투자율

전자기파의 굴절률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[46]

:

n = \sqrt{\varepsilon_\mathrm{r} \mu_\mathrm{r}}

여기서

\varepsilon_\mathrm{r}

은 물질의 비유전율,

\mu_\mathrm{r}

은 비투자율이다.^[46] 굴절률은 프레넬 방정식과 스넬의 법칙에서 광학에 사용되는 반면, 비유전율과 비투자율은 맥스웰 방정식과 전자공학에서 사용된다. 대부분의 자연적으로 발생하는 물질은 광학 주파수에서 비자성체이다. 즉,

\mu_\mathrm{r}

은 1에 매우 가깝기 때문에

n

은 대략

\sqrt{\varepsilon_\mathrm{r}}

이다.^[47]

MKSA 단위계 또는 국제단위계(SI)에서 굴절률 ''n''은 진공 속의 광속 ''c''을 매질 속의 광속 ''v''(보다 정확하게는 위상속도)로 나눈 값으로 나타낸다.

:

n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_0 \mu_0}}

: 여기서 ''μ'' , ''ε''는 물질의 투자율, 유전율

: ''μ''₀, ''ε''₀는 진공의 투자율, 유전율

8. 8. 파동 임피던스

비전도성 매질에서 평면 전자기파의 파동 임피던스는 다음과 같이 주어진다.

:

Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\varepsilon_0\varepsilon_r}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} = Z_0 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}} = Z_0 \frac{\mu_r}{n}

여기서

Z_0

는 진공 파동 임피던스이고,

\mu

와

\varepsilon

는 각각 매질의 절대 투자율과 절대 유전율이며,

\varepsilon_r

은 물질의 비유전율,

\mu_r

은 비투자율이다.

비자성 매질(즉,

\mu_r = 1

인 물질)에서는

Z = {Z_0 \over n}

이고

n = {Z_0 \over Z}

이다.

따라서 비자성 매질에서 굴절률은 진공 파동 임피던스와 매질의 파동 임피던스의 비율이다.

두 매질 사이의 반사율

R_0

은 파동 임피던스와 굴절률 모두로 표현될 수 있다.

:

R_0 = \left| \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right|^2 = \left| \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \right|^2

8. 9. 밀도

일반적으로 유리의 굴절률은 밀도가 증가함에 따라 증가한다. 그러나 모든 실리케이트 및 보로실리케이트 유리에 대해 굴절률과 밀도 사이에 전반적인 선형 관계가 존재하는 것은 아니다. 산화리튬(산화리튬^영어) 및 산화마그네슘(산화마그네슘^영어)과 같은 경금속 산화물을 포함하는 유리에서는 비교적 높은 굴절률과 낮은 밀도를 얻을 수 있는 반면, 산화납(II)(산화납(II)^영어) 및 산화바륨(산화바륨^영어)을 포함하는 유리에서는 반대 경향이 관찰된다.^[49]

다양한 유리에 대한 유리 밀도와 굴절률 간의 강한 상관관계를 보여주는 산점도 — 실리케이트 및 보로실리케이트 유리의 굴절률과 밀도 간의 관계

많은 오일(예: 올리브 오일)과 에탄올은 밀도와 굴절률 간의 일반적인 상관관계와 달리 물보다 굴절률은 더 높지만 밀도는 더 낮은 액체의 예이다.

공기의 경우, 화학적 조성이 변하지 않는 한 굴절률에서 1을 뺀 값은 기체의 밀도에 비례한다.^[50] 즉, 이상 기체의 경우 압력에 비례하고 온도에 반비례한다. 액체의 경우에도 기체와 마찬가지로 관찰할 수 있는데, 예를 들어 알칸의 굴절률은 밀도에 거의 완벽하게 선형적으로 증가한다. 반면, 카르복실산의 경우 동족계열 내에서 C 원자 수가 증가함에 따라 밀도가 감소한다. 이러한 결과에 대한 간단한 설명은 밀도가 아니라 발색단의 몰 농도가 중요하다는 것이다. 동족계열에서 이것은 C-H 결합의 여기이다. 아우구스트 베어는 1862년 한스 H. 란돌트에게 동족계열 화합물의 굴절률을 조사하라는 조언을 했을 때 직관적으로 이를 알고 있었을 것이다.^[51] 란돌트는 당시 분산 이론이 초기 단계였기 때문에 이러한 관계를 발견하지 못했지만, 단일 원자에도 할당할 수 있는 몰 굴절률이라는 개념을 생각해냈다.^[52] 이 개념을 기반으로 유기 물질의 굴절률을 계산할 수 있다.

8. 10. 군 지수

때때로, 보통 '군 지수'라고 불리는 "군 속도 굴절률"은 다음과 같이 정의된다.

:

n_\mathrm{g} = \frac{\mathrm{c}}{v_\mathrm{g}}

여기서

v_\mathrm{g}

는 군 속도이다. 이 값은 항상 위상 속도에 대해 정의되는

n

과 혼동해서는 안 된다. 분산이 작을 때, 군 속도는 다음 관계식을 통해 위상 속도와 연결될 수 있다.^[53]

:

v_\mathrm{g} = v - \lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}

여기서

\lambda

는 매질 내 파장이다. 따라서 이 경우 군 지수는 굴절률의 파장 의존성에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

n_\mathrm{g} = \frac{n}{1 + \frac{\lambda}{n}\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda}}

매질의 굴절률이 (매질 내 파장 대신) 진공 파장의 함수로 알려져 있을 때, 군 속도 및 지수에 대한 해당 표현식은 (모든 분산 값에 대해) 다음과 같다.^[54]

:

\begin{align}v_\mathrm{g} &= \mathrm{c}\!\left(n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0}\right)^{-1} \\n_\mathrm{g} &= n - \lambda_0 \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda_0}\end{align}

여기서

\lambda_0

는 진공에서의 파장이다.

8. 11. 분극률

물질의 굴절률은 로렌츠-로렌츠 방정식을 사용하여 분극률과 관련짓거나, 몰 굴절률을 사용하여 구성 요소와 관련지을 수 있다. 글래드스톤-데일 관계식 또한 사용된다.^[56] 굴절률과 분극률의 관계는 로렌츠-로렌츠 식으로 나타낼 수 있다.

9. 비선형 및 비균질 굴절

지금까지는 굴절이 공간적으로 일정하고 스칼라인 굴절률을 포함하는 선형 방정식으로 주어진다고 가정해 왔다. 그러나 이러한 가정은 여러 가지 방식으로 깨질 수 있다.

일부 물질에서는 굴절률이 빛의 편광과 진행 방향에 따라 달라지는 복굴절(광학적 이방성) 현상이 나타난다. 또한, 고강도 빛의 강한 전기장은 매질의 굴절률을 변화시켜 비선형 광학 현상을 일으키기도 한다. 매질의 굴절률이 일정하지 않고 위치에 따라 점진적으로 변하는 경우도 있는데, 이를 굴절률 분포형(GRIN) 매질이라고 하며, 굴절률 분포 광학으로 설명된다.

9. 1. 복굴절

일부 물질에서는 굴절률이 빛의 편광과 진행 방향에 따라 달라진다.^[60] 이를 복굴절 또는 광학적 이방성이라고 한다.

가장 단순한 형태인 단축성 복굴절에서는 물질 내에 하나의 특수한 방향만 존재한다. 이 축을 물질의 광축이라고 한다.^[1] 이 축에 수직인 선형 편광을 가진 빛은 ''보통'' 굴절률을 경험하는 반면, 평행하게 편광된 빛은 ''비상'' 굴절률을 경험한다.^[1] 물질의 복굴절률은 이러한 굴절률의 차이이다.^[1] 광축 방향으로 진행하는 빛은 굴절률이 편광과 무관하기 때문에 복굴절의 영향을 받지 않는다. 다른 진행 방향의 경우 빛은 두 개의 선형 편광된 빔으로 분리된다. 광축에 수직으로 이동하는 빛의 경우 빔은 동일한 방향을 갖는다.^[1] 이것은 선형 편광된 빛의 편광 방향을 변경하거나 파장판을 사용하여 선형, 원형 및 타원형 편광 간의 변환에 사용할 수 있다.^[1]

많은 결정은 자연적으로 복굴절성을 띠지만, 플라스틱이나 유리와 같은 등방성 물질도 외부 힘이나 전기장과 같은 방법으로 우선 방향을 도입하여 복굴절성을 갖도록 만들 수 있다. 이 효과를 광탄성이라고 하며, 구조물의 응력을 밝히는 데 사용할 수 있다. 복굴절성 물질은 교차된 편광판 사이에 배치된다. 복굴절의 변화는 편광을 변경하고 따라서 두 번째 편광판을 통해 투과되는 빛의 비율을 변경한다.

결정 광학 분야에서 설명하는 삼축성 복굴절 물질의 더 일반적인 경우, ''유전율''은 2계 텐서(3x3 행렬)이다. 이 경우 주축을 따라 편광을 제외하고는 굴절률로 빛의 진행을 단순하게 설명할 수 없다.

9. 2. 비선형성

고강도 빛(예: 레이저)의 강한 전기장은 매질을 통과하는 빛에 따라 굴절률이 변화하게 하여 비선형 광학 현상을 일으킨다.^[1] 굴절률이 전기장의 제곱(세기에 비례)에 따라 변하는 경우, 이를 광학적 커 효과라고 하며, 셀프 포커싱 및 셀프 위상 변조와 같은 현상을 유발한다.^[1] 굴절률이 전기장에 비례하여 변하는 경우(반전 대칭성을 갖지 않는 물질에서만 비자명한 선형 계수가 가능함), 이를 포켈스 효과라고 한다.^[1]

9. 3. 비균질성

매질의 굴절률이 일정하지 않고 위치에 따라 점진적으로 변하는 경우, 그 물질을 굴절률 분포형(GRIN) 매질이라고 하며, 굴절률 분포 광학으로 설명된다.^[1] 이러한 매질을 통과하는 빛은 굴절되거나 초점을 맞출 수 있으며, 이 효과를 이용하여 렌즈, 일부 광섬유 및 기타 장치를 제작할 수 있다. 광학 시스템 설계에 굴절률 분포형(GRIN) 요소를 도입하면 시스템을 크게 단순화하여 전체 성능을 유지하면서 요소 수를 최대 3분의 1까지 줄일 수 있다.^[1] 인간 눈의 수정체는 내부 코어에서 약 1.406, 밀도가 낮은 피질에서는 약 1.386으로 굴절률이 변하는 굴절률 분포형(GRIN) 렌즈의 예이다.^[1] 일반적인 신기루는 대기의 공간적으로 변하는 굴절률 때문에 발생한다.

10. 굴절률 측정

액체나 고체의 굴절률은 굴절계로 측정할 수 있다. 굴절계는 일반적으로 어떤 굴절각 또는 전반사를 위한 임계각을 측정한다. 상업적으로 판매된 최초의 실험실용 굴절계는 19세기 후반 에른스트 압베에 의해 개발되었다.^[61] 오늘날에도 같은 원리가 사용된다. 이 기구에서는 측정할 액체의 얇은 층을 두 개의 프리즘 사이에 놓는다. 빛은 90°까지 모든 입사각으로 액체를 통해 비춘다. 즉, 표면에 평행한 광선이다. 두 번째 프리즘은 액체보다 높은 굴절률을 가져야 하므로 빛이 전반사에 대한 임계각보다 작은 각도로만 프리즘에 들어간다. 그런 다음 망원경을 통해 또는 렌즈의 초점면에 놓인 디지털 광검출기를 사용하여 이 각도를 측정할 수 있다. 그런 다음 액체의 굴절률 ''n''은 최대 투과각 θ에서 ''n'' = ''n''_G sin ''θ''로 계산할 수 있으며, 여기서 ''n''_G는 프리즘의 굴절률이다.^[62]

한쪽 끝에 시료를 위한 표면이 있고 다른 쪽 끝에 접안렌즈가 있는 작은 원통형 굴절계 — 과일의 당도를 측정하는 데 사용되는 휴대용 굴절계

이러한 유형의 장치는 화학 실험실에서 물질을 식별하고 품질 관리하는 데 일반적으로 사용된다. 예를 들어, 농업에서 와인 제조자가 포도 주스의 당도를 결정하기 위해 휴대용 변형을 사용하고, 인라인 공정 굴절계는 예를 들어 화학 및 제약 산업에서 공정 제어에 사용된다.

보석학에서는 다른 유형의 굴절계를 사용하여 보석의 굴절률과 복굴절을 측정한다. 보석은 높은 굴절률 프리즘에 놓이고 아래에서 조명된다. 높은 굴절률 접촉 액체를 사용하여 보석과 프리즘 사이에 광학적 접촉을 달성한다. 작은 입사각에서는 대부분의 빛이 보석으로 투과되지만, 큰 각도에서는 프리즘에서 전반사가 발생한다. 임계각은 일반적으로 망원경을 통해 측정된다.^[63]

왼쪽 위쪽 경계가 어둡고 오른쪽 아래쪽 경계가 밝은 발아 효모 세포 — 위상차 현미경법으로 촬영한 발아 효모 세포 이미지

시료 내 굴절률의 공간적 변화를 측정하기 위해 위상차 현미경법이 사용된다. 이 방법은 시료에서 나오는 빛 파동의 위상 변화를 측정한다. 위상은 빛이 통과한 광로 길이에 비례하며, 따라서 광선 경로를 따라 굴절률의 적분을 측정한다. 가시광선 스펙트럼에서는 Zernike 위상차 현미경, 위상차 현미경법(DIC), 또는 간섭계를 사용하여 이 작업을 수행한다.

X선 영역에서 시료의 굴절률의 2D 또는 3D 공간 분포를 결정하기 위한 여러 X선 위상차 이미징 기술이 있다.^[64]

11. 응용

굴절률은 모든 광학 기기 구성 요소의 중요한 특성이다. 굴절률은 렌즈의 초점 거리, 프리즘의 분산력, 렌즈 코팅의 반사율, 그리고 광섬유의 빛 유도 특성을 결정한다. 굴절률은 물질의 기본적인 물리적 특성이므로 특정 물질을 식별하거나, 순도를 확인하거나, 농도를 측정하는 데 자주 사용된다. 굴절률은 고체, 액체 및 기체를 측정하는 데 사용되며, 가장 일반적으로 수용액에서 용질의 농도를 측정하는 데 사용된다. 또한 각 돌이 보여주는 고유한 캐츠아이 효과 때문에 서로 다른 종류의 보석을 구별하는 데 유용한 도구로 사용할 수 있다. 굴절계는 굴절률을 측정하는 데 사용되는 기기이다. 설탕 용액의 경우 굴절률을 사용하여 설탕 함량을 결정할 수 있다(브릭스 참조).

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