극소곡면

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1. 개요

극소 곡면은 3차원 유클리드 공간에서 여러 가지 동등한 방식으로 정의될 수 있으며, 미분 기하학, 변분법, 복소 해석학 등 다양한 수학 분야와 관련이 있다. 국소 최소 면적, 변분, 평균 곡률, 미분 방정식, 에너지, 조화, 가우스 사상 정의 등이 있으며, 평균 곡률이 0인 곡면으로 정의되기도 한다. 극소 곡면은 평면, 현수면, 나선면과 같은 전통적인 형태와 자이로이드, 코스타 극소곡면과 같은 현대적인 형태로 분류되며, 건축, 디자인, 재료 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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극소곡면
개요
다양한 극소 곡면의 예
정의	국소적으로 자신의 면적을 최소화하는 곡면
다른 정의	평균 곡률이 0인 곡면
역사
연구 시작	1760년, 조제프루이 라그랑주
용어 도입	장바티스트 뫼니에
성질
평균 곡률	0
면적 최소화	국소적으로 면적을 최소화함
극소 곡면 방정식	(1 + n²)l − 2mn + (1 + l²)n = 0
예시
현수면	회전면에 해당함
에네페르 곡면	대수적 극소 곡면의 한 종류
셰르크 곡면	이중 주기적 극소 곡면의 한 종류
코스타 곡면	완비한 임베딩 극소 곡면의 한 종류
응용
건축	텐트 구조, 막 구조 등
재료 과학	복잡한 구조 설계
미술	조형 작품

2. 정의

안장 타워 극소 곡면. 표면의 작은 변화도 면적을 증가시키지만, 동일한 경계를 가지면서 전체 면적이 더 작은 다른 표면이 존재한다.

극소곡면은 3차원 실수 공간(

\R^3

)에서 여러 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 이러한 정의들이 동등하다는 사실은 극소곡면 이론이 미분 기하학, 변분법, 포텐셜 이론, 복소 해석학, 수리 물리학 등 다양한 수학 분야와 깊이 연관되어 있음을 보여준다.^[1]

극소곡면은 다음과 같이 정의될 수 있다.

'''국소 최소 면적 정의''': 어떤 곡면이 있을 때, 그 곡면 위의 모든 점이 주변의 작은 영역에서 최소 면적을 가지면 그 곡면은 극소곡면이다.
'''변분 정의''': 곡면의 면적을 변화시키는 작은 변동에 대해, 면적의 변화가 0이 되는 곡면은 극소곡면이다.
'''평균 곡률 정의''': 곡면 위의 모든 점에서 평균 곡률이 0인 경우 극소곡면이다.

극소 곡면의 곡률 평면. 극소 곡면에서 주 곡률 평면을 따른 곡률은 모든 점에서 크기가 같고 부호가 반대이다. 이것은 평균 곡률을 0으로 만든다.

'''미분 방정식 정의''': 특정한 편미분 방정식의 해로 표현될 수 있는 곡면은 극소곡면이다.
'''에너지 정의''': 곡면을 3차원 공간에 등각 사상으로 나타냈을 때, 특정 조건을 만족하면 극소곡면이다.
'''조화 정의''': 곡면을 3차원 공간에 등거리로 나타냈을 때, 좌표 함수가 조화 함수이면 극소곡면이다.
'''가우스 사상 정의''': 곡면의 가우스 사상이 유리형 함수이고, 곡면이 구의 일부가 아니면 극소곡면이다.

국소 최소 면적 및 변분 정의를 활용하면 극소곡면을 3차원 실수 공간(

\R^3

)뿐만 아니라 다른 리만 다양체로 확장할 수 있다.^[4]

2. 1. 국소 최소 면적 정의

M \subset \R^3

인 표면은 모든 점 ''p'' ∈ ''M''이 단순 폐곡선으로 경계가 정해진 근방을 가지며, 이 근방이 동일한 경계를 가진 모든 표면 중에서 최소 면적을 가질 때 극소곡면이다.^[1] 이 속성은 국소적이다. 극소곡면에는 동일한 경계를 가지면서 면적이 더 작은 다른 표면과 함께 영역이 존재할 수 있다. 이 속성은 비누막과의 연관성을 보여준다. 와이어 프레임을 경계로 갖도록 변형된 비누막은 면적을 최소화한다.

2. 2. 변분 정의

극소곡면은 모든 콤팩트 지지 변분에 대해 면적 함수의 임계점인 곡면이다.

이 정의는 극소곡면을 길이 함수의 임계점으로 정의되는 측지선의 2차원 유사체로 만든다.

2. 3. 평균 곡률 정의

M \subset \R^3

인 표면은 모든 점에서 평균 곡률이 0과 같을 때 극소 곡면이다.^[1]

이 정의의 직접적인 함의는 표면의 모든 점이 크기가 같고 부호가 반대인 주 곡률을 갖는 안장점이라는 것이다. 또한, 이것은 극소 곡면을 평균 곡률 흐름의 정적 해로 만든다. 영-라플라스 방정식에 따르면, 비누막의 평균 곡률은 양쪽의 압력 차이에 비례한다. 비누막이 영역을 둘러싸지 않으면 평균 곡률이 0이 된다. 반대로, 구형 비누 방울은 외부 영역과 다른 압력을 가진 영역을 둘러싸고 있으므로 평균 곡률이 0이 아니다.

2. 4. 미분 방정식 정의

M \subset \R^3

인 표면은 국소적으로 다음 편미분 방정식의 해 그래프로 표현될 수 있을 때 극소곡면이다.

::

(1+u_x^2)u_{yy} - 2u_xu_yu_{xy} + (1+u_y^2)u_{xx}=0

이 편미분 방정식은 원래 1762년 라그랑주에 의해 발견되었고,^[2] 1776년 장 밥티스트 뫼니에는 이것이 사라지는 평균 곡률을 의미한다는 것을 발견했다.^[3]

2. 5. 에너지 정의

등각 사상

X: M \rightarrow \R^3

는 모든 콤팩트 지지 변분에 대해 디리클레 에너지의 임계점이거나, 모든 점

p \in M

이 경계에 대해 최소 에너지를 갖는 근방을 가질 때 극소이다.^[1]

이 정의는 극소 곡면을 조화 함수 및 포텐셜 이론과 연결한다.

2. 6. 조화 정의

X^영어 = (x₁^영어, x₂^영어, x₃^영어) : M^영어 → ℝ³가 등거리 매입인 경우, 리만 곡면을 3차원 공간에 매입하면 xᵢ^영어가 각 i^영어에 대해 M^영어에서 조화 함수일 때 X^영어는 극소이다.^[1] 이 정의와 조화 함수의 최대 원리의 직접적인 함의는 ℝ³에 콤팩트 완비 극소 곡면이 없다는 것이다.

2. 7. 가우스 사상 정의

Gauss map definition^영어:

M \subset \R^3

인 표면은 해당 가우스 사상

g: M \rightarrow \mathbb{C} \cup \{\infty\}

이 기본 리만 곡면 구조에 대해 유리형이고

M

이 구의 일부가 아닐 때 극소이다.^[4]

이 정의는 평균 곡률이 형상 연산자의 대각합의 절반이라는 것을 사용하며, 이는 가우스 사상의 도함수와 연결되어 있다. 투영된 가우스 사상이 코시-리만 방정식을 따르면 대각합이 사라지거나 ''M''의 모든 점이 배꼽점이 되며, 이 경우 구의 일부이다.

3. 역사

극소곡면 이론은 1762년 라그랑주가 주어진 닫힌 경계선에 걸쳐 최소 면적을 갖는 표면 $z=z(x,y)$ 을 찾는 변분 문제를 고려하면서 시작되었다. 그는 이 문제에 대한 해로 오일러-라그랑주 방정식을 유도했지만, 평면 외에는 다른 해를 찾지 못했다.

1776년 장바티스트 마리 뫼니에는 헬리코이드(나선면)와 사슬면(카테노이드)이 라그랑주가 유도한 방정식을 만족하며, 방정식의 미분 표현식이 표면의 두 배의 평균 곡률에 해당한다는 것을 발견했다. 또한 평균 곡률이 0인 표면이 면적을 최소화한다는 결론을 내렸다.

1795년 가스파르 몽주와 르장드르는 해 표면에 대한 표현 공식을 유도했고, 1830년 하인리히 슈레크는 이 공식을 이용하여 자신의 표면을 유도했다. 그러나 이 공식들은 실질적으로 사용하기 어려운 것으로 여겨졌다. 1842/43년에 카탈랑은 헬리코이드가 유일한 선 면 극소곡면임을 증명했다.

19세기 중반까지 진전은 느렸지만, 복소해석학을 이용한 방법으로 Björling 문제가 해결되면서 극소곡면의 "제1 황금기"가 시작되었다. 슈바르츠는 1865년에 정사각형에 대한 플라토 문제의 해를, 1867년에는 일반 사변형에 대한 해를 찾았고, 이를 통해 그의 주기적인 표면 군을 구성할 수 있었다. 바이어슈트라스와 에네퍼는 표현 공식을 개발하여 극소곡면을 복소해석학 및 조화 함수와 연결했다.

1925년에서 1950년 사이에는 비매개변수 표시 극소곡면을 중심으로 극소곡면 이론이 다시 활발하게 연구되었다. 이 시기 제시 더글러스와 티보르 라도는 플라토 문제에 대한 완전한 해를 제시했다.

1980년대에 극소곡면 연구는 다시 부활했다. 1982년 셀소 코스타가 발견한 코스타 극소곡면은 평면, 사슬면, 헬리코이드만이 유한한 위상적 유형을 갖는 R³에서의 유일한 완전 내재 극소곡면이라는 추측을 반증했다.

현재 극소곡면 이론은 다른 주변 기하학에서의 극소 부분 다양체로 다양화되어, 수학 물리학 및 3차원 다양체 기하학과 관련이 있다.

3. 1. 초기 연구 (18세기)

라그랑주는 1762년에 주어진 닫힌 경계선에 걸쳐 최소 면적을 갖는 표면

z=z(x,y)

을 찾는 변분 문제를 고려하면서 극소곡면 이론을 시작했다. 그는 이 문제에 대한 해로 오일러-라그랑주 방정식을 유도했다.^[14]

:

\frac{d}{dx}\left(\frac{z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\right ) + \frac{d}{dy}\left(\frac{z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\right )=0

라그랑주는 평면 외에는 다른 해를 찾지 못했다. 1776년 장바티스트 마리 뫼니에는 헬리코이드(나선면)와 사슬면(카테노이드)이 이 방정식을 만족하며, 미분 표현식이 표면의 두 배의 평균 곡률에 해당한다는 것을 발견했다. 그는 평균 곡률이 0인 표면이 면적을 최소화한다는 결론을 내렸다.^[15]

3. 2. 발전 (19세기)

가스파르 몽주와 르장드르는 1795년에 해 표면에 대한 표현 공식을 유도했다.^[14] 1830년 하인리히 슈레크는 이 공식을 이용하여 자신의 표면을 유도했지만, 이 공식들은 일반적으로 실질적으로 사용할 수 없는 것으로 간주되었다.^[15] 1842/43년에 카탈랑은 헬리코이드가 유일한 선 면 극소곡면임을 증명했다.^[16]

19세기 중반까지 진전은 상당히 느렸지만, 복소수 방법을 사용하여 Björling 문제가 해결되면서 상황이 달라졌다. 극소곡면의 "제1 황금기"가 시작되었다. 슈바르츠는 복소수 방법을 사용하여 1865년에 정사각형에 대한 플라토 문제의 해를, 1867년에는 일반 사변형에 대한 해를 찾았고, 이를 통해 그의 주기적인 표면 군을 구성할 수 있었다. 바이어슈트라스와 에네퍼는 더욱 유용한 표현 공식을 개발하여 극소곡면을 복소해석학 및 조화 함수와 확고하게 연결했다. 그 외에 벨트라미, 보네, 다르부, 리, 리만, 세레, 바잉가르텐 등의 중요한 기여가 있었다.

3. 3. 현대 연구 (20세기-현재)

1925년에서 1950년 사이에 극소곡면 이론은 주로 비매개변수 표시 극소곡면을 중심으로 다시 활발하게 연구되었다. 이 시기에 제시 더글러스와 티보르 라도가 플라토 문제에 대한 완전한 해를 제시한 것은 중요한 이정표였다.^[18] 베른슈타인 문제와 로버트 오스서먼의 유한 총 곡률을 갖는 완비 극소곡면에 대한 연구도 중요한 성과였다.

1980년대에 들어서 극소곡면 연구는 다시 한번 부활했다. 1982년 셀소 코스타가 발견한 코스타 극소곡면은 평면, 사슬면, 헬리코이드만이 유한한 위상적 유형을 갖는 R³에서의 유일한 완전 내재 극소곡면이라는 추측을 반증했다. 이 발견은 오래된 매개변수적 방법을 사용한 새로운 연구를 촉발시켰을 뿐만 아니라, 연구된 표면을 시각화하기 위한 컴퓨터 그래픽스와 "주기 문제"를 해결하기 위한 수치적 방법의 중요성을 보여주었다. 여기서 "주기 문제"란 공액 표면 방법을 사용하여 더 큰 대칭 표면으로 조립할 수 있는 표면 패치를 결정할 때, 내재 표면을 생성하기 위해 특정 매개변수를 수치적으로 일치시켜야 하는 문제를 의미한다.

H. 카르허가 1970년 앨런 숀이 경험적으로 묘사한 삼중 주기 극소곡면이 실제로 존재한다는 것을 확인한 것 또한 중요한 발전이었다. 이는 손잡이를 추가하거나 왜곡하는 방식으로 새로운 표면을 유도하는 풍부한 표면 군과 방법을 이끌어냈다.

현재 극소곡면 이론은 다른 주변 기하학에서의 극소 부분 다양체로 다양화되어, 수학 물리학 (예: 양의 질량 추측, 펜로즈 추측) 및 3차원 다양체 기하학 (예: 스미스 추측, 푸앵카레 추측, 서스턴 기하화 추측)과 관련이 있게 되었다.

4. 종류

극소곡면은 다양한 형태와 특징을 가지며, 여러 가지 방법으로 분류될 수 있다. 전통적인 극소곡면, 19세기에 발견된 극소곡면, 현대의 극소곡면으로 분류할 수 있다.

19세기 황금 시대의 표면은 다음과 같다.

슈바르츠 극소곡면: $\R^3$ 을 채우는 삼중 주기 극소 곡면이다.
리만 극소곡면: 사후에 설명된 주기적인 표면이다.
에네퍼 곡면
헤네베르크 곡면: 최초의 비가향 극소 곡면이다.
부르 극소곡면
네오비우스 곡면: 삼중 주기 극소 곡면이다.

현대의 극소곡면은 다음과 같다.

자이로이드: 1970년 쇼엔이 제시한 표면 중 하나로, 액정 구조에 특히 관심이 있는 삼중 주기 표면이다.
안장 타워 계열: 셰르크의 두 번째 곡면의 일반화이다.
코스타 극소곡면: 유명한 추측을 반증했다. 1982년 셀소 코스타(Celso Costa)에 의해 설명되었고, 나중에 짐 호프만(Jim Hoffman)에 의해 시각화되었다. 짐 호프만, 데이비드 호프만, 윌리엄 믹스 3세는 정의를 확장하여 서로 다른 회전 대칭성을 가진 표면의 계열을 만들었다.
첸-개크스테터 곡면 계열: 에네퍼 곡면에 손잡이를 추가하였다.

4. 1. 전통적인 극소곡면

평면
현수면(catenoid)
나선면(helicoid)

현수선을 그 회전축을 한 바퀴 돌려서 만들어진 극소 곡면인 catenoid^영어와 그 직선에 수직인 하나의 회전축 주위를 일정한 속도로 회전하면서, 일정한 속도로 회전축을 따라 동시에 움직이는 직선에 의해 그려지는 곡면인 helicoid^영어는, 한쪽에서 다른 쪽으로의 연속 변형이 있다는 특기할 만한 성질을 갖는다. 그 국소적인 변형은 모든 점에서 등장이다. 게다가 변형 과정의 모든 곡면은 극소 곡면이다.^[19] 이들에 관해, 현수면을 나타내는 변숫값 0부터 나선면을 나타내는 변숫값

\frac{\pi}{2}

까지,

t

를 변형의 매개변수로 하고, 다음에 나타내는

t

로부터의 변형 과정의 곡면을 나타내는 변수의

(u,v)

인 매개변수 표현을 쉽게 얻을 수 있다.

:

x = \frac{e^u \cos(v-t)}{2} + \frac{e^{-u} \cos(v+t)}{2}

:

y = \frac{e^u \sin(v-t)}{2} + \frac{e^{-u} \sin(v+t)}{2}

:

z = u\cos(t) + v\sin(t)

4. 2. 19세기에 발견된 극소곡면

슈바르츠 극소곡면: $\R^3$ 을 채우는 삼중 주기 극소 곡면이다.
리만 극소곡면: 사후에 설명된 주기적인 표면이다.
에네퍼 곡면
헤네베르크 곡면: 최초의 비가향 극소 곡면이다.
부르 극소곡면

4. 3. 현대의 극소곡면

자이로이드(Gyroid)
안장탑(Saddle tower)
코스타 극소곡면
천-객스태터 곡면(Chen–Gackstatter surface)

5. 일반화 및 다른 분야와의 연관성

극소 곡면은 3차원 유클리드 공간( $\R^3$ ) 뿐만 아니라, 쌍곡 공간, 고차원 공간, 리만 다양체와 같은 다른 다양체에서도 정의될 수 있다.

극소 곡면의 정의는 평균 곡률이 반드시 0일 필요는 없는 상수 평균 곡률 곡면을 포함하도록 일반화될 수 있다. 등온 곡면의 곡률선은 등온 망을 형성한다.^[5] 극소 곡면에서의 브라운 운동은 극소 곡면에 대한 여러 정리의 확률적 증명을 이끌어낸다.^[7]

"극소곡면"이라는 용어는 이 곡면들이 본래 일정한 면적을 합계로 최소화하는 곡면이기 때문에 사용된다. 극소곡면의 면적을 최소화하는 물리적 모델은 비눗물에 철사 틀을 담갔을 때 생기는 비누막(soap film^영어)이다. 이것은 철사 틀을 경계로 하는 극소곡면을 형성한다. 그러나 이 용어는 자기 교차나 제약되지 않는 보다 일반적인 곡면에 대해서도 사용된다. 따라서 주어진 제약 조건에 따라 면적이 다른 여러 개의 극소곡면이 존재할 수 있다 (예: minimal surface of revolution^영어). 표준적인 정의는 국소적 최적과 관련될 뿐, 전역적 최적은 아니다.

5. 1. 다른 기하학에서의 극소곡면

극소 곡면은 쌍곡 공간, 고차원 공간 또는 리만 다양체와 같은 다른 다양체에서도 정의될 수 있다.^[5]

극소 곡면의 정의는 평균 곡률이 0일 필요는 없는 상수 평균 곡률 곡면을 포함하도록 일반화되거나 확장될 수 있다.

5. 2. 상수 평균 곡률 곡면

극소 곡면의 정의는 평균 곡률이 0이 아닌 상수 값을 갖는 상수 평균 곡률 곡면으로 일반화할 수 있다.^[5]

5. 3. 이산 미분 기하학

이산 미분 기하학에서는 정점 위치의 작은 섭동 하에서 면적을 최소화하는 삼각형의 단순 복합체인 이산 극소 곡면이 연구된다.^[6] 이러한 이산화는 닫힌 형식의 표현식이 알려져 있지 않더라도 극소 곡면을 수치적으로 근사하는 데 자주 사용된다.

5. 4. 물리학 및 재료 과학

극소 곡면은 특히 분자 공학 및 재료 과학 분야에서 복잡한 재료의 자기 조립에 대한 예상되는 응용 분야로 인해 활발한 과학 연구 분야가 되었다.^[8] 소포체는 세포 생물학에서 중요한 구조인데, 비자명한 극소 곡면에 순응하도록 진화적 압력을 받고 있다는 제안이 있다.^[9]

일반 상대성 이론 및 로렌츠 기하학 분야에서, 극소 곡면 개념의 특정 확장 및 수정 사항, 즉 겉보기 지평선은 중요하다.^[10] 이는 사건의 지평선과 대조적으로, 블랙홀 경계를 이해하기 위한 곡률 기반 접근 방식을 나타낸다.

5. 5. 건축 및 디자인

극소 곡면은 현대 디자이너들이 사용하는 생성 설계 도구의 일부이다. 건축 분야에서는 극소 곡면과 밀접한 관련이 있는 인장 구조에 대한 관심이 많았다. 프라이 오토, 반 시게루, 자하 하디드의 작품에서 유명한 사례를 볼 수 있다. 프라이 오토가 설계한 뮌헨 올림픽 경기장은 비누 곡면에서 영감을 받았다.^[11] 프라이 오토의 또 다른 주목할 만한 예는 캐나다 몬트리올 엑스포 67의 독일 파빌리온이다.^[12]

극소 곡면을 가진 구조는 텐트로 사용될 수 있다.

5. 6. 예술

예술계에서는 로버트 잉만(1927–2018), 로버트 롱허스트(1949– ), 찰스 O. 페리(1929–2011) 등의 조각에서 극소 곡면이 광범위하게 탐구되었다.^[11]

5. 7. 모세관 현상

비누 막은 모세관 현상에 의해 극소곡면을 형성한다. 비누 막은 표면이 작동하도록 하는 포텐셜 에너지에 따라 극소화된다. 이는 라플라스-영 방정식을 따르는데, 수식은 다음과 같다.

\Delta p =2\sigma\gamma \,

$\Delta p \,$ : 곡면의 두 단면에서 주어지는 압력차
$\sigma \,$ : 곡면을 형성하는 액체의 표면 장력
$\gamma \,$ : 평균 곡률

비누 막이 생기는 경우, 공기압은 양쪽에서 균등하게 작용하므로

\Delta p = 0\,

이고, 따라서 평균 곡률은 0이다.

참조

_[1] 논문 The classical theory of minimal surfaces
_[2] 문서 J. L. Lagrange. Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrales indefinies. Miscellanea Taurinensia 2, 325(1):173{199, 1760.
_[3] 문서 J. B. Meusnier. Mémoire sur la courbure des surfaces. Mém. Mathém. Phys. Acad. Sci. Paris, prés. par div. Savans, 10:477–510, 1785. Presented in 1776.
_[4] 문서 See Nishikawa (2002) about variational definition.
_[5] 웹사이트 Isothermal surface - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2022-09-04
_[6] 논문 Computing Discrete Minimal Surfaces and Their Conjugates http://projecteuclid[...]
_[7] 논문 A martingale approach to minimal surfaces
_[8] 논문 An Overview of Materials with Triply Periodic Minimal Surfaces and Related Geometry: From Biological Structures to Self-Assembled Systems https://onlinelibrar[...] 2018-04
_[9] 논문 Stacked endoplasmic reticulum sheets are connected by helicoidal membrane motifs 2013-07-18
_[10] 서적 General relativity and the Einstein equations Oxford University Press
_[11] 웹사이트 AD Classics: Olympiastadion (Munich Olympic Stadium) / Behnisch and Partners & Frei Otto https://www.archdail[...] 2022-09-04
_[12] 웹사이트 Expo 67 German Pavilion https://architectuul[...] 2022-09-04
_[13] 문서 Meeks & Pérez (2011)
_[14] 문서 Lagrange (1760)
_[15] 문서 Meusnier (1785)
_[16] 문서 西川(1998)
_[17] 문서 us 741 (2011)
_[18] 문서 ヒルベルト, コーン・フォッセン (1961)
_[19] 문서 ヒルベルト, コーン・フォッセン (1961)
_[20] 문서 選ばれた定義がどうであろうと、[[多様体#無限次元多様体 |無限次元多様体]]は、局所的にコンパクトではない：崩れた、それは大域性の存在を与えない。
_[21] 문서 encyclopedia (2011)
_[22] 문서 Pinkall & Polthier (1993)
_[23] 문서 Neel (2009)
_[24] 문서 Han & Che (2018)
_[25] 문서 Terasaki et al. (2013)
_[26] 문서 Choquet-Bruhat (2009)
_[27] 문서 ArchDaily (2011)
_[28] 문서 Architectuu

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