모노이드 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 모노이드 범주
- 2.2. 모노이드 함자
3. 주요 개념
- 3.1. 대칭 모노이드 범주
- 3.2. 닫힌 모노이드 범주
4. 성질
5. 다양한 예시
6. 역사
7. 응용
8. 추가 설명
참조

1. 개요

모노이드 범주는 범주, 텐서곱 함자, 항등원 및 결합자, 왼쪽 항등자, 오른쪽 항등자로 구성된 수학적 구조이다. 이러한 데이터는 결합자의 일관성 및 항등원의 일관성 조건을 만족해야 한다. 엄격한 모노이드 범주는 자연 동형 사상이 항등 사상인 범주이며, 모든 모노이드 범주는 엄격한 모노이드 범주와 모노이드적으로 동치이다. 모노이드 범주는 대칭 모노이드 범주, 닫힌 모노이드 범주 등 다양한 개념으로 확장되며, 모노이드 함자, 모노이드 자연 변환 등의 개념과 관련된다. 모노이드 범주는 추상대수학의 모노이드 개념을 일반화하며, 집합 범주, 가군 범주 등 다양한 예시가 존재한다.

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모노이드 범주

2. 정의

모노이드 범주는 모노이드 구조가 갖춰진 범주 $\mathbf{C}$ 이다. 모노이드 구조는 이중 함자, 단위 대상, 자연 동형 사상으로 구성되며, 이들은 특정 일관성 조건을 만족해야 한다.

모노이드 구조는 다음과 같다.

'''모노이드 곱''' 또는 '''텐서곱'''이라고 불리는 이중 함자 $\otimes \colon \mathbf{C} \times \mathbf{C} \to \mathbf{C}$
'''모노이드 단위''',^[2] '''단위 대상''' 또는 '''항등 대상'''이라고 불리는 대상 $I$
텐서 연산이 특정 일관성 조건을 따르는 세 개의 자연 동형 사상
'''결합 법칙''' 성립: 각 세 개의 변수 $A$ , $B$ , $C$ 에 대해 자연 동형 사상 $\alpha$ 가 존재하며, 이를 '''결합자'''라고 부르고, 그 성분은 $\alpha_{A,B,C} \colon A \otimes (B \otimes C) \cong (A \otimes B) \otimes C$ 이다.
$I$ 가 왼쪽 및 오른쪽 항등원으로 작용: 두 개의 자연 동형 사상 $\lambda$ 와 $\rho$ 가 있으며, 각각 '''왼쪽 단위자''' 및 '''오른쪽 단위자'''라고 부르고, 그 성분은 $\lambda_A \colon I \otimes A \cong A$ 및 $\rho_A \colon A \otimes I \cong A$ 이다.

$\lambda$ 와 $\rho$ 가 어떻게 작용하는지 기억하는 좋은 방법은 두운을 이용하는 것이다. ''람다(Lambda)'' $\lambda$ 는 ''왼쪽''에서 항등원을 지우고, ''로(Rho)'' $\rho$ 는 ''오른쪽''에서 항등원을 지운다.

이러한 자연 변환에 대한 일관성 조건은 다음과 같다.

$\mathbf{C}$ 의 모든 $A$ , $B$ , $C$ 및 $D$ 에 대해, 오각형 그림

은 가환이다.

$\mathbf{C}$ 의 모든 $A$ 와 $B$ 에 대해, 삼각형 그림

은 가환이다.

2. 1. 모노이드 범주

'''모노이드 범주'''

(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

범주 $\mathcal C$
함자 $\otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$
대상 $I\in\mathcal C$ . 이를 '''항등원'''(identity element^영어)이라고 한다.
자연 동형 $\alpha\colon(-\otimes-)\otimes-\Rightarrow-\otimes(-\otimes-)$ . $(-\otimes-)\otimes-\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$ , $-\otimes(-\otimes-)\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$ 인 함자 사이의 관계를 나타낸다. 그 성분을 $\alpha_{XYZ}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)$ 로 쓰며, 이를 '''결합자'''(associator^영어)라고 한다.
자연 동형 $\lambda\colon I\otimes\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ . $I\otimes\colon\mathcal C\to\mathcal C$ , $\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C$ 인 함자 사이의 관계를 나타낸다. 그 성분을 $\lambda_X\colon I\otimes X\to X$ 로 쓰며, 이를 '''왼쪽 항등자'''(left unitor^영어)라고 한다.
자연 동형 $\rho\colon \otimes I\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ . $\otimes I\colon\mathcal C\to\mathcal C$ , $\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C$ 인 함자 사이의 관계를 나타낸다. 그 성분을 $\rho_X\colon X\otimes I\to X$ 로 쓰며, 이를 '''오른쪽 항등자'''(right unitor^영어)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

(결합자의 일관성) 임의의 대상 $X,Y,Z,W\in\mathcal C$ 에 대하여, $\alpha_{X,Y,Z\otimes W}\circ\alpha_{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname{id}_X\otimes\alpha_{Y,Z,W}\circ\alpha_{X,Y\otimes Z,W}\circ\alpha_{X,Y,Z}\otimes\operatorname{id}_W$ .
(항등원의 일관성) 임의의 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 에 대하여, $\alpha_{X,I,Y}\circ\operatorname{id}_X\otimes\lambda_Y=\rho_X\otimes\operatorname{id}_Y$ .

'''엄격한 모노이드 범주'''는 자연 동형 사상 ''α'', ''λ'' 및 ''ρ''가 항등 사상인 범주이다. 모든 모노이드 범주는 엄격한 모노이드 범주와 모노이드적으로 동치이다.

2. 2. 모노이드 함자

두 모노이드 범주

(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)

와

(\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho')

가 주어졌다고 하자. '''모노이드 함자'''(monoid函子, monoidal functor^영어)

(F,\xi,\xi_0)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

함자 $F:\mathcal C\to\mathcal C'$
자연 동형 $\xi_{XY}:F(X)\otimes'F(Y)\to F(X\otimes Y)$
동형 사상 $\xi_0:I' \to F(I)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

(결합성) 임의의 $X,Y,Z\in\mathcal C$ 에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.

::

\begin{matrix}(F(X)\otimes' F(Y))\otimes' F(Z)&\xrightarrow{\xi\otimes\operatorname{id}}&F(X\otimes Y)\otimes' F(Z)&\xrightarrow{\xi}&F((X\otimes Y)\otimes Z)\\\downarrow\scriptstyle\alpha'&&&&\downarrow\scriptstyle F(\alpha)\\F(X)\otimes'(F(Y)\otimes' F(Z))&\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\xi]{}&F(X)\otimes'F(Y\otimes Z)&\xrightarrow[\xi]{}&F(X\otimes(Y\otimes Z))\end{matrix}

(항등성) 임의의 $X\in\mathcal C$ 에 대하여 다음 두 그림이 가환 그림이다.

::

\begin{matrix}I'\otimes' F(X)&\xrightarrow{\xi_0\otimes \operatorname{id}}&F(I)\otimes' F(X)\\\downarrow\scriptstyle\lambda'&&\downarrow\scriptstyle \xi\\F(X)&\xleftarrow{F(\lambda)}&F(I\otimes X)\end{matrix}\qquad\begin{matrix}F(X)\otimes' I'&\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\xi_0}&F(X)\otimes' F(I)\\\downarrow\scriptstyle\rho'&&\downarrow\scriptstyle \xi\\F(X)&\xleftarrow{F(\rho)}&F(X\otimes I)\end{matrix}

모든

\xi_{XY}

와

\xi_0

가 동형 사상이면,

F

를 '''엄격한 모노이드 함자'''(strict monoidal functor^영어)라고 한다.

3. 주요 개념

모노이드 범주는 다음 구조를 갖는 범주이다.

'''텐서곱''' 또는 '''모노이드곱'''이라고 불리는 쌍함자
'''모노이드 단위''' 또는 '''단위 대상'''이라고 불리는 대상
텐서곱이 다음 조건을 만족한다는 사실을 나타내는, 일종의 정합성 조건을 만족하는 세 개의 자연 동형 및 :
'''결합 법칙''': 각 세 대상 에 대한 성분이 동형 $\alpha_{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C \cong A\otimes(B\otimes C)$ 로 주어지는, '''결합자'''라고 불리는 자연 동형 가 존재한다.
'''왼쪽 단위 법칙''' 및 '''오른쪽 단위 법칙''': 성분이 각각 $\lambda_A\colon I\otimes A\cong A,\quad \rho_A\colon A\otimes I\cong A$ 로 주어지며, 각각 '''왼쪽 단위자''', '''오른쪽 단위자'''라고 불리는 두 개의 자연 동형 , 가 존재한다.

여기서, 이들 자연 변환에 대한 정합성 조건은 다음과 같다.

'''C'''의 임의의 대상 ''A'', ''B'', ''C'', ''D''에 대해, 는 가환이다.
'''C'''의 임의의 대상 ''A''에 대해, 는 가환이다.

자연 변환 가 항등 변환인 (즉, 결합 법칙, 단위 법칙이 동형이 아닌 등호로 성립하는) 모노이드 범주는 '''강 모노이드 범주''', 협의 모노이드 범주, '''엄밀 모노이드 범주''' strict monoidal category^영어 등으로 불린다. 임의의 모노이드 범주는 어떤 강 모노이드 범주와 모노이드 동치이다.

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 또한 모노이드 연산과 호환되는 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하여 닫힌 모노이드 범주를 정의할 수 있다.

3. 1. 대칭 모노이드 범주

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상

X,Y

에 대하여,

X\otimes Y\cong Y\otimes X

일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, '''대칭 모노이드 범주'''의 개념을 얻는다.

대칭 모노이드 범주는 모노이드 범주에서

A\otimes B

와

B\otimes A

가 일관성 조건과 호환되는 방식으로 자연 동형이고, 이 자연 동형이 그 자체의 역인 경우이다.^[1] 모노이드 범주에서 곱

A \otimes B

와

B \otimes A

사이에 일관성 조건에 부합하는 형태로 자연 동형이 존재하고, 이 자연 동형이 자신을 역으로 갖는다면, 대칭 모노이드 범주를 얻는다.^[6]

3. 2. 닫힌 모노이드 범주

모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, '''닫힌 모노이드 범주'''의 개념을 얻는다. 닫힌 모노이드 범주는 펀터

X \mapsto X \otimes A

가 오른쪽 수반자를 갖는 모노이드 범주이며, 이를 "내부 Hom-펀터"

X \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf C}(A , X)

라고 한다. 예로는 집합 범주인 '''Set'''와 같은 데카르트 닫힌 범주와 유한 차원 벡터 공간 범주인 '''FdVect'''와 같은 콤팩트 닫힌 범주가 있다. 닫힌 모노이드 범주는 모노이드 범주로서, 텐서를 취하는 함자가 오른쪽 수반을 갖는 (그로 인해 "내부 사상 함자"("internal Hom-functor")의 개념이 생기는) 것을 말한다.

4. 성질

세 개의 정의적 정합성 조건으로부터, $\alpha$ , $\lambda$ , $\rho$ , 항등원, 텐서곱을 사용하여 사상을 구성하는 "광범위한 부류"의 다이어그램이 가환한다는 것을 알 수 있다. 이것이 맥 레인의 "정합성 정리"이다. 이러한 다이어그램 "모두"가 가환한다는 부정확한 진술이 가끔 있다.

5. 다양한 예시

모노이드 범주는 다양한 예시를 가진다.

범주	연산 $\otimes$	항등원 $I$	대칭 모노이드 범주?
집합의 범주 $\operatorname{Set}$	곱집합 $\times$	한원소 집합	예
집합의 범주 $\operatorname{Set}$	분리합집합 $\sqcup$	공집합	예
작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$	곱범주	하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 $\mathbb{1}$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 텐서곱 $\otimes_R$	1차 자유 가군 $R$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 직합 $\oplus$	자명 가군 $0$	예
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}\simeq \mathbb Z\text{-Mod}$	아벨 군의 텐서곱 $\otimes_{\mathbb Z}$	무한 순환군 $\mathbb Z$	예
모노이드 $M$ 의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 작은 범주	모노이드 이항 연산	모노이드 항등원	아닐 수 있음

가환환 ''R'' 위의 가군 범주 ''R''-Mod는 가군의 텐서곱 ⊗_''R''을 모노이드 곱으로, 환 ''R'' (자신에 대한 가군)을 단위로 하여 모노이드 범주이다.
체 ''K'' 위의 벡터 공간 범주 ''K''-Vect는 일차원 벡터 공간 ''K''를 단위로 사용한다.
아벨 군의 범주 Ab는 정수의 군 '''Z'''를 단위로 사용한다.
임의의 가환환 ''R''에 대해, ''R''-대수의 범주는 대수의 텐서 곱을 곱으로, ''R''을 단위로 하여 모노이드 범주이다.
점 있는 공간의 범주(콤팩트 생성 공간으로 제한)는 스매시 곱을 곱으로, 점 있는 0-구(두 점 이산 공간)를 단위로 하여 모노이드 범주이다.
범주 '''C'''에 대한 모든 자기 함자의 범주는 함자의 합성을 곱으로, 항등 함자를 단위로 하여 ''엄격한'' 모노이드 범주이다.
위로 경계가 있는 만남 반격자는 엄격한 대칭 모노이드 범주이다. 곱은 만남이고 항등원은 최상위 원소이다.
임의의 일반적인 모노이드 $(M,\cdot,1)$ 은 대상 집합 $M$ 을 갖는 작은 모노이드 범주이고, 사상에 대한 항등원만 있고, $\cdot$ 는 텐서 곱이고, $1$ 은 그 항등 대상이다.
임의의 가환 모노이드 $(M, \cdot, 1)$ 은 단일 객체를 갖는 모노이드 범주로 실현될 수 있다. 에크만-힐튼 논법에 의해, $M$ 에 다른 모노이드 곱을 추가하면 곱이 가환적이어야 한다.
가환체 위의 벡터 공간의 범주는 정수를 단위 대상으로 하는 모노이드 범주의 구조를 갖는다.
가환환 위의 다대수 범주는 해당 환을 단위 대상으로 하는 모노이드 범주의 구조를 갖는다.
범주 위의 자기 함자 전체로 이루어진 범주는 함자의 합성을 모노이드 곱, 항등 함자를 단위 대상으로 하는 강한 모노이드 범주의 구조를 갖는다.
위에 유계인 하반격자는 교차를 모노이드 곱, 최대원을 단위 대상으로 하는 강대칭 모노이드 범주의 구조를 갖는다.

5. 1. 데카르트 모노이드 범주

(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 '''데카르트 모노이드 범주'''(Cartesian monoidal category^영어)라고 한다.

범주	연산 $\otimes$	항등원 $I$	대칭 모노이드 범주?
집합의 범주 $\operatorname{Set}$	곱집합 $\times$	한원소 집합	예
작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$	곱범주	하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 $\mathbb{1}$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 텐서곱 $\otimes_R$	1차 자유 가군 $R$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 직합 $\oplus$	자명 가군 $0$	예
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}\simeq \mathbb{Z}\text{-Mod}$	아벨 군의 텐서곱 $\otimes_{\mathbb{Z}}$	무한 순환군 $\mathbb{Z}$	예

5. 2. 쌍대 데카르트 모노이드 범주

(시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 '''쌍대 데카르트 모노이드 범주'''(co-Cartesian monoidal category^영어)라고 한다.

다음은 쌍대 데카르트 모노이드 범주의 예시이다.

집합의 범주 $\operatorname{Set}$ 은 분리합집합 $\sqcup$ 을 모노이드 곱으로, 공집합을 단위 대상으로 하여 쌍대 데카르트 모노이드 범주를 이룬다.
쌍대적으로, 유한한 쌍대곱을 갖는 모든 범주는 쌍대곱을 모노이드 곱으로, 초기 대상을 단위로 하여 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주는 '''쌍대 데카르트 모노이드 범주'''라고 불린다.

5. 3. 전순서 모노이드

전순서 모노이드는 모든 두 객체 $c, c' \in \mathrm{Ob}(\mathbf{C})$에 대해, '''C'''에서 최대 하나의 사상 $c \to c'$가 존재하는 모노이드 범주이다. 전순서의 맥락에서, 사상 $c \to c'$는 때때로 $c \leq c'$로 표기된다. 전통적인 의미로 정의된 순서의 반사성과 추이성 속성은 각각 '''C'''의 항등 사상과 합성 공식에 의해 범주 구조에 통합된다. 만약 $c \leq c'$이고 $c' \leq c$이면, 객체 $c, c'$는 동형이며 $c \cong c'$로 표기된다.

전순서 '''C'''에 모노이드 구조를 도입하는 것은 다음을 포함한다.

''모노이드 단위''라고 불리는 객체 $I \in \mathbf{C}$
"$\cdot$"로 표시되는 함자 $\mathbf{C} \times \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ (''모노이드 곱셈''이라고 불림)

$I$와 $\cdot$는 동형까지 단위적이고 결합적이어야 하며, 다음을 의미한다.

: $(c_1 \cdot c_2) \cdot c_3 \cong c_1 \cdot (c_2 \cdot c_3)$ 및 $I \cdot c \cong c \cong c \cdot I$.

$\cdot$가 함자이므로,

: 만약 $c_1 \to c_1'$ 및 $c_2 \to c_2'$이면, $(c_1 \cdot c_2) \to (c_1' \cdot c_2')$이다.

모노이드 범주의 다른 일관성 조건은 전순서에서 모든 다이어그램이 교환되므로 전순서 구조를 통해 충족된다.

자연수는 모노이드 전순서의 한 예시이다. 모노이드 구조(+와 0 사용)와 전순서 구조(≤ 사용)를 모두 갖는 것은 $m \leq n$이고 $m' \leq n'$이 $m + m' \leq n + n'$을 의미하므로 모노이드 전순서를 형성한다.

어떤 생성 집합에 대한 자유 모노이드는 세미 튜 시스템을 생성하는 모노이드 전순서를 생성한다.

6. 역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 '''매클레인 일관성 정리'''(Mac Lane coherence theorem^영어)를 증명하였다.^[5] 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(Gregory Maxwell Kelly^영어, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.^[6]

7. 응용

추상대수학에서의 일반적인 모노이드 개념을 일반화한, 모노이드 범주에서의 일반적인 모노이드 대상 개념이 있다. 일반적인 모노이드는 데카르트 모노이드 범주 '''Set'''에서의 모노이드 대상과 정확히 일치한다. 또한, 모든 (작은) strict 모노이드 범주는 범주의 범주 '''Cat''' (데카르트 곱에 의해 유도된 모노이드 구조를 갖춘)에서의 모노이드 객체로 볼 수 있다.

모노이드 함자는 텐서곱을 보존하는 모노이드 범주 간의 함자이며, 모노이드 자연 변환은 텐서곱과 "호환되는" 이러한 함자 간의 자연 변환이다.

모든 모노이드 범주는 단일 객체 *로 표시되는 양범주 '''B'''의 범주 '''B'''(∗, ∗)로 볼 수 있다.

모노이드 범주 '''M'''에서 풍부한 범주 '''C'''의 개념은, '''C'''의 객체 쌍 사이의 사상의 집합 개념을 '''C'''의 모든 두 객체 간의 사상의 '''M''' 객체의 개념으로 대체한다.

모든 범주 '''C'''에 대해, 자유 엄밀 모노이드 범주 Σ('''C''')는 다음과 같이 구성될 수 있다.

그 객체는 '''C'''의 객체의 리스트(유한 수열) ''A''₁, ..., ''A''_''n''이다.
두 객체 ''A''₁, ..., ''A''_''m''과 ''B''₁, ..., ''B''_''n'' 사이에는 ''m'' = ''n''일 때만 화살표가 있으며, 이때 화살표는 '''C'''의 화살표의 리스트(유한 수열) ''f''₁: ''A''₁ → ''B''₁, ..., ''f''_''n'': ''A''_''n'' → ''B''_''n''이다.
두 객체 ''A''₁, ..., ''A''_''n''과 ''B''₁, ..., ''B''_''m''의 텐서 곱은 두 리스트의 연결 ''A''₁, ..., ''A''_''n'', ''B''₁, ..., ''B''_''m''이며, 마찬가지로 두 사상의 텐서 곱은 리스트의 연결에 의해 주어진다. 항등 객체는 빈 리스트이다.

범주 '''C'''를 Σ('''C''')로 매핑하는 이 연산 Σ는 '''Cat''' 위의 엄밀 2-모나드로 확장될 수 있다.

8. 추가 설명

브레이디드 모노이드 범주는 모노이드 범주에서 $A\otimes B$ 와 $B\otimes A$ 가 일관성 조건과 호환되는 방식으로 자연 동형인 경우를 말한다. 이 자연 동형이 그 자체의 역인 경우에는 대칭 모노이드 범주가 된다.
닫힌 모노이드 범주는 펀터 $X \mapsto X \otimes A$ 가 오른쪽 수반자를 갖는 모노이드 범주이며, 이를 "내부 Hom-펀터" $X \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf C}(A , X)$ 라고 한다.
자율 범주(콤팩트 닫힌 범주 또는 강성 범주)는 좋은 속성을 가진 쌍대성을 갖는 모노이드 범주이다.
대거 대칭 모노이드 범주는 추가적인 대거 펀터를 갖춘 대칭 모노이드 범주이며, 대거 콤팩트 범주를 포함한다.
탄나키안 범주는 체(field) 위에서 풍부한 모노이드 범주이며, 선형 대수적 군의 표현 범주와 매우 유사하다.

참조

_[1] 서적 New Structures for Physics Springer 2011
_[2] arXiv Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory 2018-10-12
_[3] 서적 Tensor categories http://www-math.mit.[...] American Mathematical Society 2015
_[4] 서적 Monoidal functors, species and Hopf algebras http://www.math.corn[...] American Mathematical Society 2010
_[5] 저널 Natural associativity and commutativity http://hdl.handle.ne[...] 1963
_[6] 저널 On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc. 1964-12

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