베르 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

베르 집합은 콤팩트 하우스도르프 공간 K에서 Gδ 집합으로 생성되는 시그마 대수 또는 연속 함수 공간으로 생성되는 시작 시그마 대수의 원소를 말한다. 베르 집합은 콤팩트 Gδ 집합을 포함하는 최소 시그마 대수의 원소로도 정의된다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 베르 집합의 정의는 여러 가지가 있으며, σ-콤팩트 공간이 아닌 경우 정의에 따라 베르 집합이 달라질 수 있다. 베르 집합은 유클리드 공간에서 보렐 집합과 일치하며, 유한 베르 측도는 정규 측도이며 정규 보렐 측도로 확장된다. 베르 집합은 르네루이 베르의 이름을 따서 명명되었다.

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베르 집합

2. 정의

$K$ 가 콤팩트 공간 하우스도르프 공간이라고 가정하자. 이 공간에서 베르 집합은 다음 두 가지 동등한 방식으로 정의될 수 있다.^[9]

$K$ 내부에 있는 모든 Gδ 집합이면서 동시에 닫힌집합인 집합들로부터 생성되는 시그마 대수.
모든 연속 함수 $\mathcal C^0(X,\mathbb R)$ 를 가측 함수로 만드는 가장 작은 시그마 대수 (여기서 $\mathbb R$ 에는 보렐 시그마 대수가 부여된다).

K

의 베르 집합들로 이루어진 시그마 대수는

\operatorname{Baire}(K)

로 표기하기도 한다.

그러나 베르 집합의 정의는 다루는 공간이 국소 콤팩트 공간 하우스도르프 공간으로 확장될 경우, 문헌에 따라 여러 가지 다른 정의가 사용될 수 있어 주의가 필요하다. 실제로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대해서는 최소 세 가지의 서로 동등하지 않은 베르 집합 정의가 존재하며, 일반적인 위상 공간으로 확장하면 정의는 더욱 다양해진다.

다만, 이러한 여러 정의들은 공간이 국소 콤팩트 공간이면서 σ-콤팩트 공간인 하우스도르프 공간이라는 추가 조건을 만족할 경우에는 모두 동등한 것으로 알려져 있다. 일부 저자들은 베르 집합을 정의할 때 공간에 대한 제약 조건을 추가하여, 콤팩트 하우스도르프 공간, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간, 또는 σ-콤팩트 공간에서만 베르 집합을 정의하기도 한다.

베르 집합과 관련된 개념으로 베르 함수가 있으며, 이는 베르 가측 함수인 실수 값 함수를 의미한다. 거리 공간에서는 베르 집합과 보렐 집합이 일치하는 성질을 가진다.^[2]

2. 1. 정의 1 (고다이라 쿠니히코)

고다이라 쿠니히코는 베르 집합을 특정 위상 공간의 특성 함수가 베르 함수가 되는 집합으로 정의했다.^[1] 다만 고다이라는 이를 '보렐 집합'이라고 불렀는데, 이는 현재의 일반적인 용어와는 차이가 있어 주의가 필요하다. 여기서 베르 함수란, 모든 연속 실수 값을 갖는 함수를 포함하고 점별 수열의 극한 연산에 대해 닫혀 있는 가장 작은 함수 클래스를 의미한다.

이와 동등한 정의로, 더들리(Dudley)는 1989년 저서에서 위상 공간의 베르 집합을 모든 연속 실수 값 함수가 가측이 되도록 하는 가장 작은 시그마 대수의 원소로 정의하기도 했다. 국소 콤팩트 σ-콤팩트 하우스도르프 공간의 경우, 이는 고다이라의 정의와 동등하지만, 일반적인 위상 공간에서는 두 정의가 반드시 같지는 않다.

2. 2. 정의 2 (할모스)

폴 할모스(Paul Halmos)는 1950년에 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 베르 집합을 정의하는 다른 접근 방식을 제시했다.^[9] 그의 정의에 따르면, 베르 집합은 해당 공간 내의 모든 콤팩트 ''G''_δ 집합들을 포함하는 가장 작은 σ-링(sigma-ring)의 원소이다. 다시 말해, 콤팩트 ''G''_δ 집합들이 생성하는 σ-링에 속하는 집합들을 베르 집합으로 간주하는 것이다.

하지만 σ-링이라는 개념 자체가 현대 수학에서는 자주 사용되지 않기 때문에, 할모스의 이 정의는 현재는 다소 오래된 방식으로 여겨진다. 다만, 만약 다루는 공간이 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이면서 동시에 σ-콤팩트라는 조건을 만족한다면, 할모스의 정의는 다른 현대적인 베르 집합 정의들과 결과적으로 동일한 집합의 모임을 나타낸다.

2. 3. 정의 3 (가장 일반적인 정의)

국소 콤팩트 하우스도르프 위상 공간에서 부분 집합이 베르 집합이라고 불리는 경우는, 그것이 모든 콤팩트 ''G''_δ 집합을 포함하는 가장 작은 σ-대수의 원소일 때이다.^[9] 즉, 베르 집합의 σ-대수는 모든 콤팩트 ''G''_δ 집합에 의해 생성되는 σ-대수이다.

또 다른 동등한 정의로는, 베르 집합은 콤팩트 지지(compact support)를 갖는 모든 연속 함수가 가측이 되도록 하는 가장 작은 σ-대수를 형성하는 것이다. 다만, 이 동등성은 적어도 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 성립하며, 일반적인 위상 공간에서는 반드시 동등하지 않을 수 있다.

이 정의는 베르 집합에 대한 여러 정의 중 가장 널리 사용되는 것으로 여겨진다. σ-콤팩트 공간의 경우, 이 정의는 다른 베르 집합의 정의들과 동일한 결과를 낳는다. 그러나 σ-콤팩트가 아닌 공간에서는 이 정의에 따른 베르 집합이 다른 정의(예: 할모스의 정의)에 따른 집합과 그 여집합으로 구성될 수 있어, 정의에 따라 베르 집합의 범위가 달라질 수 있다.

특히 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우, 베르 집합은 모든 콤팩트 ''G''_δ 집합을 원소로 갖는 최소의 σ-대수의 원소라고 간결하게 정의할 수도 있다.

3. 성질

콤팩트 하우스도르프 공간의 베르 닫힌집합은 G_δ 집합이다.^[9]

3. 1. 보렐 집합과의 관계

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 K에 대하여 베르 시그마 대수 Baire(K)는 보렐 시그마 대수 Borel(K)의 부분 집합이다. 즉, 다음 관계가 성립한다.

: Baire(K) ⊆ Borel(K)

이는 보렐 시그마 대수가 모든 G_δ 집합을 포함하여 생성되는 시그마 대수이기 때문이다.

콤팩트 하우스도르프 공간이 거리화 가능 공간일 경우 (이는 제2 가산 공간인 것과 동치이다), 모든 닫힌집합은 G_δ 집합이 된다. 따라서 이러한 공간에서는 베르 시그마 대수가 보렐 시그마 대수와 일치한다.^[9]

유클리드 공간에서는 베르 집합과 보렐 집합이 서로 같다.

3. 2. 곱공간

임의의 두 콤팩트 공간 하우스도르프 공간

X

와

Y

에 대하여, 곱공간

X\times Y

의 베르 시그마 대수

\operatorname{Baire}(X\times Y)

는

X

의 베르 시그마 대수

\operatorname{Baire}(X)

의 원소

S

와

Y

의 베르 시그마 대수

\operatorname{Baire}(Y)

의 원소

T

의 곱집합

S\times T

들로 생성되는 시그마 대수와 같다.^[9] 즉, 다음 등식이 성립한다.

:

\operatorname{Baire}(X\times Y)=\sigma\left(\left\{S\times T\colon S\in\operatorname{Baire}(X),T\in\operatorname{Baire}(Y)\right\}\right)

콤팩트 공간 하우스도르프 공간의 비가산 개수의 곱공간의 베르 집합은 가산 개의 인자 좌표로 완전히 결정된다.

만약 모든 인자 공간에 하나 이상의 점이 존재한다면, 일원 집합은 베르 집합이 되지 않는다. 하지만 이러한 일원 집합은 닫힌 집합이므로, 보렐 집합이다.^[8]

3. 3. 보렐 시그마 대수 위의 측도

콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 베르 시그마 대수

\operatorname{Baire}(X)

에 정의된 유한 부호 측도

:

\mu\colon \operatorname{Baire}(X)\to \mathbb R

들의 공간을 생각할 수 있다. 이 공간은 각 측도의 전변동 노름

:

\|\mu\|=\mu_+(X)+\mu_-(X)

(여기서

\mu = \mu_+ - \mu_-

는

\mu

의 조르당 분해)에 대해 실수 바나흐 공간을 이룬다. 이 바나흐 공간을

\operatorname{BaireMeas}(X)

로 표기하자.

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]定理, Riesz–Markov–Kakutani representation theorem^eng)는 이 측도 공간

\operatorname{BaireMeas}(X)

와

X

위의 실수 값 연속 함수들의 실수 바나흐 공간

\mathcal C^0(X,\mathbb R)

의 연속 쌍대 공간

(\mathcal C^0(X,\mathbb R))^*

사이에 중요한 관계가 있음을 보여준다.^[10]^[9] 이 정리에 따르면, 두 실수 바나흐 공간 사이에 자연 동형

:

\iota\colon\operatorname{BaireMeas}\to\mathcal (-)^*\circ C^0(-,\mathbb R)

이 존재한다. 각 콤팩트 하우스도르프 공간

X

에 대해, 이 동형은 다음과 같이 구체적으로 주어진다.

:

\iota_X\colon \operatorname{BaireMeas}(X)\to \left(\mathcal C^0(X,\mathbb R)\right)^*

:

\iota_X\colon \mu\mapsto (f\in\mathcal C^0(X,\mathbb R) \mapsto \int_X f\,\mathrm d\mu)

여기서

\iota_X

는 등거리 전단사 실수 선형 변환, 즉 실수 바나흐 공간의 동형 사상이다.

이 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리 때문에, 일부 문헌에서는 베르 시그마 대수 위의 유한 측도를 ‘베르 측도’라고 부르기도 한다. 유클리드 공간에서는 베르 집합과 보렐 집합이 일치한다.

모든 콤팩트 하우스도르프 공간에서, 모든 유한 베르 측도(즉, 베르 집합의 시그마 대수 위의 측도)는 정규 측도이다.^[4] 또한, 이러한 공간에서 모든 유한 베르 측도는 보렐 시그마 대수 위의 정규 측도로 유일하게 확장될 수 있다.^[5]

콜모고로프 확장 정리는 유한 차원 확률 분포들의 일관된 모임이 주어졌을 때, 함수 공간 위에 베르 측도를 구성할 수 있음을 보여준다.^[6] 만약 공간이 콤팩트하다면(티호노프 정리에 의해 함수 공간도 콤팩트하다), 이 베르 측도는 정규 보렐 측도로 확장될 수 있다. 이를 완비화하면 확률 공간을 얻게 되지만, 이것이 반드시 표준 확률 공간일 필요는 없다.^[7]

4. 예시

국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 σ-콤팩트가 아닌 경우, 베르 집합의 여러 정의는 서로 동등하지 않을 수 있다.

비가산 이산 공간: 이산 위상 공간은 국소 콤팩트하고 하우스도르프 공간이다. 비가산 이산 공간의 경우, 베르 집합의 정의에 따라 결과가 달라진다.
고다이라 쿠니히코나 더들리의 정의(연속 함수 기반)에 따르면, 이산 공간의 모든 함수는 연속이므로 모든 부분 집합이 베르 집합이다.
할모스의 정의(콤팩트 ''G''_δ 집합 기반 σ-링)에 따르면, 이산 공간의 콤팩트 부분 공간은 유한 부분 공간뿐이므로, 베르 집합은 가산 집합이거나 유한 집합이다 (즉, 가산 이하 집합).
가장 널리 사용되는 정의(콤팩트 ''G''_δ 집합 기반 σ-대수)에 따르면, 베르 집합은 가산 이하 집합과 그 여집합이다.
따라서 비가산 이산 공간에서는 이 세 가지 정의가 모두 다른 집합족을 정의한다.

무한 곱공간: 무한히 많은 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간들의 데카르트 곱을 생각해보자. 이 공간에서 한원소 집합(점)은 닫힌집합이며 따라서 보렐 집합이지만, 베르 집합은 아니다.^[3]^[8]

유클리드 공간: 유클리드 공간에서는 베르 집합이 보렐 집합과 일치한다.^[2]

5. 역사

프랑스 수학자인 르네루이 베르의 이름을 따서 명명되었다.

참조

_[1] 인용
_[2] 인용
_[3] 인용
_[4] 인용
_[5] 인용
_[6] 인용
_[7] 저널 A natural modification of a random process and its application to stochastic functional series and Gaussian measures
_[8] 인용
_[9] 서적 Measure theory Birkhäuser
_[10] 저널 The Riesz representation theorem revisited https://archive.org/[...] 1983-04

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