에리히 켈러

3. 학문적 업적

수학자로서 쾰러는 다음과 같은 여러 기여로 알려져 있다. 비선형 해석적 미분 시스템의 해에 대한 카르탕-쾰러 정리, 복소다양체에 대한 쾰러 계량, 그리고 순수하게 대수적인 이론을 제공하며 일반적으로 대수기하학에서 채택된 쾰러 미분. 이 모든 것에서 미분 형식 이론이 중요한 역할을 하며, 쾰러는 엘리 카르탕과의 형식적 기원을 바탕으로 이 이론을 발전시킨 주요 인물 중 한 명으로 평가받는다.

쾰러 다양체 — 세 구조가 서로 호환되도록 리만 계량과 심플렉틱 형식이 부여된 복소다양체 —는 그의 이름을 따서 명명되었다.^[9]

K3 곡면은 쿠머, 쾰러, 그리고 고다이라의 이름을 따서 명명되었다.

그의 초기 연구는 천체역학에 관한 것이었고, 그는 스키마 이론의 선구자 중 한 명이었지만, 그의 아이디어는 널리 채택되지 않았다.

삼체 및 체 문제에 대한 박사 연구 후, 복소 해석을 연구했다. 1931년부터 1932년까지의 로마 유학 중, 대수 기하학의 "이탈리아 학파"의 중심 인물인 카스텔누오보, 엔리케, 세베리를 만났다.

이 시기, 기하학은 대수적 구조와 강하게 결합되어 있다는 생각이 주류가 되었고, 수론 기하학으로 발전했다. 거기에, 켈러는 이탈리아 학파의 대수 기하학적 방법과 블라슈케 밑에서 배운 미분 기하학적 방법을 결합했다. 켈러 방법의 주요 내용은 복잡한 어떤 리만 공간을 닫힌 미분 형식을 통해 식별하는 것이다. 계량이 닫힌 미분 형식 ''g''_''ij'' d''z''^''i'' d''z''^''j''}}를 형성하는, 즉 이 성립하는 복소 다양체를 켈러 다양체라고 부른다.^[9] 켈러는 1932년에 켈러 계량 및 켈러 다양체를 도입했다^[9]. 켈러 다양체는 끈 이론에서 여분 차원의 콤팩트화 등에 필요한 수학의 기초적 역할을 한다.^[9]

켈러의 작업은 강한 철학적 편향을 가지고 있으며, 독자적인 용어를 사용하는 경우도 많아, 이해 및 수용의 장애가 될 수 있다^[10]。 그의 대저 ''Geometria aritmetica''에서는 수론과 기하학의 통합이 모색되었으며, 체뿐만 아니라 국소환의 종류에 대해서도 고찰하고 있다. 그의 이러한 업적은, 1950년대 후반의 거의 동시기에 개형론을 바탕으로 대수 기하학의 새로운 기반을 구축하려는 계획을 시작했던 알렉산드르 그로텐디크에 앞선 것이다^[11]。 켈러는 ''Geometria aritmetica''를 계획의 시작이라고 생각했지만, 그로텐디크의 작업이 공개될 때까지 더 이상 추구하지 않았다. 1963년, 그의 이론을 널리 알기 쉽게 정리한 것이 출판되었다^[12]。 ''Geometria aritmetica''에 포함된 아이디어와의 차이점은, 이후의 ''Arithmetischen Geometrie''에서 더 자세히 다루어졌다.

켈러는, 예를 들어 미분 형식의 맥스웰 방정식이나 디랙 방정식 등, 수리물리학에도 몰두했다. 그는, 엘리 카르탕에 의한 미분 형식을 더욱 발전시키고 (카르탕-켈러 이론, 쾰러 미분), 미분 방정식계의 이론에 응용했다. 그 외에도 영향이 큰 업적으로, 2변수 복소 함수와 관련된 이론이 있다.

켈러는 수론이 물리학에서 더욱 큰 역할을 해야 한다고 확신했다^[13]。 따라서, 그는 비주류적인 아이디어를 추구하게 되었다.^[13] 예를 들어, 특수 상대성 이론의 로렌츠 군을 "신 푸앵카레 군"이라고 불리는 것(이것은 헤르만 니콜라이에 의한^[14] 드 지터 군과 동일하다)으로 대체했다^[15]。 그는 이 군을 이산 부분군이자 보형 형식에 속하는 것으로 생각하고 있었으며, 그 때문에 수론과 연결했다.^[13] 이 아이디어는 그가 후년에 탐구한 대수의 기초를 세우는 포괄적인 철학의 일부로, 그는 수학의 언어를 철학뿐만 아니라 다른 분야의 학문적 문제, 나아가 생활상의 문제를 다루고 해결하기 위한 기초로 간주했으며, 그 때문에 그의 저작에 사용된 용어는 독특한 것이 되었다.^[13] 1970년대, 그는 함부르크에서 철학 강좌를 계속 열었다. 그의 철학적 저작(예를 들어 ''Monadologie'' 1975, 1977)의 많은 부분은 미출판 상태로 남아 있다.

3. 1. 미분기하학 및 복소기하학

3. 2. 대수기하학

3. 3. 수리물리학

4. 철학 사상

5. 저서

• Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen^de, Hamburger Mathematische Einzelschrift, 16권, B. G. Teubner, 1934
• * 《미분 방정식 개론》
• Geometria aritmetica^de, Annali di Matematica, 시리즈 IV, 제45권, 1958, 1–399쪽
• * 《수리 기하학》
• Über die Beziehungen der Mathematik zu Astronomie und Physik^de, Jahresbericht DMV, 제51권, 1941, 52–63쪽 (개정판은 가우스 기념관, 편집: 라이히하르트, 라이프치히 1957)
• * 《수학과 천문학 및 물리학의 관계에 대하여》
• Wesen und Erscheinung als mathematisches Prinzip der Philosophie^de, Nova Acta Leopoldina, 새로운 시리즈, 제30권, 제173호, 1965, 9–21쪽
• * 《철학의 수학적 원리로서의 본질과 현상》
• Raum-Zeit-Individuum^de, 하인리히 베게어, Mathematik in Berlin^de, 베를린 1997, 41–105쪽
• * 《시공 개체》
• Ariadne hat gesagt^de, Istituto Lombardo, Rend.Sc., A 126, 1992, 105–154쪽
• Nietzsches Philosophie als Vollendung der deutschen idealistischen Philosophie^de, Spectrum, 제22권, 1991, 44–46쪽

6. 평가

참조

_[1] 웹사이트 Kahler biography https://mathshistory[...] 2024-09-16
_[2] 웹사이트 The Mathematics Genealogy Project - Erich Kähler https://www.genealog[...] 2016-08-08
_[3] 간행물 Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik 1933-12-01
_[4] 서적 Mathematicians under the Nazis https://books.google[...] Princeton University Press 2014-11-23
_[5] 웹사이트 ERICH KÄHLER http://cs.unitbv.ro/[...] 2016-08-08
_[6] 서적 Mathematische Werke / Mathematical Works https://books.google[...] Walter de Gruyter 2003-01-01
_[7] 문서 "„Über die Existenz von Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, die sich aus gewissen Lösungen des n-Körperproblems ableiten“"
_[8] 문서 "„Über die Integrale algebraischer Differentialgleichungen“"
_[9] 문서 Kähler Über eine bemerkenswerte hermitesche Metrik, Abhandlungen Math.
_[10] 문서 Zum Beispiel André Weil in der Besprechung der Geometria aritmetica in Mathematical Reviews: 'The authors seems to have done everything in his power to discourage prospective readers and is only too likely to have succeeded', zitiert nach Kunz, Review von Kählers Werken, Mathem.
_[11] 문서 Kunz in der Besprechung der Werke von Kähler, Mathematical Intelligencer 2006, Nr.1; Grothendieck weist auf die Bedeutung der Arbeiten von Kähler auf diesem Gebiet in seinen Elements de geometrie algebrique hin.
_[12] 문서 Infinitesimal-Arithmetik, Univ.
_[13] 문서 Kunz, Math.
_[14] 문서 Essay in den Werken von Kähler
_[15] 문서 Kähler The Poincaré Group, in J. Chisholm, A. Common Clifford algebras and their application in mathematical physics, NATO Advanced Study Institute, Serie C, Band 183, 1986, S.265-272, und in Festschrift für Ernst Mohr, Universitätsbibliothek TU Berlin 1985
_[16] 서적 Mathematicians under the Nazis Princeton University Press 2014-01-01