연결 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 연결 성분
- 3.1. 경로 연결 공간
- 3.2. 호 연결 공간
4. 성질
- 4.1. 거리 공간
5. 예
6. 관련 개념
7. 집합 연산
8. 더 강한 형태
참조

1. 개요

연결 공간은 위상 공간의 한 종류로, 공간을 두 개의 서로소인 열린 집합으로 분리할 수 없는 공간을 의미한다. 연결 공간이 아닌 공간은 비연결 공간이라고 한다. 위상 공간 X가 두 개의 서로소인 비어 있지 않은 열린 집합의 합집합이면 분리되었다고 하며, 그렇지 않으면 X는 연결되었다고 한다. 연결 공간에는 연결 성분, 경로 연결 공간, 호 연결 공간 등의 개념이 존재하며, 각 개념은 위상 공간의 성질을 설명하는 데 사용된다. 모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 연결성은 위상동형사상에 의해 보존되며, 연속 함수의 상 역시 연결성을 유지한다.

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연결 공간
연결 공간 정보
정의	위상 공간 가 분리 집합으로 분할되지 않으면 연결 공간이라고 함 즉, 의 부분 집합 에 대해 가 동시에 열린 집합과 닫힌 집합일 필요충분조건은 가 공집합이거나 전체인 경우
연결 부분 집합	의 부분 집합 가 연결 공간일 때 를 연결 부분 집합이라고 함
성분	의 연결 부분 집합 중 극대인 것을 의 성분이라고 함
분할	의 분할 = 에서 각 가 열린 집합이라면, 이를 의 열린 분할이라고 함 의 분할 = 에서 각 가 닫힌 집합이라면, 이를 의 닫힌 분할이라고 함
성질
연속 함수	연결 공간의 연속 함수에 의한 상은 연결 공간임
중간값 정리	연결 공간 에서 실수 공간 로 가는 연속 함수 에 대해, (a) < < (b)인 , ∈ 가 존재하면, (c) = 인 ∈ 가 존재함 이는 중간값 정리의 일반화임
폐포	연결 공간의 폐포는 연결 공간임
곱공간	연결 공간들의 곱공간은 연결 공간임
국소 연결 공간	위상 공간 의 모든 점이 연결 열린 근방을 가지면 를 국소 연결 공간이라고 함
전(全) 연결 공간	의 모든 두 점이 연결 부분 공간에 포함되면 를 전 연결 공간이라고 함
초연결 공간	의 서로소인 두 닫힌 집합 중 하나는 전체인 경우, 즉 의 모든 닫힌 집합은 콤팩트한 경우 를 초연결 공간이라고 함
예시
연결 공간	실수선 유클리드 공간 ⁿ (n ≥ 1) 전사 함수 연결 그래프
비연결 공간	이산 공간 유리수 집합 칸토어 집합
관련 개념
분리 공간	연결 공간이 아닌 위상 공간 두 개의 열린 집합으로 분리될 수 있는 공간
단순 연결 공간	모든 고리를 점으로 줄일 수 있는 연결 공간
경로 연결 공간	임의의 두 점 사이에 경로가 존재하는 공간
전혀 연결되지 않은 공간	한원소 집합 이외의 연결 부분 집합을 갖지 않는 공간

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''연결 공간'''이라고 한다.

$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $U\cup V=X$ 이며 $U\cap V=\varnothing$ 이라면, $U$ 와 $V$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $E\cup F=X$ 이며 $E\cap F=\varnothing$ 이라면, $E$ 와 $F$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다. (이는 열린집합의 여집합이 닫힌집합과 일치하기 때문이다.)
만약 $X=X_1\cup X_2$ 이며 $X_1\cap\operatorname{cl}(X_2)=\operatorname{cl}(X_1)\cap X_2=\varnothing$ 이라면, $X_1$ 과 $X_2$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 열린닫힌집합(=경계가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 $X$ 와 $\varnothing$ 이다.)
공집합이 아니며, 모든 연속 함수 $X\to\{0,1\}$ 은 상수 함수이다. 여기서 $\{0,1\}$ 은 두 개의 점을 갖는 이산 공간이다.

연결 공간이 아닌 공간을 '''비연결 공간'''(非連結空間, disconnected space^영어)이라고 한다.

위상 공간

(X,\mathcal{O})

가 '''비연결'''(disconnected) 또는 '''불연결'''이란, 두 개의 교집합이 없고 공집합이 아닌 열린 집합의 합집합(비교 합)임을 말한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\exists\ A,\ B \in \mathcal{O}\ \text{s.t.}\ [X=A \cup B,\ A \cap B=\varnothing,\ A \neq \varnothing,\ B \neq \varnothing].

비연결이 아닐 때,

X

는 '''연결'''(connected)이라고 한다.

3. 연결 성분

임의의 위상 공간 $X$ 에서, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 주어진 점 $x_0\in X$ 를 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 최대 원소를 가지며, 이를 $x_0$ 의 '''연결 성분'''(connected component^영어)이라 한다. 각 연결 성분들은 서로소이며, $X$ 는 그 연결 성분들의 서로소 합집합이다.

연결 성분은 항상 닫힌집합이지만, 열린집합일 필요는 없다. 예를 들어 유리수 집합의 연결 성분은 한 점 집합(싱글톤)이며, 이는 열려 있지 않다. 실수에 하극한 위상이 주어졌을 때, 연결성분은 한원소 집합이다.

$\Gamma_x$ 를 위상 공간 $X$ 에서 $x$ 의 연결 성분, $\Gamma_x'$ 를 $x$ 를 포함하는 모든 열린닫힌 집합들의 교집합 ( $x$ 의 준 성분)이라고 하면, $\Gamma_x \subset \Gamma'_x$ 이다. $X$ 가 콤팩트 하우스도르프이거나 국소 연결인 경우 등식이 성립한다.^[1]

3. 1. 경로 연결 공간

위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다.

위상 공간

X

에 대하여, 임의의 두 점

x,y\in X

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 연속 함수

f\colon[0,1]\to X

가 존재할 경우,

X

를 '''경로 연결 공간'''(path-connected space^영어)이라 한다.

$f(0)=x$ 이며 $f(1)=y$ 이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를

x

와

y

사이의 '''경로'''라고 한다.

두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는

X

위의 동치 관계를 정의한다. 이 동치 관계의 동치류는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 '''경로 연결 성분'''(path-connected component^영어)이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.

모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ 위상 공간

하우스도르프 공간

X

에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 T₁ 공간이 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간

X

의 경우 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

국소 경로 연결 공간

X

의 경우, 다음이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간

X

의 경우, 다음이 서로 동치이다.^[9]

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.
$X$ 는 호 연결 공간이다.

특히, 유클리드 공간의 열린집합은 국소 콤팩트 국소 연결 거리화 가능 공간이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.

위상 공간

X

의 점

x

에서 점

y

까지의 '''경로'''는 단위 구간

[0,1]

에서

X

로의 연속 함수

f

로,

f(0)=x

이고

f(1)=y

이다.

X

의 경로 성분은

x

가

y

로 가는 경로가 있을 때에만

x

를

y

와 동치로 만드는 동치 관계 하에서

X

의 동치류이다. 공간

X

는 경로 성분이 정확히 하나일 경우 '''경로 연결'''(또는 '''경로별 연결''' 또는

\mathbf{0}

'''-연결''')이라고 한다. 비어 있지 않은 공간의 경우, 이는

X

의 임의의 두 점을 잇는 경로가 있다는 것과 동치이다.

모든 경로 연결 공간은 연결되어 있다. 그 역은 항상 참이 아닌데, 경로 연결되지 않은 연결 공간의 예로는 확장된 긴 직선

L^*

과 위상학자의 사인 곡선이 있다.

실수선

\R

의 부분 집합은 연결되어 있을 경우에만 경로 연결되어 있고, 이러한 부분 집합은

\R

의 구간과 반직선이다. 또한,

\R^n

또는

\C^n

의 열린 부분 집합은 연결되어 있을 경우에만 경로 연결된다. 또한, 연결성과 경로 연결성은 유한 위상 공간에 대해 동일하다.

3. 2. 호 연결 공간

위상 공간

X

의 임의의 서로 다른 두 점

x,y\in X

에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수

f\colon[0,1]\to X

가 존재할 경우,

X

를 '''호 연결 공간'''(弧連結空間, arc-connected space^영어)이라 한다.

$f(0)=x$ 이며 $f(1)=y$ 이다.
$f$ 는 매장이다. 즉, $f$ 는 $[0,1]$ 과 $f([0,1])\subset X$ 사이의 위상 동형이다.

이러한 조건을 만족시키는 함수를

x

와

y

사이의 '''호'''(弧, arc^영어)라고 한다.

공간

X

가 두 개의 위상적으로 구별 가능한 점이 호 즉, 위상적 임베딩

f : [0, 1] \to X

에 의해 연결될 수 있다면 '''호 연결'''이라고 한다.

X

의 '''호 연결 성분'''은

X

의 극대 호 연결 부분 집합이다. 또는 두 점이 호 또는 위상적으로 구별 불가능한 점을 가진 경로로 연결될 수 있는지 여부에 대한 동치 관계의 동치류이다.

경로 연결된 모든 하우스도르프 공간은 호 연결이기도 하다. 더 일반적으로, 이것은 각 경로의 이미지가 닫혀 있는 공간인

\Delta

-하우스도르프 공간에 대해 성립한다. 경로 연결되어 있지만 호 연결되지 않은 공간의 예는 두 원점을 가진 직선으로 주어진다. 0의 두 복사본은 경로로는 연결될 수 있지만 호로는 연결될 수 없다.

경로 연결 공간에 대한 직관은 호 연결 공간으로 쉽게 옮겨지지 않는다.

X

를 두 원점을 가진 직선이라고 하자. 다음은 경로 연결 공간에 대해서는 성립하지만 호 연결 공간에 대해서는 성립하지 않는 사실들이다.

호 연결 공간의 연속적인 이미지는 호 연결되지 않을 수 있다. 예를 들어, 호 연결 공간에서 위상적으로 구별 가능한 점이 (최소 2개)인 가산 개의 몫을 갖는 몫 사상은 너무 작은 기수 때문에 호 연결될 수 없다.
호 연결 성분은 서로 소가 아닐 수 있다. 예를 들어, $X$ 는 두 개의 겹치는 호 연결 성분을 갖는다.
호 연결 곱 공간은 호 연결 공간의 곱이 아닐 수 있다. 예를 들어, $X \times \mathbb{R}$ 는 호 연결이지만 $X$ 는 그렇지 않다.
곱 공간의 호 연결 성분은 주변 공간의 호 연결 성분의 곱이 아닐 수 있다. 예를 들어, $X \times \mathbb{R}$ 은 단일 호 연결 성분을 갖지만 $X$ 는 두 개의 호 연결 성분을 갖는다.
호 연결 부분 집합이 비어 있지 않은 교집합을 갖는 경우, 그 합집합이 호 연결되지 않을 수 있다. 예를 들어, $X$ 의 호 연결 성분은 교차하지만, 그 합집합은 호 연결되지 않는다.

더욱 강하게, 호상 연결 공간이 임의의 서로 다른 두 점을 잇는 경로로서 항상 '''호''' (arc^영어)—즉 단위 구간과 상 사이의 위상 동형 사상^[8]—를 선택할 수 있을 때, '''호상 연결''' (arc-connected, arcwise connected^영어^[7])이라고 한다. 호상 연결인 하우스도르프 공간은 항상 호 연결 공간이다. 호상 연결이지만 호 연결이 아닌 공간의 예는, 음이 아닌 실수 전체의 집합에 두 번째 0으로서 0'를 추가함으로써 만들 수 있다. 구체적으로, 통상의 크고 작음 관계에 더하여,

a

가 양수라면

0' < a

라고 하고,

0

과

0'

는 비교 불가능하다고 하여 반순서를 부여한다. 이때 순서 위상—즉 열린 구간, 반 열린 구간 및 를 열린 기저로 하는 위상—을 넣어 얻어지는 위상 공간은 T₁-공간이 되지만 하우스도르프 공간은 아니다. 그리고,

0

과

0'

는 경로로 연결할 수 있지만 호로 연결할 수 없는 것이다.

4. 성질

위상 공간에서 연결성, 경로 연결성, 호 연결성은 위상 동형 사상에 의해 보존되는 중요한 성질들이다. 즉, 위상 공간 $X$ 와 $Y$ 사이에 위상 동형 사상 $f\colon X\to Y$ 가 존재하면, $X$ 가 연결 공간/경로 연결 공간/호 연결 공간일 때 $Y$ 도 각각 연결 공간/경로 연결 공간/호 연결 공간이 된다.^[7]

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $X$ 가 연결 공간/경로 연결 공간이라면 $f$ 의 상 $f(X)$ 또한 연결 공간/경로 연결 공간이다.

위상 공간 $X$ 의 부분 집합들에 대해서도 비슷한 성질이 성립한다. 연결 부분 집합들의 합집합이 공통 원소를 가지면, 그 합집합도 연결 공간이다.

국소 경로 연결 공간에서는 연결성과 경로 연결성이 동치이다. 즉, 다음 명제들이 서로 동치이다.

$X$ 는 연결 공간이다.
$X$ 는 경로 연결 공간이다.

유한 위상 공간에서도 연결성과 경로 연결성은 동치이다.

하우스도르프 공간에서는 경로 연결성과 호 연결성이 동치이다.

4. 1. 거리 공간

연결 거리화 가능 공간의 크기는 1 이하이거나

2^{\aleph_0}

(연속체 크기) 이상이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

|X|=0\lor|X|=1\lor|X|\ge2^{\aleph_0}

연결 거리 공간

(X,d)

가 서로 다른 두 점

x,y\in X

를 갖는다고 가정하고, 함수

f\colon z\mapsto d(x,z)

를 정의하면, 이 함수는 연속 함수

X\to[0,\infty)

이다. 따라서 그 상

f(X)

은 구간이 된다.

0,d(x,y)\in f(X)

이므로

(0,d(x,y))\subseteq f(X)

가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

:

2^{\aleph_0}=|f(X)|\le|X|

위상 공간

X

의 부분 집합

Y\subseteq X

에 대하여, 다음 세 조건은 거리화 가능 공간에서 서로 동치이다.^[10]

$Y$ 는 연결 공간이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $Y\subseteq U\cup V$ 이며 $U\cap V\cap Y=\varnothing$ 이라면, $U\cap Y$ 와 $V\cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.
$X$ 의 두 열린집합 $U,V\subseteq X$ 에 대하여, $Y\subseteq U\cup V$ 이며 $U\cap V=\varnothing$ 이라면, $U\cap Y$ 와 $V\cap Y$ 가운데 정확히 하나가 공집합이다.

5. 예

실직선 $\mathbb R$ 은 연결 공간이다.
연결 위상체에 대한 모든 위상 벡터 공간은 연결 공간이다. 특히, 모든 유클리드 공간은 연결 공간이다.
이산 값매김환의 스펙트럼은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 $\{0,1\}$ 이며, 그 기저는 $\{\{1\}, \{0,1\}\}$ 이다. 이는 연결 공간이다.
긴 직선이나 위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

실직선

\mathbb R

의 부분 집합

S\subset\mathbb R

의 경우 다음은 서로 동치이다.

$S$ 는 연결 공간이다.
$S$ 는 구간이다. 즉, $a\le b$ 이며 $S\in\{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}$ 인 $a,b\in[-\infty,\infty]$ 가 존재한다. (공집합은 $a>b$ 인 구간으로 간주한다.)

6. 관련 개념

국소 연결 공간: 모든 점이 연결된 근방을 갖는 공간이다. 즉, 모든 점의 연결 공간인 근방들이 기저를 이루는 공간이다.
단일 연결 공간: 기본군이 자명한 공간이다. 1차 베티 수가 0인 공간으로 볼 수 있다.
축약 가능 공간: 한 점으로 수축 가능한 공간이다. 모든 호모토피 불변량이 자명하다.
기약 공간: 서로소인 두 닫힌집합의 합집합으로 표현될 수 없는 공간이다. 하우스도르프 공간 조건과는 호환되지 않는 매우 강한 조건이다.

7. 집합 연산

연결 집합들의 교집합은 항상 연결 집합이 아닐 수 있다.

연결 집합들의 합집합은

X=(0,1) \cup (1,2)

와 같이 항상 연결 집합이 아닐 수 있다. 하지만, 다음의 경우에는 연결 집합들의 합집합이 연결 집합이 된다.

# 모든 집합들의 교집합이 공집합이 아닌 경우 (

\bigcap X_i \neq \emptyset

)

# 임의의 두 집합의 교집합이 공집합이 아닌 경우 (

\forall i,j: X_i \cap X_j \neq \emptyset

)

8. 더 강한 형태

초연결 공간은 연결 공간이다.
단순 연결 공간은 경로 연결 공간이고, 따라서 연결 공간이다.
수축 가능 공간은 경로 연결 공간이고, 따라서 연결 공간이다.

참조

_[1] 웹사이트 General topology - Components of the set of rational numbers https://math.stackex[...]
_[2] 서적 General Topology Dover
_[3] 서적 Introduction to Topology and Modern Analysis McGraw Hill Book Company
_[4] 문서 The K-book: An introduction to algebraic K-theory http://www.math.rutg[...]
_[5] 웹사이트 How to prove this result involving the quotient maps and connectedness? https://math.stackex[...] 2013-02-13
_[6] 웹사이트 How to prove this result about connectedness? https://math.stackex[...] 2013-02-13
_[7] PlanetMath path
_[8] MathWorld Arc (topology)
_[9] 서적 Introduction to general topology Heath and Company 1968
_[10] 서적 Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid 2006

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