자유 대상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구체적 범주에서의 정의
- 2.2. 수반 함자를 이용한 정의
3. 구성
- 3.1. 자유 대수의 구성
4. 예시
- 4.1. 대수 구조 다양체에서의 예시
  - 4.1.1. 군론에서의 예시
  - 4.1.2. 선형대수학에서의 예시
- 4.2. 대수 구조 다양체가 아닌 범주에서의 예시
5. 일반적인 경우
6. 자유 함자
- 6.1. 공자유 함자
7. 존재성
8. 다양한 자유 대상
참조

1. 개요

자유 대상은 범주론에서 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의되며, 주어진 집합으로부터 생성되는 범주 내의 객체를 의미한다. 이는 선형대수학의 기저 개념을 일반화한 것으로, 구체적 범주와 수반 함자를 통해 정의된다. 자유 대상은 대수 구조 다양체에서 항상 존재하며, 자유 대수, 자유군, 자유 모노이드 등 다양한 형태로 나타난다. 자유 대상은 범주론의 자유 함자 개념으로 확장될 수 있으며, 공자유 함자와 쌍대적인 관계를 갖는다.

2. 정의

자유 대상은 범주론에서 특정한 보편 성질을 만족하는 대상이다. 이는 주어진 범주와 망각 함자를 통해 정의되며, 선형대수학의 기저 개념을 일반화한 것이다.

자유 대상의 구체적인 정의는 '구체적 범주에서의 정의'와 '수반 함자를 이용한 정의' 섹션에서 자세히 설명하고 있다.

2. 1. 구체적 범주에서의 정의

구체적 범주 $\operatorname{Forget}\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$가 주어졌을 때, 망각 함자 $\operatorname{Forget}$의 왼쪽 수반 함자 $F\dashv\operatorname{Forget}$가 존재한다고 가정한다. 이 경우, 집합 $S$로부터 생성되는, $\mathcal C$ 속의 '''자유 대상'''은 $F$에 대한 상 $F(S)$이다. 이때, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 $S\to\operatorname{Forget}(F(S))$가 존재하며, 이를 '''표준적 단사 함수'''(canonical injection^영어)라고 부른다.

자유 대상은 범주에 대한 선형대수학의 기저 개념을 일반화한 것이다. 벡터 공간 사이의 선형 함수는 벡터 공간 기저의 값에 의해 완전히 결정된다.

구체적 범주는 '''Set''', 즉 집합 범주로의 충실한 함자가 있는 범주이다. $\mathcal C$를 충실한 함자 $U\colon \mathcal C \to \operatorname{Set}$를 가진 구체적 범주라고 하고, $X$를 집합(즉, '''Set'''의 대상)이라고 하자. $X$는 자유 대상의 "기저"가 된다. $X$에 대한 '''자유 대상'''은 $\mathcal C$의 대상 $A$와 주입 $i\colon X\to U(A)$ (''표준 주입''이라고 함)으로 구성된 쌍으로, 다음 보편 성질을 만족한다.

:$\mathcal C$의 임의의 대상 $B$와 집합 간의 임의의 맵 $g\colon X\to U(B)$에 대해, $g=U(f)\circ i$가 되는 $\mathcal C$에서 유일한 사상 $f\colon A\to B$가 존재한다.

만약 자유 대상이 $\mathcal C$에 존재한다면, 보편 성질은 두 집합 사이의 모든 맵이 그 위에 구축된 자유 대상 사이의 고유한 사상을 유도하며, 이는 함자 $F\colon\mathbf{Set}\to \mathbf C$를 정의한다. 따라서, 자유 대상이 $\mathcal C$에 존재한다면, '''자유 함자'''라고 불리는 함자 $F$는 충실한 함자 $U$의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 다음의 전단사가 존재한다.

:$\operatorname{Hom}_\mathbf{Set}(X, U(B))\cong \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(F(X), B).$

$S$를 집합, $A$를 $S$에 의해 생성된 유형 $\rho$의 대수적 구조라고 하자. 이 대수적 구조 $A$의 기본 집합은 $A$로 표시된다. $\psi\colon S \to A$를 함수라고 할 때, $(A, \psi)$(또는 $A$)를 자유 생성자 집합 $S$에 대한 유형 $\rho$의 자유 대수라고 한다.

유형 $\rho$의 모든 대수 $B$와 모든 함수 $\tau\colon S \to B$(여기서 $B$는 $B$의 우주)에 대해 다음 다이어그램이 교환되도록 하는 고유한 준동형 사상 $\sigma\colon A \to B$가 존재한다.

$ \begin{array}{ccc} S & \xrightarrow{\psi} & A \\ & \searrow_{\tau} & \downarrow^{\sigma} \\ & & B \ \end{array} $

이는 $\sigma \circ \psi = \tau$임을 의미한다.

2. 2. 수반 함자를 이용한 정의

구체적 범주 $\operatorname{Forget}\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$가 주어졌을 때, 망각 함자 $\operatorname{Forget}$의 왼쪽 수반 함자

:$F\dashv\operatorname{Forget}$

가 존재한다고 가정한다. 이 경우, 집합 $S$로부터 생성되는, $\mathcal C$ 속의 '''자유 대상'''은 $F$에 대한 상 $F(S)$이다. 이때, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 $S\to\operatorname{Forget}(F(S))$가 존재하며, 이를 '''표준적 단사 함수'''(canonical injection^영어)라고 부른다.

만약 자유 대상이 $\mathcal C$에 존재한다면, 보편 성질은 두 집합 사이의 모든 맵이 그 위에 구축된 자유 대상 사이의 고유한 사상을 유도하며, 이는 함자 $F\colon \mathbf{Set} \to \mathbf C$를 정의한다. 따라서 자유 대상이 $\mathcal C$에 존재한다면, '''자유 함자'''라고 불리는 함자 $F$는 충실한 함자 $U$의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 다음 전단사가 존재한다.

:$\operatorname{Hom}_\mathbf{Set}(X, U(B))\cong \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(F(X), B).$

3. 구성

대수 구조 다양체의 범주에서 자유 대상은 자유 대수 또는 항 대수라고 불리며, 주어진 집합의 원소들과 연산들을 유한 번 적용하여 만들 수 있는 모든 항들의 집합으로 구성된다. 자유 대상은 알파벳으로 구성된 모든 가능한 문자열들의 모음을 고려하고, 해당 대수적 대상의 정의 관계인 일련의 동치 관계를 문자열에 적용하여 만들어진다.

일반적인 경우, 대수적 관계는 결합 법칙을 따르지 않아도 되며, 이 경우 시작점은 모든 문자열의 집합이 아니라 괄호로 구분된 문자열이다. 괄호는 문자의 비결합적 그룹화를 나타내는 데 사용된다. 이러한 문자열은 이진 트리 또는 자유 마그마로 표현될 수 있으며, 트리의 잎은 알파벳의 문자이다.

대수적 관계는 트리 잎에 대한 일반적인 항수 또는 유한 관계일 수 있다. 가능한 모든 괄호가 있는 문자열의 모음으로 시작하는 대신, 헤르브란트 우주로 시작하는 것이 더 편리할 수 있다. 자유 객체의 내용을 적절하게 설명하거나 열거하는 것은 문제의 특정 대수적 객체에 따라 쉽거나 어려울 수 있다. 예를 들어, 두 개의 생성자를 가진 자유군은 쉽게 설명할 수 있지만, 둘 이상의 생성자를 가진 자유 헤이팅 대수의 구조에 대해서는 알려진 바가 거의 없다.^[1]

두 개의 다른 문자열이 동일한 동치류에 속하는지 여부를 결정하는 문제는 단어 문제로 알려져 있다. 자유 객체는 구문에서 파생된 구성과 유사하며, 구문의 주요 용도는 자유 객체로 설명하고 특성화할 수 있다는 점에서 유용하다.

3. 1. 자유 대수의 구성

대수 구조 다양체의 범주

\mathcal V

에서, 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지므로 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 '''자유 대수'''(free algebra^영어) 또는 '''항 대수'''(term algebra^영어)라고 한다.

자유 대수는 주어진 집합으로부터 시작하여, 대수 구조의 연산을 반복적으로 적용하고, 대수적 관계를 통해 동치류를 형성함으로써 구성된다. 구체적인 구성 과정은 다음과 같다.

1. 집합 $T_r$ 정의: 대수 구조 다양체

\mathcal V

의 연산들이

(f_i)_{i\in I}

이고, 그 항수가

n_i

라고 하자.

\mathcal V

에서 성립하는 대수적 관계들이

(R_j)_{j\in J}

라고 하자. 임의의 집합

S

가 주어졌을 때, 다음과 같은 집합들을 정의한다.

$T_0 = S$
$T_{r+1} = T_r \sqcup \bigsqcup_{i\in I} \overbrace{T_r \times \cdots \times T_r}^{n_i}$
$(t_1, \dots, t_{n_i}) \in T_r \times \cdots \times T_r$ 를 $f_i(t_1, \dots, t_{n_i})$ 로 표기한다. 즉, $T_r$ 은 대수 구조 연산을 $r$ 번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

2. 집합 $T$ 정의: 위에서 정의한 집합들의 합집합

T = \bigcup_{i=0}^\infty T_i

를 정의한다.

T

는 대수 구조 연산을 유한 번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

3. 동치 관계 정의:

\mathcal V

를 정의하는 대수적 관계들은

T

위의 동치 관계

\sim

으로 생각할 수 있다. 대수적 관계에서 등장하는 변수들을

S

의 임의의 원소들로 치환하는 방식으로 동치 관계를 정의한다.

4. 자유 대수 구성:

S

로부터 생성되는 자유 대수

\langle S \rangle

는 몫집합

T/{\sim}

이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같이 정의된다.

:

f_i([t_1], [t_2], \dots, [t_{n_i}]) = [f_i(t_1, \dots, t_{n_i})]

여기서 $[-]$ 은 동치 관계 $\sim$ 에 대한 동치류이다.

간단히 말해, 자유 대상의 생성은 결합 법칙을 따르는 대수 구조의 경우, 알파벳으로 구성된 모든 가능한 단어들의 모음을 고려하고, 해당 대수적 대상의 정의 관계인 일련의 동치 관계를 단어에 적용하는 두 단계로 진행된다. 그러면 자유 대상은 동치류의 집합으로 구성된다.

예를 들어, 자유군은 두 개의 생성원

\{a, b\}

와 항등원

e

, 그리고 역원

\{a^{-1}, b^{-1}\}

으로 구성된 알파벳에서 시작한다. 가능한 모든 문자열을 고려한 후, 군의 동치 관계(항등원과의 곱셈, 역원과의 곱셈)를 적용하여 동치류를 만든다. 예를 들어,

aebecede = aba^{-1}b^{-1}

와 같은 관계가 성립한다. 이러한 동치 관계를

\sim

으로 나타내면, 자유군은 몫집합

F_2 = W(S)/{\sim}

으로 표현된다.

자유 모노이드는 더 간단한 예시이다. 집합 ''X''에 대한 자유 모노이드는 ''X''를 알파벳으로 사용하는 모든 유한 문자열의 모노이드이며, 연산은 문자열의 이어붙이기이다. 항등원은 빈 문자열이다. 자유 모노이드는 동치 관계가 적용되지 않은 모든 단어의 집합이라고 볼 수 있다.

4. 예시

다양한 대수 구조에서 자유 대상의 예시는 다음과 같다.

대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음과 같다.

|-

| 가환환

R

위의 왼쪽 가군의 범주 || 자유 가군

R^{\oplus|S|}

|-

|

R=K

가 나눗셈환일 경우 || 벡터 공간

\operatorname{Span}_KS

|-

| 체

K

위의 단위 결합 대수의 범주 || 텐서 대수

T(\operatorname{Span}_KS)

|-

| 체

K

위의 가환 대수의 범주 || 다항식환

K[S]

|-

| 체

K

위의 리 대수의 범주 || 자유 리 대수

|}

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

위상 공간의 범주 ( $\operatorname{Top}$ ): 이산 공간
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 ( $\operatorname{CompHaus}$ ): 스톤-체흐 콤팩트화

자유 대상은 결합 법칙을 따르는 대수 구조의 경우, 알파벳으로 구성된 모든 가능한 단어들의 모음을 고려하고, 해당 대수적 대상의 정의 관계인 일련의 동치 관계를 단어에 적용하여 만들어지는 동치류의 집합이다.

자유 모노이드는 집합 ''X''에 대한 모든 유한 문자열의 모노이드이며, 연산은 문자열의 이어붙이기이고 항등원은 빈 문자열이다.

4. 1. 대수 구조 다양체에서의 예시

대수 구조 다양체의 범주에서는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자가 존재하여 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수 또는 항 대수라고 한다.

대수 구조 다양체의 연산들이

(f_i)_{i\in I}

이고, 그 항수가

n_i

이며, 성립하는 대수적 관계들이

(R_j)_{j\in J}

라고 하자. 임의의 집합

S

가 주어졌을 때, 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

$T_0=S$
$T_{r+1}=T_r\sqcup \bigsqcup_{i\in I}\overbrace{T_r\times\cdots\times T_r}^{n_i}$

여기서

(t_1,\dots,t_{n_i})\in T_r\times\cdots\times T_r

는

f_i(t_1,\dots,t_{n_i})

로 표기한다.

T_r

은 대수 구조 연산을

r

번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

이들의 합집합

T=\bigcup_{i=0}^\infty T_i

는 대수 구조 연산을 유한 번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 대수적 관계들은

T

위의 동치 관계

\sim

로 생각할 수 있다. 그러면

S

로부터 생성되는 자유 대수

\langle S\rangle

는 몫집합

T/{\sim}

이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

:

f_i([t_1],[t_2],\dots,[t_{n_i}])=[f_i(t_1,\dots,t_{n_i})]

여기서

[-]

은 동치 관계

\sim

에 대한 동치류이다.

다음은 대수 구조 다양체에서의 자유 대상의 예시이다.

범주	자유 대상
집합의 범주	집합 $S$
점을 가진 집합의 범주	$S\sqcup\{\bullet\}$
모노이드의 범주	클레이니 스타 $S^*$
군의 범주	자유군
아벨 군의 범주	자유 아벨 군 $\mathbb Z^{\oplus\|S\|}$

범주	자유 대상
집합의 범주	집합 $S$
점을 가진 집합의 범주	$S\sqcup\{\bullet\}$
모노이드의 범주	클레이니 스타 $S^*$
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주	$S$ 를 기저로 하는 벡터 공간 $\operatorname{Span}_KS$ 위의 텐서 대수 $T(\operatorname{Span}_KS)$
체 $K$ 위의 가환 대수의 범주	다항식환 $K[S]$
체 $K$ 위의 리 대수의 범주	자유 리 대수

자유 모노이드는 집합 ''X''에 대한 모든 유한 문자열의 모노이드이며, 연산은 문자열의 이어붙이기이다. 항등원은 빈 문자열이다.

4. 1. 1. 군론에서의 예시

군의 범주에서 자유 대상은 자유군이다.^[1] 자유군은 주어진 집합의 원소들과 그 역원들로 이루어진 문자열들의 집합으로 구성되며, 군의 연산을 통해 동치류를 형성함으로써 얻어진다.

두 개의 생성원으로 자유군을 구성하는 예를 들어보자. 먼저, {e, a, b, a^-1, b^-1}의 다섯 글자로 구성된 알파벳으로 시작한다. 여기서 a^-1, b^-1는 아직 어떤 의미도 부여되지 않은 문자이다. 이들은 두 번째 단계에서 의미가 부여될 것이다. 따라서 S={a,b,c,d,e}와 같이 다섯 글자로 구성된 알파벳으로 시작할 수도 있다. 이때, 모든 단어 또는 문자열의 집합 W(S)에는 'aebecede', 'abdc' 등과 같이 임의의 유한 길이의 문자열이 포함되며, 문자는 가능한 모든 순서로 배열된다.

다음 단계에서는 군의 동치 관계를 적용한다. 군의 동치 관계는 항등원과의 곱셈(ge=eg=g) 및 역원과의 곱셈(gg^-1=g^-1g=e)이다. 이를 위의 문자열에 적용하면 다음과 같다.

: aebecede = aba^-1b^-1

여기서 c는 a^-1, d는 b^-1, e는 항등원을 나타낸다. 마찬가지로 다음과 같다.

: abdc = abb^-1a^-1 = e

동치 관계(또는 합동 관계)를 ~로 나타내면, 자유 대상은 단어의 동치류 집합이 된다. 따라서 이 예에서 두 개의 생성원을 갖는 자유군은 다음과 같이 몫집합으로 나타낼 수 있다.

: F₂ = W(S)/~

이는 F₂=W(S)/E로도 쓰인다. 여기서 W(S) = {a₁a₂...a_n | a_k∈S ; n∈ℕ}는 모든 단어의 집합이고, E = {a₁a₂...a_n | e = a₁a₂...a_n ; a_k∈S ; n∈ℕ}는 군을 정의하는 관계가 적용된 후 항등원의 동치류이다.

아벨 군의 범주에서 자유 대상은 자유 아벨 군이다.^[1] 자유 아벨 군은 정수 계수를 갖는 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 이는 덧셈에 대한 자유로운 구조를 나타낸다.

4. 1. 2. 선형대수학에서의 예시

가환환

R

위의 왼쪽 가군의 범주에서, 집합

S

위의 자유 가군은

R^{\oplus|S|}

이다.^[1] 만약

R=K

가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다.^[1] 이 경우, 집합

S

위의 자유 가군은

S

를 기저로 하는 벡터 공간

\operatorname{Span}_KS

이다.^[1]

4. 2. 대수 구조 다양체가 아닌 범주에서의 예시

위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서는 이산 공간이 자유 대상이다.
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{CompHaus}$ 에서 집합 $S$ 에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 $S$ 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

5. 일반적인 경우

대수적 관계는 결합 법칙을 따르지 않아도 되며, 이 경우 시작점은 모든 단어의 집합이 아니라 괄호로 구분된 문자열이다. 괄호는 문자의 비결합적 그룹화를 나타내는 데 사용된다. 이러한 문자열은 이진 트리 또는 자유 마그마로 표현될 수 있으며, 트리의 잎은 알파벳의 문자이다.^[1]

대수적 관계는 트리 잎에 대한 일반적인 항수 또는 유한 관계일 수 있다. 가능한 모든 괄호가 있는 문자열의 모음으로 시작하는 대신, 헤르브란트 우주로 시작하는 것이 더 편리할 수 있다. 자유 객체의 내용을 적절하게 설명하거나 열거하는 것은 문제의 특정 대수적 객체에 따라 쉽거나 어려울 수 있다. 예를 들어, 두 개의 생성자를 가진 자유군은 쉽게 설명할 수 있지만, 둘 이상의 생성자를 가진 자유 헤이팅 대수의 구조에 대해서는 알려진 바가 거의 없다.^[1] 두 개의 다른 문자열이 동일한 동치 클래스에 속하는지 여부를 결정하는 문제는 단어 문제로 알려져 있다.^[1]

6. 자유 함자

자유 대상의 개념은 범주론에서 자유 함자로 일반화될 수 있다. 이는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의된다.

구체적 범주는 '''Set''', 즉 집합 범주로의 충실한 함자가 갖춰진 범주이다. 를 충실한 함자 를 가진 구체적 범주라고 하고, 를 집합(즉, '''Set'''의 대상)이라고 하자. 이는 정의될 자유 대상의 "기저"가 된다.

에 대한 '''자유 함자'''는 함자 이며, 충실한 함자 의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 다음의 전단사가 존재한다.

: $\operatorname{Hom}_\mathbf{Set}(X, U(B))\cong \operatorname{Hom}_\mathbf{C}(F(X), B).$

대수 구조의 범주 '''C'''를 생각할 때, 객체는 몇 가지 법칙을 따르는 집합과 연산으로 생각할 수 있다. 이 범주에는 객체와 사상을 '''C'''에서 집합의 범주인 '''Set'''으로 매핑하는 망각 함자 이 있다. 망각 함자는 연산을 모두 무시한다.

자유 함자 가 존재할 때, 이것은 의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, }는 '''Set'''의 집합 를 범주 '''C'''에서 해당 자유 객체 로 가져간다. 집합 는 자유 객체 의 "생성자" 집합으로 생각할 수 있다.

6. 1. 공자유 함자

범주론에서 망각 함자의 오른쪽 수반 함자는 공자유 함자라고 불리며, 자유 함자와 쌍대적인 관계를 가진다.

7. 존재성

일반적인 존재 정리들이 적용되며, 그중 가장 기본적인 정리는 다음과 같다.^[1]

: '''C'''가 다양체일 때마다 모든 집합 ''X''에 대해 '''C''' 내에 자유 대상 ''F''(''X'')가 존재한다.^[1]

여기서 다양체는 유한 대수 범주의 동의어이며, 이는 관계 집합이 유한 관계임을 의미하고, '''Set''' 위에 모나드이므로 "대수적"이다.^[1]

8. 다양한 자유 대상

자유 대수
* 자유 결합 대수
* 자유 가환 대수
자유 범주
* 자유 엄밀 모노이드 범주
자유군
* 자유 아벨 군
* 자유 부분 가환 군
자유 클레이니 대수
자유 격자
* 자유 부울 대수
* 자유 분배 격자
* 자유 헤이팅 대수
* 자유 모듈러 격자
자유 리 대수
자유 마그마
자유 가군, 특히 벡터 공간
자유 모노이드
* 자유 가환 모노이드
* 자유 부분 가환 모노이드
자유 환
자유 반군
자유 반환
* 자유 가환 반환
자유 이론
항 대수
이산 공간

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