주 아이디얼 정역

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 주 아이디얼 환
- 2.2. 주 아이디얼 정역
3. 성질
- 3.1. 주 아이디얼 정역 위의 가군
4. 분류
5. 예
- 5.1. 반례
6. 역사
참조

1. 개요

주 아이디얼 정역은 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역을 의미하며, 이는 정역 내 모든 아이디얼이 단일 원소로 생성될 수 있음을 의미한다. 주 아이디얼 정역은 주 아이디얼 환, 소 아이디얼이 주 아이디얼인 정역 등과 동치이며, 유일 인수 분해 정역, 데데킨트 정역, 베주 정역 등과 연관되어 있다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다. 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않으며, 정수환, 가우스 정수환, 다항식환 등이 주 아이디얼 정역의 예시이다. 반면, 다변수 다항식환이나 특정 대수적 정수환은 주 아이디얼 정역이 아니다. 주 아이디얼 정역은 유한 생성 가군의 으뜸 분해와 불변 인자 분해를 통해 표현될 수 있으며, 자리스키-사뮈엘 정리와 헝거퍼드 정리에 의해 분류된다.

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주 아이디얼 정역
개요
정의	환의 모든 아이디얼이 단일 생성원으로 생성되는 정역
영어	Principal ideal domain (PID)
일본어	単項イデアル整域 (Tan'kō idearu seiiki)
설명	모든 아이디얼이 주 아이디얼인 정역 환의 모든 아이디얼이 단일 원소에 의해 생성되는 정역
성질
유일 인수 분해 정역	모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수 분해 정역이다.
유클리드 정역	모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다.
데데킨트 정역	주 아이디얼 정역은 1차원 데데킨트 정역이다.
크룰 차원	주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이거나 0이다.
뇌터 환	주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다.
가환환	주 아이디얼 정역은 가환환이다.
정역	주 아이디얼 정역은 정역이다.
환	주 아이디얼 정역은 환이다.
예시
정수환	정수환 ℤ는 주 아이디얼 정역이다.
체	모든 체는 주 아이디얼 정역이다.
다항식환	체 k에 대한 변수 x의 다항식환 k[x]는 주 아이디얼 정역이다.
참고
관련 항목	환 정역 아이디얼 주 아이디얼 유클리드 정역 유일 인수 분해 정역 데데킨트 정역

2. 정의

정역 가운데 모든 아이디얼이 주 아이디얼인 것을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

주 아이디얼 정역에서 두 원소는 모두 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.

모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시로 Ring|링^영어 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]$ 이 있으며,^[6]^[7] 이는 테오도어 모츠킨에 의해 증명되었고, 알려진 최초의 사례였다.^[8]

모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다.^[9]^[10]^[11]^[12]

모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.

2. 1. 주 아이디얼 환

'''주 오른쪽 아이디얼 환'''(principal right ideal ring^영어)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉,

r\in R

에 대하여

rR

의 꼴)인 환이다.

'''주 왼쪽 아이디얼 환'''(principal left ideal ring^영어)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉,

r\in R

에 대하여

Rr

의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, '''주 아이디얼 가환환'''(principal ideal commutative ring^영어)이라고 한다.

2. 2. 주 아이디얼 정역

정역

D

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 '''주 아이디얼 정역'''이라고 한다.

주 아이디얼 환이다.
모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^[20]
유일 인수 분해 정역이며, 데데킨트 정역이다.^[21]
유일 인수 분해 정역이며, 베주 정역이다.
유일 인수 분해 정역이며, 크룰 차원이 1 이하이다.^[23]
유일 인수 분해 정역이며, 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.^[21]
유일 인수 분해 정역이며, 모든 꼬임 없는 가군은 평탄 가군이다.^[21]
베주 정역이며, 뇌터 환이다.
베주 정역이며, 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
데데킨트 정역이며, 피카르 군이 자명군이다.^[21]
모든 아이디얼이 자유 가군이다.^[22]
자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.^[23]

가환환

R

위의 '''데데킨트-하세 노름'''은 다음 조건을 만족시키는 함수

f\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb N

이다.

임의의 $r,s\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $r\mid s$ 이거나 아니면 $f(r) 인 t\in(r,s) 가 존재한다. (여기서 (r,s)=rR+sR 는 r 와 s 로 생성되는 아이디얼 이다.)$

주 아이디얼 정역에서 두 원소는 모두 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.

모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시로 링

\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]

이 있으며,^[6]^[7] 이는 테오도어 모츠킨에 의해 증명되었고, 알려진 최초의 사례였다.^[8]

모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다.^[9]^[10]^[11]^[12]

모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.

3. 성질

주 아이디얼 정역은 다음과 같은 성질을 갖는다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다.
모든 주 아이디얼 정역은 정수적으로 닫힌 정역이다.
주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 이는 크룰 차원이 1 이하라는 것을 의미한다.
주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소는 최대공약수를 가지며, 이는 두 원소로 생성되는 아이디얼의 생성원으로 얻을 수 있다.
모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예로는 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right]$ 가 있으며, 이는 테오도어 모츠킨이 제시한 최초의 사례였다.
모든 주 아이디얼 정역은 고유 인수 분해 정역(UFD)이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 두 변수의 다항식 링 는 UFD이지만 PID가 아닌 것이 그 예이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역의 정의를 만족하므로, 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이다.

정역 ''A''에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

# ''A''는 주 아이디얼 정역이다.

# ''A''의 모든 소 아이디얼은 주 아이디얼이다.

# ''A''는 UFD인 데데킨트 정역이다.

# ''A''의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이며 (즉, ''A''는 베주 정역이다), ''A''는 주 아이디얼에 대한 주 아이디얼에 대한 상승 사슬 조건을 만족한다.

# ''A''는 데데킨트-하세 노름을 허용한다.

3. 1. 주 아이디얼 정역 위의 가군

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역

R

위의 임의의 유한 생성 가군

M

은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

M\cong\bigoplus_i R/(q_i)

여기서

(q_i)

는

R

의 으뜸 아이디얼이다. 이를

M

의 '''으뜸 분해'''(primary decomposition^영어)라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역

R

위의 임의의 유한 생성 가군

M

은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

M\cong\bigoplus_{i=1}^n R/(d_i)

:

R^\times\not\ni d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n

여기서

(d_i)

는

R

의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를

M

의 '''불변 인자 분해'''(invariant factor decomposition^영어)라고 한다.

만약 ''R''이 주 아이디얼 정역이고, ''M''이 유한 생성 ''R''-가군이면,

M

은 순환 가군, 즉 하나의 생성자를 가진 가군의 직합이다. 순환 가군은

R/xR

와 동형이다. 여기서

x\in R

이다.^[4]

만약 ''M''이 주 아이디얼 정역 ''R'' 위의 자유 가군이면, ''M''의 모든 부분 가군은 다시 자유 가군이다.^[5] 이는 임의의 환 위의 가군에 대해서는 성립하지 않으며, 예시로

\mathbb{Z}[X]

위의 가군

(2,X)  \subseteq \mathbb{Z}[X]

가 있다.

''R'' 이 단항 아이디얼 정역이고 ''M'' 이 유한 생성 ''R''-가군이라면, ''M'' 은 다음과 같은 순환 가군 (단항 생성 가군)의 유한 개의 직합으로 분해된다.

:

M \cong R/(e_1) \oplus \dotsb \oplus R/(e_r) \oplus R \oplus \dotsb \oplus R

단,

R \supsetneq (e_1) \supseteq \dotsb \supseteq (e_r) \supsetneq 0

이다. 특히 유한 생성 직기약 가군은 ''R'' 과 동형이거나, 어떤 기약원 ''p'' 의 양의 거듭제곱 ''p''ⁿ 이 생성하는 아이디얼에 의한 몫 가군 ''R''/(''p''ⁿ) 과 동형이다.

''M'' 이 단항 아이디얼 정역 ''R'' 위의 자유 가군이라면 ''M'' 의 임의의 부분 가군 역시 자유이다. 그러나 이것을 임의의 환 위의 가군에 대해 생각한 것은 일반적으로 옳지 않다. 예를 들어 '''Z'''[''X''] 의 아이디얼 (2, ''X'') 를 '''Z'''[''X''] 위의 가군으로서의 '''Z'''[''X''] 의 부분 가군으로 보면 자유가 아니다.

4. 분류

'''자리스키-사뮈엘 정리'''(Zariski–Samuel theorem^영어)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.^[27]

: $R=\prod_{i=1}^nR_i$

여기서

각 $R_i$ 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.

'''헝거퍼드 정리'''(Hungerford theorem^영어)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환

R

는 이산 값매김환의 몫환이다.^[28]

5. 예

체는 주 아이디얼 정역이다.
정수환 $\mathbb Z$ 는 주 아이디얼 정역이다.^[1]
가우스 정수환 $\mathbb Z[i]$ 와 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb Z[\exp(2\pi i/3)]$ 는 주 아이디얼 정역이다.^[2]
$K$ 가 체일 때, $K$ 위의 일변수 다항식환 $K[x]$ 는 주 아이디얼 정역이다.
p-진 정수의 환 $\mathbb{Z}_p$ 와 같은 모든 이산 값 매김 환도 주 아이디얼 정역이다.

5. 1. 반례

\mathbb Z[x]

는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼

(2,x)

가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체

K

에 대하여,

K[x,y]

는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼

(x,y)

가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.^[3]

주 아이디얼 정역이 아닌 정역의 예는 다음과 같다.

$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ 는 $4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$ 이므로 유일 인수 분해 정역이 아니다. 따라서 주 아이디얼 정역이 아니다. 또한, $\langle 2, 1+\sqrt{-3} \rangle$ 는 단일 원소로 생성될 수 없는 아이디얼이다.
$\mathbb{Z}[x]$ : 정수 계수를 갖는 모든 다항식의 링. $\langle 2, x \rangle$ 가 단일 다항식으로 생성될 수 없는 아이디얼이므로 주 아이디얼 정역이 아니다.
$K[x, y, \ldots],$ 링 위의 두 개 이상의 변수를 갖는 다항식의 링은 아이디얼 $\langle x, y \rangle$ 가 주 아이디얼이 아니므로 주 아이디얼 정역이 아니다.
대부분의 대수적 정수환은 주 아이디얼 정역이 아니다. 특히, 단위근 $\zeta_p$ 의 많은 $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다.^[3]

단항 아이디얼 정역이 되지 않는 정역의 예는 다음과 같다.

'''Z'''[''X'']: 정수 계수의 일변수 다항식환. 예를 들어 아이디얼 (2, ''X'')는 단항 아이디얼이 아니다.
''K''[''X'', ''Y'']: 체 ''K'' 위의 두 변수 다항식환. 예를 들어 아이디얼 (''X'', ''Y'')는 단항 아이디얼이 아니다.^[24]

6. 역사

1949년 토머스 모츠킨(Thomas Motzkin)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.^[26]

1958년 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(Pierre Samuel)이 자리스키-사뮈엘 정리를 증명하였다.^[27]

1968년 토머스 윌리엄 헝거퍼드(Thomas William Hungerford)가 헝거퍼드 정리를 증명하였다.^[28]

참조

_[1] 문서 See Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corollary of Theorem 1.7, and notes at p. 369, after the corollary of Theorem 7.2
_[2] 문서 See Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Theorem 7.8 and p. 377, Theorem 7.4.
_[3] 웹사이트 Algebraic Number Theory https://www.jmilne.o[...]
_[4] 서적 See also Ribenboim (2001), p. 113, proof of lemma 2. https://books.google[...]
_[5] 문서 Lecture 1. Submodules of Free Modules over a PID https://people.math.[...] 2023-03-31
_[6] 저널 A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring. https://www.jstor.or[...] 1973-01
_[7] 문서 A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises http://math.berkeley[...]
_[8] 저널 The Euclidean algorithm https://projecteucli[...] 1949-12
_[9] 문서 Proof: every prime ideal is generated by one element, which is necessarily prime. Now refer to the fact that an integral domain is a UFD if and only if its prime ideals contain prime elements.
_[10] 문서 Jacobson (2009), p. 148, Theorem 2.23.
_[11] 문서 Fraleigh & Katz (1967), p. 368, Theorem 7.2
_[12] 서적 Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.166, Theorem 7.2.1. https://books.google[...]
_[13] 웹사이트 T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra https://web.archive.[...] 2023-03-31
_[14] 서적 Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.170, Proposition 7.3.3. https://books.google[...]
_[15] 문서 体 ''K'' 上の 2 変数多項式環 ''K''[''X'', ''Y''] は一意分解環であるが、(''X'', ''Y'') は単項イデアルでない。
_[16] 저널 A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring http://links.jstor.o[...] 1973-01
_[17] 문서 A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises http://math.berkeley[...]
_[18] 웹사이트 Over a PID, flat and torsion free are equivalent https://crazyproject[...] 2015-02-19
_[19] 웹사이트 T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra http://math.berkeley[...] 2010-07-26
_[20] 저널 Elementary divisors and modules 1949-07
_[21] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[22] 서적 Actes du Congrès International des Mathematiciens 1970. Tome 1 https://web.archive.[...] Gauthier-Villars 2016-04-26
_[23] 서적 Advanced modern algebra American Mathematical Society 2011
_[24] 저널 A principal ring that is not a Euclidean ring 1973-01
_[25] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001
_[26] 저널 The Euclidean algorithm 1949
_[27] 서적 Commutative algebra. Volume I David Van Nostrand Company
_[28] 저널 On the structure of principal ideal rings http://projecteuclid[...] 1968

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