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진자

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목차

1. 개요

진자는 고정된 지점에서 매달린 물체가 중력의 영향으로 흔들리는 장치이다. 이상적인 진자는 줄의 질량, 추의 크기, 마찰 등을 무시하며, 수학적으로 미분 방정식을 통해 운동을 표현한다. 진자의 흔들림 주기는 진폭과 무관하며, 이를 진자의 등시성이라고 한다. 이러한 특성으로 인해 진자는 시계 제작에 활용되었으며, 중력 가속도 측정, 지구 자전 증명 등 다양한 분야에서 응용되었다. 또한 이중 진자와 같은 혼돈 역학 시스템의 예시로도 사용된다.

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진자
기본 정보
진자의 움직임
진자의 움직임
정의고정된 축을 중심으로 자유롭게 회전하는 물체
어원라틴어 'pendulus' (pendulus) - '매달린'
영어 'pendulum' (pendulum)
관련 용어추
진폭
주기
진동
단진자
역사
초기 연구갈릴레오 갈릴레이의 진자 운동 연구
시계 적용크리스티안 하위헌스의 진자 시계 발명
물리학
운동주기적인 왕복 운동
주기진자의 길이와 중력 가속도에 의해 결정
에너지위치 에너지와 운동 에너지의 변환
종류
단순 진자이상적인 진자 모델
물리 진자실제 물체의 진자 운동
원뿔 진자원뿔 모양으로 회전하는 진자
이중 진자복잡한 운동을 보이는 진자
푸코 진자지구 자전을 증명하는 데 사용되는 진자
응용
시계정확한 시간 측정 장치
지진계지진 감지 장치
진자 시계시간 측정 도구
진자 운동 에너지다양한 기계 장치
추가 정보
참고 문헌Miriam Webster's Collegiate Encyclopedia (2000)
Warren Marrison, Bell System Technical Journal (1948)

2. 수학적 설명

진자는 미분방정식을 통해 수학적으로 설명할 수 있다. 이상적인 진자의 운동은 다음 방정식으로 표현된다.[158]

:\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

여기서 θ는 각도, g는 중력 가속도, l은 진자의 길이, t는 시간이다.

진자에 작용하는 힘


단진자에 작용하는 힘


위 그림처럼 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 이 두 힘을 합하면 다음과 같다.

:-mg\sin\theta

미소 거리 dx는 미소 각 d\theta와 dx = ld\theta의 관계를 가진다. l은 변하지 않으므로, 한 번 더 미분하면 d^2x = ld^2\theta 관계를 얻는다. 뉴턴의 제2법칙(F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2})에 의해, -mg\sin\theta = m\frac{ld^2\theta}{dt^2} 이고, 이를 정리하면, \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 를 얻는다.

진폭이 작은 경우, 즉 각도가 작다면 \sin\theta \approx\theta로 어림할 수 있다.[161] 이 경우 진자의 운동 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0

이는 단순 조화 운동의 방정식과 같은 형태이며, 진폭이 작은 진자의 운동이 단조화 운동임을 나타낸다.

진폭이 작을 때 진자의 진동 주기 ''T''는 다음과 같다.[8]

:T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

즉, 주기는 중력가속도 ''g''와 줄의 길이 ''l''에만 의존하며, 추의 무게와는 관련이 없다. 하지만 진폭이 커지면 주기는 진폭에 따라 증가하며, 실제 주기는 다음 식으로 표현된다.[12][13]

:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)


2. 1. 이상적인 진자의 운동

이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식의 형태로 표현된다.

:\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

여기서 θ는 각도, g는 중력 가속도, l은 진자의 길이, t는 시간이다.

이상적인 진자는 다음과 같은 가정을 전제로 한다.

  • 줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
  • 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
  • 운동은 2차원에서만 일어난다.
  • 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
  • 균일한 중력장 속에서의 운동이다.
  • 축은 움직이지 않는다.


단진자


진자는 추가 좌우 어느 위치에 있을 때 위치 에너지를 가진다. 중력에 의해 아래로 당겨지면 가속되어 운동 에너지가 되고, 가장 아래에서 최고 속도가 된다. 반대쪽으로 흔들릴 때는 감속하면서 다시 위치 에너지로 축적되어 일단 정지한다. 이후 이를 반복한다.

흔들림의 폭이 충분히 작을 경우, 진자의 흔들림 주기(주기)는 추의 무게나 진폭에 관계없이 일정하다고 간주할 수 있다. 주기는 "등가 진자의 길이"(이는 지점부터 무게 중심까지의 거리와 반드시 일치하지는 않는다)에만 영향을 받는다. 이를 '''진자의 등시성'''[158]이라고 한다.

단진자는 진자의 운동을 생각하기 위한 모델이다. 무게가 없고 늘어나거나 줄어들지 않는 막대기의 한쪽 끝을 고정하고, 다른 쪽 끝에 질점을 부착하여 하나의 수직면 내에서만 중력의 작용으로 진동한다고 생각한다[161].(진자가 한 수직 면이 아닌 구면 위를 움직이는 경우는 "구면 진자"라고 한다). 진폭이 작으면 추의 운동은 단진동으로 간주할 수 있으며, 주기 ''T''는 다음과 같이 나타낸다.

:T=2\pi \sqrt{l\over g}

길이 l의 실 끝에 질량 m의 추를 달아, 실의 다른 쪽 끝을 고정하여 매달아 놓는다. 추를 약간 옆으로 당겨 놓으면, 추는 실의 고정점 바로 아래의 진자 평형 위치 ''Ｏ''를 중심으로 왕복 운동을 시작한다. 추는 실의 윗부분의 고정점을 중심으로 한 원주상에서 운동하므로, 진자의 평형 위치 ''Ｏ''를 원점으로 하고, 원주를 따라 x축을 잡으면, 추의 운동은 x축상의 1차원 운동으로 볼 수 있다. 이때, 추의 운동과 관련된 힘은 추에 작용하는 중력 mg의 원주에 대한 접선 방향뿐이다. 여기서, 중력 mg의 원주에 대한 법선 방향과 실의 장력 T는, 추의 운동을 원주상에 구속하는 역할을 한다. 실이 연직 방향과 이루는 각이 \theta일 때, 추의 x축상에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.

:F = -mg \sin\theta

추의 좌표 x와 \theta는,

:\theta ={x \over l}

이므로, 추에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

:F = -mg \sin{x \over l}

:ma = -mg \sin{x \over l}

:{d^2x \over dt^2} = -g\sin {x \over l}

여기서, 미소각 \theta에 대해 성립하는 근사

:\sin\theta \approx \theta

을 사용하여 위의 식을 변형하면,

:{d^2x \over dt^2} = -{g \over l}x

가 된다. 위 식은 단조화 운동에서의 운동 방정식과 동일한 형태이다. ''t'' = 0에서 \theta=\theta _0, \dot{\theta}=\dot{\theta}_0인 경우, ''θ''의 해는 다음과 같다[158]。

:\theta = C_1 \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right) + C_2 \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right)

여기서, C_1 = \dot{\theta}_0 \sqrt{\frac{l}{g}}, C_2 = \theta_0 이고, 삼각 함수를 합성한 경우,

:\theta = \sqrt{C_1^2+C_2^2} \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}}t + \phi \right)

: \phi = \arcsin \left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)

따라서, 주기는 위와 같다.

2. 2. 방정식 유도

이상적인 진자의 운동은 다음 미분방정식의 형태로 표현된다.

:\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

이때 이상적인 진자란, 다음의 전제를 포함한다.

  • 줄의 질량은 무시할 수 있을 정도로 작다.
  • 추는 부피가 없는 하나의 질점으로 취급한다.
  • 운동은 2차원에서만 일어난다.
  • 저항이나 마찰력에 의해 에너지 손실이 없다.
  • 균일한 중력장 속에서의 운동이다.
  • 축은 움직이지 않는다.


위 그림과 같이 진자의 추에는 중력과 장력이 작용한다. 두 힘의 합력은 다음과 같이 나타난다.

:-mg\sin\theta

한편, 미소 거리 dx는 미소 각 d\theta와 다음의 관계를 가진다.

:dx = ld\theta

이때 l은 변하지 않기 때문에, 한 번 더 미분하면 다음 관계를 얻는다.

:d^2x = ld^2\theta

따라서 뉴턴의 제2법칙(F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2})에 의해,

:-mg\sin\theta = m\frac{ld^2\theta}{dt^2}

정리하여 다음을 얻는다.

:\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

길이 l의 실 끝에 질량 m의 추를 달아, 실의 다른 쪽 끝을 고정하여 매달아 놓으면, 추는 실의 고정점 바로 아래의 진자 평형 위치 ''Ｏ''를 중심으로 왕복 운동을 시작한다. 추는 실의 윗부분의 고정점을 중심으로 한 원주상에서 운동하므로, 진자의 평형 위치 ''Ｏ''를 원점으로 하고, 원주를 따라 x축을 잡으면, 추의 운동은 x축상의 1차원 운동으로 볼 수 있다. 이때, 추의 운동과 관련된 힘은 추에 작용하는 중력 mg의 원주에 대한 접선 방향뿐이다. 여기서, 중력 mg의 원주에 대한 법선 방향과 실의 장력 T는, 추의 운동을 원주상에 구속하는 역할을 한다. 실이 연직 방향과 이루는 각이 \theta일 때, 추의 x축상에 작용하는 힘 F는,

:F = -mg \sin\theta

가 된다. 추의 좌표 x와 \theta는,

:\theta ={x \over l}

이므로, 추에 대한 운동 방정식은,

:F = -mg \sin{x \over l}

:ma = -mg \sin{x \over l}

:{d^2x \over dt^2} = -g\sin {x \over l}

여기서, 미소각 \theta에 대해 성립하는 근사

:\sin\theta \approx \theta

을 사용하여, 위의 식을 변형하면,

:{d^2x \over dt^2} = -{g \over l}x

가 된다. 위 식은 단조화 운동에서의 운동 방정식과 동일한 형태이다. ''t'' = 0에서 \theta=\theta _0, \dot{\theta}=\dot{\theta}_0인 경우, ''θ''의 해는 다음과 같다[158]。

:\theta = C_1 \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right) + C_2 \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right)

여기서, C_1 = \dot{\theta}_0 \sqrt{\frac{l}{g}}, C_2 = \theta_0 이고, 삼각 함수를 합성한 경우,

:\theta = \sqrt{C_1^2+C_2^2} \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}}t + \phi \right)

: \phi = \arcsin \left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)

2. 3. 진폭이 작은 진자의 운동 (단순 조화 운동)

진자의 운동을 기술하는 식 \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0에서, 진폭, 즉 각이 작다면 \sin\theta \approx\theta로 어림할 수 있다. 따라서 다음 식을 얻게 된다.[161]

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0

위 식은 단순 조화 운동의 방정식이다. 이 방정식의 해는 다음 꼴로 나타난다.

\theta(t) = A\sin(\omega{}t - \phi)

이때 각속도 \omega = \sqrt{g/l} 이고, 진폭 A와 위상 \phi는 진자의 초기 위치와 속도에 의해 결정되는 값이다.

미소각 \theta에 대해 \sin\theta \approx \theta 근사를 사용하면[161] 진자의 운동 방정식은 다음과 같이 단조화 운동에서의 운동 방정식과 동일한 형태로 변형된다.

{d^2x \over dt^2} = -{g \over l}x

''t'' = 0에서 \theta=\theta _0, \dot{\theta}=\dot{\theta}_0인 경우, ''θ''의 해는 다음과 같다.[158]

:\theta = C_1 \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right) + C_2 \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right)

여기서, C_1 = \dot{\theta}_0 \sqrt{\frac{l}{g}}, C_2 = \theta_0 이고, 삼각 함수를 합성한 경우,

:\theta = \sqrt{C_1^2+C_2^2} \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}}t + \phi \right)

: \phi = \arcsin \left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)

따라서, 주기는 (1-1) 식과 같다.

2. 4. 진동 주기

진폭이 작을 때, 진자의 진동 주기 T는 다음과 같이 주어진다.

:T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

즉, 진자의 주기는 중력가속도 g 와 줄의 길이 l 에만 의존하고, 추의 무게와는 관련이 없다.[8]

진폭이 클 때는 주기가 진폭에 따라 증가한다. 실제 주기는 다음 식으로 표현될 수 있다.[12][13]

:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)



진자의 주기는 진폭 ''θ''0(진동 폭)이 증가함에 따라 길어진다.

단순 중력 진자의 왕복 운동 주기는 길이, 국소 중력 가속도, 그리고 진자가 수직에서 벗어나는 최대 각도인 ''θ''0(진폭)에 약간 의존한다.[8] 이 주기는 추의 질량과는 무관하다. 진폭이 작은 진동으로 제한되면,[9] 단순 진자의 주기 (완전한 사이클에 걸리는 시간)는 다음과 같다:[10]

:

T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g} \qquad \qquad \qquad

\theta_0 \ll 1\text{ 라디안}



여기서 L은 진자의 길이이고 g는 국소 중력 가속도이다.

작은 진동의 경우, 왕복 운동의 주기는 다른 크기의 진동에 대해 거의 동일하다. 즉, ''주기는 진폭에 독립적이다''. 이러한 성질은 등시성이라고 하며, 진자가 시계 제작에 매우 유용한 이유이다.[11] 진폭이 변하더라도 진자의 연속적인 진동은 동일한 양의 시간을 소요한다.

더 큰 진폭의 경우, 주기는 진폭에 따라 점차적으로 증가하므로 위의 식에서 주어진 것보다 길다. 예를 들어, 진폭이 ''θ''0 = 0.4 라디안 (23°)일 때, 위의 식에서 주어진 것보다 1% 더 크다. 주기는 ''θ''0이 π 라디안 (180°)에 접근함에 따라 점근적으로 (무한대로) 증가하는데, 이는 값 ''θ''0 = π가 진자에 대한 불안정한 평형점이기 때문이다. 이상적인 단순 중력 진자의 실제 주기는 여러 가지 형태로 쓸 수 있으며, 한 가지 예는 무한 급수이다:[12][13]

:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] =

2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1 + \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)



여기서 \theta_0는 라디안 단위이다.

이 실제 주기와 작은 진동에 대한 주기 사이의 차이를 ''원형 오차''라고 한다. 6°의 진동과 3° (0.05 라디안)의 진폭을 가진 전형적인 괘종시계의 경우, 실제 주기와 작은 각도 근사치 사이의 차이는 하루에 약 15초에 해당한다.

작은 진동의 경우, 진자는 조화 진동자에 근사하며, 시간 ''t''의 함수로서의 운동은 다음과 같은 근사 단순 조화 운동을 한다:[5]

:

\theta (t) = \theta_0 \cos \left( \frac{2\pi}{T}\, t +\varphi \right)



여기서 \varphi는 초기 조건에 따라 달라지는 상수 값이다.

실제 진자의 경우, 주기는 공기의 부력 및 점성 저항, 끈 또는 막대의 질량, 추의 크기 및 모양, 그리고 끈에 어떻게 연결되어 있는지, 끈의 유연성 및 늘어짐과 같은 요인에 따라 약간씩 변한다.[12][14]

3. 역학

갈릴레오 갈릴레이는 1602년경부터 진자의 속성을 연구한 최초의 과학자였다.[31] 갈릴레오는 1588년 사후 출판된 그의 노트 ''운동에 관하여''에서 진자에 처음 관심을 보였는데,[32][33] 여기서 그는 더 무거운 물체가 더 가벼운 물체보다 더 오랫동안 진동한다는 것을 언급했다. 1602년 그는 진자의 주기가 추의 질량과 무관하며, 진자 길이의 제곱근에 비례한다는 것을 발견했다. 그는 처음에는 자유롭게 흔들리는 진자를 간단한 타이밍 응용 프로그램에 사용했다. 산토리오 산토리오는 1602년에 진자의 길이를 이용하여 환자의 맥박을 측정하는 장치인 '펄스시계'를 발명했다.[38]

1656년, 네덜란드의 과학자 크리스티안 호이겐스(Christiaan Huygens)는 최초의 진자 시계를 제작했다.[40] 이것은 기존의 기계식 시계에 비해 큰 개선을 이루었는데, 기존 시계의 하루 오차는 약 15분이었지만 진자 시계는 하루 오차가 약 15초로 줄었다.[41]

영국의 과학자 로버트 훅(Robert Hooke)은 1666년경에 두 방향으로 자유롭게 움직일 수 있는 원뿔형 진자를 연구했는데,[43] 그는 이 장치의 움직임을 모델로 사용하여 행성들의 궤도 운동을 분석했다.[44] 훅은 1679년 아이작 뉴턴(Isaac Newton)에게 궤도 운동의 구성 요소가 접선 방향을 따라 움직이는 관성 운동과 반경 방향으로 작용하는 인력 운동으로 이루어져 있다고 제안했다. 이는 뉴턴의 만유인력의 법칙을 정립하는 데 기여했다.[45][46]

1671년 장 리셰(Jean Richer)는 프랑스령 기아나(French Guiana)의 카옌(Cayenne)으로 탐험을 떠났고, 그곳에서 진자 시계가 파리보다 하루에 2분 30초 늦게 가는 것을 발견했다. 이를 통해 그는 카옌에서 중력의 힘이 더 약하다는 것을 추론했다.[47][48] 1687년, 아이작 뉴턴은 ''자연 철학의 수학적 원리(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)''에서 지구가 타원체(극이 납작한 형태)이기 때문에 위도가 증가함에 따라 중력이 증가한다는 것을 보여주었다.[49] 휴대용 진자는 정밀 중력계로서 지구상의 여러 지점에서 지구 중력의 중력 가속도를 측정하기 위해 먼 지역으로의 항해에 사용되기 시작했으며, 결국 지구의 형상에 대한 정확한 모델을 만드는 데 기여했다.[50]

18세기와 19세기 동안, 진자 시계는 진자를 개선하기 위한 많은 연구를 촉진했다. 주요 오차 원인은 주변 온도 변화에 따라 진자 막대가 팽창하고 수축하여 진동 주기가 변하는 것이었다.[8][61] 이는 1721년 수은 진자[62]와 1726년 격자 진자의 발명으로 해결되었으며, 정밀 진자 시계의 오차를 주당 몇 초로 줄였다.[59]

1818년 영국의 헨리 케이터 선장은 케이터 진자를 발명하여[63] 매우 정확한 중력 측정이 가능하게 되었다. 그 후 한 세기 동안 가역 진자는 절대 중력 가속도를 측정하는 표준 방법이었다.

1851년, 레옹 푸코는 푸코 진자를 통해 지구 자전을 증명했다.[64] 이는 천체 관측에 의존하지 않고 지구의 자전을 증명한 최초의 시연이었으며,[65] "진자 열풍"이 일어났고, 푸코 진자가 많은 도시에 전시되어 많은 군중을 끌어모았다.[66][67]

3. 1. 단순 중력 진자

'''단순 중력 진자'''[4]는 질량이 없는 끈의 끝에 매달린 추로 구성된 이상적인 진자 모델이다.[5][6][7] 이는 마찰이 없는 피벗에 매달려 있어 초기 추진력을 받으면 일정한 진폭으로 앞뒤로 흔들린다. 실제 진자는 마찰과 공기 저항의 영향을 받으므로 진동의 진폭이 감소한다.

단진자는 진자의 운동을 생각하기 위한 모델이다. 무게가 없고 늘어나거나 줄어들지 않는 막대기의 한쪽 끝을 고정하고, 다른 쪽 끝에 질점을 부착하여 하나의 수직면 내에서만 중력의 작용으로 진동한다고 생각한다.[161] (진자가 한 수직면이 아닌 구면 위를 움직이는 경우는 "구면 진자"라고 한다). 진폭이 작으면 추의 운동은 단진동으로 간주할 수 있으며, 주기 ''T''는 다음과 같이 나타낸다.

:T=2\pi \sqrt{l\over g}

길이 l의 실 끝에 질량 m의 추를 달아, 실의 다른 쪽 끝을 고정하여 매달아 놓는다.

추를 약간 옆으로 당겨 놓으면, 추는 실의 고정점 바로 아래의 진자 평형 위치 ''Ｏ''를 중심으로 왕복 운동을 시작한다. 추는 실의 윗부분의 고정점을 중심으로 한 원주상에서 운동하므로, 진자의 평형 위치 ''Ｏ''를 원점으로 하고, 원주를 따라 x축을 잡으면, 추의 운동은 x축상의 1차원 운동으로 볼 수 있다. 이때, 추의 운동과 관련된 힘은 추에 작용하는 중력 mg의 원주에 대한 접선 방향뿐이다. 여기서, 중력 mg의 원주에 대한 법선 방향과 실의 장력 T는 추의 운동을 원주상에 구속하는 역할을 한다. 실이 연직 방향과 이루는 각이 \theta일 때, 추의 x축상에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.

:F = -mg \sin\theta

추의 좌표 x와 \theta는 다음과 같은 관계를 가진다.

:\theta ={x \over l}

따라서 추에 대한 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:F = -mg \sin{x \over l}

:ma = -mg \sin{x \over l}

:{d^2x \over dt^2} = -g\sin {x \over l}

여기서 미소각 \theta에 대해 성립하는 근사, 즉 \sin\theta \approx \theta를 사용하여 위 식을 변형하면 다음과 같다.

:{d^2x \over dt^2} = -{g \over l}x

위 수식은 단조화 운동에서의 운동 방정식과 동일한 형태이다. ''t'' = 0에서 \theta=\theta _0, \dot{\theta}=\dot{\theta}_0인 경우, ''θ''의 해는 다음과 같다.[158]

:\theta = C_1 \sin \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right) + C_2 \cos \left( \sqrt{\frac{g}{l}}t \right)

여기서 C_1 = \dot{\theta}_0 \sqrt{\frac{l}{g}}, C_2 = \theta_0 이고, 삼각 함수를 합성한 경우,

:\theta = \sqrt{C_1^2+C_2^2} \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}}t + \phi \right)

: \phi = \arcsin \left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)

따라서 주기는 T=2\pi \sqrt{l\over g}와 같다.

3. 2. 진동 주기

단순 중력 진자의 왕복 운동 주기는 길이, 국소 중력 가속도, 그리고 진자가 수직에서 벗어나는 최대 각도인 ''θ''0(진폭)에 약간 의존한다.[8] 이 주기는 추의 질량과는 무관하다. 진폭이 작은 진동으로 제한되면,[9] 단순 진자의 주기 (완전한 사이클에 걸리는 시간)는 다음과 같다:[10]

:

T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g} \qquad \qquad \qquad

\theta_0 \ll 1\text{ 라디안}



여기서 L은 진자의 길이이고 g는 국소 중력 가속도이다.

작은 진동의 경우, 왕복 운동의 주기는 다른 크기의 진동에 대해 거의 동일하다. 즉, ''주기는 진폭에 독립적이다''. 이러한 성질은 등시성이라고 하며, 진자가 시계 제작에 매우 유용한 이유이다.[11] 진폭이 변하더라도 진자의 연속적인 진동은 동일한 시간을 소요한다.

더 큰 진폭의 경우, 주기는 진폭에 따라 점차적으로 증가하므로 위의 식에서 주어진 것보다 길다. 예를 들어, 진폭이 ''θ''0 = 0.4 라디안 (23°)일 때, 위의 식에서 주어진 것보다 1% 더 크다. 주기는 ''θ''0이 π 라디안 (180°)에 접근함에 따라 점근적으로 (무한대로) 증가하는데, 이는 값 ''θ''0 = π가 진자에 대한 불안정한 평형점이기 때문이다. 이상적인 단순 중력 진자의 실제 주기는 여러 가지 형태로 쓸 수 있으며 (진자 (역학) 참조), 한 가지 예는 무한 급수이다:[12][13]

:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left[ \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2} \right)^2 \sin^{2n} \left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1 + \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)



여기서 \theta_0는 라디안 단위이다.

이 실제 주기와 작은 진동에 대한 주기 사이의 차이를 ''원형 오차''라고 한다. 6°의 진동과 3° (0.05 라디안)의 진폭을 가진 전형적인 괘종시계의 경우, 실제 주기와 작은 각도 근사치 사이의 차이는 하루에 약 15초에 해당한다.

작은 진동의 경우, 진자는 조화 진동자에 근사하며, 시간 ''t''의 함수로서의 운동은 다음과 같은 근사 단순 조화 운동을 한다:[5]

:

\theta (t) = \theta_0 \cos \left( \frac{2\pi}{T}\, t +\varphi \right)



여기서 \varphi는 초기 조건에 따라 달라지는 상수 값이다.

실제 진자의 경우, 주기는 공기의 부력 및 점성 저항, 끈 또는 막대의 질량, 추의 크기 및 모양, 그리고 끈에 어떻게 연결되어 있는지, 끈의 유연성 및 늘어짐과 같은 요인에 따라 약간씩 변한다.[12][14] 정밀한 응용 분야에서는 이러한 요인에 대한 보정을 식에 적용하여 주기를 정확하게 얻어야 할 수 있다.

3. 3. 복합 진자 (물리 진자)

'''복합 진자''' 또는 '''물리 진자'''는 고정된 수평 축을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 강체를 말한다. 복합 진자는 ''등가 길이''라고 불리는 길이 \ell^\mathrm{eq}의 단순 중력 진자와 동일한 주기를 가지며, 이는 지지점으로부터 진동 중심까지의 거리와 같다.[1] 진동 중심은 진자의 질량 중심 아래에 위치하며, 거리는 진자의 질량 분포에 따라 달라진다. 진자 길이에 비해 대부분의 질량이 비교적 작은 추에 집중되어 있다면, 진동 중심은 질량 중심에 가깝다.[16]

어떤 물리 진자의 등가 길이 \ell^\mathrm{eq}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\ell^\mathrm{eq} = \frac{I_O}{mr_\mathrm{CM}}

여기서 I_O는 지지점 O에 대한 진자의 관성 모멘트이고, m은 진자의 총 질량이며, r_\mathrm{CM}는 지지점과 질량 중심 사이의 거리이다.

이 식을 이용하면, 복합 진자의 주기 T는 다음과 같이 주어진다.

:T = 2\pi \sqrt\frac{I_O}{mgr_\mathrm{CM}}

이 공식은 진동이 충분히 작은 경우에만 해당된다.[17]

예를 들어, 길이 \ell의 균일한 막대가 한쪽 끝을 중심으로 회전하는 경우 관성 모멘트는 I_O = \frac{1}{3}m\ell^2이다. 질량 중심은 막대의 중앙에 위치하므로 r_\mathrm{CM} = \frac{1}{2}\ell이다. 이 값들을 위의 식에 대입하면 T = 2\pi\sqrt{\frac{2\ell}{3g}}가 된다. 이는 강성 막대 진자는 길이의 3분의 2인 단순 진자와 같은 주기를 갖는다는 것을 보여준다.

크리스티안 호이겐스는 1673년에 지지점과 진동 중심이 서로 바뀔 수 있음을 증명했다.[18] 즉, 어떤 진자를 거꾸로 뒤집어 이전의 진동 중심에 위치한 지지점에서 흔들면 이전과 동일한 주기를 가지며, 새로운 진동 중심은 이전 지지점에 위치하게 된다. 1817년 헨리 케이터는 이 아이디어를 사용하여 중력 가속도에 대한 개선된 측정을 위해 현재 케이터 진자로 알려진 가역 진자의 한 종류를 제작했다.

물리진자는 어떤 형태를 가진 물체를 한 점에서 매달아 놓은 진자를 말하며,[161] 실체 진자, 복진자라고도 불린다.[157] 일반적으로 매다는 물체는 강체로 간주할 수 있는 것을 가리킨다.[160] 단진자와 달리 질점과 막대가 분리되어 있지 않은 분포 질량계이지만, 주기의 등시성 등의 특성은 단진자와 변함없다.

등가 진자 길이 ''l''


물리 진자의 주기 ''T''는 다음 식으로 나타낸다.[160] 여기서 ''l''은 등가 진자의 길이, ''g''는 중력 가속도이다.

:T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g}

등가 진자의 길이는 다음 식으로 나타낸다.

:l = \frac{I}{md}

여기서 ''I''는 지점 주변의 관성 모멘트, ''m''은 추의 전체 질량, ''d''는 지점으로부터 무게 중심까지의 거리이다.

3. 4. 이중 진자

혼돈스러운 움직임을 보여주는 이중 복합 진자의 애니메이션. 두 부분의 길이와 질량은 같으며, 질량은 각 부분의 길이에 따라 균등하게 분포되어 있고, 회전축은 맨 끝에 있다.


물리학과 수학의 동역학적 시스템 분야에서 '''이중 진자'''는 '''혼돈 진자'''라고도 하며, 끝에 또 다른 진자가 부착된 진자로, 초기 조건에 강한 나비 효과를 보이며 풍부한 동역학적 행동을 나타내는 단순한 물리 시스템이다.[19] 이중 진자의 움직임은 일련의 결합된 상미분 방정식에 의해 지배되며 혼돈적이다.

4. 역사

장형의 지진계 모형. 진자는 내부에 포함되어 있다.


진자의 초기 사용 사례 중 하나는 1세기 한나라의 중국 과학자 장형의 지진계이다.[20] 이 기기는 멀리 떨어진 곳에서 일어난 지진의 진동에 의해 흔들려 지렛대를 작동시켰다.[21]

많은 자료에서는 10세기 이집트 천문학자 이븐 유누스가 시간 측정에 진자를 사용했다고 주장하지만, 이는 1684년 영국의 역사가 에드워드 버나드의 오류에서 비롯된 것이다.[26][27][28][29]

르네상스 시대에는 대형 수동 펌프 진자가 톱, 풀무, 펌프와 같은 수동 왕복 기계의 동력원으로 사용되었다.[30] 1900년경에는 인바와 융합 석영과 같이 낮은 열팽창 재료가 정밀 시계 및 기타 기기의 진자 막대에 사용되어 온도 보상이 간단해졌다.[68] 정밀 진자는 저압 탱크에 보관되어 대기압 변화로 인한 부력 변화를 막아 주기를 일정하게 유지했다.[68]

수정 진동자(1921년)와 수정 시계(1927년)의 발명으로 진자는 시간 측정 장치로서의 정확도가 뒤처지게 되었다.[2] 제2차 세계 대전까지 진자 시계가 시간 표준으로 사용되었지만, 프랑스 시간 서비스는 1954년까지 공식 시간 표준 집합체에 진자 시계를 사용했다.[71] 진자 중력계는 1950년대에 "자유 낙하" 중력계로 대체되었지만,[72] 진자 기기는 1970년대까지 계속 사용되었다.

4. 1. 초기 역사



진자의 초기 사용 사례 중 하나는 1세기 한나라의 중국 과학자 장형이 만든 지진계였다.[20] 이 지진계는 멀리서 발생한 지진의 진동으로 흔들려 지렛대를 작동시켰다.[21] 지렛대에 의해 풀린 작은 공은 8방위 중 한 방향을 가리키는 8개의 금속 두꺼비 입이 있는 항아리 모양 장치에서 떨어져 지진의 방향을 알려주었다.[21]

많은 자료에서 10세기 이집트 천문학자 이븐 유누스가 시간 측정에 진자를 사용했다고 주장하지만, 이는 1684년 영국의 역사가 에드워드 버나드의 오류에서 비롯된 것이다.[26][27][28][29]

르네상스 시대에는 대형 수동 펌프 진자가 톱, 풀무, 펌프와 같은 수동 왕복 기계의 동력원으로 사용되었다.[30]

4. 2. 르네상스 시대

르네상스 시대에는 대형 수동 펌프 진자가 톱, 풀무, 펌프와 같은 수동 왕복 기계의 동력원으로 사용되었다.[30]

4. 3. 1602년: 갈릴레오의 연구

갈릴레오 갈릴레이는 진자의 주기가 추의 질량과 무관하며 진자 길이의 제곱근에 비례한다는 진자의 등시성을 발견했다.[26][27][28][29]

4. 4. 1656년: 진자 시계

크리스티안 호이겐스는 최초로 진자 시계를 제작하여 시간 측정의 정확도를 크게 향상시켰다.[8]

4. 5. 1666년: 로버트 훅의 연구

1660년대 초, 왕립 학회의 창립 멤버이자 그레셤 대학교의 기하학 교수였던 로버트 훅은 원뿔형 진자를 연구했다. 원뿔형 진자는 한 방향으로만 앞뒤로 흔들리는 일반적인 진자와 달리, 추가 원을 그리며 움직이는 진자이다. 훅은 원뿔형 진자의 추의 경로를 분석하여 그것이 타원 궤도를 그린다는 것을 발견했다.[31] 1666년 5월 23일, 훅은 왕립 학회에서 진자의 움직임을 시연하면서 행성의 궤도 운동을 분석하는 데 이 모델을 사용할 수 있음을 보여주었다.[31] 훅은 아이작 뉴턴에게 만유인력의 법칙을 유도하는 데 필요한 수학적 통찰력을 제공한 것으로 알려져 있다.[32]

4. 6. 1671년: 장 리셰의 발견

1672년 장 리셰는 진자 시계를 프랑스령 기아나의 카옌으로 가져갔는데, 시계가 하루에 2분 30초 늦게 가는 것을 발견했다. 즉, 정확한 시간을 유지하기 위해서는 초진자의 길이를 파리보다 2.6mm 짧게 해야 했다.[112][113] 1687년 아이작 뉴턴은 ''자연철학의 수학적 원리(Principia Mathematica)''에서 이것이 지구가 회전에 의한 약간의 타원체 형태(극에서 평평함)를 가지고 있기 때문임을 보여주었다. 위도가 높을수록 표면이 지구 중심에 더 가까워져 중력이 위도에 따라 증가했다.[113] 이때부터 진자는 중력을 측정하기 위해 먼 지역으로 가져가기 시작했고, 지구의 다른 위치에서 초진자의 길이에 대한 표가 작성되었다.

4. 7. 1673년: 호이겐스의 ''진동 시계''

단진자의 등시성은 앞서 언급했듯이 진폭이 클 경우 깨지게 된다. 그래서 진폭에 관계없이 엄밀히 같은 시간으로 진동시키기 위해서는 추가 어떤 곡선을 따라야 하는지를 묻는 문제를 등시곡선 문제라고 한다. 크리스티안 호이겐스에 의해 이 문제의 답이 사이클로이드임이 유도되었다. 추가 사이클로이드 곡선을 따라 만들어진 진자는 "사이클로이드 진자"라고 불리며, 주기는 진폭에 의존하지 않고 정확하게

:

이 된다. 여기서, 은 진자의 길이이며, 사이클로이드의 동원(동원)의 반지름은 이다.

진폭이 다른 5개의 사이클로이드 진자

4. 8. 1721년: 온도 보상 진자

초기 진자에서 가장 큰 오차의 원인은 주변 온도 변화에 따라 진자 막대가 열 때문에 늘어나거나 줄어들어 길이가 미세하게 변하는 것이었다.[84] 진자 시계가 여름에 일주일에 최대 1분까지 늦어지는 것을 보고 이 사실을 알게 되었다.[61][85] 1658년 고드프루아 웬들린이 처음 발견한 사람 중 한 명으로 하위헌스가 보고했다.[86] 진자 막대의 열팽창은 1669년 장 피카르가 처음 연구했다.[87][88] 강철 막대를 가진 진자는 섭씨 1도 오를 때마다 약 11.3 백만 분율(ppm)만큼 늘어나, 섭씨 1도 오를 때마다 하루에 약 0.27초, 또는 33°C에 하루 9초를 잃게 된다. 나무 막대는 덜 늘어나 33°C에 하루 약 6초만 잃는데, 이 때문에 고급 시계는 종종 나무 진자 막대를 사용했다. 습도 변화도 길이에 영향을 주기 때문에, 습기가 들어가지 않도록 나무에 바니시를 칠해야 했다.

4. 9. 1851년: 푸코 진자

레옹 푸코는 푸코 진자를 통해 지구의 자전을 증명했다.

4. 10. 1930년: 진자 사용 감소

1921년에 수정 진동자가, 1927년에는 수정 시계가 발명되면서 진자는 시간 측정 장치로서의 정확도 면에서 뒤처지게 되었다. 수정 시계는 세계 최고의 시간 측정 장치로서 진자 시계를 대체했다.[2] 제2차 세계 대전까지 진자 시계가 시간 표준으로 사용되었지만, 프랑스 시간 서비스는 1954년까지 공식 시간 표준 집합체에 진자 시계를 계속 사용했다.[71] 진자 중력계는 1950년대에 "자유 낙하" 중력계로 대체되었지만,[72] 진자 기기는 1970년대까지 계속 사용되었다.

5. 응용

진자는 여러 분야에서 활용되어 왔다.


  • '''시간 측정''': 추시계는 진자를 조속기로 사용하여 시간을 측정한다. 탁상시계, 기둥시계 등에 사용된다.
  • '''중력 측정''': 케이터 진자는 중력 ''g'' 값에 따라 주기가 변동하는 성질을 이용하여 지상 각 지역의 미묘한 중력 차이를 조사하는 데 사용된다.
  • '''지진 측정''': 1세기 한나라의 중국 과학자 장형은 지진계에 진자를 사용했다.[20] 이 지진계는 멀리 떨어진 곳에서 발생한 지진의 진동으로 흔들려 지렛대를 작동시켰다.[21] 지렛대에 의해 풀린 작은 공이 8방위 중 한 방향을 가리키는 8개의 금속 두꺼비 입 안으로 떨어져 지진의 방향을 알려주었다.[21] 초기 지진계에서는 막대가 수직이 아닌 거의 수평인 진자가 사용되어 지진의 흔들림을 측정했다. 진자의 추는 장착대가 움직일 때 움직이지 않으며, 움직임의 차이는 드럼 차트에 기록된다.
  • '''메트로놈''': 일반적인 진자를 위아래로 뒤집은 형태로, 추를 움직여 주기를 조절한다. 태엽으로 동력을 충당한다.
  • '''길이의 기준''': 과거에는 진자를 길이의 기준으로 사용하려는 시도가 있었다. 존 윌킨스영어는 저서 『참된 문자 및 철학적 언어에 대한 시론』에서 1초를 새기는 (주기가 2초인) 진자를 길이의 기본 단위로 제안했다. 이 길이는 오늘날의 단위로 994mm에 해당한다. 프랑스에서 미터법을 정할 때 미터 정의의 후보 중 하나였으나, 진자의 진폭이 장소의 중력에 영향을 받아 일정하지 않다는 이유로 채택되지 않았다.
  • '''슐러 튜닝''': 관성 항법 장치에서 지구 표면을 따라 이동하는 동안 장치가 항상 아래를 향하도록 유지하는 데 사용된다.
  • '''결합 진자''': 동기화 현상 연구에 사용된다.
  • '''종교 의식''': 향을 담아 흔드는 그릇인 향로는 진자의 한 예이다.[143]
  • '''과학교육''': 조화 진동자의 예시로 역학과 진동 운동을 가르치는 데 사용된다.
  • '''진자파''': 키네틱 아트의 일종으로, 길이가 서로 다른 여러 개의 독립적인 진자로 구성되어 다양한 운동 패턴을 보여준다.[155]

6. 관련 사항

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