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합성 대수

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목차

1. 개요

합성 대수는 가환환 위의 가군과 선형 변환, 항등원, 비퇴화 이차 형식으로 정의되는 대수 구조이다. 이차 형식이 곱셈과 호환되는 노름을 갖는다는 특징이 있으며, 추가적인 구조로 대칭 쌍선형 형식, 대각합, 대합 등을 정의할 수 있다. 합성 대수는 미분 리 대수, 삼중성 리 대수, 프로이덴탈 마방진 등을 구성하는 데 사용된다. 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 8차원이며, 케일리-딕슨 구성을 통해 얻어진다. 실수체 위의 합성 대수는 실수, 복소수, 사원수, 팔원수, 분할 복소수, 분할 사원수, 분할 팔원수 대수 등이 있다. 합성 대수는 디오판토스, 브라마굽타, 오일러, 해밀턴, 케일리 등에 의해 연구되었으며, 케일리-딕슨 구성과 후르비츠 정리를 통해 체계적으로 연구되었다.

2. 정의

가환환 K 위의 '''합성 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.


  • K-가군 A
  • K-선형 변환 A\otimes_KA \to A, a\otimes_K b \mapsto a\star b. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따를 필요는 없다.)
  • \star에 대한 양쪽 항등원 1_A \in A
  • A 위의 비퇴화 이차 형식 Q\colon A\to K. (즉, \operatorname{rad}Q = \{a\in A\colon Q(a,A) = 0\} = \{0\}이다.) 또한, 이는 Q(1_A) = 1_K 및 Q(a\star b) = Q(a)Q(b)\qquad\forall a,b\in A를 만족시킨다.


일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않기도 한다.

2. 1. 추가 구조

합성 대수는 체 에서 시작하여 케일리-딕슨 구성을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있다. (의 표수가 2가 아닌 경우) 또는 2차원 합성 부분 대수 (인 경우). 합성 대수의 가능한 차원은 1, 2, 4, 8이다.[10][2][3]

  • 1차원 합성 대수는 일 때만 존재한다.
  • 차원이 1과 2인 합성 대수는 가환적이며 결합적이다.
  • 차원이 2인 합성 대수는 의 이차 체 확장이거나 와 동형이다.
  • 차원이 4인 합성 대수는 사원수 대수라고 불린다. 이들은 결합적이지만 가환적이지 않다.
  • 차원이 8인 합성 대수는 팔원수 대수라고 불린다. 이들은 결합적이지도 가환적이지도 않다.


일관된 용어를 위해, 차원이 1인 대수는 'unarion(단일수)'이라고 불리며, 차원이 2인 대수는 'binarion(이중수)'이라고 불린다.[6]

모든 합성 대수는 대안 대수이다.[2]

2. 1. 1. 내적

합성 대수 A 위에는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

:\langle -,-\rangle \colon A\otimes A \to K

:\langle a,b\rangle = Q(a+b)-Q(a)-Q(b)

만약 가환환 K에서 2가 가역원이라면, 비퇴화 이차 형식의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식의 개념과 동치이며, 이 경우 Q를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다.

:Q(a) = \frac12 \langle a,a\rangle

즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.

2. 1. 2. 대각합과 켤레

K-합성 대수 A 위에는 다음과 같은 '''대각합'''이 존재한다.

:\operatorname{tr}a = Q(a+1) - Q(a) - 1 \qquad\forall a\in A

이는 K-선형 변환

:\operatorname{tr}\colon A \to K

을 정의하며, 정의에 따라

:\operatorname{tr}1_A = 2

이다.

대각합으로부터, 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

:a^* = \operatorname{tr}(a)1_A - a

이는 K-선형 변환

:(-)^* \colon A \to A

를 정의한다.

형태를 이중화하여 ( : ): ''A'' × ''A'' → ''K'' ((a:b) = n(a+b) - n(a) - n(b))라 할 때, ''a''의 대각합은 (''a'':1)로 주어지며 켤레는 ''a''* = (''a'':1)e – ''a''로 주어진다. 여기서 e는 1에 대한 기저 요소이다.[4]

2. 1. 3. 리 대수

합성 대수 A로부터, '''미분 리 대수''' \mathfrak{der}(A) 및 이를 포함하는 '''삼중성 리 대수''' \mathfrak{tri}(A)를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 요르단 대수로부터 '''프로이덴탈 마방진'''이라는 구성을 통해 예외적 단순 리 대수를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.

3. 성질

K한국어-합성 대수 A한국어는 다음과 같은 항등식들을 만족한다.[21]


  • \operatorname{tr}(a^*) = \operatorname{tr}a
  • 1_A^* = 1_A
  • Q(a^*) = Q(a)
  • a^{**} = a
  • a^*\star(a\star b) = a\star(a^*\star b) =(b\star a)\star a^* = (b\star a^*)\star a = Q(a) b
  • a\star a - \operatorname{tr}(a)a + Q(a) = 0
  • \langle ab,c\rangle = \langle b,a^*c\rangle

=\langle a,cb^*\rangle

모든 단위 합성 대수는 체 에 대해, 에서 시작하여 케일리-딕슨 구성을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있다. (의 표수가 가 아닌 경우) 또는 2차원 합성 부분 대수 (인 경우). 합성 대수의 가능한 차원은 , , , 이다.[10][2][3]

차원성질
1일 때만 존재
1, 2가환적이며 결합적
2의 이차 체 확장이거나 와 동형
4사원수 대수라고 불림.  결합적이지만 가환적이지 않음.
8팔원수 대수라고 불림.  결합적이지도 가환적이지도 않음.



일관된 용어를 위해, 차원이 1인 대수는 ''unarion(단일수)''이라고 불리며, 차원이 2인 대수는 ''binarion(이중수)''이라고 불린다.[6]

모든 합성 대수는 대안 대수이다.[2]

4. 분류

표수가 2가 아닌 체 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 8 중 하나이며, 케일리-딕슨 구성을 통해 얻어진다.[10][2][3]


  • 1차원 합성 대수는 체의 표수가 2가 아닐 때만 존재한다.
  • 1차원 또는 2차원 합성 대수는 가환적이며 결합적이다.
  • 2차원 합성 대수는 체 K의 이차 체 확장이거나 K ⊕ K와 동형이다.
  • 4차원 합성 대수는 사원수 대수라고 불리며, 결합적이지만 가환적이지 않다.
  • 8차원 합성 대수는 팔원수 대수라고 불리며, 결합적이지도 가환적이지도 않다.


1차원 대수는 단일수(unarion), 2차원 대수는 이중수(binarion)라고 불린다.[6]

4. 1. 실수체 위의 합성 대수

실수체 위에는 7개의 합성 대수가 존재한다.

이중 분할 사원수는 2×2 실행렬과 동형이며, 제곱 노름은 2×2 행렬의 행렬식과 같다.[2]

4. 2. 이차 폐체 위의 합성 대수

표수가 2가 아닌 이차 폐체 위에는 정확하게 네 개의 합성 대수가 존재한다.

  • K
  • K⊕K. 만약 K = ℂ일 경우, 이는 ℂ⊗ℝℂ로 여겨질 수 있다.
  • Mat(K;2). 만약 K = ℂ일 경우, 이는 ℍ⊗ℝℂ로 여겨질 수 있다.
  • Zorn(K). 만약 K = ℂ일 경우, 이는 𝕆⊗ℝℂ로 여겨질 수 있다.

5. 예

합성 대수는 다양한 체 위에서 존재한다. 가능한 차원은 1, 2, 4, 8차원이다.[10][2][3]


  • 1차원 합성 대수는 표수가 2가 아닐 때만 존재하며, ''unarion(단일수)''이라고 불린다.[6]
  • 2차원 합성 대수는 가환적이며 결합적이고, ''binarion(이중수)''이라고 불린다.[6] 체 K의 이차 체 확장이거나 K⊕K와 동형이다.
  • 4차원 합성 대수는 사원수 대수라고 불리며, 결합적이지만 가환적이지 않다.
  • 8차원 합성 대수는 팔원수 대수라고 불리며, 결합적이지도 가환적이지도 않다.


실수체 위에서는, 6개의 실수 합성 대수가 존재한다.[2] 2, 4, 8차원에서 나눗셈 대수와 분할 대수가 모두 존재한다.

  • 이중수: 이차 형식 를 갖는 복소수와 이차 형식 를 갖는 분할 복소수
  • 사원수와 분할 사원수
  • 옥토니언과 분할 옥토니언


복소수체 위에서는, 자체, 이중복소수, 이중사원수 (인 복소수 행렬환과 동형), 바이옥토니언 (복소수 옥토니언이라고도 함)의 4개의 합성 대수가 존재한다.

5. 1. 1차원 벡터 공간

임의의 체 K에 대하여, (K, a → a²)는 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다. K 위에서 1차원 합성 대수가 존재하는 것은 표수로 제한된다. 용법을 일관되게 하기 위해, 1차원 대수를 (일반) '''일원수 대수'''라고 부른다[15].

5. 2. 2차원 벡터 공간

임의의 체 K에 대하여, 가환 K-결합 대수 K⊕K를 생각할 수 있다. 이때 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

:(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b')

:(a,b)(a',b') = (aa',bb')

이 위에 비퇴화 이차 형식

:Q(a,b) = ab

을 정의하면, 이는 2차원 K-합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은 다음과 같다.

:tr(a,b) = a+b

대칭 쌍선형 형식은 다음과 같다.

:(a,b), (a',b') = ab' + a'b

대합은 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다.

:(a,b)* = (b,a)

K 위에서 2차원 합성 대수는 K의 이차 확대체 또는 K⊕K 중 하나이다.

5. 3. 2×2 행렬 대수

임의의 체 *K*에 대하여, 2×2 행렬 대수 Mat(2;*K*)를 생각할 수 있다. *Q* = det (행렬식)일 때, (Mat(2;*K*),det)은 결합 법칙을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙을 따르지 않는다.

이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합과 같다. 쌍선형 형식은 다음과 같다.

:\left\langle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}\right\rangle=ad'+a'd-bc'-b'c

대합은 다음과 같다.

:\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Mat(2;*K*)는 *K*-합성 대수 *K*⊕*K*를 대각 행렬로서 포함한다.

5. 4. 초른 대수

임의의 체 K에 대하여, 8차원 벡터 공간 \operatorname{Zorn}(K) = K^8의 원소는 다음과 같은 형식적인 2×2 행렬로 적는다.

:\operatorname{Zorn}(K) = \left\{

\begin{bmatrix}

a&\mathbf u\\

\mathbf v&b

\end{bmatrix} \colon a,b\in K,\;\mathbf u,\mathbf v\in K^3

\right\}

이 위에 다음과 같은 "곱셈"을 정의한다. 이는 행렬의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱에 해당하는 항들이 추가된다.

:

\begin{bmatrix}

a&\mathbf u\\

\mathbf v&b

\end{bmatrix}\star

\begin{bmatrix}

a'&\mathbf u'\\

\mathbf v'&b'

\end{bmatrix}

=\begin{bmatrix}

aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\

\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb'

\end{bmatrix}

그 위의 이차 형식은 다음과 같은 "행렬식"이다.

:Q\left(\begin{bmatrix}

a&\mathbf u\\

\mathbf v&b\end{bmatrix}\right)

=\det\begin{bmatrix}

a&\mathbf u\\

\mathbf v&b\end{bmatrix} = ab - \mathbf u\cdot\mathbf v

이것은 K 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않는다. 이를 K의 '''초른 대수'''(Zorn algebra영어)라고 한다.[21]

6. 역사

합성 대수의 개념은 제곱수들의 합과 관련된 항등식에서 비롯되었다. 3세기에 디오판토스는 복소수의 노름에 해당하는 항등식을 이미 알고 있었다.[22] 628년에 브라마굽타는 디오판토스의 항등식을 일반화했으며, 이는 분할복소수에 대응하는 항등식을 포함한다.[23]

1748년 레온하르트 오일러는 사원수의 노름에 대응하는 항등식을 발견했다. 1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수를 구성했다. 같은 해 존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves)는 팔원수를 구성했고, 이듬해 아서 케일리는 팔원수를 독자적으로 재발견했다. 1848년 제임스 코클(James Cockle)은 "테사린"(tessarine영어)이라는 이름으로 합성 대수 \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C에 해당하는 대수를 발견했다.

1919년 레너드 유진 딕슨은 케일리-딕슨 구성을 도입하여 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성했다. 1923년 아돌프 후르비츠는 양의 정부호 노름을 갖는 실수체 위의 합성 대수가 네 개(\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H, \mathbb O)뿐임을 증명했다.

1931년 막스 초른은 케일리-딕슨 구성을 일반화하여 분할 팔원수 \tilde{\mathbb O}의 합성 대수를 구성했다.[24] 1958년 네이선 제이컵슨은 합성 대수의 자기 동형군을 묘사했다.[25]

참조

[1] 서적 Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups Springer-Verlag
[2] 간행물 "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in ''Symmetries in Complex Analysis'' by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of ''Contemporary Mathematics'' American Mathematical Society
[3] 서적 An introduction to nonassociative algebras https://archive.org/[...] Dover Publications
[4] 위키 Associative Composition Algebra/Transcendental paradigm#Categorical treatment
[5] 서적 Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Academic Press
[6] 서적 A Taste of Jordan Algebras Springer
[7] 간행물 On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem Annals of Mathematics
[8] 간행물 "Alternativekörper und quadratische Systeme"
[9] 저널 Quadratic forms permitting composition
[10] 저널 Composition algebras and their automorphisms
[11] 간행물 "Composition and Triality", chapter 8 in ''The Book of Involutions'' American Mathematical Society
[12] 서적 Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups Springer-Verlag
[13] 간행물 "Exceptional symmetric domains", §1: Cayley algebras, in ''Symmetries in Complex Analysis'' by Bruce Gilligan & Guy Roos, volume 468 of ''Contemporary Mathematics'' American Mathematical Society
[14] 서적 An introduction to non-associative algebras Dover Publications
[15] 서적 A Taste of Jordan Algebras Springer
[16] 간행물 On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem Annals of Mathematics
[17] 간행물 "Alternativekörper und quadratische Systeme"
[18] 저널 Quadratic forms permitting composition
[19] 저널 Composition algebras and their automorphisms
[20] 간행물 "Composition and Triality", chapter 8 in ''The Book of Involutions'' American Mathematical Society
[21] 서적 A Taste of Jordan Algebras Springer-Verlag 2004
[22] 서적 Αριθμητικά 0000-00-03
[23] 서적 ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त 0628-00-00
[24] 저널 Alternativkörper und quadratische Systeme 1931
[25] 저널 Composition algebras and their automorphisms


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