람다 환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사 및 의의
참조

1. 개요

람다 환은 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 연산 λⁿ을 갖는 가환환으로 정의된다. 람다 환은 대수기하학, 위상수학, 표현론 등 다양한 분야에서 추상적인 대수적 구조를 제공하며, 알렉산더 그로텐디크가 1958년 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위해 도입했다. 람다 환의 예시로는 정수환, 이항 환, 위상 K-이론, 표현 환 등이 있다.

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람다 환

2. 정의

lambda ring|람다 환^영어은 가환환 ''R''에 추가적인 구조인 '''λ-operation|람다 연산^영어''' λ^''n'' : ''R'' → ''R'' 이 모든 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 주어진 대수 구조이다. 이 람다 연산들은 ''R''의 원소 ''x'', ''y''와 모든 ''n'', ''m'' ≥ 0에 대해 다음 기본 성질을 포함한 여러 공리들을 만족해야 한다.

λ⁰(''x'') = 1
λ¹(''x'') = ''x''
λ^''n''(1) = 0 (''n'' ≥ 2인 경우)
덧셈에 대한 공리: λ^''n''(''x'' + ''y'') = Σ_{''i''+''j''=''n''} λ^''i''(''x'') λ^''j''(''y'')

곱셈(λ^''n''(''xy''))과 람다 연산의 합성(λ^''n''(λ^''m''(''x'')))에 관한 더 복잡한 규칙들은 외적 거듭제곱의 텐서 곱 및 합성에 따른 연산을 기술하는 특정 보편 다항식 ''P''_''n'' 및 ''P_n,m''을 통해 정의된다.

일부 문헌에서는 위에 언급된 모든 공리(특히 곱셈과 합성에 대한 공리 및 λ^''n''(1)=0 조건)를 만족하는 구조를 "특수 special λ-ring|특수 람다 환^영어"이라고 부르기도 하며, 이들 조건을 제외한 더 일반적인 개념을 "λ-ring|람다 환^영어"으로 사용하기도 한다.

2. 1. 람다 연산

가환환

R

위에서 정의되는 람다 환 구조의 핵심 요소는 각 음이 아닌 정수

n \in \mathbb{N}

에 대해 정의된 함수

\lambda^n: R \to R

이다. 이 함수들을

n

차 '''람다 연산'''(

n

th λ-operation^영어)이라고 부른다.^[5]^[3]^[2]

람다 연산

\lambda^n

은 다음의 공리들을 만족해야 한다.^[5]^[3]^[2]

모든 $r \in R$ 에 대해 $\lambda^0(r) = 1$
모든 $r \in R$ 에 대해 $\lambda^1(r) = r$
$n \ge 2$ 인 모든 정수 $n$ 에 대해 $\lambda^n(1) = 0$
(합의 람다 연산) 모든 $r, s \in R$ 와 음이 아닌 정수 $n$ 에 대해 $\lambda^n(r+s) = \sum_{i+j=n} \lambda^i(r) \lambda^j(s)$
(곱의 람다 연산) 모든 $r, s \in R$ 와 음이 아닌 정수 $n$ 에 대해 $\lambda^n(rs) = P_n(\lambda^1(r), \dots, \lambda^n(r), \lambda^1(s), \dots, \lambda^n(s))$
(람다 연산의 합성) 모든 $r \in R$ 와 음이 아닌 정수 $m, n$ 에 대해 $\lambda^m(\lambda^n(r)) = P_{m,n}(\lambda^1(r), \dots, \lambda^{mn}(r))$

여기서

P_n

과

P_{m,n}

은 외적 거듭제곱의 텐서 곱과 합성에 따른 연산을 기술하는 정수 계수를 가진 특정 보편적인 다항식이다. 이 다항식들은 기본 대칭 다항식을 이용하여 정의될 수 있다.

일부 문헌에서는 위에 제시된 모든 공리를 만족하는 구조를 "특수 람다 환"이라고 부르기도 하며,

\lambda^n(1)

,

\lambda^n(rs)

,

\lambda^m(\lambda^n(r))

에 대한 조건을 제외한 더 일반적인 구조를 "람다 환"이라고 칭하기도 한다.

2. 2. 다항식 P_n, P_m,n

먼저, 변수

x_1, \dots, x_n

에 대한 기본 대칭 다항식

e_i(x_1, \dots, x_n)

은 다음과 같이 정의된다.

:

e_i(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le j_1 (여기서 i=1, \dots, n)

두 종류의 다항식

P_n

과

P_{m,n}

은 다음 성질에 의해 유일하게 정의되는 정수 계수 다항식이다.^[5]

1. 다항식 $P_n$ : 각 자연수

n

에 대해,

P_n

은

2n

개의 변수

e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x),e_1(\vec y),\dots,e_n(\vec y)

에 대한 정수 계수 다항식이다. 즉, 변수

x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n

에 대한 기본 대칭 다항식들을 변수로 하는 다항식이다. 이 다항식은 다음 생성 함수 항등식에서

t^n

의 계수로 유일하게 결정된다.

:

\sum_n P_n\left(e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x),e_1(\vec y),\dots,e_n(\vec y)\right)t^n=\prod_{i,j=1}^n(1+x_iy_jt)

여기서

\vec x=(x_1,x_2,\dots,x_n)

,

\vec y=(y_1,y_2,\dots,y_n)

이다.

2. 다항식 $P_{m,n}$ : 각 자연수

m, n

에 대해,

P_{m,n}

은

mn

개의 변수

x_1, \dots, x_{mn}

에 대한 정수 계수 다항식이다. 이 다항식은 변수

x_1, \dots, x_{mn}

에 대한 기본 대칭 다항식

e_1, \dots, e_{mn}

들의 다항식으로 표현될 수 있으며, 다음 생성 함수 항등식에서

t^m

의 계수로 유일하게 결정된다.

:

\sum_m P_{m,n}(x_1,\dots,x_{mn})t^m=\prod_{1\le i_1

2. 3. 애덤스 연산

코호몰로지 연산의 일종인 애덤스 연산은 위상 K군에서 정의된 개념을 임의의 람다 환에 대하여 일반화한 것이다.^[5]

람다 환

R

에서, 람다 연산의 생성 함수는 다음과 같이 정의된다.^[3]^[2]

:

\lambda_t(r)=\sum_{i=0}^\infty\lambda^i(r)t^i\in Rt

이를 이용하여,

R

위의 '''애덤스 연산'''

\Psi^n\colon R\to R

(여기서

n

은 양의 정수)과 그 생성 함수

:

\Psi_t(r)=\sum_{i=1}^\infty\Psi^i(r)t^i\in Rt

는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[3]

:

\Psi_t(r)=-t\frac{\operatorname d}{\mathrm dt}\ln\left(\lambda_{-t}(r)\right)\qquad\forall r\in R

즉, 애덤스 연산을 람다 연산으로부터 정의할 수 있으며, 반대로 람다 연산을 애덤스 연산으로부터 정의하는 것도 가능하다.

3. 성질

람다 환 $R$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

람다 연산 $\lambda_t$ 는 덧셈 아벨 군 $(R,+)$ 에서 형식적 멱급수환 $Rt$ 의 가역원들의 곱셈군 $Rt^\times$ 으로 가는 군 준동형이다. 즉, 다음이 성립한다.^[2]
* $\lambda_t(r+s)=\lambda_t(r)\lambda_t(s)\qquad$ (모든 $r,s\in R$ 에 대해)
* $\lambda_t(0)=1$
* $\lambda_t(-r)=\lambda_t(r)^{-1}\qquad$ (모든 $r\in R$ 에 대해)
정수 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여, $\lambda_t(n)=(1+t)^n$ 이다.

람다 환의 범주에서 가환환의 범주

\operatorname{CRing}

로 가는 망각 함자

F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing}

는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.^[3]

:

S\dashv F\dashv\Lambda

여기서 각 함자는 다음과 같다.

$S\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}$ 는 '''자유 람다 환'''(free λ-ring^영어) 함자이다. 이는 람다 환이 대수 구조 다양체를 이루므로 항상 존재한다.
$\Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}$ 는 가환환 $R$ 를 $1+xRx$ 위의 람다 환 구조로 대응시킨다.

모든 λ-환은 표수 0을 가지며, λ-부분환으로서 λ-환 '''Z'''를 포함한다.

가환대수학의 여러 개념들은 λ-환으로 확장될 수 있다.

λ-준동형: λ-환 ''R''과 ''S'' 사이의 λ-준동형은 환 준동형 ''f : R → S'' 중에서, 모든 ''R''의 원소 ''x''와 모든 자연수 ''n'' ≥ 0에 대해 ''f''(λ^''n''(''x'')) = λ^''n''(''f''(''x'')) 조건을 만족하는 함수이다.
λ-아이디얼: λ-환 ''R''의 λ-아이디얼은 ''R''의 아이디얼 ''I'' 중에서, 모든 ''I''의 원소 ''x''와 모든 자연수 ''n'' ≥ 1에 대해 λ^''n''(''x'')가 다시 ''I''에 속하는 아이디얼이다.

만약 λ-환의 원소 ''x''에 대해, λ^''m''(''x'') ≠ 0 이고 모든 ''n'' > ''m''에 대해 λ^''n''(''x'') = 0 을 만족하는 음이 아닌 정수 ''m''이 존재하면, ''x''를 유한 차원 원소라고 부르고 dim(''x'') = ''m''으로 표기한다. 모든 원소가 유한 차원일 필요는 없다. 유한 차원 원소들에 대해 다음 성질이 성립한다.

dim(''x''+''y'') ≤ dim(''x'') + dim(''y'')
1차원 원소들의 곱은 1차원이다.

4. 예시

다양한 수학적 대상들이 람다 환의 구조를 이룬다.

정수 집합 '''Z'''는 이항 계수 $\lambda^n(x) = \binom{x}{n}$ 를 람다 연산으로 가지는 환이다. 이 연산은 음수 ''x''에 대해서도 정의되며, '''Z''' 위에 정의할 수 있는 유일한 λ-구조이다. 이 예시는 유한 차원 벡터 공간의 외대수와 밀접한 관련이 있는데, 벡터 공간을 그 차원으로 대응시키면 $\dim(\Lambda^n(k^x)) = \binom{x}{n}$ 관계가 성립한다.
더 일반적으로, 모든 이항 환은 λ-연산을 이항 계수 $\lambda^n(x) = \binom{x}{n}$ 로 정의하여 λ-환이 된다. 이러한 λ-환에서는 모든 아담스 연산이 항등 연산이다.
위상 공간 ''X''의 위상 K-이론 K(''X'')는 벡터 다발의 외적 거듭제곱을 통해 정의되는 람다 연산을 갖는 λ-환이다.
군 ''G''와 기본 체 ''k''가 주어지면, 표현 환 ''R''(''G'')는 군 ''G''의 ''k''-선형 표현의 외적 거듭제곱에 의해 유도되는 람다 연산을 갖는 λ-환이다.
대칭 함수 환 Λ_'''Z''' 역시 λ-환이다. 정수 계수 위에서 λ-연산은 이항 계수로 정의되며, 기본 대칭 함수 ''e''₁, ''e''₂, ...에 대해 $\lambda^n(e_1) = e_n$ 으로 설정된다. λ-연산의 공리와 함수 ''e''_''k''가 대수적으로 독립이며 환 Λ_'''Z'''을 생성한다는 사실을 이용하여, 이 정의는 Λ_'''Z'''를 λ-환으로 만드는 유일한 방법으로 확장될 수 있다. 특히, Λ_'''Z'''는 생성자 ''e''₁을 가지는 하나의 생성자에 대한 자유 λ-환이다.

4. 1. 이항환

다음 두 조건을 만족시키는 가환환

R

을 '''이항환'''(二項環, binomial ring^영어)이라고 한다.

덧셈군 $(R,+)$ 의 꼬임 부분군이 자명군이다. 즉, 표준적 준동형 $\iota\colon R\to R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ 는 단사 함수이다.
모든 이항 계수 $\textstyle\binom rn\;(r\in R)$ 를 원소로 포함한다. 즉, 임의의 $r\in R$ 및 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $\iota(s)=\textstyle\binom rn=r(r-1)\cdots(r-n+1)/n!\in R\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ 가 되는 $s\in R$ 가 (유일하게) 존재한다.

이항환

R

위에 람다 연산을

\lambda^n(k)=\textstyle\binom kn

으로 정의하면, 이는 람다 환을 이룬다.^[2] 예를 들어, 정수환

\mathbb Z

는 이항환이며 따라서 람다 환을 이룬다.^[2]

이항환의 개념은 모든 애덤스 연산이 항등 함수인 람다 환의 개념과 동치이다.^[4] 이항환에서 위와 같이 정의된 람다 환의 모든 애덤스 연산은 항등 함수이다.

4. 2. 비트 벡터

가환환

R

위의 형식적 멱급수환

Rx

속에서, 상수항이 1인 형식적 멱급수들로 구성된 부분 집합

:

\Lambda(R)=1+xRx\subseteq Rx

는

Rx

의 곱셈 연산에 대해 가환 모노이드 구조를 가진다.

\Lambda(R)

위에는 다음과 같은 가환환 및 람다 환 구조를 정의할 수 있다.^[5]^[3]

$\Lambda(R)$ 의 덧셈은 $Rx$ 의 곱셈이다.
$\Lambda(R)$ 의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.^[3]
: $(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)\cdot(1+s_1x+s_2x^2+\cdots)=1+\sum_{n=1}^\infty P_n(r_1,\dots,r_n,s_1,\dots,s_n)x^n$
$\Lambda(R)$ 의 람다 연산은 다음과 같이 정의된다.^[3]
: $\lambda^n(1+r_1x+r_2x^2+\cdots)=1+\sum_{m=1}^\infty P_{m,n}(r_1,\dots,r_{mn})t^m$

이렇게 정의된 환

\Lambda(R)

은

R

을 계수로 가지는 (큰) 비트 벡터 환

\operatorname{WittVector}(R)

과 동형이다. 비트 벡터 환은 일반적으로

R^{\mathbb Z^+}

(즉,

R

의 원소로 이루어진 무한 수열들의 집합) 위에 비트 다항식을 사용하여 정의되는 특별한 가환환 구조이다. 이때, 다음과 같은 사상은 환의 동형 사상을 정의하며,^[3]^[2]

:

\operatorname{WittVector}(R)\to\Lambda(R)

:

(x_1,x_2,\dots)\mapsto\frac1{(1-x_1t)(1-x_2t^2)\cdots}\in\mathbb Rt

이를 '''아르틴-하세 지수 함수'''(Artin–Hasse exponential map^영어)라고 한다.

이는 함자

:

\Lambda\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}

를 정의한다. 이는 망각 함자

:

F\colon\lambda\text{-Ring}\to\operatorname{CRing}

의 오른쪽 수반 함자이다.

:

F\dashv\Lambda

4. 3. 대칭 다항식 환

가산 무한 개의 변수

\vec x=(x_1,x_2,\dots)

를 가지는 형식적 멱급수환

Z\vec x

를 생각할 수 있다. 이 환의 원소는 유한하거나 무한한 항들의 합으로 이루어지며, 각 항은 유한 개의 변수

x_i

들의 곱이다.

가산 무한 개의 변수

\vec x=(x_1,x_2,\dots)

에 대한 '''대칭 다항식'''

p\in Z\vec x

는 다음 두 조건을 만족하는 형식적 멱급수를 말한다.^[5]^[3]

임의의 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)$ 에 대하여 $p(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\dots)=p(x_1,x_2,\dots)$ 이다. 여기서 $\operatorname{Sym}(\mathbb Z^+)$ 는 양의 정수 집합 위의 대칭군이다.
$p$ 에 포함된 항들의 계수 집합은 유계 집합이다. 즉, 상계를 가진다.

대칭 다항식들의 집합은

\mathbb Z\vec x

의 부분환을 형성하며, 이 환의 모든 원소는 기본 대칭 다항식

:

e_i(\vec x)=\sum_{1\le j_1

들의 유한 곱들의 유한 합으로 표현될 수 있다. 따라서 이 환은

\mathbb Z[e_0(\vec x),e_1(\vec x),\dots,]

로 표기할 수 있다.

이 대칭 다항식 환 위에는 다음과 같은 람다 환 구조를 정의할 수 있다.^[3]

:

\lambda^m\colon e_n(\vec x)\mapsto P_{m,n}(e_1(\vec x),\dots,e_{mn}(\vec x))

여기서

P_{m,n}

은 특정 다항식을 나타낸다.

이 구조 하에서, 유한 개의 기본 대칭 다항식으로 생성된 환

\mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]

는 1변수 정수 계수 다항식환

\mathbb Z[e]

위의 자유 람다 환이 된다.^[5]^[3] 즉, 이는 자유 람다 환을 만드는 특정 함자

S\colon\operatorname{CRing}\to\lambda\text{-Ring}

아래에서

\mathbb Z[e]

의 상과 같다. 또한, 임의의 환 준동형

:

f\colon\mathbb Z[e]\to R

:

f\colon e\mapsto f(e)\in R

이 주어졌을 때, 함자

S

를 통해 얻어지는 상은 다음과 같은 람다 환 준동형이 된다.

:

Sf\colon \mathbb Z[e_1(\vec x),\dots,e_n(\vec x)]\to R

:

Sf\colon e_n\mapsto \lambda^n(f(e))

4. 4. 위상 K이론

파라콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 위상 K군

\operatorname K_K^0(X)

는 람다 환을 이룬다.^[2] 이 경우

\lambda^n

연산은 벡터 다발

E

위에 외대수를 취하는 연산, 즉

\lambda^n[E]=[\Lambda^n(E;K)]

에 해당한다.

만약 매끄러운 스킴

X

위에 다음과 같은 벡터 다발의 짧은 완전 시퀀스가 주어졌다고 하자.

$0 \to \mathcal{E}'' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}' \to 0$

이때, 충분히 작은 열린 근방

U

에 대해 국소적으로 다음과 같은 동형 사상을 얻을 수 있다.

:

\bigwedge^n \mathcal{E}|_U \cong \bigoplus_{i+j=n} \bigwedge^i \mathcal{E}'|_U \otimes\bigwedge^j\mathcal{E}''|_U

이제

X

의 그로텐디크 군

K(X)

(실제로는 환)에서, 이 국소적인 관계는 정의하는 동치 관계로부터 전역적으로 성립하게 된다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:

\begin{align}\left[\bigwedge^n \mathcal{E} \right] &= \left[\bigoplus_{i+j=n} \bigwedge^i \mathcal{E}' \otimes\bigwedge^j\mathcal{E}''\right]\\ &= \sum_{i+j = n} \left[ \bigwedge^i \mathcal{E}' \right]\cdot \left[ \bigwedge^j \mathcal{E}'' \right]\end{align}

이는 λ-환에서 다음과 같은 기본 관계식을 보여준다.^[1]

:

\lambda^n(x+y) = \sum_{i+j=n}\lambda^i(x)\lambda^j(y)

위상 공간

X

의 위상 K-이론

K(X)

는 벡터 다발의 외대수 거듭제곱을 취함으로써 유도되는 람다 연산을 갖는 λ-환이다.

4. 5. 표현환

유한군 G 위의 체 K 계수 표현환 Repr(G;K)은 람다 환 구조를 가진다.^[2] 이 표현환은 유한군 G의 유한 차원 K-벡터 공간 표현들을 모아 그로텐디크 구성을 통해 만들어진다. 이 구조에서 람다 연산 λⁿ은 주어진 군의 표현에 대응하는 외대수 연산과 관련된다.

5. 역사 및 의의

알렉산더 그로텐디크가 1958년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 연구하기 위하여 도입하였다.^[6]^[3]

역사적으로, $P_n$ 및 $P_{m,n}$ 으로 정의된 항등식들을 따르는 가환환들은 "특수 람다 환"(special λ-ring^영어)으로 불렸으며, "람다 환"이라는 용어는 이 조건들이 생략된, 더 일반적인 개념을 일컬었다. 그러나 오늘날에는 후자의 개념은 더 이상 널리 사용되지 않으며, "람다 환"이라는 용어는 특수 람다 환을 일컫는다.^[3]

참조

_[1] 웹사이트 Three filtrations on the grothendieck ring of a scheme https://pbelmans.nca[...] 2014-10-23
_[2] 서적 Lambda-rings World Scientific 2010
_[3] 서적 Handbook of algebra. Volume 6 Elsevier 2009
_[4] 저널 Binomial rings, integer-valued polynomials, and λ-rings https://archive.org/[...]
_[5] 서적 Universal polynomials in lambda rings and the K-theory of the infinite loop space tmf http://hdl.handle.ne[...] 매사추세츠 공과대학교 수학과 2006
_[6] 저널 La théorie des classes de Chern http://www.numdam.or[...] 1958

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