표현환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수, 복소수 및 사원수 계수의 경우
- 2.2. 닫힌 부분군에 대한 함자성
3. 성질
4. 표현의 문자
5. 예시
참조

1. 개요

표현환은 주어진 콤팩트 리 군의 유한 차원 표현의 동형류로 구성된 가환환이다. 표현환은 실수, 복소수, 사원수 계수를 가질 수 있으며, 복소수 계수 표현환이 가장 널리 사용된다. 닫힌 부분군에 대한 환 준동형이 유도되며, 표현의 차원을 나타내는 환 준동형과 복소 켤레 사상에 따른 자기 동형이 존재한다. 또한 복소화에 따른 환 준동형과 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따른 군 준동형이 존재한다. 표현환은 연결 콤팩트 리 군, 유한 아벨 군, λ-환 및 아담스 연산과 관련이 있으며, 표현의 문자를 통해 식별될 수 있다. 자명군, 순환군, 대칭군, 원환면군, 유니터리 군 등 다양한 군에 대한 표현환의 예시가 존재한다.

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표현환
개요
유형	가환환의 가군의 그로텐디크 군
분야	표현론, 환론
성질
연산	덧셈: 직합에 해당 곱셈: 텐서곱에 해당

2. 정의

콤팩트 리 군 $G$ (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)의 매끄러운 유한 차원 표현들의 동치류들의 집합은 텐서곱과 직합을 통해 가환 반환을 이룬다. 이 반환의 그로텐디크 환을 $G$ 의 '''표현환'''이라고 한다. 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현이다. 표현환의 원소는 $G$ 의 유한 차원 표현의 동형류의 형식적 차이이며, 덧셈은 표현의 직합으로, 곱셈은 표현의 텐서곱으로 주어진다.

2. 1. 실수, 복소수 및 사원수 계수의 경우

콤팩트 리 군

G

와

\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}

(실수체 또는 복소수체)가 주어졌을 때,

G

의 매끄러운 유한 차원 표현들의 동치류들의 집합은 텐서곱과 직합을 통해 가환 반환을 이룬다. 이 반환의 그로텐디크 환

\operatorname R(G;\mathbb K)

을

G

의

\mathbb K

계수 '''표현환'''이라고 한다.

\mathbb K = \mathbb R

일 때 이 가환환을

\operatorname{RO}(G)

라고 하며,

\mathbb K = \mathbb C

일 때 이 가환환을

\operatorname{RU}(G)

라고 한다.

\mathbb K = \mathbb H

(사원수의 나눗셈환)인 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인해 표현의 텐서곱은 일반적으로 정의되지 않는다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군

\operatorname{RSp}(G) = \operatorname R(G;\mathbb H)

은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로,

\operatorname{RSp}(G)

는 가환환

\operatorname{RO}(G)

위의 가군을 이룬다.

표현환

R_F(G)

의 원소는

G

의 유한 차원

F

표현의 동형류의 형식적 차이이다. 덧셈은 표현의 직합으로 주어지며, 곱셈은

F

에 대한 표현의 텐서곱으로 주어진다. 표기에서

F

가 생략되면

F

는 암묵적으로 복소수 체로 간주된다.^[1]

2. 2. 닫힌 부분군에 대한 함자성

H가 콤팩트 리 군 G의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.

:

\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(H)

:

\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RO}(H)

이에 따라,

\operatorname{RU}(H)

는

\operatorname{RU}(G)

위의 유한 생성 가군을 이루며,^[2] 마찬가지로

\operatorname{RO}(H)

도

\operatorname{RO}(G)

위의 유한 생성 가군을 이룬다.

3. 성질

표현환은 차원 함수, 켤레 사상, 복소화/실수화 사상 등 다양한 구조를 갖는다. 표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

: $\dim_{\mathbb C} \colon \operatorname{RU}(G) \to \mathbb Z$

: $\dim_{\mathbb R} \colon \operatorname{RO}(G) \to \mathbb Z$

$\operatorname{RU}(G)$ 위에는 복소수 켤레 사상에 따른 자기 동형

: $(-)^* \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(G)$

가 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. $\operatorname{RSp}(G)$ 위에도

: $(-)^* \colon \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RSp}(G)$

가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

복소화에 따라 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

: $(-)^{\mathbb C}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RU}(G)$

: $(-)^{\mathbb H}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RSp}(G)$

반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라 다음과 같은 덧셈군의 군 준동형이 존재한다.

: $\operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)$

: $\operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RO}(G)$

$\operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)$ 는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계 $\mathbb C\hookrightarrow \mathbb H$ 의 모듈러스 공간은 $\mathbb S^2 = \{x \in \mathbb H\colon \bar x = -x,\; \|x\|=1\}$ 이므로, 이에 따라 망각 사상

: $\operatorname{RSp}(G) \times\mathbb S^2 \to \operatorname{RU}(G)$

이 존재한다.

외부 자기 동형군 $\operatorname{Out}(G)$ 은 $\operatorname{RU}(G)$ 및 $\operatorname{RO}(G)$ 위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

3. 1. 연결 콤팩트 리 군

G^영어가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면

:

T \le G

및 이에 대한 바일 군

:

\operatorname{Weyl}(G,T) \le \operatorname{Out}(T)

을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로

:

\operatorname{RU}(G) \cong \operatorname{RU}(T)^{\operatorname{Weyl}(G,T)}

이다. 여기서 우변은

\operatorname{RU}(T) \cong \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},\dotsc,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]

의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

콤팩트 연결된 군의 경우, ''R''(''G'')는 바일 군의 작용에 불변인 클래스 함수로 구성된 ''R''(''T'') (여기서 ''T''는 최대 토러스)의 부분 링과 동형이다.

3. 2. 유한 아벨 군

임의의 유한 아벨 군

G

에 대하여, 그 지표군

:

\hat G = \{\phi\in\hom_{\operatorname{Grp}}(G,\mathbb C^\times \}

을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.

:

\operatorname{RU}(G) = \mathbb Z[\hat G]

^[1]

3. 3. λ-환 및 아담스 연산

표현환은 λ-환 구조를 가지며, 아담스 연산을 정의할 수 있다.

"G"의 표현의 ''n''번째 외대수를 형성할 수 있으며, 이는 연산 λ^''n'' : ''R''(''G'') → ''R''(''G'')를 유도한다. 이러한 연산을 통해 ''R''(''G'')는 λ-환이 된다.

표현 환 ''R''(''G'')에 대한 ''아담스 연산''은 문자 χ에 대한 효과로 특징지어지는 사상 Ψ^''k''이다.

:

\Psi^k \chi (g) = \chi(g^k) \ .

연산 Ψ^''k''는 ''R''(''G'')에서 자신으로의 환 준동형사상이며, 차원 ''d''의 표현 ''ρ''에 대해

:

\Psi^k (\rho) = N_k(\Lambda^1\rho,\Lambda^2\rho,\ldots,\Lambda^d\rho) \

여기서 Λ^''i''''ρ''는 ''ρ''의 외대수이고 ''N''_''k''는 ''d'' 변수의 ''d'' 기본 대칭 함수로 표현된 ''k''번째 거듭제곱 합이다.

4. 표현의 문자

표현은 문자 χ:''G'' → '''C'''를 정의한다. 이러한 함수는 ''G''의 켤레류에서 상수이며, 클래스 함수라고 불린다. ''G''가 유한군일 경우, 준동형사상 ''R''(''G'') → ''C''(''G'')는 단사 함수이므로, ''R''(''G'')는 ''C''(''G'')의 부분 링으로 식별될 수 있다.

5. 예시

다음은 여러 군에 대한 표현환의 구체적인 예시이다.

차수가 ''n''인 순환군의 복소수 표현환 ''R''_'''C'''(''C''_''n'')는 '''Z'''[''X'']/(''X''^''n'' − 1)과 동형이다. 여기서 ''X''는 군의 생성자를 원시 ''n''차 단위근으로 보내는 복소수 표현에 해당한다.^[1]
유한군인 아벨 군의 복소수 표현환은 표 문자 군의 군환과 동일시될 수 있다.
차수가 3인 순환군의 유리수 표현환 ''R''_'''Q'''(C₃)는 '''Z'''[''X'']/(''X''² − ''X'' − 2)와 동형이다. 여기서 ''X''는 차원이 2인 기약 표현 유리수 표현에 해당한다.
표수가 3인 체 ''F''에서의 차수가 3인 순환군의 모듈러 표현환 ''R''_''F''(''C''₃)는 '''Z'''[''X'',''Y'']/(''X''² − ''Y'' − 1, ''XY'' − 2''Y'',''Y''² − 3''Y'')와 동형이다.
원환군의 연속 표현환 ''R''(S¹)는 '''Z'''[''X'', ''X''⁻¹]과 동형이다. 실수 표현의 환은 ''X'' ↦ ''X''⁻¹에 의해 주어진 ''R''(''G'')에 대한 대합에 의해 고정된 원소들의 부분환이다.
차수가 3인 대칭군의 환 ''R''_'''C'''(''S''₃)는 '''Z'''[''X'',''Y'']/(''XY'' − ''Y'',''X''² − 1,''Y''² − ''X'' − ''Y'' − 1)과 동형이다. 여기서 ''X''는 1차원 교대 표현이고, ''Y''는 ''S''₃의 2차원 기약 표현이다.^[1]

5. 1. 자명군

자명군의 표현환은 정수환과 같다.

:

\operatorname{RO}(1) = \operatorname{RU}(1) \cong \mathbb{Z}

즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

5. 2. 순환군

순환군

\operatorname{Cyc}(n)

의 복소수 표현환은 다음과 같이 다항식환으로 표현된다.^[1]

:

\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x]/(x^n-1)

이때,

x

는 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응하며, 이는 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{Cyc}(n) = \langle a|a^n=1\rangle \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)

:

a \mapsto \exp(2\pi\mathrm i/n)

차수 ''n''의 순환군의 복소수 표현환

R_{\mathbb C}(C_n)

은

\mathbb Z[X]/(X^n - 1)

과 동형이다. 여기서 ''X''는 군의 생성자를 원시 ''n''차 단위근으로 보내는 복소수 표현에 해당한다.^[1]

5. 3. 대칭군

3차 대칭군

\operatorname{Sym}(3)

의 복소수 표현환은 다음과 같이 다항식환으로 표현된다.^[1]

:

\operatorname{RU}(\operatorname{Sym}(3)) \cong \mathbb Z[x,y]/(xy-y,x^2-1,y^2-x-y-1)

:

\dim x = 1

:

\dim y = 2

여기서

x

에 대응하는 1차원 표현은 다음과 같다.

:

\operatorname{Sym}(3) \mapsto \mathbb C^\times

:

\sigma \mapsto (-)^\sigma

y

에 대응하는 2차원 표현은

\{(x,y,z)\in\mathbb C^3 \colon x+y+z=0\}

위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

차수 3의 대칭군에 대한 복소수 표현환

R_{\mathbb C}(S_3)

는 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

R_{\mathbb C}(S_3) \cong \mathbb Z[X,Y]/(XY-Y,X^2-1,Y^2-X-Y-1)

여기서

X

는 1차원 교대 표현이고,

Y

는

S_3

의 2차원 기약 표현이다.

5. 4. 원군

원군

\operatorname U(1)

의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식 환

:

\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x,x^{-1}]

이며, 그 차원은 다음과 같다.

:

\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \to \mathbb Z

:

x \mapsto 1

이 동형 아래,

x^k

(

k\in\mathbb Z

)는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.

:

\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z \ne 0\}

:

z \mapsto z^k

5. 5. 원환면군

원환면군의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.

:

\operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n) = \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},x_2,x_2^{-1},\dotsc,x_n,x_n^{-1}] \cong \mathbb Z[y,x_1,\dotsc,x_n] / (yx_1\dotsm x_n - 1)

:

\dim \colon x_0, x_1,\dotsc,x_n \to 1

이 동형 아래,

:

\operatorname U(1)^n = \{(z_1,z_2,\dotsc,z_n)\colon |z_1|=\dotsb = |z_n|= 1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z\ne 0\}

:

x_i \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto z_i \qquad( i \in \{1,2,\dotsc,n\})

5. 6. 유니터리 군

유니터리 군 U(n)의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬

:

\operatorname{diag}\colon\operatorname U(1)^n \hookrightarrow \operatorname U(n)

:

\operatorname{diag} \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto \operatorname{diag}(z_1,\dotsc,z_n)

로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군

\operatorname{Sym}(n)

이다. 즉, 그 표현환은

:

\operatorname{RU}(\operatorname U(n)) = \operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n)^{\operatorname{Sym}(n)} \cong \mathbb Z[s_1,s_2,\dotsc,s_{n-1},s_n,s_n^{-1}]

이다.^[2] 여기서

s_a

는

a

번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.

:

s_a = \prod_{1\le i_1 < i_2 < \dotsb < i_a \le n} x_{i_1}x_{i_2}\dotsb x_{i_a}

특히,

s_1

은 유니터리 군의

n

차원 정의 표현이며, 또한

s_n

은 행렬식 표현에 해당한다.

:

s_n = \det \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)

:

\det \colon M \mapsto \det M

이는 1차원 표현이므로 역원

M \mapsto (\det M)^{-1}

을 갖는다.

참조

_[1] PDF RepThry https://math.berkele[...]
_[2] 논문 The representation ring of a compact Lie group http://www.numdam.or[...]

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