표현환

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1. 개요

표현환은 주어진 콤팩트 리 군의 유한 차원 표현의 동형류로 구성된 가환환이다. 표현환은 실수, 복소수, 사원수 계수를 가질 수 있으며, 복소수 계수 표현환이 가장 널리 사용된다. 닫힌 부분군에 대한 환 준동형이 유도되며, 표현의 차원을 나타내는 환 준동형과 복소 켤레 사상에 따른 자기 동형이 존재한다. 또한 복소화에 따른 환 준동형과 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따른 군 준동형이 존재한다. 표현환은 연결 콤팩트 리 군, 유한 아벨 군, λ-환 및 아담스 연산과 관련이 있으며, 표현의 문자를 통해 식별될 수 있다. 자명군, 순환군, 대칭군, 원환면군, 유니터리 군 등 다양한 군에 대한 표현환의 예시가 존재한다.

표현환

개요

유형	가환환의 가군의 그로텐디크 군
분야	표현론, 환론

성질

연산	덧셈: 직합에 해당 곱셈: 텐서곱에 해당

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수, 복소수 및 사원수 계수의 경우
- 2.2. 닫힌 부분군에 대한 함자성
3. 성질
4. 표현의 문자
5. 예시

2. 정의

콤팩트 리 군 $G$ (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)의 매끄러운 유한 차원 표현들의 동치류들의 집합은 텐서곱과 직합을 통해 가환 반환을 이룬다. 이 반환의 그로텐디크 환을 $G$ 의 표현환이라고 한다. 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현이다. 표현환의 원소는 $G$ 의 유한 차원 표현의 동형류의 형식적 차이이며, 덧셈은 표현의 직합으로, 곱셈은 표현의 텐서곱으로 주어진다.

2.1. 실수, 복소수 및 사원수 계수의 경우

콤팩트 리 군 $G$ 와 $\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}$ (실수체 또는 복소수체)가 주어졌을 때, $G$ 의 매끄러운 유한 차원 표현들의 동치류들의 집합은 텐서곱과 직합을 통해 가환 반환을 이룬다. 이 반환의 그로텐디크 환 $\operatorname R(G;\mathbb K)$ 을 $G$ 의 $\mathbb K$ 계수 표현환이라고 한다. $\mathbb K = \mathbb R$ 일 때 이 가환환을 $\operatorname{RO}(G)$ 라고 하며, $\mathbb K = \mathbb C$ 일 때 이 가환환을 $\operatorname{RU}(G)$ 라고 한다.

$\mathbb K = \mathbb H$ (사원수의 나눗셈환)인 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인해 표현의 텐서곱은 일반적으로 정의되지 않는다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 $\operatorname{RSp}(G) = \operatorname R(G;\mathbb H)$ 은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, $\operatorname{RSp}(G)$ 는 가환환 $\operatorname{RO}(G)$ 위의 가군을 이룬다.

표현환 $R_F(G)$ 의 원소는 $G$ 의 유한 차원 $F$ 표현의 동형류의 형식적 차이이다. 덧셈은 표현의 직합으로 주어지며, 곱셈은 $F$ 에 대한 표현의 텐서곱으로 주어진다. 표기에서 $F$ 가 생략되면 $F$ 는 암묵적으로 복소수 체로 간주된다.

2.2. 닫힌 부분군에 대한 함자성

H가 콤팩트 리 군 G의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.

: $\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(H)$
: $\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RO}(H)$

이에 따라, $\operatorname{RU}(H)$ 는 $\operatorname{RU}(G)$ 위의 유한 생성 가군을 이루며, 마찬가지로 $\operatorname{RO}(H)$ 도 $\operatorname{RO}(G)$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

3. 성질

표현환은 차원 함수, 켤레 사상, 복소화/실수화 사상 등 다양한 구조를 갖는다. 표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

: $\dim_{\mathbb C} \colon \operatorname{RU}(G) \to \mathbb Z$
: $\dim_{\mathbb R} \colon \operatorname{RO}(G) \to \mathbb Z$

$\operatorname{RU}(G)$ 위에는 복소수 켤레 사상에 따른 자기 동형

: $(-)^* \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(G)$

가 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. $\operatorname{RSp}(G)$ 위에도

: $(-)^* \colon \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RSp}(G)$

가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

복소화에 따라 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

: $(-)^{\mathbb C}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RU}(G)$
: $(-)^{\mathbb H}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RSp}(G)$

반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라 다음과 같은 덧셈군의 군 준동형이 존재한다.

: $\operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)$
: $\operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RO}(G)$

$\operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)$ 는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계 $\mathbb C\hookrightarrow \mathbb H$ 의 모듈러스 공간은 $\mathbb S^2 = \{x \in \mathbb H\colon \bar x = -x,\; \|x\|=1\}$ 이므로, 이에 따라 망각 사상

: $\operatorname{RSp}(G) \times\mathbb S^2 \to \operatorname{RU}(G)$

이 존재한다.

외부 자기 동형군 $\operatorname{Out}(G)$ 은 $\operatorname{RU}(G)$ 및 $\operatorname{RO}(G)$ 위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

3.1. 연결 콤팩트 리 군

G^영어가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면
: $T \le G$
및 이에 대한 바일 군
: $\operatorname{Weyl}(G,T) \le \operatorname{Out}(T)$
을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로
: $\operatorname{RU}(G) \cong \operatorname{RU}(T)^{\operatorname{Weyl}(G,T)}$
이다. 여기서 우변은 $\operatorname{RU}(T) \cong \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},\dotsc,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]$ 의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

콤팩트 연결된 군의 경우, R(G)는 바일 군의 작용에 불변인 클래스 함수로 구성된 R(T) (여기서 T는 최대 토러스)의 부분 링과 동형이다.

3.2. 유한 아벨 군

임의의 유한 아벨 군 $G$ 에 대하여, 그 지표군
: $\hat G = \{\phi\in\hom_{\operatorname{Grp}}(G,\mathbb C^\times \}$
을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.
: $\operatorname{RU}(G) = \mathbb Z[\hat G]$

3.3. λ-환 및 아담스 연산

표현환은 λ-환 구조를 가지며, 아담스 연산을 정의할 수 있다.

"G"의 표현의 n번째 외대수를 형성할 수 있으며, 이는 연산 λⁿ : R(G) → R(G)를 유도한다. 이러한 연산을 통해 R(G)는 λ-환이 된다.

표현 환 R(G)에 대한 아담스 연산은 문자 χ에 대한 효과로 특징지어지는 사상 Ψ^k이다.

: $\Psi^k \chi (g) = \chi(g^k) \ .$

연산 Ψ^k는 R(G)에서 자신으로의 환 준동형사상이며, 차원 d의 표현 ρ에 대해

: $\Psi^k (\rho) = N_k(\Lambda^1\rho,\Lambda^2\rho,\ldots,\Lambda^d\rho) \$

여기서 Λⁱρ는 ρ의 외대수이고 N_k는 d 변수의 d 기본 대칭 함수로 표현된 k번째 거듭제곱 합이다.

4. 표현의 문자

표현은 문자 χ:G → C를 정의한다. 이러한 함수는 G의 켤레류에서 상수이며, 클래스 함수라고 불린다. G가 유한군일 경우, 준동형사상 R(G) → C(G)는 단사 함수이므로, R(G)는 C(G)의 부분 링으로 식별될 수 있다.

5. 예시

다음은 여러 군에 대한 표현환의 구체적인 예시이다.

* 차수가 n인 순환군의 복소수 표현환 R_C(C_n)는 Z[X]/(Xⁿ − 1)과 동형이다. 여기서 X는 군의 생성자를 원시 n차 단위근으로 보내는 복소수 표현에 해당한다.
* 유한군인 아벨 군의 복소수 표현환은 표 문자 군의 군환과 동일시될 수 있다.
* 차수가 3인 순환군의 유리수 표현환 R_Q(C₃)는 Z[X]/(X² − X − 2)와 동형이다. 여기서 X는 차원이 2인 기약 표현 유리수 표현에 해당한다.
* 표수가 3인 체 F에서의 차수가 3인 순환군의 모듈러 표현환 R_F(C₃)는 Z[X,Y]/(X² − Y − 1, XY − 2Y,Y² − 3Y)와 동형이다.
* 원환군의 연속 표현환 R(S¹)는 Z[X, X⁻¹]과 동형이다. 실수 표현의 환은 X ↦ X⁻¹에 의해 주어진 R(G)에 대한 대합에 의해 고정된 원소들의 부분환이다.
* 차수가 3인 대칭군의 환 R_C(S₃)는 Z[X,Y]/(XY − Y,X² − 1,Y² − X − Y − 1)과 동형이다. 여기서 X는 1차원 교대 표현이고, Y는 S₃의 2차원 기약 표현이다.

5.1. 자명군

자명군의 표현환은 정수환과 같다.
: $\operatorname{RO}(1) = \operatorname{RU}(1) \cong \mathbb{Z}$
즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

5.2. 순환군

순환군 $\operatorname{Cyc}(n)$ 의 복소수 표현환은 다음과 같이 다항식환으로 표현된다.

: $\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x]/(x^n-1)$

이때, $x$ 는 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응하며, 이는 다음과 같다.

: $\operatorname{Cyc}(n) = \langle a|a^n=1\rangle \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)$
: $a \mapsto \exp(2\pi\mathrm i/n)$

차수 n의 순환군의 복소수 표현환 $R_{\mathbb C}(C_n)$ 은 $\mathbb Z[X]/(X^n - 1)$ 과 동형이다. 여기서 X는 군의 생성자를 원시 n차 단위근으로 보내는 복소수 표현에 해당한다.

5.3. 대칭군

3차 대칭군 $\operatorname{Sym}(3)$ 의 복소수 표현환은 다음과 같이 다항식환으로 표현된다.
: $\operatorname{RU}(\operatorname{Sym}(3)) \cong \mathbb Z[x,y]/(xy-y,x^2-1,y^2-x-y-1)$
: $\dim x = 1$
: $\dim y = 2$
여기서 $x$ 에 대응하는 1차원 표현은 다음과 같다.
: $\operatorname{Sym}(3) \mapsto \mathbb C^\times$
: $\sigma \mapsto (-)^\sigma$
$y$ 에 대응하는 2차원 표현은 $\{(x,y,z)\in\mathbb C^3 \colon x+y+z=0\}$ 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

차수 3의 대칭군에 대한 복소수 표현환 $R_{\mathbb C}(S_3)$ 는 다음과 같이 표현된다.
: $R_{\mathbb C}(S_3) \cong \mathbb Z[X,Y]/(XY-Y,X^2-1,Y^2-X-Y-1)$
여기서 $X$ 는 1차원 교대 표현이고, $Y$ 는 $S_3$ 의 2차원 기약 표현이다.

5.4. 원군

원군 $\operatorname U(1)$ 의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식 환
: $\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x,x^{-1}]$
이며, 그 차원은 다음과 같다.
: $\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \to \mathbb Z$
: $x \mapsto 1$
이 동형 아래, $x^k$ ( $k\in\mathbb Z$ )는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.
: $\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z \ne 0\}$
: $z \mapsto z^k$

5.5. 원환면군

원환면군의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.

: $\operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n) = \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},x_2,x_2^{-1},\dotsc,x_n,x_n^{-1}] \cong \mathbb Z[y,x_1,\dotsc,x_n] / (yx_1\dotsm x_n - 1)$

: $\dim \colon x_0, x_1,\dotsc,x_n \to 1$

이 동형 아래,

: $\operatorname U(1)^n = \{(z_1,z_2,\dotsc,z_n)\colon |z_1|=\dotsb = |z_n|= 1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z\ne 0\}$

: $x_i \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto z_i \qquad( i \in \{1,2,\dotsc,n\})$

5.6. 유니터리 군

유니터리 군 U(n)의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬
: $\operatorname{diag}\colon\operatorname U(1)^n \hookrightarrow \operatorname U(n)$
: $\operatorname{diag} \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto \operatorname{diag}(z_1,\dotsc,z_n)$
로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 $\operatorname{Sym}(n)$ 이다. 즉, 그 표현환은
: $\operatorname{RU}(\operatorname U(n)) = \operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n)^{\operatorname{Sym}(n)} \cong \mathbb Z[s_1,s_2,\dotsc,s_{n-1},s_n,s_n^{-1}]$
이다. 여기서 $s_a$ 는 $a$ 번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.
: $s_a = \prod_{1\le i_1 < i_2 < \dotsb < i_a \le n} x_{i_1}x_{i_2}\dotsb x_{i_a}$
특히, $s_1$ 은 유니터리 군의 $n$ 차원 정의 표현이며, 또한 $s_n$ 은 행렬식 표현에 해당한다.
: $s_n = \det \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)$
: $\det \colon M \mapsto \det M$
이는 1차원 표현이므로 역원 $M \mapsto (\det M)^{-1}$ 을 갖는다.