모멘트 (물리학)

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1. 개요

모멘트(물리학)는 어떤 지점까지의 거리를 거듭제곱한 값과 그 지점에서의 물리량의 곱을 의미하는 물리 개념이다. 모멘트는 물리량의 종류와 차수에 따라 다양한 형태로 나타나며, 0차 모멘트는 단극자 모멘트, 1차 모멘트는 쌍극자 모멘트, 2차 모멘트는 사중극자 모멘트라고 불린다. 힘의 모멘트(토크), 각운동량, 전기 쌍극자 모멘트 등이 있으며, 다중극 전개와 같은 다양한 물리 현상을 설명하고 분석하는 데 활용된다. 모멘트 개념은 고대 그리스 시대부터 사용되었으며, 역학, 기하학 등 다양한 분야에서 활용되어 왔다.

모멘트 (물리학)

개요

분야	물리학
하위 분야	역학
관련 개념	돌림힘, 각운동량, 관성 모멘트

정의

정의	거리와 물리량의 곱

종류

종류	힘의 모멘트 (돌림힘) 전기 쌍극자 모멘트 자기 쌍극자 모멘트 관성 모멘트 단면 2차 모멘트 질량 모멘트

관련 항목	모멘트 (수학)

2. 정의 및 기본 개념

모멘트는 가장 기본적인 형태에서 어떤 지점까지의 거리를 거듭제곱한 값과 그 지점에서의 물리량(힘 또는 전하 등)의 곱이다.

: μ_n = rⁿQ

여기서 Q는 점에 가해지는 힘, 점전하, 점질량 등과 같은 물리량이다. 만약 물리량이 단일 지점에만 집중되어 있지 않다면, 모멘트는 공간에 대한 해당 물리량 밀도의 적분이다.

:μ_n = ∫ rⁿ ρ(r)dr

여기서 ρ는 전하, 질량 또는 고려되는 모든 물리량의 밀도 분포이다.

더 복잡한 형태는 거리와 물리량 사이의 각도 관계를 고려하지만, 위의 방정식은 모멘트의 본질적인 특징, 즉 rⁿρ(r) 또는 그에 상응하는 항의 존재를 포착한다. 이는 여러 모멘트(각 n 값에 대해 하나씩)가 존재하고, 모멘트가 일반적으로 거리 r이 측정되는 기준점에 따라 달라짐을 의미한다. 그러나 특정 모멘트(기술적으로는 가장 낮은 비영 모멘트)의 경우 이 의존성이 사라지고 모멘트는 기준점과 무관해진다.

각 n 값은 다른 모멘트에 해당한다. 1차 모멘트는 n = 1에 해당하고, 2차 모멘트는 n = 2에 해당한다. 0차 모멘트(n = 0)는 때때로 '단극자 모멘트'라고 불리며, 1차 모멘트(n = 1)는 때때로 '쌍극자 모멘트'라고 불리며, 2차 모멘트(n = 2)는 특히 전하 분포의 맥락에서 때때로 '사중극자 모멘트'라고 불린다.

3. 차수별 모멘트

각 n 값은 다른 모멘트에 해당한다. 0차 모멘트(n = 0)는 단극자 모멘트, 1차 모멘트(n = 1)는 쌍극자 모멘트, 2차 모멘트(n = 2)는 특히 전하 분포의 맥락에서 사중극자 모멘트라고 불린다.

* 0차 모멘트 (n=0)
* 총 질량은 질량의 0차 모멘트이다.
* 1차 모멘트 (n=1)
* 질량 중심은 총 질량으로 정규화된 질량의 1차 모멘트이다: 점 질량들의 집합에 대해 $\mathbf{R} = \frac 1M \sum_i \mathbf{r}_i m_i$ 이거나, 질량 분포 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 물체에 대해 $\frac 1M \int \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, d^3r$ 이다.
* 힘의 모멘트 또는 토크는 1차 모멘트이다: $\mathbf{\tau} = rF$ , 또는, 더 일반적으로, $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ 이다. 어떤 정해진 회전축을 중심으로 한 힘의 모멘트를 토크라고 부른다.
* 각운동량은 운동량의 1차 모멘트이다: $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ . 운동량 자체는 모멘트가 아니다. 예를 들어 점 P (위치 벡터는 $\vec{r}$ )에 있는 질점이 운동량 $\vec{p}$ 를 가지고 운동하고 있다면, 운동량의 모멘트는 $\vec{r} \times \vec{p}$ 로 기술된다. 만약 $\vec{p}$ 가 $\vec{r}$ 에 평행하다면 $\vec{r} \times \vec{p}$ 는 0이 되어, 원점 O에 있는 관측자에게는 질점이 $\vec{r}$ 방향을 따라 자신으로부터 멀어져 가거나, 또는 자신을 향해 가까워지는 것처럼 보일 뿐이다. 그러나 $\vec{r} \times \vec{p}$ 가 0이 아니라면, 운동량 $\vec{p}$ 는 $\vec{r}$ 에 수직인 성분을 가지며, 원점 O에 있는 관측자에게는 질점이 자신을 중심으로 회전하는 것처럼 보일 것이다. 그러므로 $\vec{r} \times \vec{p}$ 는 질점의 회전 운동을 나타내는 하나의 양이라고 생각할 수 있다. 이것은 일반적으로 각운동량이라고 불린다.
* 전기 쌍극자 모멘트 또한 1차 모멘트이다: 두 개의 반대 전하에 대해 $\mathbf{p} = q\,\mathbf{d}$ 이거나 전하 밀도 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 분포된 전하에 대해 $\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r$ 이다.
* 2차 모멘트 (n=2)
* 관성 모멘트는 질량의 2차 모멘트이다: 점 질량에 대해 $I = r^2 m$ 이거나, 점 질량들의 집합에 대해 $\sum_i r_i^2 m_i$ 이거나, 질량 분포 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 물체에 대해 $\int r^2\rho(\mathbf{r}) \, d^3r$ 이다. 질량 중심은 종종 (하지만 항상 그런 것은 아님) 기준점으로 간주된다.

4. 다중극 전개

특정 영역에 유한하고 국한된 밀도 함수를 가정하면, 해당 영역 외부에서 1/r 스칼라 포텐셜은 구면 조화 함수의 급수로 표현될 수 있다.

: $\Phi(\mathbf{r}) =\int \frac{\rho(\mathbf{r'})}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\, d^3r' =\sum_{\ell=0}^\infty\sum_{m=-\ell}^\ell\left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right)q_{\ell m}\,\frac{Y_{\ell m}(\theta, \varphi)}{r^{\ell+1}}

계수

q_{\ell m}

은 다중극자 모멘트로 알려져 있으며 다음과 같은 형태를 가진다.

:

q_{\ell m} = \int(r')^\ell\,\rho(\mathbf{r'})\,Y^*_{\ell m}(\theta',\varphi')\,d^3r'

여기서

\mathbf{r}'

은 구면 좌표

\left(r', \varphi', \theta'\right)

로 표현되며, 적분 변수이다. 보다 자세한 내용은 다중극 전개 또는 구면 다중극자 모멘트 페이지에서 확인할 수 있다.

\rho

가 전하 밀도를 나타낼 때,

q_{lm}

은 어떤 의미에서 전하 모멘트의 투영이다.

q_{00}

은 단극자 모멘트,

q_{1m}

은 쌍극자 모멘트의 투영,

q_{2m}

은 사중극자 모멘트의 투영 등이다.

5. 모멘트의 응용

다중극 전개는 전기 퍼텐셜과 중력 퍼텐셜과 같은 1/r 스칼라 퍼텐셜에 적용된다. 이 방법을 통해 국소적으로 분포된 전하 또는 질량에 의해 생성된 장의 세기를 근사화할 수 있다. 충분히 큰 r에 대해서는 단극자 및 쌍극자 모멘트만으로도 합리적인 근사가 가능하다. 더 높은 정확도를 위해서는 고차 모멘트를 계산해야 한다. 이 기술은 상호 작용 에너지 및 분자간 힘을 계산하는 데에도 활용된다.

이 기술은 알려지지 않은 분포 $\rho$ 의 속성을 결정하는 데에도 사용될 수 있다. 다중극 모멘트와 관련된 측정을 통해 기본 분포의 속성을 추론할 수 있다. 이 방법은 분자와 같은 작은 물체뿐만 아니라, 우주 자체에도 적용된다. 예를 들어 WMAP와 플랑크 실험에서 우주 마이크로파 배경 복사를 분석하는 데 사용된다.

6. 모멘트의 역사

모멘트(moment)라는 개념은 고대 그리스에서 비롯된 것으로 알려져 있다. 당시에는 ῥοπή (rhopḗ, ῥοπή^{고대 그리스어}) 또는 "경향"이라는 단어와 ἰσόρροπα (isorropa, ἰσόρροπα^{고대 그리스어}) 또는 "동등한 경향"과 같은 합성어로 표현되었다. 이러한 표현은 지레와 관련된 역학 및 기하학적 맥락에서 사용되었다. 특히 아르키메데스의 저작에서 모멘트는 다음과 같이 설명된다.

:"가환 크기( σύμμετρα^{고대 그리스어} μεγέθεα^{고대 그리스어}) [A와 B]는 거리가 무게에 대해 역비례(ἀντιπεπονθότως^{고대 그리스어})일 경우 균형을 이룹니다(ἰσορροπέοντι^{고대 그리스어})."

또한, 기계적 정리 방법과 같은 문헌에서 모멘트는 기하학적 도형의 무게 중심, 면적, 부피를 추론하는 데 사용되었다.

1269년, 윌리엄 오브 모어베케는 아르키메데스와 에우토키오스의 저작들을 라틴어로 번역하면서 ῥοπή를 'ropen'으로 음역했다.

1450년경, 야코부스 크레모넨시스는 ῥοπή를 라틴어 'momentum'(momentum^라틴어)으로 번역했다. 이 용어는 조르지오 발라, 프란체스코 마우롤리코, 페데리코 코만디노 등 여러 학자들의 번역본에서도 사용되었다. 'momentum'이라는 단어가 선택된 이유는 중세 이탈리아에서 '모멘토'(momento)가 "시간의 순간"과 "무게의 순간"(저울을 움직이는 작은 무게)을 모두 의미했기 때문으로 추정된다.

1554년, 프란체스코 마우롤리코는 Prologi sive sermones에서 momentum의 개념을 명확히 정의했다. 그는 신체와 무게 외에 세 번째 종류의 힘인 '모멘트'가 존재한다고 설명했다.

1586년, 시몬 스테빈은 네덜란드어로 모멘트를 'staltwicht'(staltwicht^{네덜란드어})라고 표현했다.

1632년, 갈릴레오 갈릴레이는 두 개의 주요 세계 체제에 관한 대화에서 이탈리아어 '모멘토'(momento^{이탈리아어})를 다양한 의미로 사용했다.

1643년, 토마스 샐스버리는 갈릴레이의 작품을 영어로 번역하면서 라틴어 'momentum'과 이탈리아어 '모멘토'를 영어 'moment'로 번역했다.

1765년, 레온하르트 오일러는 크리스티안 하위헌스의 양 중 하나를 지칭하기 위해 momentum inertiae(관성 모멘트)라는 용어를 사용했다.

1811년, 시메옹 드니 푸아송은 프랑스어로 'moment d'une force'(moment d'une force^프랑스어) (힘의 모멘트)라는 용어를 사용했다.

1884년, 제임스 톰슨은 기계의 회전력을 측정하는 맥락에서 토크라는 용어를 제안했다.

1893년, 칼 피어슨은 과학적 측정에서 곡선 맞춤과 관련하여 n차 모멘트와

\mu_n

이라는 용어를 사용했다.

7. 특정 물리량의 모멘트

토크는 힘의 1차 모멘트, 각운동량은 운동량의 1차 모멘트, 전기 쌍극자 모멘트 또한 1차 모멘트이다.

질량 모멘트:
* 총 질량은 질량의 0차 모멘트이다.
* 질량 중심은 총 질량으로 정규화된 질량의 1차 모멘트이다.
* 관성 모멘트는 질량의 2차 모멘트이다. 질량 중심은 종종 (하지만 항상 그런 것은 아님) 기준점으로 간주된다.

7.1. 힘의 모멘트 (토크)

힘의 모멘트 또는 토크는 물리학에서 1차 모멘트의 한 종류이다. 힘의 모멘트는 τ = rF 또는, 더 일반적으로, r × F 로 표현된다. 여기서 r은 기준점으로부터 힘이 작용하는 지점까지의 거리이고, F는 힘을 나타낸다.

어떤 질점에 힘 $\vec{F}$ 가 작용할 때, $\vec{r} \times \vec{F}$ 는 힘의 모멘트라고 불리며, 각운동량의 시간 변화와 관련된다. 어떤 정해진 회전축을 중심으로 한 힘의 모멘트를 토크라고 부른다.

7.2. 각운동량

각운동량은 운동량의 1차 모멘트이다. 수식으로는 $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ 로 표현된다. 여기서 r은 기준점으로부터 질점까지의 위치 벡터, p는 질점의 운동량이다.

예를 들어 위치 벡터 $\vec{r}$ 인 점 P에 있는 질점이 운동량 $\vec{p}$ 를 가지고 운동하고 있다고 하면, 운동량의 모멘트는 $\vec{r} \times \vec{p}$ 로 기술된다. 만약 $\vec{p}$ 가 $\vec{r}$ 에 평행하다면 $\vec{r} \times \vec{p}$ 는 0이 되어, 원점 O에 있는 관측자에게는 질점이 $\vec{r}$ 방향을 따라 자신으로부터 멀어져 가거나, 또는 자신을 향해 가까워지는 것처럼 보일 뿐이다. 그러나 $\vec{r} \times \vec{p}$ 가 0이 아니라면, 운동량 $\vec{p}$ 는 $\vec{r}$ 에 수직인 성분을 가지며, 원점 O에 있는 관측자에게는 질점이 자신을 중심으로 회전하는 것처럼 보일 것이다. 그러므로 $\vec{r} \times \vec{p}$ 는 질점의 회전 운동을 나타내는 하나의 양이라고 생각할 수 있으며, 이것이 일반적으로 각운동량이라고 불린다.

7.3. 전기 쌍극자 모멘트

전기 쌍극자 모멘트는 1차 모멘트이다. 두 개의 반대 전하에 대해서는 $\mathbf{p} = q\,\mathbf{d}$ 로 표현되고, 전하 밀도 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 분포된 전하에 대해서는 $\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r$ 로 표현된다.

8. 질량 모멘트

* 총 질량은 질량의 0차 모멘트이다.
* 질량 중심은 총 질량으로 정규화된 질량의 1차 모멘트이다. 점 질량들의 집합에 대해서는 $\mathbf{R} = \frac 1M \sum_i \mathbf{r}_i m_i$ 이고, 질량 분포 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 물체에 대해서는 $\frac 1M \int \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, d^3r$ 이다.
* 관성 모멘트는 질량의 2차 모멘트이다. 점 질량에 대해서는 $I = r^2 m$ 이고, 점 질량들의 집합에 대해서는 $\sum_i r_i^2 m_i$ 이며, 질량 분포 $\rho(\mathbf{r})$ 를 가진 물체에 대해서는 $\int r^2\rho(\mathbf{r}) \, d^3r$ 이다. 질량 중심은 종종 (하지만 항상 그런 것은 아님) 기준점으로 간주된다.

분야	물리학
하위 분야	역학
관련 개념	돌림힘, 각운동량, 관성 모멘트

정의

정의	거리와 물리량의 곱

종류

종류	힘의 모멘트 (돌림힘) 전기 쌍극자 모멘트 자기 쌍극자 모멘트 관성 모멘트 단면 2차 모멘트 질량 모멘트