삼각 분할 범주

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 삼각형
- 2.2. 삼각 분할 범주의 공리
  - 2.2.1. 정팔면체 공리
3. 성질
- 3.1. 코호몰로지
4. 예시
5. 역사
6. 관련 개념
참조

1. 개요

삼각 분할 범주는 가법 범주에 이동 함자와 정확한 삼각형(또는 구별된 삼각형)의 클래스를 갖는 구조이다. 이 구조는 네 가지 공리(TR 1, TR 2, TR 3, TR 4)를 만족하며, 사상뿔을 포함하는 정팔면체 공리가 핵심적인 역할을 한다. 삼각 분할 범주에서는 코호몰로지 개념을 정의할 수 있으며, 이는 층 코호몰로지, 군 코호몰로지 등에서 중요한 역할을 한다. 삼각 분할 범주는 아벨 범주의 유도 범주, 안정 호모토피 범주 등 다양한 수학적 구조에서 나타나며, t-구조, 국소화 부분 범주, 콤팩트 생성 삼각 범주와 같은 관련 개념들이 연구된다.

2. 정의

삼각 분할 범주는 가법 범주에 추가적인 구조를 부여한 수학적 개념으로, 주로 호몰로지 대수학이나 대수기하학과 같은 분야에서 중요한 역할을 한다.

기본적으로 삼각 분할 범주는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

가법 범주 $\mathcal{C}$
자기 동치인 함자 $\Sigma: \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ . 이를 이동 함자(shift functor^영어) 또는 변환 함자(translation functor^영어)라고 부른다.
특정 조건을 만족하는 삼각형(triangle^영어)들의 모임. 이 모임의 원소를 특별 삼각형(distinguished triangle^영어) 또는 정확한 삼각형(exact triangle^영어)이라고 한다.

이러한 구성 요소들은 여러 공리들을 만족해야 하며, 이 공리들은 삼각 분할 범주의 구체적인 성질을 규정한다. 삼각형의 자세한 정의와 삼각 분할 범주가 만족해야 하는 공리들은 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

2. 1. 삼각형

범주

\mathcal{C}

위의 자기 동치 함자인 이동 함자

\Sigma: \mathcal{C} \to \mathcal{C}

가 주어졌다고 하자. 정수

n

에 대해

X[n] = \Sigma^n X

로 표기하는 것이 일반적이다.

(\mathcal{C}, \Sigma)

위의 삼각형(triangle^영어)은 세 개의 대상

X, Y, Z

와 세 개의 사상

u: X \to Y

,

v: Y \to Z

,

w: Z \to X[1]

으로 구성된다. 이를

(X, Y, Z, u, v, w)

와 같이 나타낸다. 삼각형은 보통 다음과 같은 형태로 시각적으로 표현된다.

:

X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]

또는 단순히 다음과 같이 쓰기도 한다.

:

X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w}

삼각 분할 범주는 이러한 삼각형들 중에서 특별한 조건을 만족하는 정확한 삼각형(exact triangle^영어) 또는 구별된 삼각형(distinguished triangle^영어)이라는 모음을 공리로 갖는 가법 범주이다. 정확한 삼각형의 조건은 삼각 분할 범주의 공리 (TR 1)부터 (TR 4)까지로 정의된다.

2. 2. 삼각 분할 범주의 공리

'''삼각 분할 범주'''는 특정한 구조와 공리들을 만족하는 수학적 대상이다. 이는 주로 호몰로지 대수학과 대수기하학 등에서 중요한 역할을 한다. 삼각 분할 범주는 다음과 같은 요소들로 정의된다.

$\operatorname{Ab}$ -풍성한 범주 $\mathcal C$ : 사상들의 모임이 아벨 군의 구조를 가지는 범주이다.
자기 동치 $\Sigma\colon\mathcal C\to\mathcal C$ : 범주 $\mathcal C$ 를 자기 자신으로 보내는 가법 함자로, 범주 동치를 이룬다. 이를 '''이동 함자''' 또는 '''변환 함자'''라고 부르며, 보통 $X[1] = \Sigma X$ 와 같이 표기하고, 정수 ''n''에 대해 $X[n] = \Sigma^n X$ 로 쓴다.
특별 삼각형의 모임: 특정 조건을 만족하는 "삼각형"들의 모임이다. '''삼각형'''은 세 개의 대상 ''X'', ''Y'', ''Z''와 사상 $u\colon X\to Y$ , $v\colon Y \to Z$ , $w\colon Z\to X[1]$ 로 구성되며, 보통 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ 형태로 나타낸다. 이 모임의 원소를 '''특별 삼각형'''(distinguished triangle^eng) 또는 '''정확한 삼각형'''(exact triangle^eng)이라고 부른다.

이러한 구성 요소들은 다음과 같은 공리들을 만족해야 한다.

'''기본 구조''': 범주 $\mathcal C$ 는 가법 범주이며, 모든 유한 곱과 유한 쌍대곱이 존재한다 (즉, 유한 완비 범주이다). 따라서 $\mathcal C$ 는 영 대상 0을 가진다.
'''항등 사상 삼각형''': 임의의 대상 $X$ 에 대하여, $X \xrightarrow{\operatorname{id}_X} X \to 0 \to X[1]$ 은 특별 삼각형이다. 여기서 $\operatorname{id}_X$ 는 $X$ 의 항등 사상이다.
'''사상뿔 존재''': 임의의 사상 $u\colon X\to Y$ 에 대하여, 이 사상을 포함하는 특별 삼각형 $X \xrightarrow{u} Y \to Z \to X[1]$ 이 존재한다. 여기서 대상 $Z$ 를 사상 $u$ 의 '''사상뿔'''(mapping cone^eng) 또는 '''원뿔'''(cone^eng), '''코파이버'''(cofiber^eng)라고 한다.^[4] 사상뿔은 주어진 사상에 의해 동형까지 결정되지만, 항상 유일한 동형 사상까지 결정되는 것은 아니다.^[4]
'''동형 불변성''': 어떤 삼각형이 특별 삼각형과 동형이라면, 그 삼각형 역시 특별 삼각형이다. 즉, $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ 이 특별 삼각형이고, $f\colon X\to X'$ , $g\colon Y\to Y'$ , $h\colon Z\to Z'$ 가 동형 사상이라면, $X' \xrightarrow{guf^{-1}} Y'\xrightarrow{hvg^{-1}} Z' \xrightarrow {f[1]wh^{-1}} X'[1]$ 역시 특별 삼각형이다.
'''회전 불변성''': 만약 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ 이 특별 삼각형이라면, 이를 "회전"시킨 삼각형들 역시 특별 삼각형이다. 구체적으로, $Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1] \xrightarrow{-u[1]} Y[1]$ 및 $Z[-1] \xrightarrow{-w[-1]} X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z$ 도 특별 삼각형이다. 여기서 $Z[-1]$ 은 $\Sigma^{-1} Z$ 를 의미하며, 사상 $X\to Y$ 의 '''올'''이라고 불리기도 한다.
'''정팔면체 공리''': 두 사상 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to Z$ 가 주어졌을 때, 이들과 합성 사상 $g\circ f$ 각각에 대응하는 사상뿔들을 이용해 새로운 특별 삼각형을 구성할 수 있다는 공리이다. 이 공리는 관련된 대상과 사상들을 시각적으로 배열했을 때 정팔면체와 유사한 구조를 가지기 때문에 이러한 이름이 붙었다.
'''사상 보존''': 두 개의 특별 삼각형 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ 과 $X' \xrightarrow{u'} Y' \xrightarrow{v'} Z' \xrightarrow{w'} X'[1]$ 이 있고, 이들의 첫 번째와 두 번째 대상 사이에 각각 사상 $f: X \to X'$ , $g: Y \to Y'$ 가 존재하여 $gu = u'f$ 를 만족한다면 (즉, 왼쪽 사각형이 가환이라면), 세 번째 대상 사이에 $h: Z \to Z'$ 라는 사상(반드시 유일하지는 않음)이 존재하여 전체 다이어그램이 가환하게 된다. 즉, $hv = v'g$ 와 $f[1]w = w'h$ 를 만족하는 $h$ 가 존재한다.

이 공리들은 삼각 분할 범주가 풍부한 구조를 가지며, 특히 유도 범주와 같은 중요한 예시들을 포괄할 수 있도록 설계되었다.

2. 2. 1. 정팔면체 공리

'''정팔면체 공리'''(octahedral axiom^영어)는 삼각 분할 범주가 만족해야 하는 공리 중 하나이다. 이 공리는 사상

f\colon X\to Y

와

g\colon Y\to Z

가 주어졌을 때, 이 사상들과 그 합성 사상

g\circ f

에 대한 세 개의 사상뿔

Z'

,

X'

,

Y'

을 이용해 새로운 특별 삼각형

Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'

을 구성할 수 있다는 내용을 담고 있다.

이 공리는 여러 가지 방식으로 시각화될 수 있다. 한 가지 방식은 다음과 같은 두 개의 그림으로 나타내는 것이다. 이는 정팔면체의 북반구와 남반구를 분리하여 그린 것에 해당한다.

\begin{matrix}X'&&\to&&Z\\&\searrow&\scriptstyle\mathsf d&\nearrow\\\downarrow&\scriptstyle\mathsf c&Y&\scriptstyle\mathsf c&\uparrow\\&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow\\Z'&&\to&&X\end{matrix}\qquad\begin{matrix}X'&&\to&&Z\\&\nwarrow&\scriptstyle\mathsf c&\swarrow\\\downarrow&\scriptstyle\mathsf d&Y'&\scriptstyle\mathsf d&\uparrow\\&\nearrow&\scriptstyle\mathsf c&\searrow\\Z'&&\to&&X\end{matrix}

위 그림에서 각 기호는 다음을 의미한다.

$\mathsf c$ : 가환 삼각형 (사상들이 순서에 상관없이 동일한 결과를 냄)
$\mathsf d$ : 특별 삼각형
$Z'\to X$ , $X'\to Y$ , $Y'\to X$ , $X'\to Z'$ 와 같은 사상들은 등급이 1인 사상으로, 실제로는 $Z'\to\Sigma X$ 와 같은 형태이다. (특별 삼각형의 세 번째 변에 해당)

정팔면체 공리는 다음과 같은 그림으로도 표현될 수 있다.

\begin{matrix}&&&&\scriptstyle\mathsf d\\Z'&&\xrightarrow\exists&&Y'&&\xrightarrow\exists&&X'\\&\scriptstyle\mathsf c&&\swarrow&\scriptstyle\mathsf d&\nwarrow&&\scriptstyle\mathsf c\\\|&&X&&\to&&Z&&\|\\&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow&\scriptstyle\mathsf c&\nearrow&\scriptstyle\mathsf d&\searrow\\Z'&&\leftarrow&&Y&&\leftarrow&&X'\end{matrix}\qquad

이 그림에서 맨 위의

\mathsf d

는 그림의 둘레를 따라 형성되는 삼각형

Z'\to Y'\to X'\to\Sigma Z'

이 특별 삼각형임을 나타낸다. 또한, 이 그림 내의 사각형들, 예를 들어

\begin{matrix}Y&\to&Z\\\downarrow&&\downarrow\\Z'&\to&Y'\end{matrix}

와

\begin{matrix}Y'&\to&X\\\downarrow&&\downarrow\\X'&\to&Y\end{matrix}

는 모두 가환 사각형을 이루어야 한다.

또 다른 표현 방식은 다음과 같다.^[27]

\begin{matrix}X\\\downarrow&\searrow\\Y&\to&Z\\\downarrow&&\downarrow&\searrow\\Z'&\overset\exists\to&Y'&\overset\exists\to&X'\\&\searrow&\downarrow&&\downarrow&\searrow\\&&\Sigma X&\to&\Sigma Y&\to&\Sigma Z'\end{matrix}

이 그림에서는 모든 삼각형과 사각형이 가환 다각형이다.

수학적으로 더 정확하게 표현하면, 다음과 같은 세 개의 특별 삼각형(완전 삼각)이 주어졌다고 하자.

$X \xrightarrow{u\,} Y \xrightarrow{j} Z' \xrightarrow {k} X[1]$
$Y \xrightarrow{v\,} Z \xrightarrow{l} X' \xrightarrow {i} Y[1]$
$X \xrightarrow{vu} Z \xrightarrow{m} Y' \xrightarrow {n} X[1]$

이때, 정팔면체 공리는 다음을 만족하는 사상

f

,

g

,

h

가 존재하여

Z' \xrightarrow{f} Y' \xrightarrow{g} X' \xrightarrow {h} Z'[1]

역시 특별 삼각형이 된다는 것을 보장한다.

$l=gm$
$k=nf$
$h=j[1]i$
$ig=u[1]n$
$fj=mv$

이 공리가 "정팔면체 공리"라고 불리는 이유는 관련된 모든 대상과 사상들을 시각적으로 배열하면 팔면체의 골격 구조와 유사한 형태를 띠기 때문이다. Verdier가 제시한 팔면체 다이어그램은 다음과 같다. 여기서

u

와

v

는 주어진 사상이고, 작은따옴표가 붙은 문자들은 각 사상의 사상뿔을 나타낸다.

Beilinson, Bernstein, Deligne는 두 가지 다른 형태의 다이어그램을 제시했다. 첫 번째는 팔면체의 상부와 하부 피라미드를 분리하여 표현하며, 가환 삼각형(

+

)과 특별 삼각형(

d

)을 구분한다.

두 번째 다이어그램은 특별 삼각형들을 선형으로 배열하여, 네 개의 특별 삼각형이 어떻게 서로 연결되는지를 강조한다. 이 그림은 정팔면체 공리가 대수학의 세 번째 동형 정리와 유사한 관계, 즉

(Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y

를 함의한다는 직관적인 해석을 제공한다. 여기서

Z'

는

Y/X

,

Y'

는

Z/X

,

X'

는

Z/Y

에 대응하는 것으로 볼 수 있다.

만약 삼각 분할 범주가 아벨 범주

A

의 유도 범주

D(A)

이고,

X, Y, Z

가

A

의 대상이며 사상

X\to Y

와

Y\to Z

가 단사 사상이라면, 해당 사상들의 사상뿔은 실제로

A

에서의 몫 대상

Y/X

,

Z/Y

등과 동형 관계에 있다.

이 외에도 Neeman은 4x4 형태의 2차원 가환 다이어그램을 사용하여 정팔면체 공리를 공식화했으며, Beilinson, Bernstein, Deligne은 이 공리의 일반화된 형태를 제시하기도 했다.

3. 성질

삼각 분할 범주에서, 모든 단사 사상은 분할 단사 사상이며 모든 전사 사상은 분할 전사 사상이다.^[6] 이는 삼각 분할 범주에서 사상의 "단사성"이나 "전사성"을 직접적으로 논하는 것이 큰 의미가 없음을 시사한다. 동형 사상이 아닌 모든 사상 $X\to Y$ 는 0이 아닌 "여핵" ''Z'' (즉, 완전 삼각 $X\to Y\to Z\to X[1]$ 이 존재)와 0이 아닌 "핵"인 ''Z''[−1]을 갖기 때문이다.^[6]

삼각 분할 범주에서 두 특별 삼각형 $X\to Y\to Z\to\Sigma X$ 및 $X'\to Y'\to Z'\to\Sigma X'$ 과 처음 두 꼭짓점 사이의 사상 $X\to X'$ , $Y\to Y'$ 이 주어졌을 때, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $Z\to Z'$ 이 존재한다.

: $\begin{matrix}X&\to&Y&\to&Z&\to&\Sigma X\\\downarrow&&\downarrow&&{\scriptstyle\exists}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\Sigma\\X'&\to&Y'&\to&Z'&\to&\Sigma X'\end{matrix}$

이 성질은 베르디에의 원래 논문^[28]에서 삼각 분할 범주의 4개의 공리 가운데 셋째(TR3)로 제시되었으나, 이후 존 피터 메이(Jon Peter May^영어)가 셋째 공리를 다른 공리들로부터 유도할 수 있음을 보였다.^[27]

삼각 분할 범주 ''D''에 대한 공리의 몇 가지 간단한 결과는 다음과 같다.

정확한 삼각 분할이 주어지면

::

X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} X[1]

:''D''에서, 연속된 두 개의 사상의 합성은 0이다. 즉,

vu = 0

,

wv = 0

,

u[1]w = 0

등이다.^[5]

사상 $u\colon X\to Y$ 가 주어지면, 공리 TR 1은 완전 삼각을 완성하는 원뿔 ''Z''의 존재를 보장한다. ''u''의 임의의 두 원뿔은 동형이지만, 그 동형 사상은 항상 유일하게 결정되지는 않는다.^[4]

3. 1. 코호몰로지

삼각 분할 범주 위에서는 코호몰로지의 개념을 정의할 수 있다.

삼각 분할 범주 ''D''에서 아벨 범주 ''A''로 가는 '''코호몰로지 함자''' ''F''는 모든 완전 삼각

:

X \to Y \to Z \to X[1]

에 대해 ''A''에서 수열

F(X)\to F(Y)\to F(Z)

가 완전한 함자이다. 완전 삼각은 양방향으로 무한 수열의 완전 삼각을 결정하므로,

:

\cdots\to Z[-1]\to X\to Y \to Z \to X[1] \to\cdots

코호몰로지 함자 ''F''는 실제로 아벨 범주 ''A''에서 긴 완전열을 제공한다.

:

\cdots\to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to\cdots.

핵심적인 예는 다음과 같다. 삼각 분할 범주 ''D''의 각 대상 ''B''에 대해, 함자

\operatorname{Hom}(B, \text{-})

와

\operatorname{Hom}(\text{-}, B)

는 아벨 군 범주를 값으로 하는 코호몰로지 함자이다.^[15] (정확히 말하면, 후자는 ''D''의 반대 범주에 대한 함자로 간주될 수 있는 반변 함자이다.) 즉, 완전 삼각

X\to Y\to Z\to X[1]

은 아벨 군의 두 개의 긴 완전열을 결정한다.

:

\cdots \to \operatorname{Hom}(B,X[i])\to \operatorname{Hom}(B,Y[i])\to \operatorname{Hom}(B,Z[i])\to \operatorname{Hom}(B,X[i+1])\to\cdots

그리고

:

\cdots\to\operatorname{Hom}(Z,B[i])\to\operatorname{Hom}(Y,B[i])\to\operatorname{Hom}(X,B[i])\to\operatorname{Hom}(Z,B[i+1])\to\cdots.

특정 삼각 분할 범주의 경우, 이러한 완전열은 층 코호몰로지, 군 코호몰로지 및 기타 수학 분야에서 중요한 완전열의 많은 부분을 생성한다.

또한

:

\operatorname{Ext}^i(B,X)=\operatorname{Hom}(B,X[i])

와 같은 표기를 정수 ''i''에 대해 사용하여 아벨 범주의 Ext 함자를 일반화할 수 있다. 이 표기법에서, 위의 첫 번째 완전열은 다음과 같이 작성된다.

:

\cdots \to \operatorname{Ext}^i(B,X) \to \operatorname{Ext}^i(B,Y) \to \operatorname{Ext}^i(B,Z) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(B,X)\to\cdots.\

아벨 범주 ''A''에 대해, 유도 범주 ''D''(''A'')에 대한 코호몰로지 함자의 또 다른 기본 예시는 복소수 ''X''를 ''A''의 대상

H^0(X)

로 보낸다. 즉, ''D''(''A'')에서 완전 삼각

X\to Y\to Z\to X[1]

은 ''A''에서 긴 완전열을 결정한다.

:

\cdots\to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^i(Z)\to H^{i+1}(X)\to\cdots,

H^0(X[i])\cong H^i(X)

를 사용하여.

4. 예시

삼각 분할 범주의 중요한 예시는 다음과 같다.

체 $K$ 위의 벡터 공간 범주 $\operatorname{Vect}_K$ 는 삼각 분할 범주의 구조를 가진다. 여기서 자기 동치는 항등 함자이고, 특별 삼각형은 완전열이다. 자세한 내용은 벡터 공간 섹션 참조.
아벨 범주 $\mathcal A$ 의 호모토피 범주 $\mathcal K(\mathcal A)$ 와 그 국소화인 유도 범주 $\operatorname D(\mathcal A)$ 는 모두 삼각 분할 범주를 이룬다.^[7]^[8] 이 범주들에서 특별 삼각형은 사상뿔과 관련된 삼각형과 동형이다. 자세한 내용은 아벨 범주의 유도 범주 섹션 참조.
대수적 위상수학에서 스펙트럼으로 구성된 안정 호모토피 범주 $h\cal{S}$ 역시 삼각 분할 범주이다.^[10] 여기서 자기 동치는 스펙트럼의 현수이고, 특별 삼각형은 코화이버 수열에 해당한다. 자세한 내용은 안정 호모토피 범주 섹션 참조.
유한군 $G$ 의 모듈러 표현 이론에서 안정 모듈 범주 $\operatorname{StMod}(kG)$ 는 삼각 분할 범주이다. 이 범주의 대상은 체 $k$ 위의 $G$ -표현이며, 사상은 사영 모듈이나 단사 모듈을 통해 인수분해되는 사상을 제외한 일반적인 사상이다. 이 구조는 $kG$ 대신 임의의 프로베니우스 대수에 대해서도 정의될 수 있다.

4. 1. 벡터 공간

체

K

위의 벡터 공간들의 범주

\operatorname{Vect}_K

는 간단한 삼각 분할 범주 구조를 이룬다. 이 범주에서 삼각 구조는 다음과 같이 정의된다.

자기 동치(Shift functor): 항등 함자 $\operatorname{Id}$ 이다. 즉, 모든 벡터 공간 $X$ 에 대해 $\Sigma(X) = X$ 이며, 이는 $X[1] = X$ 로 표기하기도 한다.
특별 삼각형(Distinguished triangle): $K$ -선형 사상으로 이루어진 완전열 $U \to V \to W \to U \to V$ 이다. 이 열은 벡터 공간 $U, V, W$ 에서 정확하다.

4. 2. 아벨 범주의 유도 범주

아벨 범주

\mathcal A

가 주어졌다고 가정하자. 이 아벨 범주 위의 사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피 클래스를 사상으로 하는 호모토피 범주

\mathcal K(\mathcal A)

는 삼각 분할 범주를 이룬다.^[7] 이 범주에서 시프트 연산

X[1]

은 복합체

X

를 한 단계 왼쪽으로 이동시키고 미분(경계 사상)에 -1을 곱하는 것으로 정의된다.

\mathcal K(\mathcal A)

에서의 특별 삼각형(정확한 삼각형)은 호몰로지 대수학에서의 사상뿔

\text{cone}(f)

을 이용하여 정의되는 삼각형

X \xrightarrow{f} Y \to \text{cone}(f) \to X[1]

과

\mathcal K(\mathcal A)

안에서 동형인 삼각형들이다.

아벨 범주

\mathcal A

의 호모토피 범주

\mathcal K(\mathcal A)

에서 준동형 사상(quasi-isomorphism)과 같은 약한 동치들을 국소화하여 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

를 얻는다.^[8] 이는 형식적으로 모든 준동형 사상에 대해 역 사상을 추가하는 과정과 같다. 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

의 대상은 호모토피 범주와 마찬가지로 사슬 복합체이다. 약한 동치의 국소화 과정이 삼각 분할 구조와 호환되기 때문에, 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

역시 삼각 분할 범주를 이룬다.

\operatorname D(\mathcal A)

에서의 특별 삼각형(정확한 삼각형)도 호모토피 범주에서와 유사하게 사상뿔을 이용하여 정의되는 삼각형

X \xrightarrow{f} Y \to \text{cone}(f) \to X[1]

과

\operatorname D(\mathcal A)

안에서 동형인 삼각형들이다.

유도 범주가 중요한 이유 중 하나는, 아벨 범주

\mathcal A

에 대한 유도 함자를 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

위의 함자로 간주할 수 있기 때문이다.^[9] 또한, 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

의 특정 부분 범주들도 삼각 분할 범주를 이룬다. 예를 들어, 코호몰로지 대상

H^i(X)

가 특정 조건을 만족하는 복합체

X

들로 구성된 부분 범주들이 있다. 즉, 코호몰로지가 특정 차수 이상에서 사라지는(

D^-(A)

), 특정 차수 이하에서 사라지는(

D^+(A)

), 또는 유한한 개수의 차수를 제외하고 사라지는(

D^{\text{b}}(A)

) 복합체들의 부분 범주들이 이에 해당한다.

4. 3. 안정 호모토피 범주

스펙트럼들로 구성된 안정 호모토피 범주

h\cal{S}

는 대수적 위상수학에서 중요한 삼각 분할 범주의 한 예이다.^[10] 이 범주의 대상(object)은 스펙트럼이다. 자기 동치(shift) 연산

X[1]

는 스펙트럼의 현수

\Sigma X

(또는 이와 동등한 딜루핑(delooping)

\Omega^{-1}X

)으로 정의된다. 안정 호모토피 범주

h\cal{S}

에서 정확한 삼각(distinguished triangle)은 코화이버 수열(cofiber sequence)에 해당한다.

불안정 호모토피 범주와 비교하여 안정 호모토피 범주가 갖는 중요한 특징 중 하나는 화이버 수열(fiber sequence)과 코화이버 수열이 사실상 동일하다는 점이다. 일반적으로 모든 삼각 분할 범주에서 정확한 삼각은 화이버 수열과 코화이버 수열 양쪽의 관점에서 해석될 수 있다.

5. 역사

삼각 분할 범주는 1960년대에 디터 푸페(Dieter Puppe)와 장루이 베르디에에 의해 독립적으로 도입되었다.^[1] 푸페는 1962년에 먼저 이 개념을 연구했으나, 그의 공리에는 팔면체 공리(TR 4)가 포함되지 않아 완전하지는 않았다.^[1] 푸페는 안정 호모토피 범주 연구 과정에서 삼각 분할 범주에 대한 아이디어를 얻었다.^[1]

장루이 베르디에는 1963년 박사 학위 논문에서 유도 범주를 정의하면서 삼각 분할 범주의 개념을 함께 제시하였다.^[28]^[1] 그는 알렉산더 그로텐디크의 아이디어를 발전시켜 아벨 범주의 유도 범주를 정의하였고, 이 유도 범주에서 나타나는 특별한 삼각형들의 성질들을 공리화하여 삼각 분할 범주라는 개념을 추출해냈다.^[28] 유도 범주는 초기부터 코히어런트 쌍대성과 베르디에 쌍대성 연구에 중요한 도구로 사용되었는데, 특히 베르디에 쌍대성은 기존의 푸앵카레 쌍대성을 특이 공간으로 확장한 개념이다.^[1]

6. 관련 개념

삼각 분할 범주를 더 깊이 이해하기 위해 알아두어야 할 몇 가지 중요한 관련 개념들이 있다. 이러한 개념들은 삼각 분할 범주의 구조와 성질을 파악하는 데 도움을 준다. 주요 개념으로는 삼각 범주 안에서 아벨 범주를 식별하는 t-구조, 특정 조건을 만족하며 닫혀 있는 부분 범주인 국소화 부분 범주와 두꺼운 부분 범주, 그리고 특별한 종류의 대상인 콤팩트 대상에 의해 생성되는 콤팩트 생성 삼각 범주 등이 있다. 각 개념에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

6. 1. t-구조

모든 아벨 범주 ''A''에 대해, 유도 범주 ''D''(''A'')는 삼각 범주이며, ''A''를 완전 부분 범주로 포함한다(차수 0에 집중된 복합체). 서로 다른 아벨 범주가 동등한 유도 범주를 가질 수 있으므로, 삼각 범주로서 ''D''(''A'')로부터 항상 ''A''를 재구성하는 것이 가능한 것은 아니다.

알렉산더 베일린슨, 조셉 번스타인 및 피에르 들리뉴는 삼각 범주 ''D''에 대한 '''t-구조'''의 개념을 통해 이러한 상황을 설명했다.^[22] ''D''에 대한 t-구조는 ''D'' 내부에 아벨 범주를 결정하며, ''D''에 대한 서로 다른 t-구조는 서로 다른 아벨 범주를 생성할 수 있다.

6. 2. 국소화 부분 범주와 두꺼운 부분 범주

''D''를 임의의 직접 합을 갖는 삼각 범주라고 하자. ''D''의 국소화 부분 범주는 임의의 직접 합에 대해 닫혀 있는 strictly full 삼각 부분 범주이다.^[23] 이 이름은 다음과 같은 사실에서 유래한다. 콤팩트하게 생성된 삼각 범주 ''D''의 국소화 부분 범주 ''S''가 객체 집합에 의해 생성되는 경우, 커널이 ''S''인 Bousfield localization 함자

L\colon D\to D

가 존재한다.^[24] 즉, ''D''의 모든 객체 ''X''에 대해, ''S''에 속하는 객체 ''Y''와 ''S''의 right orthogonal인

S^{\perp}

에 속하는 객체 ''LX''를 사용하여

Y\to X\to LX\to Y[1]

형태의 정확한 삼각을 만들 수 있다. 예를 들어, 이러한 구성은 대수기하학에서 스펙트럼의 국소화나, 공간의 층 복합체를 열린 부분 집합으로 제한하는 경우 등에서 나타난다.

이와 유사한 개념으로 두꺼운 부분 범주가 있으며, 이는 "작은" 삼각 범주와 더 관련이 깊다. 삼각 범주 ''C''의 두꺼운 부분 범주는 직접 합 성분에 대해 닫혀 있는 strictly full 삼각 부분 범주이다. 만약 ''C''가 멱등원-완비라면, 부분 범주가 멱등원-완비일 때만 두꺼운 부분 범주가 된다. 모든 국소화 부분 범주는 두꺼운 부분 범주이다.^[25] 따라서 ''S''가 삼각 범주 ''D''의 국소화 부분 범주라면, ''S''와 ''D''의 콤팩트 객체의 부분 범주

D^{\text{c}}

의 교집합은

D^{\text{c}}

의 두꺼운 부분 범주가 된다.

예를 들어, Devinatz, 홉킨스, Smith는 유한 스펙트럼의 삼각 범주에 속하는 모든 두꺼운 부분 범주를 모라바 K-이론을 사용하여 분류하였다.^[26] 그러나 전체 안정 호모토피 범주의 국소화 부분 범주는 아직 완전히 분류되지 않았다.

6. 3. 콤팩트 생성 삼각 범주

''D''가 임의의 집합(유한할 필요는 없음)에 의해 인덱싱된 직합이 ''D''에 존재하는 삼각 범주라고 하자. ''D''의 대상 ''X''는 함자

\text{Hom}_D(X,\text{-})

가 직합과 교환될 때 콤팩트하다고 한다. 명시적으로, 이것은 집합 ''S''에 의해 인덱싱된 ''D''의 대상들의 모든 집합

Y_i

에 대해 아벨 군의 자연 준동형사상

\oplus_{i\in S}\mathrm{Hom}_D(X,Y_i)\to\mathrm{Hom}_D(X,\oplus_{i\in S}Y_i)

가 동형사상임을 의미한다. 이것은 범주론에서 콤팩트 대상의 일반적인 개념과는 다른데, 일반적인 콤팩트 대상은 직합뿐만 아니라 모든 콜리미트와 교환되는 경우를 다룬다.

예를 들어, 안정 호모토피 범주

h\cal{S}

의 콤팩트 대상은 유한 스펙트럼이다.^[17] 링의 유도 범주 또는 스킴의 준연접 유도 범주에서 콤팩트 대상은 완전 복합체이다. 체 위의 매끄러운 사영 다양체 ''X''의 경우, 완전 복합체의 범주 Perf(''X'')는 가역층의 유계 유도 범주

D^{\text{b}}_{\text{coh}}(X)

로 볼 수도 있다.

삼각 범주 ''D''가 콤팩트하게 생성된다는 것은 다음 두 조건을 만족하는 경우이다.

''D''는 임의의 (유한할 필요는 없음) 직합을 가진다.
''D''에는 ''D''의 콤팩트 대상의 집합 ''S''가 있어서, ''D''의 모든 0이 아닌 대상 ''X''에 대해, 정수 ''n''에 대해 $Y[n]\to X$ 가 0이 아닌 사상이 되도록 하는 ''S''의 대상 ''Y''가 존재한다.

자연스럽게 발생하는 많은 "큰" 삼각 범주는 콤팩트하게 생성된다. 다음은 그 예시이다.

링 ''R'' 위의 모듈의 유도 범주는 하나의 대상, 즉 ''R''-모듈 ''R''에 의해 콤팩트하게 생성된다.
준콤팩트 사상 준분리 스킴의 준연접 유도 범주는 하나의 대상에 의해 콤팩트하게 생성된다.^[18]
안정 호모토피 범주는 하나의 대상, 즉 구 스펙트럼 $S^0$ 에 의해 콤팩트하게 생성된다.^[19]

암논 니만(Amnon Neeman)은 브라운 표현 가능성 정리를 모든 콤팩트하게 생성된 삼각 범주로 일반화했다.^[20] ''D''를 콤팩트하게 생성된 삼각 범주로 하고,

H\colon D^{\text{op}}\to\text{Ab}

를 공곱을 곱으로 보내는 코호몰로지 함자라고 하자. 그러면 ''H''는 표현 가능하다. 즉, 모든 대상 ''X''에 대해

H(X)\cong\text{Hom}(X,W)

를 만족하는 ''D''의 대상 ''W''가 존재한다는 의미이다. 다른 버전의 정리는 다음과 같다. ''D''를 콤팩트하게 생성된 삼각 범주로 하고, ''T''를 임의의 삼각 범주로 하자. 만약 정확 함자

F\colon D\to T

가 공곱을 공곱으로 보낸다면, ''F''는 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

브라운 표현 가능성 정리는 삼각 범주 사이의 다양한 함자를 정의하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 특히 니만은 이 정리를 사용하여 스킴의 사상 ''f''에 대한 예외적 역상 함자

f^!

의 구성을 단순화하고 일반화했는데, 이는 가역 이중성 이론에서 핵심적인 역할을 한다.^[21]

참조

_[1] 서적 Puppe 1962, 1967
_[1] 서적 Verdier 1963, 1967
_[2] 서적 Weibel 1994
_[3] 논문 The axioms for triangulated categories http://www.math.uchi[...]
_[4] 서적 Weibel 1994
_[5] 서적 Weibel 1994
_[6] 서적 Gelfand & Manin 2006
_[7] 서적 Kashiwara & Schapira 2006
_[8] 서적 Weibel 1994
_[9] 서적 Weibel 1994
_[10] 서적 Weibel 1994
_[11] 웹사이트 Pursuing Stacks https://thescrivener[...] 2020-09-17
_[12] 서적 Toën 2007
_[13] 서적 Rizzardo et al. 2019
_[14] 서적 Dugger & Shipley 2009
_[15] 서적 Weibel 1994
_[16] 서적 Weibel 1994
_[17] 서적 Neeman 2001
_[18] Citation Stacks Project, Tag 09IS http://stacks.math.c[...]
_[18] Citation Stacks Project, Tag 09M1 http://stacks.math.c[...]
_[19] 서적 Neeman 2001
_[20] 서적 Neeman 1996
_[21] 서적 Neeman 1996
_[22] 서적 Beilinson et al. 1982
_[23] 서적 Neeman 2001
_[24] 서적 Krause 2010
_[25] 서적 Neeman 2001
_[26] 서적 Ravenel 1992
_[27] 저널 The additivity of traces in triangulated categories http://www.math.uchi[...] 2001-10-15
_[28] 저널 Des catégories dérivées des catégories abéliennes Société Mathématique de France 1996

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