표준 형식

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1. 개요

표준 형식은 집합의 객체를 특정 방식으로 표현하여 동치 관계에 있는 객체들을 하나의 방식으로 나타내는 방법이다. 이는 동치류를 효율적으로 사용하고, 수학적 대상의 분류 및 표현에 활용된다. 표준 형식은 단순한 관례일 수도 있고, 조르당 표준형과 같은 심오한 정리일 수도 있다. 수학, 컴퓨터 과학, 보안, 콘텐츠 관리 등 다양한 분야에서 사용되며, 데이터의 중복을 줄이고 일관성을 유지하는 데 기여한다.

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표준 형식

2. 정의

동치 관계 ''R''이 주어진 집합 ''S''에서 표준 형식은 ''S''의 일부 원소를 "표준 형식"으로 지정하여, 모든 객체가 표준 형식의 정확히 하나의 객체와 동치되도록 하는 방식이다. 즉, ''S''의 표준 형식은 각 동치류를 한 번만 나타낸다. 따라서 두 객체가 동치인지 확인하려면 해당 표준 형식이 같은지 확인하면 된다.

표준 형식은 모든 동치류를 분류할 뿐만 아니라, 각 동치류에 대한 특별한 대표 원소를 제공한다는 점에서 분류 정리를 확장한 개념이다.

예를 들어, 모듈러 산술에서 잉여류의 표준 형식은 일반적으로 그 안에 있는 가장 작은 음이 아닌 정수로 간주된다. 이러한 대표 원소들을 결합하고 그 결과를 가장 작은 음이 아닌 잉여로 줄여서 연산을 수행한다.

표준 형식은 단순한 관례일 수도 있고, 조르당 표준형의 존재와 같이 심오한 정리의 결과일 수도 있다. 다항식을 쓸 때, ''x'' + 30 + ''x''²보다 ''x''² + ''x'' + 30처럼 내림차순으로 쓰는 것이 일반적이다.

2. 1. 표준화의 조건

표준화는 집합 ''S''의 모든 원소 ''s'', ''s''₁, ''s''₂에 대해 다음 조건을 만족하는 매핑 ''c'':''S''→''S''이다.

# ''c''(''s'') = ''c''(''c''(''s'')) ( 멱등성)

# ''s''₁ ''R'' ''s''₂일 때만 ''c''(''s''₁) = ''c''(''s''₂) (결정성)

# ''s'' ''R'' ''c''(''s'') (대표성)^[1] 세 번째 조건은 두 번째 조건을 첫 번째 조건에 적용하면 되므로 중복된다.^[1]

3. 역사

"표준 형식"이라는 용어는 고대 그리스어 단어 '카노니코스'(κανονικός|카노니코스^grc, "규칙에 따른, 규칙적인")에서 유래했으며, 이는 '카논'(κᾰνών|카논^grc, "막대, 규칙")에서 파생되었다.^[3] 수학에서의 사용은 1738년 로건의 편지에서 확인된다.^[3] 독일어 용어 '카노니셰 폼'(kanonische Form)은 1846년 아이젠슈타인의 논문에서 처음 사용되었으며,^[4] 같은 해 리첼로는 논문에서 "노르말폼"(Normalform)이라는 용어를 사용했다.^[5] 1851년 실베스터는 다음과 같이 썼다.^[6]

"저는 이제 [...] 대수 함수를 가장 간단하고 대칭적인 형태로, 또는 제 친구 M. 에르미트가 제안했듯이 '표준 형식'으로 축소하는 방법에 대해 설명하겠습니다."

같은 시기에 헤세("Normalform"),^[7] 에르미트("forme canonique"),^[8] 보르하르트("forme canonique"),^[9] 및 케일리("canonical form")에서도 사용 예시가 확인된다.^[10]

1865년, 과학, 문학 및 예술 사전은 표준 형식을 다음과 같이 정의한다.

"수학에서 일반성을 잃지 않고 같은 종류의 모든 함수를 축소할 수 있는 가장 간단하거나 가장 대칭적인 형식을 나타냅니다."

4. 다양한 분야에서의 표준 형식

수학, 선형대수학, 대수학, 해석 기하학, 적분 가능 시스템, 동역학계, 함수해석학, 수 이론, 집합론, 게임 이론, 증명 이론, 람다 대수, 그래프 이론, 컴퓨터 과학, 데이터베이스, 소프트웨어 보안, 콘텐츠 관리, 큰 수 표기법 등 다양한 분야에서 표준 형식이라는 용어가 사용된다.

수학: 동치 관계가 주어진 집합에서, 표준 형식은 모든 객체가 표준 형식의 단 하나의 객체와 동치가 되도록 일부 객체를 "표준 형식"으로 지정하는 것이다.
선형대수학: 행렬의 표준 형식 (조르당 표준형, 스미스 표준형, 프로베니우스 표준형 등)과 벡터 공간의 표준 형식이 있다.
대수학: 동치 관계가 주어진 집합에서 표준 형식을 정의한다.
해석 기하학: 직선 및 원의 방정식을 표준 형식으로 표현한다.
적분 가능 시스템 및 동역학계: 코탄젠트 다발에 표준 1차 형식을 부여하여 심플렉틱 다양체 구조를 만들고, 정규 형식 (동역학계) 개념을 사용한다.
함수해석학: 힐베르트 공간과 단위원을 갖는 가환 C*-대수의 표준 형식을 정의한다.
수 이론: 양의 정수의 표준 표현 (소인수 분해)과 단순 연분수를 표준 형식으로 사용한다.
집합론: 칸토어 정규형 (서수)을 사용한다.
게임 이론: 정규형 게임을 사용한다.
증명 이론: 정규형 (자연 연역)을 사용한다.
람다 대수: 베타 정규형을 사용한다.
그래프 이론: 그래프 표준화 문제를 통해 그래프 동형 문제를 해결한다.
컴퓨터 과학: 데이터 정규화는 데이터를 표준 형식으로 축소하는 것을 의미한다.
데이터베이스: 데이터베이스 정규화를 통해 데이터 중복성과 종속성을 최소화한다.
보안: 입력 유효성 검사 전에 입력을 정규화하여 코드 삽입 취약점을 완화한다.
콘텐츠 관리: 단일 진실 소스 (SSOT) 개념을 적용하여 데이터 중복을 줄이고 일관성을 유지한다.
큰 수 표기법: 과학적 표기법과 같이 큰 수를 간결하게 표현하는 데 사용한다.

4. 1. 수학

집합 ''S''에 동치 관계 ''R''이 주어졌을 때, 표준 형식은 ''S''의 일부 객체를 "표준 형식"으로 지정하여, 고려 중인 모든 객체가 표준 형식의 정확히 하나의 객체와 동치하도록 한다. 즉, ''S''의 표준 형식은 동치류를 한 번만 나타낸다. 두 객체가 동치인지 확인하려면 해당 표준 형식의 동일성을 검사하면 된다.^[1]

표준 형식은 모든 클래스를 분류할 뿐만 아니라 클래스의 각 객체에 대한 특별한 (표준) 대표를 제공한다는 점에서 분류 정리 그 이상이다.^[1]

형식적으로, 집합 ''S''에 대한 동치 관계 ''R''과 관련된 표준화는 모든 ''s'', ''s''₁, ''s''₂ ∈ ''S''에 대해 다음을 만족하는 매핑 ''c'':''S''→''S''이다.^[1]

''c''(''s'') = ''c''(''c''(''s'')) (멱등성)
''s''₁ ''R'' ''s''₂인 경우에만 ''c''(''s''₁) = ''c''(''s''₂) (결정성)
''s'' ''R'' ''c''(''s'') (대표성)

세 번째 속성은 두 번째 속성을 첫 번째 속성에 적용하면 되기 때문에 중복된다.^[1]

실질적으로 표준 형식을 인식할 수 있는 것이 유리하다. 또한, 주어진 객체 ''s''에서 ''S''의 표준 형식 ''s''*으로 어떻게 이동할 것인가 하는 실용적인 알고리즘 문제가 있다. 표준 형식은 일반적으로 동치류를 보다 효과적으로 사용하기 위해 사용된다. 예를 들어, 모듈러 산술에서 잉여류의 표준 형식은 일반적으로 그 안에 있는 가장 작은 음이 아닌 정수로 간주된다. 클래스에 대한 연산은 이러한 대표들을 결합한 다음 그 결과를 가장 작은 음이 아닌 잉여로 줄여 수행한다.^[1]

고유성 요구 사항은 때때로 완화되어 항의 재정렬(항에 자연스러운 순서가 없는 경우)을 허용하는 등, 일부 더 세밀한 동치 관계까지 고유할 수 있다.^[1]

표준 형식은 단순한 관례일 수도 있고 심오한 정리일 수도 있다. 예를 들어, 다항식은 일반적으로 내림차순으로 쓰여진다. ''x'' + 30 + ''x''²와 ''x''² + ''x'' + 30은 동일한 다항식을 나타내지만, 후자가 더 일반적인 표준 형식이다. 반면, 행렬에 대한 조르당 표준형의 존재는 심오한 정리이다.^[1]

4. 1. 1. 선형대수학

선형대수학에서 표준 형식은 다음과 같다.

행렬의 표준 형식
조르당 표준형: 대수적으로 닫힌 체 상의 행렬은 어떤 가역 행렬 ''P''에 대해 $A=P^{-1} B P$ 와 같은 형태로 표현될 수 있으며, 이때 B는 조르당 표준형이다.
스미스 표준형: 주 아이디얼 정역 상의 행렬은 어떤 가역 행렬 ''P''와 ''Q''에 대해 $A=P^{-1} B Q$ 와 같은 형태로 표현될 수 있으며, 이때 B는 스미스 표준형이다.
프로베니우스 표준형: 체 상의 행렬은 어떤 가역 행렬 ''P''에 대해 $A=P^{-1} B P$ 와 같은 형태로 표현될 수 있으며, 이때 B는 프로베니우스 표준형이다.
벡터 공간의 표준 형식: 체 ''K'' 상의 유한 차원 벡터 공간은 $K^n$ (n은 음이 아닌 정수)으로 표현 가능하다.

대상	A는 B와 다음의 경우에 동치이다:	정규 형식	비고
정규 행렬 (복소수 체)	$A=U^*B U$ (어떤 유니타리 행렬 U에 대해)	대각 행렬 (재정렬까지)	이는 스펙트럼 정리이다.
복소수 체 상의 행렬	$A=U B V^*$ (어떤 유니타리 행렬 U와 V에 대해)	양의 실수 성분을 갖는 대각 행렬 (내림차순으로)	특이값 분해
대수적으로 닫힌 체 상의 행렬	$A=P^{-1} B P$ (어떤 가역 행렬 P에 대해)	조르당 분해 (블록 재정렬까지)
대수적으로 닫힌 체 상의 행렬	$A=P^{-1} B P$ (어떤 가역 행렬 P에 대해)	바이어 정규형 (블록 재정렬까지)
체 상의 행렬	$A=P^{-1} B P$ (어떤 가역 행렬 P에 대해)	프로베니우스 정규형
주 아이디얼 정역 상의 행렬	$A=P^{-1} B Q$ (어떤 가역 행렬 P와 Q에 대해)	스미스 정규형	이 동치는 가역 기본 행 연산과 열 연산을 허용하는 것과 동일하다.
정수 체 상의 행렬	$A=UB$ (어떤 단일 모듈 행렬 U에 대해)	에르미트 정규형
정수 모듈로 n 상의 행렬		하웰 정규형
체 K 상의 유한 차원 벡터 공간	A와 B는 벡터 공간으로서 동형이다.	$K^n$ , n은 음이 아닌 정수

4. 1. 2. 대수학

동치 관계 ''R''이 주어진 집합 ''S''에서, 표준 형식은 ''S''의 일부 객체를 "표준 형식"으로 지정하여, 모든 객체가 표준 형식의 단 하나의 객체와 동치가 되도록 한다. 즉, ''S''의 표준 형식은 동치류를 한 번만 나타낸다. 두 객체가 동치인지 확인하려면 해당 표준 형식의 동일성을 검사하면 된다.^[1]

표준 형식은 모든 클래스를 분류할 뿐만 아니라 클래스의 각 객체에 대한 특별한 (표준) 대표를 제공한다는 점에서 분류 정리 그 이상을 제공한다.^[1]

형식적으로, 집합 ''S''에 대한 동치 관계 ''R''과 관련된 표준화는 모든 ''s'', ''s''₁, ''s''₂ ∈ ''S''에 대해 다음을 만족하는 매핑 ''c'':''S''→''S''이다.^[1]

''c''(''s'') = ''c''(''c''(''s'')) (멱등성)
''s''₁ ''R'' ''s''₂인 경우에만 ''c''(''s''₁) = ''c''(''s''₂) (결정성)
''s'' ''R'' ''c''(''s'') (대표성)

속성 3은 중복되는데, 2를 1에 적용하면 되기 때문이다.^[1]

실질적으로 표준 형식을 인식할 수 있는 것이 유리하다. 또한 주어진 객체 ''s''에서 ''S''의 표준 형식 ''s''*으로 어떻게 이동할 것인가 하는 실용적인 알고리즘 문제가 있다. 표준 형식은 일반적으로 동치류를 보다 효과적으로 사용하기 위해 사용된다. 예를 들어, 모듈러 산술에서 잉여류의 표준 형식은 일반적으로 그 안에 있는 가장 작은 음이 아닌 정수로 간주된다. 클래스에 대한 연산은 이러한 대표들을 결합한 다음 그 결과를 가장 작은 음이 아닌 잉여로 줄여 수행한다.^[1]

고유성 요구 사항은 때때로 완화되어 항의 재정렬(항에 자연스러운 순서가 없는 경우)을 허용하는 등, 일부 더 세밀한 동치 관계까지 고유할 수 있다.^[1]

표준 형식은 단순한 관례일 수도 있고 심오한 정리일 수도 있다. 예를 들어, 다항식은 일반적으로 내림차순으로 쓰여진다. 두 형식 모두 동일한 다항식을 정의하지만, ''x'' + 30 + ''x''²보다 ''x''² + ''x'' + 30을 쓰는 것이 더 일반적이다. 반대로, 행렬에 대한 조르당 표준형의 존재는 심오한 정리이다.^[1]

4. 1. 3. 기하학

해석 기하학에서 표준 형식은 다음과 같다.

직선의 방정식: ''Ax'' + ''By'' = ''C'' (단, ''A''² + ''B''² = 1 이고 ''C'' ≥ 0)
원의 방정식: (x - h)² + (y - k)² = r²

직선의 방정식은 선형 방정식으로 점-기울기 형식 및 기울기-절편 형식으로 쓸 수도 있다.

볼록 다면체는 다음과 같은 정규 형식으로 표현될 수 있다.^[12]

모든 면이 평평하다.
모든 모서리는 단위 구에 접한다.
다면체의 무게 중심은 원점에 있다.

4. 1. 4. 적분 가능 시스템 및 동역학계

모든 미분 가능한 다양체는 코탄젠트 다발을 갖는다. 이 다발은 항상 표준 1차 형식이라고 하는 특정 미분 형식을 부여받을 수 있다. 이 형식은 코탄젠트 다발에 심플렉틱 다양체의 구조를 부여하고, 다양체의 벡터장을 오일러-라그랑주 방정식 또는 해밀턴 역학을 통해 적분할 수 있게 한다. 이러한 적분 가능한 미분 방정식 시스템을 적분 가능 시스템이라고 한다.

동역학계 연구는 적분 가능 시스템 연구와 겹치며, 여기에는 정규 형식 (동역학계)이라는 개념이 있다.

4. 1. 5. 함수해석학

힐베르트 공간의 표준 형식은

\ell^2(I)

수열 공간이다. (여기서 지수 집합 ''I''는 동일한 기수를 가진 다른 지수 집합으로 바꿀 수 있다.) 모든 무한 차원 힐베르트 공간은 등거리 동형이기 때문에 이러한 표준 형식을 갖는다.

단위원을 갖는 가환 C*-대수의 표준 형식은 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수들의 대수

C(X)

이다. (여기서 기저 공간은 위상 동형까지 고려한다.) 이는 C*-대수가 동형이면 표준 형식을 갖는다는 것을 의미한다.^[1]

대상	A는 B와 다음의 경우에 동등하다:	표준 형식
힐베르트 공간	만약 A와 B가 모두 무한 차원의 힐베르트 공간이라면, A와 B는 등거리 동형이다.	$\ell^2(I)$ 수열 공간 (지수 집합 I를 동일한 기수의 다른 지수 집합과 교환하는 것까지)
단위원을 갖는 가환 C*-대수	A와 B는 C*-대수로서 동형이다.	콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수들의 대수 $C(X)$ , 기저 공간의 위상 동형까지.

4. 1. 6. 수 이론

표준 형식은 양의 정수의 표준 표현과 같이 소인수 분해하는 것을 의미한다.^[1] 숫자를 나타내는 연분수의 표준 형식은 단순 연분수이다.^[1]

4. 1. 7. 집합론

칸토어 정규형 (서수)

4. 1. 8. 게임 이론

정규형 게임

4. 1. 9. 증명 이론

정규형 (자연 연역)

4. 1. 10. 람다 대수

람다 계산법은 추상적인 재작성 시스템의 특별한 경우이다. 람다 항은 더 이상 베타 축약이 불가능하면 베타 정규형에 있다고 한다. 예를 들어, 무형 람다 계산법에서

(\lambda x.(x x) \; \lambda x.(x x))

항은 정규형을 갖지 않는다. 유형 람다 계산법에서는 모든 잘 구성된 항을 정규형으로 다시 쓸 수 있다.

4. 1. 11. 그래프 이론

수학의 한 분야인 그래프 이론에서 그래프 표준화는 주어진 그래프 ''G''의 표준 형태를 찾는 문제이다. 표준 형태는 ''G''와 그래프 동형인 라벨링된 그래프 Canon(''G'')이며, ''G''와 동형인 모든 그래프는 ''G''와 동일한 표준 형태를 갖는다. 따라서 그래프 표준화 문제의 해결책을 통해 두 그래프 ''G''와 ''H''가 동형인지 테스트하기 위해 표준 형태 Canon(''G'')과 Canon(''H'')을 계산하고 이 두 표준 형태가 동일한지 테스트하는 그래프 동형 문제를 해결할 수도 있다.

4. 2. 컴퓨터 과학

컴퓨팅에서 데이터를 임의의 종류의 표준 형식으로 축소하는 것을 일반적으로 ''데이터 정규화''라고 부른다.

신호 처리(오디오 및 이미징 포함) 또는 머신 러닝과 관련된 데이터는 제한된 값 범위를 제공하기 위해 정규화될 수 있다.

4. 2. 1. 데이터베이스

데이터베이스 정규화는 관계형 데이터베이스의 필드 및 테이블을 구성하여 중복성과 종속성을 최소화하는 과정이다.^[13]

4. 2. 2. 보안

소프트웨어 보안 분야에서 흔한 취약점은 확인되지 않은 악성 입력(''코드 삽입'' 참조)이다.^[13] 이 문제에 대한 완화책은 적절한 입력 유효성 검사이다.^[13] 입력 유효성 검사를 수행하기 전에 일반적으로 인코딩(예: HTML 인코딩)을 제거하고 입력 데이터를 단일 공통 문자 집합으로 줄여서 입력을 정규화한다.^[13]

4. 2. 3. 콘텐츠 관리

콘텐츠 관리에서 단일 진실 소스(SSOT) 개념은 데이터베이스 정규화와 소프트웨어 개발에서와 마찬가지로 적용된다.^[13] 이는 데이터 중복을 줄이고 일관성을 유지하기 위한 것이다. 유능한 콘텐츠 관리 시스템은 트랜스클루전과 같은 논리적인 방식으로 이를 달성할 수 있게 한다.

4. 3. 큰 수 표기법

표준 형식은 많은 수학자들과 과학자들이 매우 큰 수를 더 간결하고 이해하기 쉬운 방식으로 표기하기 위해 사용하며, 가장 대표적인 예시로 과학적 표기법이 있다.^[11]

참조

_[1] 웹사이트 Jordan normal form on MathWorks https://www.mathwork[...]
_[2] 문서 The term 'canonization' is sometimes incorrectly used for this.
_[3] 서적 Letter from James Logan to William Jones, Correspondence of Scientific Men of the Seventeenth Century https://books.google[...] University Press 1841
_[4] 웹사이트 Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 https://gdz.sub.uni-[...] de Gruyter
_[5] 서적 Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 https://gdz.sub.uni-[...] de Gruyter
_[6] 웹사이트 The Cambridge and Dublin mathematical journal 1851 https://gdz.sub.uni-[...] Macmillan
_[7] 웹사이트 Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene https://archive.org/[...] Teubner 1865
_[8] 웹사이트 The Cambridge and Dublin mathematical journal 1854 https://books.google[...] 1854
_[9] 웹사이트 Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1854 https://gdz.sub.uni-[...] de Gruyter
_[10] 서적 The Collected Mathematical Papers https://books.google[...] University 1889
_[11] 웹사이트 Big Numbers and Scientific Notation https://serc.carleto[...] 2019-11-20
_[12] 간행물 Lectures on Polytopes Springer-Verlag
_[13] 웹사이트 Description of the database normalization basics https://support.micr[...] 2019-11-20

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