68

2. 수학

68은 합성수이며, (''p''², q) 형태의 제곱 소수로, q는 더 큰 소수이다. 이 형태의 여덟 번째 수이자 (2².q) 형태의 여섯 번째 수이다. 페린 수이다.^[1]

68은 두 개의 합성수 (68, 58, 32, 31, 1, 0)로 이루어진 약수 수열에서 58의 진약수의 합을 가진다. 31-약수 트리에서 소수에 도달한다.

68의 인수분해가 2² × (2²² + 1)이므로, 정68각형은 자 및 컴퍼스로 작도할 수 있다.^[4]

• = 0.01… (밑줄 부분은 순환절로 길이는 16)
• 역수가 순환소수가 되는 수 중 순환절이 16이 되는 4번째 수이다. 앞의 수는 51, 다음 수는 85이다.
• 68 = 2² + 8²
• 서로 다른 2개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 20번째 수이다.
• ''n'' = 2일 때 2^''n'' + 8^''n''의 값이다.
• 68 = 4² + 4² + 6²
• 3개의 제곱수의 합으로 1가지 방법으로 나타낼 수 있는 32번째 수이다.
• 68 = 2² × 17
• ''n'' = 2일 때 17 × 2^''n''의 값이다.
• 2개의 서로 다른 소인수의 곱으로 ''p''² × ''q'' 형태로 나타낼 수 있는 10번째 수이다.
• 68 = 4³ + 4
• ''n'' = 4일 때 ''n''³ + ''n''의 값이다.
• 7제곱한 수의 각 자리 숫자의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수이다.
• 68⁷ = 6722988818432 → 6 + 7 + 2 + 2 + 9 + 8 + 8 + 8 + 1 + 8 + 4 + 3 + 2 = 68
• ''n'' = 7일 때 ''n''제곱한 수의 각 자리 숫자의 합이 원래의 수가 되는 최대의 수이다.
• ''n'' = 68일 때 ''n''과 ''n'' + 1을 나란히 놓은 수를 만들면 소수가 된다. ''n''과 ''n'' + 1을 나란히 놓은 수가 소수가 되는 10번째 수이다.

2. 1. 약수 관련 성질

• 합성수로, 그 약수는 1, 2, 4, 17, 34, 68이다. 진약수의 합은 58이므로 68은 부족수다.
• 약수의 합은 126이다.
• 약수의 합이 68이 되는 유일한 수는 67이다.
• 짝수 중 7번째 논토티엔트(nontotient)이다.
• 4의 배수 중 최소의 논토티엔트이다.
• 68은 정확히 두 가지 다른 방법으로 두 소수의 합으로 표현될 수 있는 가장 큰 수이다.: 68 = 7 + 61 = 31 + 37.^[2] 확인된 모든 더 큰 짝수는 세 개 이상의 소수 쌍의 합으로 표현된다; 68이 이 속성을 가진 가장 큰 수라는 추측은 골드바흐 추측과 밀접하게 관련되어 있으며, 골드바흐 추측과 마찬가지로 아직 증명되지 않았다.^[3]
• 최소의 완전수 6과 2번째 완전수 28의 약수의 합이 68이다. σ(6) + σ(28) = 12 + 56 = 68 (단, σ는 약수 함수)
• 서로 다른 2개의 소수의 합으로 2가지 방법으로 나타낼 수 있다.
  68 = 7 + 61 = 31 + 37

2. 2. 자릿수 관련 성질

• 68의 각 자리 숫자의 합은 14이다. (6 + 8 = 14)^[15] 짝수라는 조건을 붙이면 각 자리 숫자의 합이 14가 되는 최소의 수이다.
• 68의 각 자리 숫자의 제곱의 합은 100이다. (6² + 8² = 100)^[15] 각 자리 숫자의 제곱의 합이 100이 되는 최소의 수이며, 제곱수가 되는 18번째 수이다.
• 68의 각 자리 숫자의 세제곱의 합은 728이다. (6³ + 8³ = 728) 각 자리 숫자의 세제곱의 합이 728이 되는 최소의 수이다.