강체

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1. 개요
2. 강체의 정역학
3. 강체의 운동학
4. 강체의 동역학
5. 강체의 관성 모멘트
- 5.1. 관성 모멘트 계산
6. 기하학적 특징
7. 구성 공간
8. 추가 정보
참조

1. 개요

강체는 형태와 크기가 변하지 않는 가상의 물체이다. 강체의 정역학은 힘의 작용점과 작용선을 고려하며, 힘의 평형과 모멘트의 평형 조건을 통해 분석한다. 강체의 운동은 위치와 자세의 시간적 변화로 표현되며, 선형 운동과 각 운동으로 나뉜다. 강체의 운동학은 속도와 각속도를 사용하여 기술되며, 운동학적 방정식을 통해 분석한다. 강체의 동역학은 질량 중심을 기준으로 운동량, 각운동량, 운동 에너지를 고려하며, 뉴턴의 운동 법칙과 오일러의 운동 방정식을 통해 분석한다. 강체의 관성 모멘트는 회전 운동에 대한 관성을 나타내는 물리량으로, 강체의 질량 분포와 회전축에 따라 결정된다. 강체는 기하학적 특징에 따라 카이랄성과 아카이랄성으로 구분될 수 있으며, 구성 공간은 회전군 SO(3) 또는 유클리드 군 E+(3)으로 주어진다.

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강체
개요
강체에 작용하는 토크의 다이어그램
정의	변형되지 않는 물체
설명
가정	이상화된 모델이며, 실제로는 존재하지 않음
특징	외부 힘이나 모멘트 하에서 크기나 모양이 변하지 않음 물체를 구성하는 입자 사이의 거리가 항상 일정하게 유지됨
활용	역학적 시스템 분석 및 설계 로봇 공학 구조 공학
물리적 특성
병진 운동	뉴턴의 운동 법칙을 따름
회전 운동	오일러의 운동 법칙을 따름
자유도	3차원 공간에서 6개의 자유도를 가짐 (병진 3개, 회전 3개)
관련 개념
강성	물체가 변형에 저항하는 정도
유연체	외부 힘에 의해 변형될 수 있는 물체
질점	크기를 무시할 수 있는 물체
기타
주의 사항	실제 물체는 완벽한 강체가 아니며, 어느 정도의 변형이 발생할 수 있음

2. 강체의 정역학

물체에 작용하는 힘을 표현하려면 크기, 방향, 작용점의 세 가지 요소가 필요하다.^[10] 질점의 경우 작용점을 고려할 필요가 없지만, 크기를 갖는 물체의 경우 작용점을 고려해야 한다. 하지만, 강체의 경우 작용점을 힘의 방향에 평행한 직선(힘의 '''작용선''')에 따라 옮겨도 힘이 미치는 효과는 변하지 않는다.^[10]

힘은 벡터량으로 표현되며, 강체의 경우 작용선의 정보가 필요하다. 작용선의 정보는 힘의 모멘트로 표현된다. 강체의 평형을 고려할 때는 힘의 평형 조건과 함께 힘의 모멘트의 평형 조건이 필요하다.

강체의 부분 i에 작용하는 힘 '''F'''_i는 외력 '''f'''_i과 부분 j에서 작용하는 내력 '''f'''_i,j의 합으로 나타낼 수 있다.

:'''F'''_i = '''f'''_i + ∑_j '''f'''_i,j

강체에 작용하는 모든 힘의 합력은 다음과 같다.

:'''F''' = ∑_i '''F'''_i = ∑_i '''f'''_i + ∑_i,j '''f'''_i,j

내력의 합력은 강체의 부분 i와 부분 j에 대한 합이지만, 첨자를 바꾸어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:∑_i,j '''f'''_i,j = 1/2 ∑_i,j ('''f'''_i,j + '''f'''_j,i)

이는 작용 반작용 법칙에 따라 각각의 i,j 쌍에 대해 '''f'''_i,j + '''f'''_j,i = 0이므로, 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

강체에 작용하는 모든 힘의 모멘트 합력은 다음과 같다.

:'''M''' = ∑_i '''r'''_i × '''F'''_i = ∑_i '''r'''_i × '''f'''_i + ∑_i,j '''r'''_i × '''f'''_i,j

내력 부분의 첨자를 바꾸고, 작용 반작용 법칙을 사용하면 다음과 같다.

:∑_i,j '''r'''_i × '''f'''_i,j = 1/2 ∑_i,j ('''r'''_i × '''f'''_i,j + '''r'''_j × '''f'''_j,i) = 1/2 ∑_i,j ('''r'''_i - '''r'''_j) × '''f'''_i,j

내력의 작용선이 i,j의 상대 위치에 평행한 경우에는 벡터곱의 성질에 따라 0이 되므로, 역시 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

3차원 공간에서 강체의 정적인 자유도는 6이다.^[11]

강체의 자유도가 6인 것은 강체에 고정된 점의 위치가 3차원 공간에서 3개의 자유도로 지정되고,첫 번째 점과의 거리가 변하지 않는다는 강체의 조건으로부터 두번째 점은 2개의 자유도로 지정, 직선상에 있지 않은 세 번째 점을 생각하면, 첫 번째와 두 번째 점과의 거리가 변하지 않는다는 강체의 조건으로부터 1개의 자유도로 지정되기 때문이다.^[11] 네 번째 점 이후는 세 점과의 거리가 고정되어 자유도가 증가하지 않는다.^[11]

이는 첫 번째와 두 번째 점을 잇는 축의 방향이 2개의 자유도로 지정되고, 이 축 주위의 회전이 1개의 자유도로 지정된다고 바꿔 말할 수도 있다.^[11] 즉, 3개의 자유도로 강체의 위치가 지정되고, 나머지 3개의 자유도로 강체의 자세가 지정된다. 일반적으로 강체의 위치는 중심 좌표로 지정되고, 강체의 자세는 중심 주위의 회전각으로 지정되는 경우가 많다.^[11]

2. 1. 힘과 힘의 모멘트

강체의 부분 i에 작용하는 힘 '''F'''_i는 외력 '''f'''_i과 부분 j에서 작용하는 내력 '''f'''_i,j의 합으로 나타낼 수 있다.

:'''F'''_i = '''f'''_i + ∑_j '''f'''_i,j

강체에 작용하는 모든 힘의 합력은 다음과 같다.

:'''F''' = ∑_i '''F'''_i = ∑_i '''f'''_i + ∑_i,j '''f'''_i,j

내력의 합력은 강체의 부분 i와 부분 j에 대한 합이지만, 첨자를 바꾸어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:∑_i,j '''f'''_i,j = 1/2 ∑_i,j ('''f'''_i,j + '''f'''_j,i)

이는 작용 반작용 법칙에 따라 각각의 i,j 쌍에 대해 '''f'''_i,j + '''f'''_j,i = 0이므로, 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

강체에 작용하는 모든 힘의 모멘트 합력은 다음과 같다.

:'''M''' = ∑_i '''r'''_i × '''F'''_i = ∑_i '''r'''_i × '''f'''_i + ∑_i,j '''r'''_i × '''f'''_i,j

내력 부분의 첨자를 바꾸고, 작용 반작용 법칙을 사용하면 다음과 같다.

:∑_i,j '''r'''_i × '''f'''_i,j = 1/2 ∑_i,j ('''r'''_i × '''f'''_i,j + '''r'''_j × '''f'''_j,i) = 1/2 ∑_i,j ('''r'''_i - '''r'''_j) × '''f'''_i,j

내력의 작용선이 i,j의 상대 위치에 평행한 경우에는 벡터곱의 성질에 따라 0이 되므로, 역시 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

2. 2. 강체에 작용하는 힘의 분해

강체의 부분 i에 작용하는 힘 F_i는 외력 f_i과 부분 j에서 작용하는 내력 f_i,j의 합으로 나타낼 수 있다.

:'''F'''_i = '''f'''_i + Σ_j'''f'''_i,j

강체에 작용하는 모든 힘의 합력은

:'''F''' = Σ_i'''F'''_i = Σ_i'''f'''_i + Σ_i,j'''f'''_i,j

로 나타낼 수 있다. 내력의 합력은 강체의 부분 i와 부분 j에 대한 합이지만, 첨자를 바꾸어

:Σ_i,j'''f'''_i,j = 1/2 Σ_i,j ('''f'''_i,j + '''f'''_j,i)

로 변형할 수 있다. 이는 작용 반작용 법칙에 따라 각각의 i,j 쌍에 대해 '''f'''_i,j + '''f'''_j,i = 0이므로, 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

강체에 작용하는 모든 힘의 모멘트 합력은

:'''M''' = Σ_i'''r'''_i × '''F'''_i = Σ_i'''r'''_i × '''f'''_i + Σ_i,j'''r'''_i × '''f'''_i,j

로 나타낼 수 있다. 내력 부분의 첨자를 바꾸고, 작용 반작용 법칙을 사용하면

:Σ_i,j'''r'''_i × '''f'''_i,j = 1/2 Σ_i,j ('''r'''_i × '''f'''_i,j + '''r'''_j × '''f'''_j,i) = 1/2 Σ_i,j ('''r'''_i-'''r'''_j) × '''f'''_i,j

로 변형할 수 있다. 내력의 작용선이 i,j의 상대 위치에 평행한 경우에는 벡터곱의 성질에 따라 0이 되므로, 역시 외력에 대해서만 합을 구하면 된다.

2. 3. 정적 자유도

3차원 공간에서 강체의 정적인 자유도는 6이다.^[11]

강체의 자유도가 6인 것은 강체에 고정된 점의 위치가 3차원 공간에서 3개의 자유도로 지정되고,첫 번째 점과의 거리가 변하지 않는다는 강체의 조건으로부터 두번째 점은 2개의 자유도로 지정, 직선상에 있지 않은 세 번째 점을 생각하면, 첫 번째와 두 번째 점과의 거리가 변하지 않는다는 강체의 조건으로부터 1개의 자유도로 지정되기 때문이다.^[11] 네 번째 점 이후는 세 점과의 거리가 고정되어 자유도가 증가하지 않는다.^[11]

이는 첫 번째와 두 번째 점을 잇는 축의 방향이 2개의 자유도로 지정되고, 이 축 주위의 회전이 1개의 자유도로 지정된다고 바꿔 말할 수도 있다.^[11] 즉, 3개의 자유도로 강체의 위치가 지정되고, 나머지 3개의 자유도로 강체의 자세가 지정된다. 일반적으로 강체의 위치는 중심 좌표로 지정되고, 강체의 자세는 중심 주위의 회전각으로 지정되는 경우가 많다.^[11]

3. 강체의 운동학

강체의 운동은 정역학적인 6자유도의 시간적 발전으로 표현된다. 6자유도의 시간미분은 질량중심의 속도와 질량중심 주위의 각속도이다.

강체에 고정된 대표점 P에 대한 다른 고정점 ''i''의 상대 위치와 상대 속도는

: =\boldsymbol{r}_i -\boldsymbol{r}_\text{P}}}

: =\frac{d\mathfrak{r}_{i,\text{P}}}{dt} =\boldsymbol{v}_i -\boldsymbol{v}_\text{P}}}

로 정의된다. 거리가 변하지 않는다는 강체의 조건은 각속도를 이용하여

: =\boldsymbol{\omega}\times \mathfrak{r}_{i,\text{P}}}}

로 표현된다.

== 선형 운동과 각 운동 ==

강체의 위치는 강체를 구성하는 모든 입자들의 위치이다. 강체의 성질, 즉 모든 입자가 서로에 대해 같은 거리를 유지한다는 성질을 이용하여, 적어도 세 개의 비공선 입자의 위치를 설명하는 것으로 충분하다. 이를 통해 선택된 세 입자에 대한 다른 모든 입자들의 시간 불변 위치를 알고 있다면, 다른 모든 입자의 위치를 재구성할 수 있다.^[3] 그러나 일반적으로는 다른 방법이 사용된다. 전체 강체의 위치는 다음과 같이 나타낸다.

강체의 ''선형 위치'' 또는 ''위치''는 기준점으로 특별히 선택된 강체의 한 입자의 위치(일반적으로 강체의 질량 중심 또는 중심과 일치함)이다.
강체의 ''각 위치''(방향 또는 자세라고도 함)로 나타낸다.

따라서 강체의 위치는 각각 ''선형''과 ''각''의 두 가지 구성 요소를 갖는다.^[3] 강체의 운동을 설명하는 다른 운동학적 및 역학적 양, 예를 들어 선형 및 각 속도, 가속도, 운동량, 충격량 및 운동 에너지에도 마찬가지이다.^[4]

선형 위치는 임의의 기준점(선택한 좌표계의 원점)에 꼬리를 두고 강체의 관심 있는 임의의 점(일반적으로 질량 중심 또는 중심과 일치함)에 끝을 둔 벡터로 나타낼 수 있다.

방향을 수치적으로 설명하는 방법에는 세 개의 오일러 각, 사원수 또는 방향 코사인 행렬(또는 회전 행렬이라고도 함) 집합을 포함한 여러 가지 방법이 있다. 이러한 모든 방법은 실제로 강체에 대해 고정된 방향을 갖는 기저 집합의 방향을 정의한다. 예를 들어, 비행기에 대해 고정된 방향을 갖는 기저 집합은 세 개의 직교 단위 벡터 ''b''₁, ''b''₂, ''b''₃의 집합으로 정의할 수 있으며, 여기서 ''b''₁은 날개의 현선과 평행하고 앞쪽으로 향하고, ''b''₂는 대칭면에 수직이고 오른쪽으로 향하며, ''b''₃는 외적 로 주어진다.

일반적으로 강체가 움직일 때 위치와 방향 모두 시간에 따라 변한다. 운동학적 의미에서 이러한 변화는 각각 ''병진 운동'' 및 ''회전 운동''이라고 한다.

== 선형 속도와 각속도 ==

속도(선속도라고도 함)와 각속도는 기준틀에 대해 측정된다.

강체의 선속도는 벡터량으로, 선형 위치의 시간에 따른 변화율과 같다. 따라서, 그것은 강체에 고정된 기준점의 속도이다. 순수한 병진 운동(회전이 없는 운동) 동안에는 강체의 모든 점이 동일한 속도로 움직인다. 그러나 운동에 회전이 포함되는 경우, 강체의 두 점의 순간 속도는 일반적으로 같지 않다. 회전하는 강체의 두 점은 순간 회전축에 평행한 축에 위치하는 경우에만 동일한 순간 속도를 갖는다.

각속도는 강체의 방향이 변하는 각속도와 순간적으로 회전하는 축(이 순간 축의 존재는 오일러의 회전 정리에 의해 보장됨)을 설명하는 벡터량이다. 강체의 모든 점은 항상 동일한 각속도를 경험한다. 순수한 회전 운동 동안에는 순간 회전축에 있는 점을 제외하고는 강체의 모든 점의 위치가 변한다. 방향과 각속도의 관계는 위치와 속도의 관계와 직접적으로 유사하지 않다. 각속도는 방향의 시간에 따른 변화율이 아니며, 각속도를 얻기 위해 미분할 수 있는 방향 벡터라는 개념이 없기 때문이다.

== 운동학적 방정식 ==

강체 B의 기준좌표계 N에서의 각속도는 강체 D의 N에서의 각속도와 B에 대한 D의 각속도의 합과 같다.^[5]

:

이 경우, 강체와 기준좌표계는 구별할 수 없으며 완전히 상호 교환 가능하다.

세 점 P, Q, R에 대해, P에서 R까지의 위치 벡터는 P에서 Q까지의 위치 벡터와 Q에서 R까지의 위치 벡터의 합과 같다.

:

위치 벡터의 크기는 공간상의 거리이다. 여기서 세 벡터의 좌표는 모두 같은 방향을 갖는 좌표계로 표현되어야 한다.

기준좌표계 N에서의 점 P의 속도는 O에서 P까지의 위치 벡터에 대한 N에서의 시간 미분으로 정의된다.^[6]

:{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}^\mathrm{OP}) }}

여기서 O는 기준좌표계 N에 고정된 임의의 점이며, d/dt 연산자 왼쪽의 N은 미분이 기준좌표계 N에서 이루어짐을 나타낸다. O가 N에 고정되어 있는 한, 결과는 O의 선택과 무관하다.

참고좌표계 N에서 점 P의 가속도는 그 속도의 N에 대한 시간 미분으로 정의된다.^[6]

:{\mathrm{d}t} ({}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P}).}}

강체 B에 고정된 두 점 P와 Q에 대해, 기준좌표계 N에서 B의 각속도가 }}일 때, N에서 Q의 속도는 N에서 P의 속도의 함수로 표현될 수 있다.^[7]

:

여기서 는 P에서 Q로 향하는 위치 벡터이며,^[7] 좌표는 N(또는 N과 같은 방향을 가진 좌표계)에서 표현된다.

이 관계는 P와 Q 사이의 거리의 크기가 시간에 따라 불변이라는 사실로부터 유도될 수 있다.

강체에 고정된 두 점의 속도에 대한 식을 시간에 대해 미분하면(미분) 참조), 강체 B에 고정된 점 Q의 기준좌표계 N에서의 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

여기서 }}는 기준좌표계 N에서 B의 각가속도이다.^[7]

앞서 언급되었듯이, 고정된 기준좌표계 N에서 강체 B 상의 모든 점은 동일한 각속도 를 가지며, 따라서 동일한 각가속도 를 갖는다.

강체 B가 기준좌표계 N에서 움직이는 동안 강체 B 위의 점 R이 움직인다면, N에서 본 R의 속도는 다음과 같다.

:

여기서 Q는 B에 고정된 점으로, 관심 있는 순간에 R과 일시적으로 일치한다.^[8] 이 관계는 종종 '''강체 상의 두 점의 속도'''에 대한 관계와 결합된다.

강체 B가 기준좌표계 N에서 운동하는 동안 강체 B상의 점 R의 기준좌표계 N에서의 가속도는 다음과 같이 주어진다.

:

여기서 Q는 관심있는 순간에 R과 일치하는 B에 고정된 점이다.^[8] 이 식은 종종 '''강체 상의 두 점의 가속도'''와 결합하여 사용된다.

3. 1. 선형 운동과 각 운동

강체의 위치는 강체를 구성하는 모든 입자들의 위치이다. 강체의 성질, 즉 모든 입자가 서로에 대해 같은 거리를 유지한다는 성질을 이용하여, 적어도 세 개의 비공선 입자의 위치를 설명하는 것으로 충분하다. 이를 통해 선택된 세 입자에 대한 다른 모든 입자들의 시간 불변 위치를 알고 있다면, 다른 모든 입자의 위치를 재구성할 수 있다.^[3] 그러나 일반적으로는 다른 방법이 사용된다. 전체 강체의 위치는 다음과 같이 나타낸다.

강체의 ''선형 위치'' 또는 ''위치''는 기준점으로 특별히 선택된 강체의 한 입자의 위치(일반적으로 강체의 질량 중심 또는 중심과 일치함)이다.
강체의 ''각 위치''(방향 또는 자세라고도 함)로 나타낸다.

따라서 강체의 위치는 각각 ''선형''과 ''각''의 두 가지 구성 요소를 갖는다.^[3] 강체의 운동을 설명하는 다른 운동학적 및 역학적 양, 예를 들어 선형 및 각 속도, 가속도, 운동량, 충격량 및 운동 에너지에도 마찬가지이다.^[4]

선형 위치는 임의의 기준점(선택한 좌표계의 원점)에 꼬리를 두고 강체의 관심 있는 임의의 점(일반적으로 질량 중심 또는 중심과 일치함)에 끝을 둔 벡터로 나타낼 수 있다.

방향을 수치적으로 설명하는 방법에는 세 개의 오일러 각, 사원수 또는 방향 코사인 행렬(또는 회전 행렬이라고도 함) 집합을 포함한 여러 가지 방법이 있다. 이러한 모든 방법은 실제로 강체에 대해 고정된 방향을 갖는 기저 집합의 방향을 정의한다. 예를 들어, 비행기에 대해 고정된 방향을 갖는 기저 집합은 세 개의 직교 단위 벡터 ''b''₁, ''b''₂, ''b''₃의 집합으로 정의할 수 있으며, 여기서 ''b''₁은 날개의 현선과 평행하고 앞쪽으로 향하고, ''b''₂는 대칭면에 수직이고 오른쪽으로 향하며, ''b''₃는 외적

b_3 = b_1 \times b_2

로 주어진다.

일반적으로 강체가 움직일 때 위치와 방향 모두 시간에 따라 변한다. 운동학적 의미에서 이러한 변화는 각각 ''병진 운동'' 및 ''회전 운동''이라고 한다.

3. 2. 선형 속도와 각속도

속도(선속도라고도 함)와 각속도는 기준틀에 대해 측정된다.

강체의 선속도는 벡터량으로, 선형 위치의 시간에 따른 변화율과 같다. 따라서, 그것은 강체에 고정된 기준점의 속도이다. 순수한 병진 운동(회전이 없는 운동) 동안에는 강체의 모든 점이 동일한 속도로 움직인다. 그러나 운동에 회전이 포함되는 경우, 강체의 두 점의 순간 속도는 일반적으로 같지 않다. 회전하는 강체의 두 점은 순간 회전축에 평행한 축에 위치하는 경우에만 동일한 순간 속도를 갖는다.

각속도는 강체의 방향이 변하는 각속도와 순간적으로 회전하는 축(이 순간 축의 존재는 오일러의 회전 정리에 의해 보장됨)을 설명하는 벡터량이다. 강체의 모든 점은 항상 동일한 각속도를 경험한다. 순수한 회전 운동 동안에는 순간 회전축에 있는 점을 제외하고는 강체의 모든 점의 위치가 변한다. 방향과 각속도의 관계는 위치와 속도의 관계와 직접적으로 유사하지 않다. 각속도는 방향의 시간에 따른 변화율이 아니며, 각속도를 얻기 위해 미분할 수 있는 방향 벡터라는 개념이 없기 때문이다.

3. 3. 운동학적 방정식

강체 B의 기준좌표계 N에서의 각속도는 강체 D의 N에서의 각속도와 B에 대한 D의 각속도의 합과 같다.^[5]

:

{}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} = {}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{D} + {}^\mathrm{D}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}.

이 경우, 강체와 기준좌표계는 구별할 수 없으며 완전히 상호 교환 가능하다.

세 점 P, Q, R에 대해, P에서 R까지의 위치 벡터는 P에서 Q까지의 위치 벡터와 Q에서 R까지의 위치 벡터의 합과 같다.

:

\mathbf{r}^\mathrm{PR} = \mathbf{r}^\mathrm{PQ} + \mathbf{r}^\mathrm{QR}.

위치 벡터의 크기는 공간상의 거리이다. 여기서 세 벡터의 좌표는 모두 같은 방향을 갖는 좌표계로 표현되어야 한다.

기준좌표계 N에서의 점 P의 속도는 O에서 P까지의 위치 벡터에 대한 N에서의 시간 미분으로 정의된다.^[6]

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P} = \frac{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}^\mathrm{OP})

여기서 O는 기준좌표계 N에 고정된 임의의 점이며, d/dt 연산자 왼쪽의 N은 미분이 기준좌표계 N에서 이루어짐을 나타낸다. O가 N에 고정되어 있는 한, 결과는 O의 선택과 무관하다.

참고좌표계 N에서 점 P의 가속도는 그 속도의 N에 대한 시간 미분으로 정의된다.^[6]

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} = \frac{^\mathrm{N}\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ({}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P}).

강체 B에 고정된 두 점 P와 Q에 대해, 기준좌표계 N에서 B의 각속도가

\scriptstyle{^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}}

일 때, N에서 Q의 속도는 N에서 P의 속도의 함수로 표현될 수 있다.^[7]

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\!\mathbf{v}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ}.

여기서

\mathbf{r}^\mathrm{PQ}

는 P에서 Q로 향하는 위치 벡터이며,^[7] 좌표는 N(또는 N과 같은 방향을 가진 좌표계)에서 표현된다.

이 관계는 P와 Q 사이의 거리의 크기가 시간에 따라 불변이라는 사실로부터 유도될 수 있다.

강체에 고정된 두 점의 속도에 대한 식을 시간에 대해 미분하면(미분) 참조), 강체 B에 고정된 점 Q의 기준좌표계 N에서의 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \left( {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ} \right) + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ}

여기서

\scriptstyle

는 기준좌표계 N에서 B의 각가속도이다.^[7]

앞서 언급되었듯이, 고정된 기준좌표계 N에서 강체 B 상의 모든 점은 동일한 각속도

{}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}

를 가지며, 따라서 동일한 각가속도

{}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B}

를 갖는다.

강체 B가 기준좌표계 N에서 움직이는 동안 강체 B 위의 점 R이 움직인다면, N에서 본 R의 속도는 다음과 같다.

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R}

여기서 Q는 B에 고정된 점으로, 관심 있는 순간에 R과 일시적으로 일치한다.^[8] 이 관계는 종종 '''강체 상의 두 점의 속도'''에 대한 관계와 결합된다.

강체 B가 기준좌표계 N에서 운동하는 동안 강체 B상의 점 R의 기준좌표계 N에서의 가속도는 다음과 같이 주어진다.

:

{}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{a}^\mathrm{R} + 2 {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R}

여기서 Q는 관심있는 순간에 R과 일치하는 B에 고정된 점이다.^[8] 이 식은 종종 '''강체 상의 두 점의 가속도'''와 결합하여 사용된다.

4. 강체의 동역학

강체에 고정된 임의의 점을 기준점(좌표계 ''L''의 원점)으로 사용하여 강체의 병진 운동을 설명할 수 있다(선형 위치, 속도 및 가속도 벡터는 선택에 따라 달라짐).

그러나 응용 분야에 따라 편리한 선택은 다음과 같다.

전체 시스템의 질량 중심은 일반적으로 공간에서 자유롭게 움직이는 강체의 가장 단순한 운동을 나타낸다.
병진 운동이 0이거나 단순화되는 점, 예를 들어 축이나 힌지, 구면 관절의 중심 등.

질량 중심을 기준점으로 사용하는 경우:

(선형) 운동량은 회전 운동과 독립적이다. 언제든지 강체의 총 질량에 병진 속도를 곱한 값과 같다.
질량 중심에 대한 각운동량은 병진 운동이 없는 경우와 동일하다. 언제든지 관성 텐서에 각속도를 곱한 값과 같다. 각속도가 강체의 주축과 일치하는 좌표계를 기준으로 표현될 때, 각운동량의 각 성분은 관성 모멘트(관성 텐서의 주값)에 해당 각속도 성분을 곱한 값이다. 토크는 관성 텐서에 각가속도를 곱한 값이다.
외력이 없는 경우 가능한 운동은 일정한 속도로의 병진 운동, 고정된 주축을 중심으로 하는 등속 회전, 그리고 토크가 없는 세차 운동이다.
강체에 작용하는 총 외력은 항상 총 질량에 병진 가속도를 곱한 값과 같다(즉, 뉴턴의 제2법칙은 총 외력 토크가 0이 아니거나 강체가 회전하는 경우에도 병진 운동에 대해 성립한다).
총 운동 에너지는 단순히 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합이다.

강체의 전체 운동량의 시간 변화는 미분의 선형성으로부터 강체에 작용하는 모든 힘의 합력과 같고,

:

\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =M\frac{d^2\boldsymbol{r}_\text{g}}{dt^2} =\boldsymbol{F}

로 표현된다. 여기에서 중심의 궤도 각운동량의 시간 변화는

:

\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} =\boldsymbol{r}_\text{g} \times \frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\boldsymbol{r}_\text{g} \times \boldsymbol{F}

이 되고, 전체 질량이 중심에 집중된 질점으로 간주할 수 있다.

강체의 전체 각운동량의 시간 변화는 역시 미분의 선형성으로부터 강체에 작용하는 모든 힘의 모멘트의 합력과 같고,

:

\frac{d\boldsymbol{J}}{dt} =\boldsymbol{M}

로 표현된다. 중심 주위의 회전 각운동량의 시간 변화는

:

\frac{d\boldsymbol{S}}{dt} =\frac{d\boldsymbol{J}}{dt} -\frac{d\boldsymbol{L}}{dt}=\boldsymbol{M} -\boldsymbol{r}_\text{g}\times \boldsymbol{F}=\sum_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times \boldsymbol{F}_i

로 표현된다.

== 운동량과 각운동량 ==

강체의 운동량은 가법적인 물리량이므로, 강체의 전체 운동량은 부분의 운동량의 합으로 표현된다.

:

\boldsymbol{P} =\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i =M\frac{d\boldsymbol{r}_\text{g}}{dt}

이는 강체의 전체 질량 이 중심에 집중된 질점의 운동량과 같다.

각운동량도 가법적인 물리량이므로, 강체의 전체 각운동량도 부분의 각운동량의 합으로 표현된다.

:

\boldsymbol{J} =\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{v}_i

강체의 중심 운동의 궤도 각운동량을 전체 질량이 중심에 집중된 질점의 궤도 각운동량과 같다고 정의하면

:

\boldsymbol{L} =\boldsymbol{r}_\text{g}\times \boldsymbol{P} =\sum_i m_i \boldsymbol{r}_\text{g} \times \boldsymbol{v}_i

이다. 전체 각운동량에서 중심 운동의 궤도 각운동량을 뺀 각운동량이 강체의 중심 주위 회전에 의한 각운동량이며

:

\boldsymbol{S} =\boldsymbol{J} -\boldsymbol{L} =\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times \boldsymbol{v}_i=\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times \mathfrak{u}_{i,\text{g}}

가 된다. 각속도를 이용하면

:

\boldsymbol{S} =\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathfrak{r}_{i,\text{g}})=\sum_i m_i \{ |\mathfrak{r}_{i,\text{g}}|^2 \boldsymbol{\omega} -\mathfrak{r}_{i,\text{g}} (\mathfrak{r}_{i,\text{g}}\cdot \boldsymbol{\omega}) \}=I\boldsymbol{\omega}

으로 표현된다.

== 병진 운동과 회전 운동 ==

강체의 운동은 대표점의 운동인 병진 운동과 대표점을 중심으로 한 회전 운동으로 나눌 수 있다.

병진 운동은 뉴턴의 운동 방정식으로 기술된다. 강체의 질량을 ''M'', 대표점의 위치를

\vec{s}

, 각 부분에 작용하는 외력을

\vec{F}_i

, 강체에 작용하는 전체 외력을

\vec{F}

로 하면, 대표점에 대한 뉴턴의 운동 방정식(''병진 운동 방정식'')은 다음과 같다.

:

M \frac{d^2\vec s}{dt^2} = \vec{F} \,\,\,\,\, ( \vec{F} = \sum \vec F_i )

예를 들어, 던져진 막대의 운동은 무게중심의 궤적이 포물선을 그린다.

회전 운동은 오일러의 운동 방정식으로 기술된다. 대표점을 중심으로 한 회전의 각운동량을

\vec{L}

, 외력에 의한 힘의 모멘트의 총합을

\vec{N}

로 하면, 강체의 회전운동의 오일러의 운동 방정식(''회전 운동 방정식'')은 다음과 같다.

:

\frac{d\vec L}{dt} = \vec{N} \,\,\,\,\, ( \vec{N} = \sum(\vec{r}_i\times\vec{F}_i) )

예를 들어, 던져진 막대의 운동은 무게중심의 포물선 운동과 무게중심을 중심으로 한 회전으로 나눌 수 있다.

강체의 운동은 위의 두 운동 방정식을 만족한다. 자전하면서 공전하는 경우 등, 병진운동이 회전운동인 경우도 있다. 그 경우에는 병진운동에도 회전운동 전용 식이 더 적합하다.

강체에 작용하는 힘의 합력이 0이고 힘이 평형을 이루고 있을 때, 병진과 회전의 두 운동 방정식의 우변이 0이 되고, 강체는 등속 회전하면서 등속 직선 운동을 한다.(각각 정지 상태를 포함한다.)

다음 표는 병진운동과 회전운동에서 다루는 운동량을 비교하고, 각 물리량에 대응관계를 나타낸다.

	병진운동	SI 단위	회전운동	SI 단위	법칙	병진운동	회전운동
물리량	위치	m	각도	rad=m/m	관성의 법칙	물체는 힘을 받지 않는 한 등속 직선 운동 또는 정지를 유지한다.	물체는 토크를 받지 않는 한 등속 원운동 또는 정지를 유지한다.
	속도	m/s	각속도	rad/s	관성의 법칙	물체는 힘을 받지 않는 한 등속 직선 운동 또는 정지를 유지한다.	물체는 토크를 받지 않는 한 등속 원운동 또는 정지를 유지한다.
	가속도	m/s²	각가속도	rad/s²	운동 법칙	물체가 힘을 받으면 질량(관성 질량)에 비례하는 가속도가 발생한다. $\vec{F} = m \vec{a}$	물체가 토크를 받으면 관성 모멘트에 비례하는 각가속도가 발생한다. $\vec{N} = I \dot{\omega}$
	질량(관성 질량)	kg	관성 모멘트	kg·m²		물체가 힘을 받으면 질량(관성 질량)에 비례하는 가속도가 발생한다. $\vec{F} = m \vec{a}$
	힘	N =kg·m/s²	토크	N·m =kg·m²rad/s²		운동량의 시간적 변화율이 힘에 해당한다. $\tfrac{d\vec p}{dt} = \vec{F}$	각운동량의 시간적 변화율이 토크에 해당한다. $\tfrac{d\vec L}{dt} = \vec{N}$
	운동량	kg·m/s	각운동량	kg·m²/s =kg·m²rad/s	벡터량에 관한 보존 법칙	운동량 보존 법칙 $\frac{d\vec P}{dt} = \sum \vec{F}_i$	각운동량 보존 법칙 $\frac{d\vec L}{dt} = \sum \vec{N}_i$
	병진운동 에너지	J =kg·m²/s²	회전 운동 에너지	J =kg·m²rad²/s²
	일	J=N·m	일	J=N·m·rad
	일률	W=J/s =N·m/s	일률	W=J/s =N·m·rad/s

== 강체의 운동 에너지 ==

강체의 운동 에너지는 병진 운동과 회전 운동의 각 운동 에너지(병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지)의 합이다.

병진 운동 에너지는 $\frac{1}{2} M \left( \frac{d\vec s}{dt} \right) ^2$ 이다.

회전 운동 에너지 ''K''는 각 입자의 운동 에너지의 합이므로, 각 입자의 질량을 ''m_i'', 기준점에 대한 속도를 ''v_i''라고 하면,

: $K = \frac{1}{2} \sum m_iv_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_ir_i^2\omega^2 = \frac{1}{2} I \omega^2$

이다. 이때, ''ω''는 각속도, ''I''는 관성 모멘트이다.

4. 1. 운동량과 각운동량

강체의 운동량은 가법적인 물리량이므로, 강체의 전체 운동량은 부분의 운동량의 합으로 표현된다.

:

\boldsymbol{P} =\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i =M\frac{d\boldsymbol{r}_\text{g}}{dt}

이는 강체의 전체 질량 이 중심에 집중된 질점의 운동량과 같다.

각운동량도 가법적인 물리량이므로, 강체의 전체 각운동량도 부분의 각운동량의 합으로 표현된다.

:

\boldsymbol{J} =\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{v}_i

강체의 중심 운동의 궤도 각운동량을 전체 질량이 중심에 집중된 질점의 궤도 각운동량과 같다고 정의하면

:

\boldsymbol{L} =\boldsymbol{r}_\text{g}\times \boldsymbol{P} =\sum_i m_i \boldsymbol{r}_\text{g} \times \boldsymbol{v}_i

이다. 전체 각운동량에서 중심 운동의 궤도 각운동량을 뺀 각운동량이 강체의 중심 주위 회전에 의한 각운동량이며

:

\boldsymbol{S} =\boldsymbol{J} -\boldsymbol{L} =\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times \boldsymbol{v}_i=\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times \mathfrak{u}_{i,\text{g}}

가 된다. 각속도를 이용하면

:

\boldsymbol{S} =\sum_i m_i \mathfrak{r}_{i,\text{g}} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathfrak{r}_{i,\text{g}})=\sum_i m_i \{ |\mathfrak{r}_{i,\text{g}}|^2 \boldsymbol{\omega} -\mathfrak{r}_{i,\text{g}} (\mathfrak{r}_{i,\text{g}}\cdot \boldsymbol{\omega}) \}=I\boldsymbol{\omega}

으로 표현된다.

4. 2. 병진 운동과 회전 운동

강체의 운동은 대표점의 운동인 병진 운동과 대표점을 중심으로 한 회전 운동으로 나눌 수 있다.

병진 운동은 뉴턴의 운동 방정식으로 기술된다. 강체의 질량을 ''M'', 대표점의 위치를

\vec{s}

, 각 부분에 작용하는 외력을

\vec{F}_i

, 강체에 작용하는 전체 외력을

\vec{F}

로 하면, 대표점에 대한 뉴턴의 운동 방정식(''병진 운동 방정식'')은 다음과 같다.

:

M \frac{d^2\vec s}{dt^2} = \vec{F} \,\,\,\,\, ( \vec{F} = \sum \vec F_i )

예를 들어, 던져진 막대의 운동은 무게중심의 궤적이 포물선을 그린다.

회전 운동은 오일러의 운동 방정식으로 기술된다. 대표점을 중심으로 한 회전의 각운동량을

\vec{L}

, 외력에 의한 힘의 모멘트의 총합을

\vec{N}

로 하면, 강체의 회전운동의 오일러의 운동 방정식(''회전 운동 방정식'')은 다음과 같다.

:

\frac{d\vec L}{dt} = \vec{N} \,\,\,\,\, ( \vec{N} = \sum(\vec{r}_i\times\vec{F}_i) )

예를 들어, 던져진 막대의 운동은 무게중심의 포물선 운동과 무게중심을 중심으로 한 회전으로 나눌 수 있다.

강체의 운동은 위의 두 운동 방정식을 만족한다. 자전하면서 공전하는 경우 등, 병진운동이 회전운동인 경우도 있다. 그 경우에는 병진운동에도 회전운동 전용 식이 더 적합하다.

강체에 작용하는 힘의 합력이 0이고 힘이 평형을 이루고 있을 때, 병진과 회전의 두 운동 방정식의 우변이 0이 되고, 강체는 등속 회전하면서 등속 직선 운동을 한다.(각각 정지 상태를 포함한다.)

다음 표는 병진운동과 회전운동에서 다루는 운동량을 비교하고, 각 물리량에 대응관계를 나타낸다.

	병진운동	SI 단위	회전운동	SI 단위	법칙	병진운동	회전운동
물리량	위치	m	각도	rad=m/m	관성의 법칙	물체는 힘을 받지 않는 한 등속 직선 운동 또는 정지를 유지한다.	물체는 토크를 받지 않는 한 등속 원운동 또는 정지를 유지한다.
	속도	m/s	각속도	rad/s	관성의 법칙	물체는 힘을 받지 않는 한 등속 직선 운동 또는 정지를 유지한다.	물체는 토크를 받지 않는 한 등속 원운동 또는 정지를 유지한다.
	가속도	m/s²	각가속도	rad/s²	운동 법칙	물체가 힘을 받으면 질량(관성 질량)에 비례하는 가속도가 발생한다. $\vec{F} = m \vec{a}$	물체가 토크를 받으면 관성 모멘트에 비례하는 각가속도가 발생한다. $\vec{N} = I \dot{\omega}$
	질량(관성 질량)	kg	관성 모멘트	kg·m²		물체가 힘을 받으면 질량(관성 질량)에 비례하는 가속도가 발생한다. $\vec{F} = m \vec{a}$
	힘	N =kg·m/s²	토크	N·m =kg·m²rad/s²		운동량의 시간적 변화율이 힘에 해당한다. $\tfrac{d\vec p}{dt} = \vec{F}$	각운동량의 시간적 변화율이 토크에 해당한다. $\tfrac{d\vec L}{dt} = \vec{N}$
	운동량	kg·m/s	각운동량	kg·m²/s =kg·m²rad/s	벡터량에 관한 보존 법칙	운동량 보존 법칙 $\frac{d\vec P}{dt} = \sum \vec{F}_i$	각운동량 보존 법칙 $\frac{d\vec L}{dt} = \sum \vec{N}_i$
	병진운동 에너지	J =kg·m²/s²	회전 운동 에너지	J =kg·m²rad²/s²
	일	J=N·m	일	J=N·m·rad
	일률	W=J/s =N·m/s	일률	W=J/s =N·m·rad/s

4. 3. 강체의 운동 에너지

강체의 운동 에너지는 병진 운동과 회전 운동의 각 운동 에너지(병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지)의 합이다.

병진 운동 에너지는

\frac{1}{2} M \left( \frac{d\vec s}{dt} \right) ^2

이다.

회전 운동 에너지 ''K''는 각 입자의 운동 에너지의 합이므로, 각 입자의 질량을 ''m_i'', 기준점에 대한 속도를 ''v_i''라고 하면,

K = \frac{1}{2} \sum m_iv_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_ir_i^2\omega^2 = \frac{1}{2} I \omega^2

이다. 이때, ''ω''는 각속도, ''I''는 관성 모멘트이다.

5. 강체의 관성 모멘트

관성 모멘트는 회전 운동에 대한 관성을 나타내는 물리량이다. 관성 모멘트는 강체의 질량 분포와 회전축에 따라 달라진다.

강체의 병진 운동은 고려하지 않고, 질량 중심을 지나는 축 주위의 회전 운동만을 기술한다. 축과 z축을 일치시키고, 축을 따라 운동은 없다고 가정한다. 이 경우 중요한 물리량이 '''관성 모멘트''' I이다. (일반적인 관성 모멘트에 대해) 관성 모멘트는,

: $I=\sum_{k} m_kr_k^2$

으로 정의되며, 강체를 구성하는 각 입자의 질량과 축으로부터의 거리의 제곱의 곱이며, 변형되지 않는 강체에 대해 고유하게 정해지는 상수이다.

일반적으로 강체에서는 입자가 연속적으로 분포되어 있으므로(연속체), 관성 모멘트는 다음과 같은 적분으로 계산된다.

: $I\longrightarrow \int_{V} r^2\, dm=\int_{V} r^2\rho (r)\, dV$

${}=\iiint_{V} r^2\rho (r)\, dx\,dy\,dz$

여기서, 적분 영역 V는 강체의 부피를 나타낸다.

관성 모멘트는 '''관성 계수'''라고도 불리며, 다음과 같은 중요성을 가진다.

각운동량의 크기 L과 각속도 ω는 비례하지만, I는 이때의 비례 상수이다. 또한, 토크의 크기 N은 각가속도 $\dot{\omega}$ 와 비례하며, 이때의 비례 상수도 I이다.

강체의 질량이

m_k

인 k번째 질점이 축으로부터 수직 방향에 좌표

r_k

에 있고, 외력에 의해 질점이 받는 운동량을

p_k

라 하고, 각속도를 ω라고 하면, L은

:

L=\sum_{k} r_kp_k=\sum_{k} r_km_kv_k=\sum_{k} m_kr_k^2\omega

따라서,

:

L=I\omega\cdots (1)

이 된다.

또한,

\tfrac{dL}{dt}=N

에서,

:

N=I\frac{d\omega}{dt}

그런데, I는 강체의 전체 질량을 M이라고 하면,

:

I=M\,k^2

로 나타낼 수도 있다. 이때, k는 '''강체의 회전 반지름'''이라고 한다. 이 식의 의미는, 강체의 관성 모멘트는, 생각하고 있는 축으로부터 k만큼 떨어진 위치에 전체 질량 M이 집중되어 있는 회전체로 구한 양으로 간주할 수 있다는 것이다.

여기서 관성 모멘트 자체의 역학적 의미에 대해 설명한다. (1)에서, 토크 N을 일정하게 했을 때, 각가속도는 관성 모멘트 I에 반비례한다는 것을 알 수 있다. 관성 모멘트를 크게 했을 때, 즉 강체의 질량이나 회전 반지름을 크게 했을 때, 각가속도는 작아진다. 즉, 회전의 속도를 바꾸는 데 시간이 걸리게 되며, 이것은 예를 들어 그 강체가 회전하기 어렵지만, 일단 회전하기 시작하면 멈추기 어렵다는 것을 나타낸다. 관성 모멘트 I는 회전의 관성의 크기를 나타내는 양, 즉 회전의(혹은 회전의 속도를 바꾸는) 어려움의 척도를 나타낸다. 어떤 회전의 안정성, 영속성의 척도라고도 할 수 있다. 이러한 원리를 이용하여, 안정된 회전을 유지하기 위해, 큰 플라이휠이 발전기나 각종 엔진에 장착되어 있다.

5. 1. 관성 모멘트 계산

관성 모멘트는 강체의 질량과 형태에 따라 달라지는데, 여기서는 그 계산 방법을 제시한다.

평행축 정리 또는 슈타이너 정리(Steiner's theorem)는 질량이 M인 강체의 질량중심을 지나는 임의의 축에 대한 관성 모멘트

I_G

가 알려져 있을 때, 이 축과 평행한 축에 대한 관성 모멘트

I

는 두 축 사이의 거리를

h

라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다는 정리이다.

:

I=I_G+M\,h^2

직교축의 정리(直交軸の定理)는, 얇은 평판인 강체의 경우, 이 평면에서 서로 직교하는 두 축에 대한 관성 모멘트의 합은 두 축의 교점에서 평면에 수직인 축에 대한 관성 모멘트와 같다는 정리이다.

여기서, 평면 내의 두 축을 x축, y축이라고 하면, 이들 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다. 여기서 ρ는 면밀도이며, 적분 영역은 강체 상의 전체 평면을 취한다.

:

I_x=\int \rho y^2\, dx\,dy,\quad I_y=\int \rho x^2\, dx\,dy\,\,\,\,\,(dm=\rho \,dx\,dy)

이 합은,

:

I_x+I_y=\int \rho (x^2+y^2)\, dx\,dy=\int \rho r^2\, dx\,dy

이 되는데, r은 z축으로부터의 거리이며, 바로 z축에 대한 관성 모멘트가 된다.

:

I_x+I_y\,=\,I_z

6. 기하학적 특징

강체는 그 거울상이 그러한 의미에서 다르다면, 즉, 대칭성이 없거나 또는 그 대칭군이 적절한 회전만을 포함하는 경우 카이랄하다고 불린다. 반대의 경우, 물체는 아카이랄하다고 불린다. 거울상이 복사본이며, 다른 물체가 아니다. 이러한 물체는 대칭면을 가질 수 있지만 반드시 그런 것은 아니다. 물체의 상이 회전된 버전인 반사면이 있을 수도 있다. 후자는 ''S_2n''에 적용되는데, 여기서 ''n'' = 1은 반전 대칭이다.

(강체) 직사각형 투명 시트의 경우, 반전 대칭은 한쪽에는 회전 대칭이 없는 상이 있고, 다른 쪽에는 투과되는 것이 위쪽의 상이 거꾸로 된 상인 것을 의미한다. 두 가지 경우를 구분할 수 있는데, 상이 있는 시트 표면이 비대칭인 경우와 상이 있는 시트 표면이 대칭축을 갖는 경우이다.

7. 구성 공간

한 점이 고정된 강체(즉, 병진 운동이 없는 강체)의 구성 공간은 회전군 SO(3)의 기저가 되는 다양체로 주어진다. 고정되지 않은(병진 운동이 있는) 강체의 구성 공간은 ''E''⁺(3), 즉 3차원 유클리드 군의 직교 등거리 변환의 부분군(3차원 공간에서의 병진과 회전의 조합)이다.

8. 추가 정보

참조

_[1] 서적 Modelling and control of robot manipulators Springer
_[2] 서적 Introduction to Statics and Dynamics http://ruina.tam.cor[...] Oxford University Press
_[3] 문서 In general, the position of a point or particle is also known, in physics, as ''linear position'', as opposed to the ''angular position'' of a line, or line segment (e.g., in [[circular motion]], the "radius" joining the rotating point with the center of rotation), or [[basis (linear algebra)|basis set]], or [[coordinate system]].
_[4] 문서 In [[kinematics]], ''linear'' means "along a straight or curved line" (the path of the particle in [[space (physics)|space]]). In [[mathematics]], however, [[linear]] has a different meaning. In both contexts, the word "linear" is related to the word "line". In mathematics, a [[Line (geometry)|line]] is often defined as a straight [[curve]]. For those who adopt this definition, a [[curve]] can be straight, and curved lines are not supposed to exist. In [[kinematics]], the term ''line'' is used as a synonym of the term ''trajectory'', or ''path'' (namely, it has the same non-restricted meaning as that given, in mathematics, to the word ''curve''). In short, both straight and curved lines are supposed to exist. In kinematics and [[dynamics (physics)|dynamics]], the following words refer to the same non-restricted meaning of the term "line":
_[5] 서적 Dynamics Online OnLine Dynamics, Inc.
_[6] 서적 Dynamics Online OnLine Dynamics, Inc.
_[7] 서적 Dynamics Online OnLine Dynamics, Inc.
_[8] 서적 Dynamics Online OnLine Dynamics, Inc.
_[9] 웹사이트 剛体(ゴウタイ)とは？意味や使い方 https://kotobank.jp/[...] 2024-05-31
_[10] 서적 建築構造力学
_[11] 서적 物理学序論としての力学

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