류스테르니크-시니렐만 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

류스테르니크-시니렐만 범주는 위상 공간의 불변량으로, 공간을 덮는 열린 덮개의 최소 개수를 통해 정의된다. 이 범주는 호모토피 불변량이며, 공간의 차원, 코호몰로지, 연산, 모스 이론 등과 연관되어 다양한 성질을 갖는다. 류스테르니크와 시니렐만이 도입했으며, 화이트헤드와 가네아가 다른 정의를 제시했다.

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류스테르니크-시니렐만 범주
정의
정의	위상 공간 X의 류스테르니크-시니렐만 범주는 X를 덮는 열린 집합의 최소 개수이다. 각 집합은 X에 있는 점으로 수축 가능하다.
참고	류스테르니크-시니렐만 범주는 위상 공간의 불변량이다.
역사
기원	1930년대에 라자르 류스테르니크와 레프 슈니렐만이 개발함
목적	다양체에 대한 세 개 이상의 폐쇄된 측지선이 있음을 증명하는 데 사용됨
공식적 정의
정의	시니렐만 범주 cat(X)는 위상 공간 X의 열린 덮개 중 수축 가능한 열린 집합의 최소 카디널리티로 정의된다. 열린 집합 A가 X에서 수축 가능하다는 것은 포함 inc : A ↪ X가 상수 맵과 호모토픽하다는 의미이다. 1개로는 덮을 수 없다는 의미이다.
대안적 정의	cat(X)는 X가 n+1개의 열린 집합으로 덮여 있도록 하는 최소 정수 n이다. 각 집합은 X의 일부 열린 집합에서 수축 가능하다.
또 다른 정의	cat(X)는 X에서 수축 가능한 닫힌 집합의 최소 카디널리티이다.
속성
속성	cat(X) = 0 iff X가 수축 가능하다. cat(X) ≤ dim(X) (X가 콤팩트 국소 수축 가능한 공간인 경우). cat(X × Y) ≤ cat(X) + cat(Y) − 1. cat(Sⁿ) = 1 (n-차원 구). 덮개 {Uᵢ}가 있으면 cat(⋃ᵢUᵢ) ≤ ∑ᵢcat(Uᵢ).
다른 불변량과의 관계
관계	공간 X의 컵 길이 cup(X)는 X의 특이 코호몰로지의 환 구조에 의해 결정되는 불변량이다. cat(X) ≥ cup(X) + 1. 공간 X의 슈바르츠 장르 genus(p)는 파이버 p⁻¹(x)가 X에서 수축 가능한 파이버 번들 p : E → B에 대한 최소 정수 k이다. 여기서 x는 B의 임의의 점이다. cat(B) ≥ genus(p).
참고 문헌
참고 문헌	https://bookstore.ams.org/surv-103 https://doi.org/10.1016/0040-9383(78)90002-2

2. 정의

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

2. 1. 열린 덮개를 통한 정의

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

CW 복합체와 호모토피 동치인

X

로 정의된 점을 가진 공간

(X,\bullet_X)

가 주어졌으며

\bullet_X \hookrightarrow X

가 쌍대올뭉치라고 하자.

(X,\bullet)

의 류스테르니크-시니렐만 범주

\operatorname{cat}(X)

는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수

\kappa

로 정의한다.

: 조건:

X

를 덮는 어떤

(\kappa+1)

개의 열린 덮개

(U_i,\bullet_X)_{0\le i\le \kappa}

가 존재해서, 모든 포함 함수

U_i\hookrightarrow X

가 상수 함수와 호모토피 동치이다.

만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면,

\operatorname{cat}(X)=\infty

로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를

\kappa

대신

(\kappa + 1)

로 정의하기도 한다.

2. 2. 화이트헤드의 정의

영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주

\mathcal C

가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.

:*'''육면체 공리'''(cube axiom^영어): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림

::

:에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다.

(육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주

\operatorname{Top}\backslash\bullet

의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인

(\operatorname{Top}\backslash\bullet)^{\operatorname{op}}

는

\operatorname{Top}\backslash\bullet

와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상

X

의

n

차 '''부케가르니'''(bouquet garni^프랑스어) 또는 '''뚱뚱한 쐐기합'''(fat wedge^영어)

T^n \to X^n

은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.

$T_1 \simeq \bullet$ 이다.
$T_n \to X^n$ 이 주어졌을 때, $T_{n+1} \to X^{n+1}$ 은 모형 범주 $\mathcal C/X^{n+1}$ 에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다.

:

\begin{matrix}T_n \times \bullet & \to & X^n \times \bullet \\\downarrow && \downarrow \\T_n \times X & \to & T_{n+1}\end{matrix}

특히, 다음이 성립한다.

:

T_2 \simeq X\vee X

(스스로와의 쌍대곱)

점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

:

T_n = \bigcup_{i=0}^{n-1} X^i \times \{\bullet\} \times X^{n-i-1} \subseteq X^n

즉, 이는

T_n

은 곱공간

X^n

에서, 적어도 한 좌표가 밑점

\bullet

이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

(X,\bullet)

의 '''류스테르니크-시니렐만 범주'''는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수

f \colon X\to T_n

가 존재하는 최소의 자연수

n

이다.

:

\begin{matrix}X & \overset f \to & T_n \\\| & & \downarrow \\X & \underset{\operatorname{diag}}\to & X^n\end{matrix}

여기서

\operatorname{diag} \colon X \to X^n

은 대각 사상이다.

2. 3. 가네아의 정의

영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주

\mathcal C

를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상

X

에 대하여, '''가네아 구성'''은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

:

\begin{matrix}F_0 & \hookrightarrow & G_0 & \twoheadrightarrow & X \\\downarrow && \downarrow && \| \\F_1 & \hookrightarrow & G_1 & \twoheadrightarrow & X \\\downarrow && \downarrow && \| \\F_2 & \hookrightarrow & G_2 & \twoheadrightarrow & X \\\downarrow && \downarrow && \| \\\vdots && \vdots && \vdots\end{matrix}

여기서 각 요소는 다음 조건을 만족한다.

$G_0 \simeq \bullet$ 이다. (즉, $G_0$ 은 끝 대상과 호모토피 동치이다.)
다음과 같은 사각형들은 호모토피 당김이다. 이는 $F_n$ 이 올뭉치 $G_n\twoheadrightarrow X$ 의 호모토피 올임을 의미한다.
:

\begin{matrix}F_n & \hookrightarrow & G_n \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \to & X\end{matrix}

다음과 같은 사각형들은 모형 범주 $\mathcal C/X$ 에서의 호모토피 밂이다.
:

\begin{matrix}F_n & \hookrightarrow & G_n \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \to & G_{n+1}\end{matrix}

이 구성을 '''가네아 올뭉치'''(Ganea fibrations^영어)라고 한다. 이를 이용하여

X

의 '''류스테르니크-시니렐만 범주'''

\operatorname{cat}(X)

를 정의할 수 있다. 이는 사영

:

\pi_n \colon G_n \to X

이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면)

X\to G_n

을 가질 수 있는 최소의 자연수

n

이다.

점을 가진 공간의 범주에서 가네아 구성을 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.

$G_0$ 은 $X$ 의 경로 공간 $\operatorname{Path}(X) = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb I,X)$ 으로 잡을 수 있다. 이 공간은 축약 가능하므로 $G_0 \simeq \bullet$ 조건을 만족한다.
이때 호모토피 올 $F_0$ 은 $X$ 의 고리 공간 $\Omega X = \hom_{\operatorname{Top}\backslash\bullet}(\mathbb S^1,X)$ 이다.
$F_n$ 은 고리 공간 $\Omega X$ 의 $n$ 번 이음 $(\Omega X)^{\star n}$ 으로 잡을 수 있다.^[3]
$G_1$ 은 $\Omega X$ 의 축소 현수 $\Sigma \Omega X$ 로 잡을 수 있다.

2. 4. 정의 사이의 관계

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다.^[4] 또한 그 범주가

\operatorname{Top}_\bullet

일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

3. 성질

류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

3. 1. 연산에 대한 호환

다음이 성립한다. (여기서

\vee

는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)

:

\operatorname{cat}(X\vee Y) = \max\{\operatorname{cat}(X), \operatorname{cat}(Y)\}

^[1]

:

\operatorname{cat}(X\times Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y)

^[1]

만약 사상

f\colon X\to Y

가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면,

\operatorname{cat}(X) \ge \operatorname{cat}(Y)

이다.^[1]

올뭉치

:

F\hookrightarrow E \twoheadrightarrow B

에 대하여,

:

\operatorname{cat}(E) \le (\operatorname{cat}(F)+1)(\operatorname{cat}(B)+1) - 1

이다.^[1]

임의의 점을 가진 공간

(Z,\bullet)

의, 크기 2의 열린 덮개

:

X, Y \subseteq Z

:

\bullet \in X\cap Y

:

X \cup Y = Z

가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{cat}(X\cup Y) \le \operatorname{cat}(X) + \operatorname{cat}(Y) + 1

^[1]

3. 2. 차원과의 관계

위상 공간

X

가

(k-1)

-연결 공간이라고 하자. 즉,

i = 0, 1, \dots, k-1

인 모든 정수

i

에 대해 호모토피 군

\pi_i(X)

이 자명군(원소가 하나뿐인 군)이라고 가정한다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다.

:

\pi_i(X) = 0 \qquad\forall i \in\{0,1,\dotsc,k-1\}

그렇다면,

X

의 류스테르니크-시니렐만 범주

\operatorname{cat}(X)

와 르베그 덮개 차원

\dim X

사이에는 다음 부등식이 성립한다.

:

\operatorname{cat}(X) \le \frac {\dim X}k

여기서

\dim X

는

X

의 르베그 덮개 차원이다. 만약

X

가 다양체라면, 이 르베그 덮개 차원은 다양체의 통상적인 차원과 일치한다.

3. 3. 모스 이론과의 관계

연결 콤팩트 매끄러운 다양체

M

위의 연속 미분 가능 함수

f\colon M\to\mathbb R

의 임계점 집합

:

\operatorname{Crit}(f) = \{x\in M \colon \mathrm df = 0 \}

의 크기는 다양체의 류스테르니크-시니렐만 범주

\operatorname{cat}(M)

과 다음의 중요한 관계를 만족한다.^[1]

:

|\operatorname{Crit}(f)| \ge \operatorname{cat}(M) + 1

이 부등식은 다양체

M

위에 정의된 어떤 연속 미분 가능 함수라도 최소한

\operatorname{cat}(M) + 1

개의 임계점을 가져야 함을 의미한다. 즉, 류스테르니크-시니렐만 범주는 임계점 개수의 하한을 제공한다.

예를 들어, 초구

\mathbb S^n

을 유클리드 공간

\mathbb R^{n+1}

안의 단위구로 생각하고, 특정 축 방향으로의 높이를 나타내는 함수를 고려해 보자. 이 높이 함수는 정확히 두 개의 임계점(가장 높은 점인 북극과 가장 낮은 점인 남극)을 갖는다. 한편, 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는

\operatorname{cat}(\mathbb S^n) = 1

로 알려져 있다. 따라서 이 경우 임계점의 개수는

|\operatorname{Crit}(f)| = 2

이고,

\operatorname{cat}(\mathbb S^n) + 1 = 1 + 1 = 2

이므로, 위 부등식에서 등호가 성립함을 확인할 수 있다.

이러한 성질은 함수의 임계점과 다양체의 위상적 성질을 연결한다는 점에서 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수라는 특별한 조건을 만족하는 함수에 대해서만 임계점 수의 하한을 다루는 반면, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수에 대해 임계점 수의 하한(

\operatorname{cat}(M)+1

)을 제공한다는 점에서 더 일반적인 결과를 제시한다.

3. 4. 코호몰로지 길이와의 관계

일반적으로, 위상 공간

X

에 대하여, 0이 아닌

n

개의 축소 특이 코호몰로지류

\alpha_1, \dotsc, \alpha_n \in \operatorname{\tilde H}(X)

가 존재하고 이들의 합곱

\alpha_1 \smile \dotsb \smile \alpha_n

이 0이 아니라고 하자.

:

\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\in\operatorname{\tilde H}(X)

:

\{\alpha_1,\dotsc,\alpha_n\} \not\ni 0

:

\alpha_1\smile \dotsb\smile \alpha_n \ne 0

그렇다면,

X

의 류스테르니크-시니렐만 범주

\operatorname{cat}(X)

는 다음 부등식을 만족시킨다.

:

\operatorname{cat}(X) \ge n

3. 5. 유리수 류스테르니크-시니렐만 범주

유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주

\operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}

를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

\operatorname{cdgAlg}_{\mathbb Q}/\mathbb Q

는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간

\{\bullet\}\hookrightarrow X

에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수

A\to\mathbb Q

의 류스테르니크-시니렐만 범주를

:

\operatorname{cat}_0(X)

라고 표기하자. 이는 사실

X

와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.^[6] 특히 다음 부등식이 항상 성립한다.

:

\operatorname{cat}_0(X) \le \operatorname{cat}(X)

또한, 만약

X

와

Y

가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면 다음 등식이 성립한다.^[6]

:

\operatorname{cat}_0(X \times Y) = \operatorname{cat}_0(X) + \operatorname{cat}_0(Y)

4. 예

wikitext

공간	류스테르니크-시니렐만 범주
축약 가능 공간^[1]	0
초구^[1] $\mathbb S^n$ , $n\ge1$	1
축약 불가능한 현수 $\Sigma X$ ^[1]	1
원환면^[1] $\mathbb T^n$	$n$
실수 사영 공간^[1] $\operatorname{\mathbb RP}^n$	$n$
복소수 사영 공간^[1] $\operatorname{\mathbb CP}^n$	$n$
종수 $g$ 의 가향 콤팩트 곡면 $\Sigma_g$	$\min\{g,2\}$
콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 $M$ ^[1]	$(\dim M)/2$
$\mathbb S^2 \times \mathbb T^2$ ^[1]	3

5. 역사

라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 처음으로 도입하였다.^[7]^[8] 두 사람의 공동 논문은 시니렐만이 세상을 떠난 후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위에 있는 연속 함수의 임계점 개수 사이의 관계를 밝혀내면서 위상수학과 미분기하학 사이에 연관성이 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 '범주'(catégorie^프랑스어, категорий^ru)라는 이름을 붙였다. 이는 범주론에서 사용하는 '범주'와는 다른 개념이며, 당시에는 아직 범주론이라는 학문 분야가 확립되기 전이었다.

부케가르니를 이용한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세가 도입하였다. 또한, 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아가 도입하였다.

1971년, 가네아는 LS 범주에 관한 중요한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 그러나 1998년에 일본의 수학자 이와세 노리오(岩瀬則夫^일본어)가 이 추측이 틀렸음을 보이는 반례를 발견하였다.^[9]

참조

_[1] 서적 Lusternik-Schnirelmann category https://web.archive.[...] American Mathematical Society 2003
_[2] 저널 On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann 1978
_[3] 저널 A generalization of the homology and homotopy suspension 1965
_[4] 저널 The Ganea and Whitehead variants of the Lusternik–Schnirelmann Category https://archive.org/[...] 2006-03
_[5] 저널 Conley pairs in geometry — Lusternik–Schnirelmann theory and more 2017
_[6] 저널 Rational homotopy theory: a brief introduction https://archive.org/[...] 2006
_[7] 서적 Atti del IV Congresso internazionale dei matematici (Bologna, 1928) https://www.mathunio[...] N. Zanichelli 1931
_[8] 저널 Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей http://www.mathnet.r[...] 1947
_[9] 저널 Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category

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