멱일원

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 0이 아닌 표수에서의 멱일군 분류
5. 멱단근
6. 대수적 군의 분해
- 6.1. 표수 0
- 6.2. 표수 ''p''
7. 요르단 분해
참조

1. 개요

멱일원은 환의 원소 중 충분히 큰 자연수 n에 대해 (r-1)^n = 0을 만족하는 원소를 의미한다. 멱일원은 아핀 대수적 군, 행렬, 대수군, 표현론 등 다양한 수학적 맥락에서 정의되고 활용된다. 멱일원은 멱단군, 멱영군과 관련이 있으며, 대수적 군의 분해와 요르단 분해와 같은 개념에서도 중요한 역할을 한다.

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멱일원
수학
분야	추상대수학
하위 분야	군론
정의	대수적 군 이론에서, unipotent 요소는 특정 방식으로 1과 유사한 군의 요소임. 구체적으로, G를 체 k에 대한 대수적 군이라고 하고, g를 G의 요소라고 하자. g가 unipotent라고 하는 것은 g의 일부 n에 대해 (g − 1)n = 0인 경우임. 특히, g가 행렬인 경우, 이것은 g가 1의 고유값만 갖는 것을 의미함.
성질	유한체의 선형 대수 그룹에서 모든 요소는 고유한 unipotent 요소와 반단순 요소의 곱으로 작성될 수 있음. 대수적 군의 unipotent 요소는 unipotent 부분군을 형성함. 이 부분군은 고유한 최대 연결 unipotent 부분군을 포함함. 대수적 군 G의 unipotent 라디칼은 G의 최대 연결, 정상 unipotent 부분군임.
예시	1의 고유값만 갖는 행렬 상삼각 행렬 덧셈 그룹 Witt 벡터
관련 개념	멱영원 반단순 요소 대수적 군 유한체
참고 문헌
참고 문헌	{{cite book 0-387-90108-4 {{cite book 0-8218-1592-8
범주
범주	군론 대수적 군
위키데이터 속성
위키데이터 ID	Q873051
언어 간 링크
영어	en:Unipotent element

2. 정의

멱일원은 다양한 수학적 구조에서 정의될 수 있다.

환 $R$ 의 원소 $r \in R$ 에 대해, 충분히 큰 자연수 $n$ 이 존재하여 $(r-1)^n = 0$ 을 만족하면 $r$ 를 '''멱일원'''이라고 한다. 이는 $r-1$ 이 멱영원임을 의미한다.

체 $K$ 위의 정사각행렬 환 $\operatorname{Mat}(n,K)$ 에서 멱일원인 행렬을 '''멱일행렬'''(unipotent matrix^영어)이라고 부른다. 행렬이 멱일행렬인 것은 모든 고윳값이 1인 것과 동치이다.

대수적 군 이론에서는 아핀 대수적 군 $G$ 의 원소 $x$ 에 대응하는 오른쪽 변환 연산자 $r_x$ 가 군의 아핀 좌표환 $A[G]$ 위에서 국소적으로 멱영(locally nilpotent)일 때, $x$ 를 '''멱일원'''이라고 정의한다.

아핀 대수적 군의 모든 원소가 멱일원일 때, 그 군을 '''멱일군'''(unipotent group)이라고 한다.^[2]

2. 1. 환론적 정의

환

R

의 원소

r \in R

가 다음 조건을 만족시키면 '''멱일원'''이라고 한다. 즉, 어떤 자연수

n

이 존재하여 다음이 성립한다.

:

(r-1)^n = 0

이는

r-1

이 멱영원임을 의미한다.

2. 2. 행렬을 이용한 정의

체

K

에 대한 정사각행렬의 환

\operatorname{Mat}(n,K)

의 멱일원을 '''멱일행렬'''(unipotent matrix|^영어)이라고 한다. 어떤 행렬이 멱일행렬이라는 것은 그 행렬의 모든 고윳값이 1이라는 것과 동치이다.

표수가 0인 체 위에서는 멱영행렬의 행렬 지수 함수 값은 항상 멱일행렬이다.

또한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬들의 군

\mathbb{U}_n

을 다음과 같이 정의할 수 있다.^[2]

:

\mathbb{U}_n =  \left\{\begin{bmatrix}1 & * & \cdots & * & * \\0 & 1 & \cdots & * & * \\\vdots & \vdots &  &\vdots & \vdots \\0& 0& \cdots & 1 &* \\0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}.

이때 '''멱단군'''은 군

\mathbb{U}_n

의 부분군으로 정의된다.

스킴 이론을 이용하여 군

\mathbb{U}_n

을 다음과 같은 군 스킴으로 정의할 수도 있다.

:

\text{Spec}\left(\frac{\mathbb{C}\!\left[x_{11},x_{12},\ldots, x_{nn}, \frac{1}{\text{det}}\right]}{(x_{ii} = 1, x_{i > j} = 0)}\right)

이 경우, 멱단군은 위 스킴의 닫힌 부분 군 스킴으로 정의되는 아핀 군 스킴이다.

2. 3. 대수군론적 정의

군

\mathbb{U}_n

을 대각선 성분이 모두 1인 상삼각행렬들의 행렬 그룹으로 생각해 보자.^[2]

:

\mathbb{U}_n =  \left\{\begin{bmatrix}1 & * & \cdots & * & * \\0 & 1 & \cdots & * & * \\\vdots & \vdots &  &\vdots & \vdots \\0& 0& \cdots & 1 &* \\0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}.

이때, '''멱일군'''(unipotent group)은

\mathbb{U}_n

의 부분군으로 정의할 수 있다. 스킴 이론을 사용하면, 군

\mathbb{U}_n

은 다음 군 스킴으로 정의될 수 있다.

:

\text{Spec}\left(\frac{\mathbb{C}\!\left[x_{11},x_{12},\ldots, x_{nn}, \frac{1}{\text{det}}\right]}{(x_{ii} = 1, x_{i > j} = 0)}\right)

어떤 아핀 군 스킴이 이 스킴의 닫힌 군 스킴(closed group subscheme)이라면, 이를 멱일군이라고 한다.

아핀 대수적 군 ''G''의 원소 ''x''가 멱일원(unipotent element)이라는 것은, ''x''에 대응하는 오른쪽 변환 연산자 ''r''_''x''가 ''G''의 아핀 좌표환 ''A''[''G''] 위에서 선형 자기 준동형 사상으로서 국소적으로 멱영(locally nilpotent)이라는 뜻이다. 여기서 국소적으로 멱영이라는 것은, ''A''[''G'']의 임의의 유한 차원 안정 부분 공간(stable subspace)으로 연산자를 제한했을 때, 그 제한된 연산자가 일반적인 환론적 의미에서 멱영이 된다는 의미이다.

아핀 대수적 군의 모든 원소가 멱일원일 때, 그 군을 '''멱일군'''이라고 부른다.

모든 멱일 대수적 군은 대각 성분이 1인 상삼각 행렬 군의 닫힌 부분군과 동형이며, 역으로도 그러한 부분군은 멱일군이다. 특히, 모든 멱일군은 멱영군이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, GL_''n''(''k'')의 대각 행렬 군은 멱영군이지만 멱일군은 아니다.

예를 들어, 표준 기저

e_i

를 갖는

k^n

위에서

\mathbb{U}_n

의 표준 표현(standard representation)을 생각하면, 이 표현은 벡터

e_1

을 고정시킨다.

2. 4. 표현론적 정의

아핀 대수다양체에 가환 유니포텐트 군이 작용하면, 모든 궤도는 닫혀 있다. 또한 유니포텐트 군이 유한 차원 벡터 공간에 선형적으로 작용하면 0이 아닌 고정된 벡터를 갖는다. 실제로, 후자의 속성은 유니포텐트 군의 특징을 나타낸다.^[2] 특히, 이것은 비자명한 반단순 표현이 없음을 의미한다.

3. 예시

체 $K$ 에 대한 정사각행렬의 환 $\operatorname{Mat}(n,K)$ 의 멱일원을 '''멱일행렬'''(unipotent matrix|^영어)이라고 한다. 어떤 행렬이 멱일행렬이라는 것은 그 행렬의 모든 고윳값이 1이라는 것과 동치이다.

표수가 0인 체의 경우, 멱영행렬의 행렬 지수 함수는 멱일행렬이 된다.

대각선 성분이 모두 1인 상삼각행렬들로 이루어진 행렬군 $\mathbb{U}_n$ 은 멱일행렬의 중요한 예시이다. (자세한 내용은 U_''n'' 섹션 참조)

3. 1. U_''n''

군

\mathbb{U}_n

은 대각선 성분이 모두

1

인 상삼각행렬들로 이루어진 행렬 군이다.^[2]

:

\mathbb{U}_n = \left\{\begin{bmatrix}1 & * & \cdots & * & * \\0 & 1 & \cdots & * & * \\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 1 & * \\0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}.

여기서

*

는 임의의 스칼라 값을 나타낸다.

이때, '''멱단군'''은

\mathbb{U}_n

의 부분군으로 정의될 수 있다. 스킴 이론을 사용하면 군

\mathbb{U}_n

은 다음의 군 스킴으로 정의될 수도 있다.

:

\text{Spec}\left(\frac{\mathbb{C}\!\left[x_{11},x_{12},\ldots, x_{nn}, \frac{1}{\text{det}}\right]}{(x_{ii} = 1, x_{i > j} = 0)}\right)

아핀 군 스킴이 이 스킴의 닫힌 군 스킴인 경우 멱단군이다.

행렬군

\mathbb{U}_n

은 멱단원이다.

\mathbb{U}_n

의 하위 중심열은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbb{U}_n = \mathbb{U}_n^{(0)} \supset \mathbb{U}_n^{(1)} \supset \mathbb{U}_n^{(2)} \supset \cdots \supset \mathbb{U}_n^{(m)} = \{I\}

(여기서

I

는 단위행렬)

이때 각 항은 다음과 같이 교환자를 이용하여 정의된다.

:

\mathbb{U}_n^{(1)} = [\mathbb{U}_n, \mathbb{U}_n]

:

\mathbb{U}_n^{(k+1)} = [\mathbb{U}_n, \mathbb{U}_n^{(k)}]

for

k \ge 1

예를 들어,

n = 4

일 때, 하위 중심열은 다음과 같은 행렬 군들로 구성된다.

:

\mathbb{U}_4 = \left\{\begin{bmatrix}1 & * & * & * \\0 & 1 & * & * \\0 & 0 & 1 & * \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}

:

\mathbb{U}_4^{(1)} = [\mathbb{U}_4, \mathbb{U}_4] = \left\{\begin{bmatrix}1 & 0 & * & * \\0 & 1 & 0 & * \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}

:

\mathbb{U}_4^{(2)} = [\mathbb{U}_4, \mathbb{U}_4^{(1)}] = \left\{\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & * \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right\}

:

\mathbb{U}_4^{(3)} = [\mathbb{U}_4, \mathbb{U}_4^{(2)}] = \left\{\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right\} = \{I_4\}

(여기서

I_4

는 4x4 단위행렬)

이는 멱단원 군의 구체적인 예시를 보여준다.

3. 2. G_a^''n''

덧셈군

\mathbb{G}_a

는 다음 매장을 통해 멱일군이다.

:

a \mapsto \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

행렬 곱셈을 통해 이 매장이 군 준동형사상임을 확인할 수 있다.

:

\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a + b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

즉, 덧셈군의 연산(

a+b

)이 행렬 곱셈의 결과로 보존되므로, 이는 군 매장이다.

더 일반적으로, ''n''차원 벡터 공간으로 볼 수 있는

\mathbb{G}_a^n

(덧셈군

\mathbb{G}_a

를 ''n''번 곱한 군)을 멱일군

\mathbb{U}_{n+1}

(대각 성분이 모두 1인 (n+1)×(n+1) 상삼각행렬들의 군)으로 매장하는 사상

\mathbb{G}_a^n \to \mathbb{U}_{n+1}

이 존재한다.

:

(a_1,\ldots, a_n) \,\mapsto \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} &a_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0 & 1 \end{bmatrix}

대수기하학의 스키마 이론을 사용하여

\mathbb{G}_a

는 스킴들의 범주

\textbf{Sch}

에서 집합들의 범주

\textbf{Sets}

로 가는 다음과 같은 함자로 주어지기도 한다.

:

\mathcal{O}:\textbf{Sch}^{op} \to \textbf{Sets}

여기서 각 스킴

(X,\mathcal{O}_X)

은 그 위의 대역 단면들의 집합

\mathcal{O}_X(X)

으로 대응된다.

:

(X,\mathcal{O}_X) \mapsto \mathcal{O}_X(X)

3. 3. 프로베니우스 핵

표수

p

인 체

\mathbb{F}_p

위의 스킴들의 범주

\textbf{Sch}/\mathbb{F}_p

의 부분 범주에서 정의된 함자

\mathcal{O}

를 생각해보자. 여기서

\mathcal{O}(X)

는 스킴

X

위의 함수들의 모임으로 볼 수 있다.

이때, 다음과 같이 정의되는 부분 함자

\alpha_p

가 존재한다.

:

\alpha_p(X) = \{ x \in \mathcal{O}(X) : x^p = 0 \}

이는 스킴

X

위의 함수

x

중에서

p

번 거듭제곱했을 때 0이 되는 원소들의 집합을 나타낸다.

이 함자

\alpha_p

는 프로베니우스 자기사상의 핵으로 주어진다. 즉, 프로베니우스 사상에 의해 0으로 보내지는 원소들의 모임이며, 이는 멱일군 스킴의 한 예시가 된다.

4. 0이 아닌 표수에서의 멱일군 분류

표수가 0인 체 위에서는 nilpotent 리 대수(nilpotent Lie algebra)와 멱일 대수적 군(unipotent algebraic group) 사이에 밀접한 관계가 있으며, 이를 통해 멱일 대수적 군을 분류하는 체계적인 방법이 존재한다. 멱영 리 대수는 반복적인 수반 작용이 결국 0이 되는 리 대수 $\mathfrak{gl}_n$ 의 부분 대수를 의미한다. 행렬로 표현하면, 이는 대각선 위쪽 성분이 모두 0인 행렬, 즉 $i \leq j$ 일 때 $a_{ij} = 0$ 인 행렬들로 이루어진 리 대수 $\mathfrak{n}_n$ 의 부분 대수 $\mathfrak{g}$ 와 같다.

유한 차원의 멱영 리 대수와 멱일 대수적 군 사이에는 범주 동치가 성립한다.^[2](261페이지) 이 동치는 Baker-Campbell-Hausdorff 공식 $H(X,Y)$ 를 사용하여 구체적으로 구성할 수 있다. 유한 차원 멱영 리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 주어지면, 사상

: $H:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \text{ where } (X,Y)\mapsto H(X,Y)$

는 $\mathfrak{g}$ 위에 멱일 대수적 군의 구조를 부여한다.

반대로, 지수 사상은 멱영 정사각 행렬을 멱일 행렬(unipotent matrix)로 변환한다. 특히, ''U''가 가환 멱일 군(commutative unipotent group)일 경우, 지수 사상은 ''U''의 리 대수에서 ''U'' 자신으로 가는 동형 사상을 정의한다.

임의의 차원에서 대수적으로 닫힌 체 위의 멱일 군은 원칙적으로 분류가 가능하지만, 실제로는 차원이 증가함에 따라 분류의 복잡성이 매우 빠르게 커진다. 이 때문에 대략 6차원 정도를 넘어서면 분류 작업이 매우 어려워지는 경향이 있다.

5. 멱단근

멱단근은 대수적 군 ''G''의 근기에 있는 멱단원소들의 집합이다. 이는 ''G''의 연결 멱단 정규 부분군이며, 다른 모든 그러한 부분군들을 포함한다. 군은 멱단근이 자명할 경우 환원적이라고 불린다. 만약 ''G''가 환원적이라면 그 근기는 토러스이다.

6. 대수적 군의 분해

대수군은 멱단군, 곱셈 군, 아벨 다양체로 분해될 수 있다. 그러나 분해 방식은 바탕을 이루는 체의 표수에 따라 달라진다.

6. 1. 표수 0

표수 0에서 가환 대수적 군

G

의 구조를 선형 대수적 군과 아벨 다양체의 구조와 연결하는 분해 정리가 있다. 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^[3]^8쪽

:

0 \to M\times U \to G \to A \to 0

여기서

A

는 아벨 다양체이고,

M

은 곱셈형 군(즉,

M

은 기하학적으로 토러스와

\mu_n

형태의 대수적 군의 곱)이며,

U

는 유니포텐트 군이다.

M \times U

는 선형 대수적 군에 해당한다.

6. 2. 표수 ''p''

기저체의 표수가 ''p''일 때, 대수적 군

G

에 대해 유사한 명제가 성립한다.^[3] 즉, 다음 조건을 만족하는

G

의 최소 부분군

H

가 존재한다.

#

G/H

는 멱단군이다.

#

H

는 아벨 다양체

A

와 곱셈형 군

M

의 확장을 이룬다.

#

M

은

G

에서 가환성까지 유일하며,

A

는 아이소제니까지 유일하다.

7. 요르단 분해

완비 체 위의 선형 대수적 군의 임의의 원소 ''g''는 서로 교환 가능한 멱일(unipotent) 요소 ''g''_''u''와 반단순 요소 ''g''_''s''의 곱 ''g'' = ''g''_''u'' ''g''_''s''로 유일하게 표현될 수 있다. 이를 요르단-슈발레 분해라고 한다. 군 GL_''n''('''C''')의 경우, 이는 임의의 가역 복소수 행렬이 반단순 행렬과 멱일(unipotent) 행렬의 곱으로 표현될 수 있음을 의미하며, 이는 요르단 표준형과 밀접한 관련이 있다.

또한 군에 대한 요르단 분해도 존재한다. 완비 체 위의 임의의 가환 선형 대수적 군은 멱일 부분군(unipotent subgroup)과 반단순 부분군(reductive subgroup, 이 경우 보통 토러스(torus))의 곱으로 분해될 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Unipotent element - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2024-09-23
_[2] 서적 Linear Algebraic Groups https://www.jmilne.o[...]
_[3] 간행물 Commutative algebraic groups up to isogeny http://arxiv.org/abs[...] 2016-09-27

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