바일 방정식

3. 방정식

바일 방정식은 질량이 없는 디랙 스피너를 나타내는 방정식으로, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[14][15]

:$\backslash sigma^\backslash mu\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi=0$

SI 단위계를 사용하면,

:$I\_2\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash sigma\_x\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash sigma\_y\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash sigma\_z\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; z\}=0$

이다. 여기서 σ^μ는 4차원 벡터로, μ = 0일 때는 2 × 2 단위행렬이고 μ = 1, 2, 3일 때는 파울리 행렬이다. ψ는 바일 스피너의 파동함수이다.

바일 방정식은 오른손 및 왼손 스피너 형태로 나타낼 수 있는데, 각각은 다음과 같다.

:

& \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = 0

\end{align}

여기서 손지기 성분은 입자의 헬리시티 λ와 일치한다. ('''J'''는 각운동량, '''P'''는 직선적 운동량)

:$\backslash mathbf\{p\}\backslash cdot\backslash mathbf\{J\}\backslash left|\backslash mathbf\{p\},\backslash lambda\backslash right\backslash rangle=\backslash lambda\; |\backslash mathbf\{p\}|\backslash left|\backslash mathbf\{p\},\backslash lambda\backslash right\backslash rangle$

(λ = ±1/2)

3. 1. 정의

• 오른손 형태:

• 왼손 형태:

3. 2. 바일 스피너

3. 3. 헬리시티

4. 유도

이는 민코프스키 시공간에서의 대칭성으로 유도된다.

이는 민코프스키 시공간에서의 대칭성과 이어진다.

5. 로렌츠 불변성

두 방정식은 $x\; \backslash mapsto\; x^\backslash prime\; =\; \backslash Lambda\; x$인 로렌츠 변환 하에서 로렌츠 불변성을 갖는다. 여기서 $\backslash Lambda\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SO\}(1,3)~.$ 더 정확하게 말하면, 방정식은 다음과 같이 변환된다.

:$\backslash sigma^\backslash mu\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

\mapsto \sigma^\mu\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime_{\rm R}\left(x^\prime\right)

= \left(S^{-1}\right)^\dagger \sigma^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi_{\rm R}(x)



여기서 $S^\backslash dagger$는 Hermitian 전치이며, 오른쪽 손 필드가 다음과 같이 변환된다고 가정한다.

:$\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; R\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; S\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

행렬 $S\; \backslash in\; SL(2,\backslash mathbb\{C\})$는 특수 선형군 $\backslash mathrm\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$에 의한 이중 덮개를 통해 로렌츠 군과 관련이 있다.

:$\backslash sigma\_\backslash mu\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; =\; \backslash left(S^\{-1\}\backslash right)^\backslash dagger\; \backslash sigma\_\backslash nu\; S^\{-1\}$

따라서 변환되지 않은 미분식이 하나의 로렌츠 틀에서 사라지면, 다른 틀에서도 사라진다. 마찬가지로

:$\backslash overline\{\backslash sigma\}^\backslash mu\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$

\mapsto \overline{\sigma}^\mu\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime_{\rm L}\left(x^\prime\right)

= S \overline{\sigma}^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi_{\rm L}(x)



왼쪽 손 필드가 다음과 같이 변환된다고 가정한다.

:$\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; L\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)~.$

이러한 변환 속성은 어떤 면에서도 "자명"하지 않으므로 신중한 유도가 필요하다. 다음 형태로 시작한다.

:$\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; R\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; R\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

결정될 알 수 없는 $R\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$에 대해. 로렌츠 변환은 좌표에서 다음과 같다.

:$x^\{\backslash prime\backslash mu\}\; =\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; x^\backslash nu$

또는, 동등하게,

:$x^\backslash nu\; =\; \{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1\}\backslash right)^\backslash nu\}\_\backslash mu\; x^\{\backslash prime\backslash mu\}$

이는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\sigma^\mu \partial^\prime_\mu \psi^\prime_{\rm R}\left(x^\prime\right)

&= \sigma^\mu\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime_{\rm R}\left(x^\prime\right) \\

&= \sigma^\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial}{\partial x^\nu} R \psi_{\rm R}(x) \\

&= \sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu} R\psi_{\rm R}(x) \\

&= \sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x)

\end{align}

바일 맵을 사용하기 위해

:$\backslash sigma\_\backslash mu\{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; =\; \backslash left(S^\{-1\}\backslash right)^\backslash dagger\backslash sigma\_\backslash nu\; S^\{-1\}$

몇 개의 인덱스를 올리고 내려야 한다. 이는 평탄 공간 민코프스키 계량 $\backslash eta\; =\; \backslash mbox\{diag\}(+1,\; -1,\; -1,\; -1)$를 호출하기 때문에 말하기는 쉽지만 실행하기는 어렵다. 위의 동일성은 종종 $\backslash Lambda\backslash in\; \backslash mathrm\{SO\}(1,3).$ 요소를 정의하는 데 사용된다. 전치를 취한다.

:$\{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1\}\backslash right)^\backslash nu\}\_\backslash mu\; =\; \{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1\backslash mathsf\{T\}\}\backslash right)\_\backslash mu\}^\backslash nu$

다음과 같이 쓰기 위해

:$\backslash begin\{align\}$

\sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x)

&= \sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1\mathsf{T}}\right)_\mu}^\nu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x) \\

&= \sigma_\mu {\Lambda^\mu}_\nu \partial^\nu R\psi_{\rm R}(x) \\

&= \left(S^{-1}\right)^\dagger \sigma_\mu \partial^\mu S^{-1} R\psi_{\rm R}(x)

\end{align}

따라서 $S^\{-1\}\; R\; =\; 1,$ 즉 $R\; =\; S.$일 때 원래 형태를 되찾는다. 왼쪽 손 방정식에 대해 동일한 조작을 수행하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

:$\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; L\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; L\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$

$L\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}.$

이는 민코프스키 시공간에서의 대칭성과 이어진다.

6. 마요라나 방정식과의 관계

바일 방정식은 일반적으로 질량이 없는 입자를 설명하는 것으로 해석되지만, 약간의 수정을 통해 마요라나 방정식의 2성분 버전을 얻을 수 있다.^[3] 이는 특수 선형 군 $\backslash mathrm\{SL\}(2,\backslash mathbb\{C\})$이 동형인 심플렉틱 군 $\backslash mathrm\{Sp\}(2,\backslash mathbb\{C\})$와 같기 때문에 발생한다. 심플렉틱 군은 다음을 만족하는 모든 복소수 2×2 행렬의 집합으로 정의된다.

:$S^\backslash mathsf\{T\}\; \backslash omega\; S\; =\; \backslash omega$

여기서

:

정의 관계는 $\backslash omega\; S^*\; =\; \backslash left(\; S^\backslash dagger\; \backslash right)^\{-1\}\; \backslash omega$로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 $S^*$는 복소 켤레이다. 오른손 필드는 다음과 같이 변환된다.

:$\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; R\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; S\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

따라서 복소 켤레 필드는 다음과 같이 변환된다.

:$\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\{\backslash prime\; *\}\_\{\backslash rm\; R\}\backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; S^*\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

정의 관계를 적용하면 다음과 같다.

:$m\; \backslash omega\; \backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; m\; \backslash omega\; \backslash psi^\{\backslash prime\; *\}\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash left(x^\backslash prime\backslash right)\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}\; m\; \backslash omega\; \backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

이것은 앞서 언급한 로렌츠 공변성 속성과 정확히 동일하다. 따라서 임의의 복소수 위상 인자 $\backslash eta\; =\; e^\{i\backslash phi\}$를 사용하여 선형 조합

:$i\backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; +\; \backslash eta\; m\; \backslash omega\; \backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

는 공변적인 방식으로 변환되며, 이를 0으로 설정하면 복소수 2성분 마요라나 방정식을 얻는다. 마요라나 방정식은 일반적으로 2성분 복소수 방정식이 아닌 4성분 실수 방정식으로 작성된다. 마찬가지로, (임의의 위상 인자 $\backslash zeta$를 포함하는) 왼쪽-키랄 마요라나 방정식은 다음과 같다.

:$i\backslash overline\{\backslash sigma\}^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; +\; \backslash zeta\; m\; \backslash omega\; \backslash psi^*\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; =\; 0$

왼쪽 및 오른쪽 키랄 버전은 패리티 변환에 의해 관련된다. 기울어진 복소 켤레 $\backslash omega\backslash psi^*\; =\; i\backslash sigma^2\backslash psi$는 $\backslash psi$의 전하 켤레 형태로 인식될 수 있다. 따라서 마요라나 방정식은 스피너를 전하-켤레 형태와 연결하는 방정식으로 읽을 수 있다.

마요라나 연산자 쌍을 정의하면 다음과 같다.

:$$

D_{\rm L} = i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu +\zeta m\omega K\qquad

D_{\rm R} = i\sigma^\mu \partial_\mu + \eta m\omega K



여기서 $K$는 복소 켤레를 취하라는 알림이다. 로렌츠 변환 아래에서, 이들은 다음과 같이 변환된다.

:$$

D_{\rm L} \mapsto D^\prime_{\rm L} = S D_{\rm L} S^\dagger \qquad

D_{\rm R} \mapsto D^\prime_{\rm R} = \left(S^\dagger\right)^{-1} D_{\rm R} S^{-1}



반면에 바일 스피너는 다음과 같이 변환된다.

:$$

\psi_{\rm L} \mapsto \psi^\prime_{\rm L} = \left(S^\dagger\right)^{-1} \psi_{\rm L} \qquad

\psi_{\rm R} \mapsto \psi^\prime_{\rm R} = S \psi_{\rm R}



따라서, 이들의 일치하는 조합은 로렌츠 공변적이며, 다음을 사용할 수 있다.

:$D\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; =\; 0\; \backslash qquad\; D\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}\; =\; 0$

는 복소수 2-스피너 마요라나 방정식의 쌍으로 간주된다.

곱 $D\_\{\backslash rm\; L\}\; D\_\{\backslash rm\; R\}$ 및 $D\_\{\backslash rm\; R\}\; D\_\{\backslash rm\; L\}$는 모두 로렌츠 공변적이다. 곱은 명시적으로

:$$

D_{\rm R}D_{\rm L}

= \left(i\sigma^\mu \partial_\mu + \eta m\omega K\right) \left(i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu + \zeta m\omega K\right)

= -\left(\partial_t^2 - \vec\nabla \cdot \vec\nabla + \eta\zeta^* m^2\right)

= -\left(\square + \eta\zeta^* m^2\right)



이것을 확인하려면 $\backslash omega^2\; =\; -1$이고 $K\; i\; =\; -i\; K$라는 점을 염두에 두어야 한다. RHS는 $\backslash eta\backslash zeta^*\; =\; 1$, 즉 $\backslash eta\; =\; \backslash zeta$일 때 클라인-고든 연산자로 축소된다. 따라서 이 두 개의 마요라나 연산자는 클라인-고든 연산자의 "제곱근"이다.

7. 라그랑지안 밀도

다음과 같은 라그랑지안 밀도로부터 방정식을 얻는다.

:$\backslash mathcal\; L\; =\; i\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}^\backslash dagger\; \backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}\; ~,$

:$\backslash mathcal\; L\; =\; i\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}^\backslash dagger\; \backslash bar\backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; ~.$

스피너와 그 에르미트 수반($\backslash dagger$로 표기)을 독립 변수로 취급하여 관련 바일 방정식을 얻는다.

8. 바일 스피너의 일반적 정의

클리포드 모듈의 원소로 사용되는 '바일 스피너'라는 용어는 다양체 위에 존재하는 기하학적 대상으로서 스피너에 대한 자연스러운 기하학적 해석을 제공한다. 이 일반적인 설정은 물리학에서 페르미온으로서의 해석을 명확히 하고, 일반 상대성 이론에서, 또는 실제로 모든 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체에 대해 스핀을 정의하는 방법을 보여준다.^[2]

바일 방정식은 공변성을 가지며, 로렌츠 변환과 회전이 적용되어도 방정식 자체의 형태는 변하지 않는다. 그러나 스피너 $\backslash psi$ 자체의 형태는 변경된다. 시공간을 무시하면, 스피너의 대수는 (복소화된) 클리포드 대수로 설명된다. 스피너는 스핀 군의 작용에 따라 변환된다.

임의의 유사 리만 다양체 $M$이 $(p,q)$ 차원을 갖는다고 할 때, 그 접선 다발 $TM$을 고려할 수 있다. 임의의 점 $x\; \backslash in\; M$에서, 접공간 $T\_x\; M$은 $(p,q)$ 차원의 벡터 공간이다. 이 벡터 공간이 주어지면, 그 위에 클리포드 대수 $\backslash mathrm\{Cl\}(p,q)$를 구성할 수 있다. 만약 $\backslash \{e\_i\backslash \}$가 $T\_x\; M$에 대한 벡터 공간 기저라면, 다음과 같이 한 쌍의 바일 스피너를 구성할 수 있다.^[2]

:$w\_j\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash left(e\_\{2j\}\; +\; ie\_\{2j+1\}\backslash right)$

:$w\_j^*\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; \backslash left(e\_\{2j\}\; -\; ie\_\{2j+1\}\backslash right)$

클리포드 대수의 관점에서 보면, 이것들은 자연스럽게 반교환 성질을 가지며, 즉, $w\_j\; w\_m\; =\; -w\_m\; w\_j~.$ 이다. 이것은 파울리 배타 원리의 수학적 실현으로 해석될 수 있으며, 이러한 추상적으로 정의된 형식적 구조를 페르미온으로 해석할 수 있게 해준다. $(p,q)=(1,3)$ 차원의 민코프스키 시공간의 경우, 관례적으로 "왼쪽"과 "오른쪽"으로 명명되는 두 개의 스피너만 가능하다.

바일 방정식의 추상적이고 일반적인 상대론적 형태는 다음과 같이 이해할 수 있다. 유사 리만 다양체 $M$이 주어지면, 스핀 군을 섬유로 갖는 섬유 다발을 그 위에 구성한다. 스핀 군 $\backslash mathrm\{Spin\}(p,q)$은 특수 직교군 $\backslash mathrm\{SO\}(p,q)$의 이중 피복이므로, 스핀 군을 섬유별로 $M$ 위의 프레임 다발과 동일시할 수 있다. 이렇게 하면, 결과 구조를 스핀 구조라고 한다.

섬유 위의 단일점을 선택하는 것은 시공간에 대한 국소 좌표계를 선택하는 것에 해당한다. 섬유 위의 두 개의 서로 다른 점은 (로렌츠) 부스트/회전에 의해, 즉 국소적인 좌표 변경에 의해 관련된다. 스핀 구조의 자연적인 구성원은 바일 스피너이며, 스핀 구조는 스피너가 (로렌츠) 부스트/회전에 따라 어떻게 동작하는지를 완전히 설명한다.

스핀 다양체가 주어지면, 메트릭 접속의 아날로그는 스핀 접속이다. 이것은 효과적으로 "같은 것"으로, 일반적인 접속과 같지만, 스핀 지표가 일관된 방식으로 부착되어 있다. 공변 미분은 접속을 사용하여 완전히 일반적인 방식으로 정의될 수 있다. 그것은 클리포드 다발에 자연스럽게 작용한다. 클리포드 다발은 스피너가 존재하는 공간이다.

짝수 $n$에 대해, 복소 클리퍼드 대수 $\backslash mathbb\{C\}l(n)$의 짝수 부분 대수 $\backslash mathbb\{C\}l^0(n)$는 $\backslash mathrm\{End\}(\backslash mathbb\{C\}^\{N/2\})\; \backslash oplus\; \backslash mathrm\{End\}(\backslash mathbb\{C\}^\{N/2\})\; =:\; \backslash Delta^+\_n\; \backslash oplus\; \backslash Delta^-\_n$와 동형이며, 여기서 $N\; =\; 2^\{n/2\}$이다. $n$차원 공간에서 좌수 (각각 우수) '''복소 바일 스피너'''는 $\backslash Delta^+\_n$ (각각 $\backslash Delta^-\_n$)의 원소이다.

9. 특수한 경우

디랙 스피너는 왼쪽 스핀과 오른쪽 스핀의 한 쌍의 바일 스피너로 간주될 수 있다. 이들은 전하를 띤 페르미온 장을 나타내는 방식으로 함께 결합된다. 전기적 전하는 디랙 장이 복소화된 스핀 군 $\backslash mathrm\{Spin\}^\backslash mathbb\{C\}(p,q)$의 작용 하에 변환되기 때문에 발생한다. 이 군은 다음과 같은 구조를 가진다.

:$\backslash mathrm\{Spin\}^\backslash mathbb\{C\}(p,q)\backslash cong\backslash mathrm\{Spin\}(p,q)\backslash times\_\{\backslash mathbb\{Z\}\_2\}\; S^1$

여기서 $S^1\backslash cong\; \backslash mathrm\{U\}(1)$는 원이며, 전자기학의 $\backslash mathrm\{U\}(1)$으로 식별될 수 있다. 곱 $\backslash times\_\{\backslash mathbb\{Z\}\_2\}$는 반대 점 $(s,u)\; =\; (-s,-u)$이 식별된 곱 $\backslash mathrm\{Spin\}(p,q)\backslash times\; S^1$을 나타내는 표기법이다(이중 피복).

마요라나 스피너는 다시 한 쌍의 바일 스피너이지만, 이번에는 왼쪽 스피너가 오른쪽 스피너의 전하 켤레가 되도록 배열된다. 그 결과는 디랙 스피너보다 두 개의 자유도가 적은 장이다. $\backslash mathrm\{spin\}^\backslash mathbb\{C\}$ 군의 작용 하에서 스칼라로 변환되므로 전자기장과 상호작용할 수 없다. 즉, 스피너로 변환되지만 횡적으로 변환되어 스핀 군의 $\backslash mathrm\{U\}(1)$ 작용에 불변이다.

세 번째 특수한 경우는 ELKO 스피너로, 마요라나 스피너와 거의 같지만 전하 켤레 쌍 사이에 추가적인 음수 부호가 있다. 이것은 다시 전기적으로 중성이 되지만, 많은 다른 특성들을 도입한다.

참조

_[1] 논문 Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay
_[2] 서적 Riemannian Geometry and Geometric Analysis Springer Universitext
_[3] 간행물 A direct road to Majorana fields
_[4] 논문 The history of neutrino oscillations https://iopscience.i[...]
_[5] 논문 Dirac, Majorana, and Weyl fermions http://aapt.scitatio[...]
_[6] 서적 Quantum Mechanics Addison Wesley, Prentice Hall Inc
_[7] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory https://books.google[...] Addison-Wesley
_[8] 서적 ITEP Lectures on Particle Physics and Field Theory
_[9] 간행물 Where the Weyl things are https://physics.aps.[...] 2015-09-08
_[10] 논문 Gravitation and the electron 1929-04-15
_[11] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas Cambridge University Press
_[12] 서적 Quantum Mechanics Addison Wesley, Prentice Hall Inc
_[13] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas Cambridge University Press
_[14] 서적 Quantum Mechanics Addison Wesley, Prentice Hall Inc
_[15] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas Cambridge University Press