삼각군

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 구면 삼각군 (1/l + 1/m + 1/n > 1)
- 3.2. 쌍곡 삼각군 (1/l + 1/m + 1/n < 1)
4. 성질
5. 예시
6. 역사
7. 응용
참조

1. 개요

삼각군은 2 이상의 세 정수 l, m, n으로 정의되는 군으로, 대수적 또는 기하학적으로 정의할 수 있다. 대수적으로는 콕서터 군의 일종으로 군의 표시를 통해 나타내며, 기하학적으로는 쌍곡 평면, 유클리드 평면, 실수 사영 평면 상에서 세 각이 π/l, π/m, π/n 라디안인 삼각형의 반사로 생성되는 군이다. 삼각군은 1/l + 1/m + 1/n의 값에 따라 구면, 유클리드, 쌍곡 삼각군으로 분류되며, 폰 뒤크 군은 삼각군의 부분군이다. 삼각군은 유한군일 필요충분조건은 구면인 경우이며, 산술 기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

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삼각군
기본 정보
삼각형 그룹의 기본 도메인
훈장	슈바르츠 삼각형
군	반사군
표현
생성기	3개의 반사
관계	(반사의 쌍별 제품 순서)
유형	이산적
속성
콕서터 다이어그램
슈바르츠 삼각형	(l m n)

2. 정의

2 이상의 세 정수 $l,m,n$ (≥ 2)에 대하여, '''삼각군'''(三角群, triangle group^영어) $\triangle(l,m,n)$ 은 군의 일종이며, 대수적 또는 기하학적으로 정의할 수 있다. 세 정수 $(l,m,n)$ 의 순열은 서로 동형인 군을 이루므로, 보통 $l\le m\le n$ 순서로 배열한다.

2. 1. 대수적 정의

삼각군 Δ(l,m,n)은 콕서터 군의 일종으로, 다음과 같은 표시를 갖는다.

:

\triangle(l,m,n) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle

여기서

l

,

m

,

n

가운데 하나가 ∞라면, 해당 관계를 생략한다. 예를 들어,

:

\triangle(l,m,\infty) = \langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m =  1 \rangle

l, m, n을 2 이상의 정수라고 할 때, 삼각군 Δ(l,m,n)은 유클리드 평면, 2차원 구, 실수 사영 평면, 또는 쌍곡 평면의 운동군으로, 각도가 π/l, π/m 및 π/n (라디안)인 삼각형의 변에 대한 반사에 의해 생성된다. 인접한 두 변에서의 반사의 곱은 해당 변 사이의 각도의 두 배인 각도, 즉 2π/l, 2π/m 및 2π/n만큼의 회전이다. 따라서 생성 반사를 a, b, c로 표시하고 순환 순서대로 그 사이의 각도가 위에 주어진 것과 같으면 다음 관계가 성립한다.

#

a^{2}=b^{2}=c^{2}=1

#

(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.

a, b, c 사이의 다른 모든 관계는 이러한 관계의 결과이며 Δ(l,m,n)은 해당 공간의 이산군 운동이라는 정리가 있다. 따라서 삼각군은 다음의 군 표현을 허용하는 반사군이다.

:

\Delta(l,m,n) = \langle a,b,c \mid a^{2} =  b^{2} = c^{2} = (ab)^{l} = (bc)^{n} = (ca)^{m} =  1 \rangle.

2. 2. 기하학적 정의

X

를 다음과 같이 정의한다.

만약 $1/l+1/m+1/n<1$ 이라면, $X$ 는 쌍곡 평면 $\mathbb H^2$ 이다.
만약 $1/l+1/m+1/n=1$ 이라면, $X$ 는 유클리드 평면 $\mathbb R^2$ 이다.
만약 $1/l+1/m+1/n>1$ 이라면, $X$ 는 실수 사영 평면 $\operatorname{\mathbb{RP}}^2$ 이다.

이 경우,

X

위에, 세 각이 각각

(\pi/l,\pi/m,\pi/n)

라디안인 삼각형을 그릴 수 있다. (여기서

\pi/\infty=0

이다.) 이 삼각형의 세 변을 축으로 하는 반사들로 생성되는 군을

(l,m,n)

-'''삼각군'''이라고 한다. 예를 들어

1/l+1/m+1/n=1

라면 삼각군

\triangle(l,m,n)

은 2차원 유클리드 군의 부분군이 된다.

쌍곡 평면에서는 세 각 가운데 일부가 0인 삼각형이 존재한다. 유클리드 평면에서, 각이

(\pi/2,\pi/2,0)

으로 이루어진 “삼각형”은 무한한 넓이의 도형이다.

l, m, n을 2 이상의 정수라고 할 때, '''삼각군''' Δ(l,m,n)은 유클리드 평면, 2차원 구, 실수 사영 평면, 또는 쌍곡 평면의 운동군으로, 각도가 π/l, π/m 및 π/n(라디안 단위)인 삼각형의 변에 대한 반사에 의해 생성된다. 인접한 두 변에서의 반사의 곱은 해당 변 사이의 각도의 두 배인 각도, 즉 2π/l, 2π/m 및 2π/n만큼의 회전이다. 따라서 생성 반사를 a, b, c로 표시하고 순환 순서대로 그 사이의 각도가 위에 주어진 것과 같으면 다음 관계가 성립한다.

#

a^{2}=b^{2}=c^{2}=1

#

(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^{m}=1.

a, b, c 사이의 다른 모든 관계는 이러한 관계의 결과이며 Δ(l,m,n)은 해당 공간의 이산군 운동이라는 정리가 있다. 따라서 삼각군은 다음의 군 표현을 허용하는 반사군이다.

:

\Delta(l,m,n) = \langle a,b,c \mid a^{2} =  b^{2} = c^{2} = (ab)^{l} = (bc)^{n} = (ca)^{m} =  1 \rangle.

이러한 표현을 갖는 추상군은 세 개의 생성자를 가진 콕서터 군이다.

2. 3. 폰 뒤크 군

폰 뒤크 군(von Dyck群, von Dyck group^영어)

\operatorname D(l,m,n)\le\triangle(l,m,n)

은

(l,m,n)

-삼각군

\triangle(l,m,n)

의 부분군이다.

대수적 정의: $(l,m,n)$ -삼각군 $\triangle(l,m,n)=\langle a,b,c | a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^l = (bc)^m = (ca)^n = 1 \rangle$ 의 원소들 가운데, 짝수 개의 생성원 $(a,b,c)$ 로 생성되는 원소들의 군이다. 즉, $(x,y)=(ab,bc)$ 로 놓으면, $\operatorname D(l,m,n)=\langle x,y|x^l=y^m=(xy)^n=1\rangle$ 이다.

기하학적 정의: $(l,m,n)$ -삼각군 $\triangle(l,m,n)$ 가운데, 국소적으로 방향을 보존하는 것이다. (가향 다양체인 쌍곡 평면 및 유클리드 평면의 경우, 이는 대역적으로 방향을 보존하는 것이지만, 실수 사영 평면은 가향 다양체가 아니므로 대역적인 방향의 개념이 존재하지 않는다.)

''D''(''l'',''m'',''n'')은 생성자에서 짝수 길이의 단어로 생성되는 ''Δ(l,m,n)''의 부분군으로, 지수는 2이다. 이러한 부분군은 때때로 "일반" 삼각형군^[2] 또는 '''폰 뒤크 군'''이라고 불린다. 구면, 유클리드, 쌍곡선 삼각형의 경우, 이는 삼각형의 방향을 보존하는 그룹의 요소, 즉 회전 그룹에 해당한다. 사영(타원) 삼각형의 경우, 사영 평면은 방향을 가질 수 없으므로 "방향 보존"이라는 개념이 없으므로 그렇게 해석할 수 없다. 그러나 반사는 ''국소적으로'' 방향을 반전시킨다(그리고 모든 다양체는 국소적으로 유향적이므로 국소적으로 유클리드적이다). 반사는 선을 고정하고 선의 각 지점에서 선을 가로지르는 반사이다.^[3]

군 ''D''(''l'',''m'',''n'')은 다음과 같은 표현으로 정의된다.

:

D(l,m,n)=\langle x,y \mid x^l,y^m,(xy)^n\rangle.

위의 생성자를 기준으로 하면, 이는 ''x = ab, y = ca, yx = cb''이다. 기하학적으로 세 요소 ''x'', ''y'', ''xy''는 삼각형의 세 꼭짓점을 중심으로 2π/''l'', 2π/''m'', 2π/''n''만큼 회전하는 것에 해당한다.

''D''(''l'',''m'',''n'') ≅ ''D''(''m'',''l'',''n'') ≅ ''D''(''n'',''m'',''l'')이므로, ''D''(''l'',''m'',''n'')은 ''l'',''m'',''n''의 순서에 관계없이 독립적이다.

쌍곡 폰 디크 군은 쌍곡 평면의 방향을 보존하는 등거리 변환으로 구성된 이산 군인 푸흐시안 군이다.

3. 분류

삼각군은 1/''l'' + 1/''m'' + 1/''n''의 값에 따라 구면, 유클리드, 쌍곡 삼각군으로 분류된다.

삼각군의 분류
분류	조건	특징	예시
구면 삼각군	1/l + 1/m + 1/n > 1	유한군, 정다면체의 대칭군과 관련	(2, 2, n), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5)
유클리드 삼각군	1/l + 1/m + 1/n = 1	무한군, 평면의 테셀레이션과 관련, 벽지군의 예시	(2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)
쌍곡 삼각군	1/l + 1/m + 1/n < 1	무한군, 쌍곡 평면의 정규 테셀레이션과 관련	(2, 3, 7), (2, 4, 5) 등

각 분류에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

3. 1. 구면 삼각군 (1/l + 1/m + 1/n > 1)

구면 삼각군은 유한군이며, 정다면체의 대칭군과 관련된다. 구면 삼각군에는 (2, 2, n), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5) 등이 있다.

(2, 2, ''n'') : 이각대칭의 군 Δ(2,2,''n''), ''n'' > 1은 두 개의 동일한 정다각형을 함께 연결하여 형성된 퇴화된 다면체인 일련의 이면체 또는 두 개의 꼭짓점에서 ''n''개의 이각형을 함께 연결하여 형성된 이중 호소헤드론의 대칭군으로 해석할 수 있다.
(2, 3, 3) : 정사면체의 대칭군이다.
(2, 3, 4) : 정육면체 및 정팔면체의 대칭군이다.
(2, 3, 5) : 정십이면체 및 정이십면체의 대칭군이다.

이러한 군은 유한하며, 이는 구체의 컴팩트성에 해당한다. 즉, 구체 내의 원의 면적은 처음에는 반경에 따라 증가하지만 결국 전체 구체를 덮는다.^[1]

정다면체에 해당하는 구면 타일링은 다면체의 중심 세분을 형성하고 결과적인 점과 선을 외접하는 구체에 투영하여 얻는다. 정사면체의 경우 4개의 면이 있으며 각 면은 중심에서 교차하는 중선에 의해 6개의 작은 조각으로 세분된 정삼각형이다. 결과적인 테셀레이션은 4 × 6=24개의 구면 삼각형을 갖는다 (구면 이중 사면체 입방체이다).^[1]

정팔면체와 정이십면체에 해당하는 구면 타일링과 짝수 ''n''을 가진 이면체 구면 타일링은 중심 대칭이다. 따라서 각 타일링은 실수 사영 평면, 즉 '''타원 타일링'''을 결정한다. 그 대칭군은 원점에 대한 반사 (-''I'')로 나눈 구면 삼각형군이며, 이는 차수 2의 중심 원소이다. 사영 평면은 타원 기하학의 모델이므로 이러한 군을 ''타원'' 삼각형군이라고 한다.^[1]

삼각형 타일링은 다음과 같이 묘사된다.

(2,2,2)	(2,2,3)	(2,2,4)	(2,2,5)	(2,2,6)
--	--	--	--	--
(2,3,3)		(2,3,4)		(2,3,5)
--		--		--

3. 2. 쌍곡 삼각군 (1/l + 1/m + 1/n < 1)

쌍곡 삼각군은 무한군이며, 쌍곡 평면의 정규 테셀레이션과 관련된다. (2, 3, 7), (2, 4, 5) 등 위에 나열되지 않은 모든 경우가 해당된다.

:

\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}<1.

삼각군은 쌍곡선 삼각형의 각의 합이 π보다 작은 쌍곡 평면의 타일링의 무한 대칭군이다. 예를 들어, (2,3,7)은 (2,3,7) 삼각군을 생성한다.

위 목록에 속하지 않은 것들은 모두 쌍곡 삼각군이며, 그 목록은 다음과 같다.

(2,3,n), n=7,8,9,…
(2,4,n), n=5,6,7,…
(3,3,n), n=4,5,6,…
(3,m,n), 4≤m≤n
(l,m,n), 4≤l≤m≤n

이러한 군은 무한히 많으며, 일부 작은 값과 관련된 타일링은 다음과 같다.

푸앵카레 원반 모형 기본 영역 삼각형
예시 직각 삼각형 (2 p q)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3 ∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4 ∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2 ∞ ∞)
예시 일반 삼각형 (p q r)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3 ∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3 ∞ ∞)	(6 6 6)	(∞ ∞ ∞)

쌍곡 삼각형군은 비유클리드 결정군의 예시이며, 그로모프 쌍곡군 이론에서 일반화되었다.

4. 성질

삼각군 $\triangle(l,m,n)$ 이 유한군일 필요충분조건은 구형인 경우, 즉 $1/l+1/m+1/n>1$ 인 것이다. 이는 쌍곡 평면이나 유클리드 평면과 달리, 실수 사영 평면은 콤팩트 공간이기 때문이다.

5. 예시

클라인 4차 곡선의 이론에서 (2,3,7)-폰 뒤크 군이 등장한다.

모듈러 군은 (2,3,∞)-폰 뒤크 군이다.

6. 역사

1856년에 윌리엄 로언 해밀턴은 정이십면체의 대칭군이 폰 뒤크 군 $\operatorname D(2,3,5)$ 임을 증명하고, 이 군을 "정이십면체 산법"(icosian calculus|아이코시언 캘큘러스^영어)이라고 불렀다.^[7]

"폰 뒤크 군"이라는 용어는 독일의 수학자 발터 프란츠 안톤 폰 뒤크(Walther Franz Anton von Dyck^de, 1856~1934)의 이름을 딴 것이다.

윌리엄 로언 해밀턴은 1856년 아이코시안 미적분에 관한 논문에서 (회전) (2,3,5) 삼각군으로서 정십이면체군을 제시하였다.^[4]

7. 응용

삼각군은 산술 기하학에서 발생한다. 모듈라 군은 두 개의 원소 ''S''와 ''T''에 의해 생성되며, 관계식 ''S''² = (''ST'')³ = 1 (''T''에 대한 관계 없음)을 만족하며, 회전 삼각군 (2,3,∞)이고, 관계식 ''T''^''n'' = 1을 추가하여 모든 삼각군 (2,3,''n'')으로 사상된다. 더 일반적으로, 헤케 군 ''H''_''q''는 두 개의 원소 ''S''와 ''T''에 의해 생성되며, 관계식 ''S''² = (''ST'')^''q'' = 1 (''T''에 대한 관계 없음)을 만족하며, 회전 삼각군 (2,''q'',∞)이고, 관계식 ''T''^''n'' = 1을 추가하여 모든 삼각군 (2,''q'',''n'')으로 사상된다. 모듈라 군은 헤케 군 ''H''₃이다. 그로텐디크의 어린이 그림 이론에서 벨리 함수는 삼각군의 반사 영역에 의해 리만 곡면의 테셀레이션을 발생시킨다.^[5]

모든 26개의 산재군은 삼각군의 몫이며,^[6] 이 중 12개는 후르비츠 군 ( (2,3,7) 군의 몫)이다.

참조

_[1] 인용
_[2] 인용
_[3] 인용
_[4] 간행물 Memorandum respecting a new System of Roots of Unity http://www.maths.tcd[...]
_[5] 웹사이트 Modular Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group http://www.xs4all.nl[...]
_[6] 인용
_[7] 저널 ⅬⅥ. Memorandum respecting a new System of Roots of Unity http://www.maths.tcd[...]

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