순간자

3. 양자역학에서의 순간자

양자역학에서 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 따르면, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 유클리드 작용으로 계산된다.^[4]

윅 회전을 통해 유클리드 작용을 정의하면 다음과 같다.

:$S\_E=\backslash int\backslash left(\backslash frac12m\backslash dot\; x^2+V(x)\backslash right)\backslash ,dt$

이는 퍼텐셜 $-V(x)$ 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)

:$\backslash frac12m\backslash dot\; x^2-V(x)=0$

이다. $a$에서 $b$로 가는, 유클리드 작용의 해를 '''순간자'''라고 하며, 그 작용은

:$S\_E=\backslash int\; m\backslash dot\; x^2\backslash ,dt=\backslash int\_a^bm\backslash dot\; x\backslash ,dx=\backslash int\_a^b\backslash sqrt\{2mV(x)\}\backslash ,dx$

이다. 따라서,

:$\backslash langle\; b|a\backslash rangle\backslash sim\backslash exp(-S\_E/\backslash hbar)$

임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 $S\_E$로 계산된다.

이중 우물 포텐셜에 있는 입자는 "순간자" 효과가 있는 시스템의 한 예시이다. 고전적인 입자와 달리, 자체 에너지보다 높은 포텐셜 에너지 영역을 통과할 확률이 0이 아니다.

반전된 이중 우물 퍼텐셜의 경우, 고유값은 복소수가 되며, 이 허수 부분은 벤더(Bender)와 우(Wu)의 결과와 일치한다.^[13]

"주기적 인스턴톤"은 인스턴톤의 일반화된 형태이며, 야코비 타원 함수로 표현할 수 있다.^[9] 주기적 인스턴톤은 화학 반응에서 원자의 터널링 속도를 계산하는 데 사용될 수 있다.^[11]

3. 1. 이중 우물 퍼텐셜

• \frac{c^2(3q^2_0+1)}{2h^4} - \frac{\sqrt{2}c^4q_0}{8h^{10}}(17q^2_0+19) +O(\frac{1}{h^{16}})

4. 양-밀스 이론의 순간자

알렉산드르 벨라빈, 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다.^[23] 이들은 유사입자(pseudoparticle^영어)라는 이름을 사용하였다.^[20] 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(instanton^영어)라고 이름붙였다.^[20]

순간자는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들로, '''보고몰니-프라사드-소머필드 부등식'''(Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound^영어, BPS 부등식)을 충족시킨다.^[24][25]

4차원 유클리드 공간 위 게이지 군 $G$를 가진 양-밀스 이론의 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash frac1\{2e^2\}\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R^4\}\backslash operatorname\{tr\}\; F^2\backslash ,d^4x$

여기서 $F\_\{ij\}=t^aF^a\_\{ij\}=\backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu-\backslash partial\_\backslash nu\; A\_\backslash mu+i[A\_\backslash mu,A\_\backslash nu]$는 게이지 장세기이고, $t^a$는 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 기저이다. 리 대수의 기저는 다음을 만족하도록 규격화한다.

:$\backslash operatorname\{tr\}(t^at^b)=\backslash frac12t^at^b$

:$[t^a,t^b]=if^\{abc\}t^c$

작용이 유한한 상태에서, 원점에서 무한히 먼 곳$(\backslash Vert\; x\backslash Vert\backslash to\backslash infty)$에서는 $F\backslash to\; 0$이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 $A\_\backslash mu$는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉, $A\_\backslash mu(x)=g(x)^\{-1\}\backslash partial\_\backslash mu\; g(x)$ ($g(x)\backslash in\; G$) 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^4$의 무한대는 $S^3$이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수 $A\backslash colon\; S^3\backslash to\; G$를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서 유한 작용 상태들은 게이지 군 $G$의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

:$[A]\backslash in\backslash pi\_3(G)$

흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

:$\backslash pi\_3(\backslash operatorname\{SU\}(N))=\backslash mathbb\; Z$ ($N\backslash ge\; 2$)

:$\backslash pi\_3(\backslash operatorname\{SO\}(N))=\backslash mathbb\; Z$ ($N=3$ 또는 $N>5$)

이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 '''순간자수'''(instanton number^영어)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(anti-instanton^영어)가 존재함을 뜻한다. $SU(N)$의 경우, 순간자수 $k$는 다음과 같다.

:$k=\backslash frac1\{24\backslash pi^2\}\backslash int\_\{\backslash Vert\; x\backslash Vert=\backslash infty\}d^3x\backslash ,\backslash hat\; n\_\backslash mu\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(A\_\backslash nu\; A\_\backslash rho\; A\_\backslash sigma)\backslash epsilon^\{\backslash mu\backslash nu\backslash rho\backslash sigma\}\backslash right)$

:$A\_\backslash mu=(\backslash partial\_\backslash mu\; g)g^\{-1\}$

여기서 $\backslash hat\; n^\backslash mu$는 $S^3$의 단위 수직 벡터이며, $\backslash epsilon^\{\backslash mu\backslash nu\backslash rho\backslash sigma\}$는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

(리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 $\backslash langle,\backslash rangle$이 존재한다.

:$\backslash langle\; A,B\backslash rangle=\backslash frac1\{2e^2\}\backslash int\_Md^4x\backslash ,\backslash operatorname\{tr\}(A\_\{\backslash mu\backslash nu\}B^\{\backslash mu\backslash nu\})$

이에 따라 양-밀스 작용은 $S=\backslash langle\; F,F\backslash rangle$가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하면($F=F\_++F\_-$)

:$S=\backslash langle\; F,F\backslash rangle=\backslash langle\; F\_+,F\_+\backslash rangle+\backslash langle\; F\_-,F\_-\backslash rangle\backslash ge|\backslash langle\; F\_+,F\_+\backslash rangle-\backslash langle\; F\_-,F\_-\backslash rangle|=|\backslash langle\; F,*F\backslash rangle|=\backslash frac\{8\backslash pi^2\}\{e^2\}|k|$

이다. 여기서 $k$는 순간자수이다. 따라서 주어진 순간자수 $k$를 가진 상태의 작용은 '''BPS 부등식''' $S\backslash ge\backslash frac\{8\backslash pi^2\}\{e^2\}|k|$을 만족시킨다. 이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 '''순간자'''라고 한다. 이들은 $F\_+=0$ 또는 $F\_-=0$, 즉 $F\_\{\backslash mu\backslash nu\}=\backslash pm*F\_\{\backslash mu\backslash nu\}$를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식 $D\_\backslash mu\; F^\{\backslash mu\backslash nu\}=D\_\backslash mu(*F)^\{\backslash mu\backslash nu\}=0$을 만족시키므로, 작용을 최소화한다.

4. 1. 수학적 정의

4. 2. 양자장론에서의 순간자

5. 초대칭 게이지 이론에서의 순간자

초대칭 게이지 이론은 비재규격화 정리를 따르며, 이는 허용되는 양자 보정의 종류를 제한한다. 섭동 이론에서 보이지 않는 순간자는 이러한 양에 대한 유일한 보정을 제공한다.

''N'' = 1 초대칭 게이지 이론에서 순간자는 초전위를 수정하여 때로는 모든 진공을 들어올릴 수 있다. 1984년, 이안 아플렉, 마이클 다인 및 네이선 세이베르그는 초전위에 대한 순간자 보정을 계산했다.

''N'' = 2 초대칭 게이지 이론에서 초전위는 양자 보정을 받지 않는다. 그러나 순간자로부터의 진공의 모듈 공간의 계량에 대한 보정은 네이선 세이베르그와 에드워드 위튼에 의해 계산되었으며, 이 과정에서 오늘날 세이베르그-위튼 이론으로 알려진 주제가 만들어졌다.

''N'' = 4 초대칭 게이지 이론에서 순간자는 진공의 모듈 공간의 계량에 대한 양자 보정을 유발하지 않는다.

6. 다양한 차원에서의 순간자

양자역학에서 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 4차원 게이지 이론에서 순간자는 비자명한 4차 형식 특성류를 갖는 게이지 묶음이다. 게이지 대칭이 유니타리 군 또는 특수 유니타리 군이면 이 특성류는 두 번째 천 특성류이며, 게이지군 U(1)의 경우 0이 된다. 게이지 대칭이 직교군이면 이 류는 첫 번째 폰트랴긴 특성류이다.

힉스장이 있는 3차원 게이지 이론에서, 't 호프트-폴리야코프 모노폴이 순간자의 역할을 한다. 알렉산더 마르코비치 폴리야코프는 1977년 논문 [http://inspirehep.net/record/112352 Quark Confinement and Topology of Gauge Groups]에서 3차원 QED가 스칼라장과 결합된 경우, 순간자 효과가 광자의 질량을 유발한다는 것을 증명했다.

2차원 아벨 게이지 이론에서 월드 시트 순간자는 자기 소용돌이이다. 이들은 거울 대칭에서 중심적인 역할을 하며, 끈 이론에서 많은 비섭동 효과의 원인이 된다.

1차원 양자 역학에서 순간자는 양자 터널링을 설명하며, 이는 섭동 이론에서는 보이지 않는다.^[4]

7. R⁴ 에서의 명시적 해

코리건과 페어리가 제시한 안자츠를 통해 게이지군 SU(2)를 갖는 반자기쌍대 양-밀스 방정식의 해를 $\backslash mathbb\{R\}^4$상의 임의의 조화 함수로부터 얻을 수 있다.^[18][19] 이 안자츠는 게이지장의 명시적인 표현을 제공하며, 임의로 큰 인스턴톤 수를 갖는 해를 구성하는 데 사용될 수 있다.

반대칭 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$-값을 갖는 객체 $\backslash sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$$\backslash sigma\_\{ij\}\; =\; \backslash epsilon\_\{ijk\}T\_k\backslash ,\; ,\; \backslash sigma\_\{i4\}\; =\; -\backslash sigma\_\{4i\}\; =\; T\_i,$$

여기서 그리스 문자는 1에서 4까지, 라틴 문자는 1에서 3까지 변하며, $T\_i$는 $[T\_i,\; T\_j]\; =\; -\backslash epsilon\_\{ijk\}T\_k$를 만족하는 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 기저이다. 그러면

:$$A\_\backslash mu\; =\; \backslash sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash frac\{\backslash partial\_\backslash nu\; \backslash rho\}\{\backslash rho\}\; =\; \backslash sigma\_\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash partial\_\backslash nu\; \backslash log(\backslash rho)$$

는 $\backslash rho:\; \backslash mathbb\{R\}^4\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$가 조화 함수인 경우 해가 된다.

4차원에서 라플라스 방정식의 기본 해는 임의의 고정된 $y$에 대해 $|x\; -\; y|^\{-2\}$이다. 이 해를 $N+1$개 중첩하면 다음과 같은 형태의 $N$-솔리톤 해를 얻을 수 있다.

:$$\backslash rho(x)\; =\; \backslash sum\_\{p=1\}^N\; \backslash frac\{\backslash lambda\_p\}$$

참조

_[1] 서적 Instantons in Gauge Theories World Scientific 1994
_[2] 서적 Interactions Between Charged Particles in a Magnetic Field Springer 2007-04-19
_[3] 서적 Large-Order Behaviour of Perturbation Theory Elsevier 2012-12-02
_[4] 논문 ABC of instantons https://iopscience.i[...] 1982-04-30
_[5] 웹사이트 Yang-Mills instanton in nLab https://ncatlab.org/[...] 2023-04-11
_[6] 문서 Nigel Hitchin's paper "Self-Duality Equations on Riemann Surface"
_[7] 서적 Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral World Scientific 2012
_[8] 서적 Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral World Scientific 2012
_[9] 서적 Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral World Scientific 2012
_[10] 논문 Solitons, bounces and sphalerons on a circle Elsevier BV
_[11] 서적 Tunnelling in Molecules: Nuclear Quantum Effects from Bio to Physical Chemistry https://doi.org/10.1[...] Royal Society of Chemistry
_[12] 논문 Theory and Simulation of Atom Tunneling in Chemical Reactions https://doi.org/10.1[...] 2014
_[13] 논문 Anharmonic Oscillator. II. A Study of Perturbation Theory in Large Order American Physical Society (APS) 1973-03-15
_[14] 문서 conformal map
_[15] 문서 Non-abelian gauge theory
_[16] 논문 How to discover QCD Instantons at the LHC
_[17] 문서 Chiral symmetry breaking|Pseudo-Goldstone boson
_[18] 논문 Scalar field theory and exact solutions to a classical SU (2) gauge theory 1977-03
_[19] 서적 Solitons, instantons, and twistors Oxford University Press 2010
_[20] 서적 Aspects of Symmetry Cambridge University Press
_[21] 서적 Solitons and Instantons North Holland
_[22] 서적 Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics Cambridge University Press 2012-10
_[23] 저널 Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations 1975
_[24] 저널 1976
_[25] 저널 Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon 1975-09-22