양-밀스 방정식

3. 주요 특징

양-밀스 이론은 맥스웰의 맥스웰 방정식을 일반화한 것으로, 리 군 $G$에 대한 게이지 이론을 정의하며 주다발 이론을 통해 설명된다. 이 이론에서 물리적 모델은 '장'을 사용하여 설명되며, '국소 게이지 변환'에서 물리적 장은 접속 $A$(게이지장)가 변환되는 방식대로 변환된다. '게이지장 강도'는 접속의 곡률 $F\_A$이며, 게이지장의 에너지는 양-밀스 작용 범함수로 주어진다.

:$\backslash operatorname\{YM\}(A)\; =\; \backslash int\_X\; \backslash |F\_A\backslash |^2\; \backslash ,\; d\backslash mathrm\{vol\}\_g.$

최소 작용의 원리에 따라 운동 방정식은 이 범함수의 오일러-라그랑주 방정식으로 주어지며, 양-밀스 방정식은 다음과 같다.

:$d\_A\; \backslash star\; F\_A\; =\; 0.$

이 방정식은 기하학적 의미를 가지는데, 양-밀스 접속은 곡률을 최소화하는 연결이며, 이는 다양체 위의 주 다발 또는 벡터 다발에 대한 자연스러운 연결 선택이다.

콤팩트, 가향, 리만 다양체 $X$에서 양-밀스 방정식은 콤팩트 리 군 $G$에 대해 $X$ 위의 주 $G$-다발 위의 연결에 대해 표현될 수 있다. $P$가 $X$ 위의 주 $G$-다발일 때, $P$ 위의 연결은 리 대수 값을 가지는 미분 형식 $A$로 지정될 수 있으며, 이 연결은 곡률 형식 $F\_A$와 공변 미분 $d\_A$를 가진다.

$X$가 리만 다양체이고 $G$가 콤팩트이면, $L^2$-내적을 정의할 수 있다.

:$\backslash langle\; s,t\; \backslash rangle\_\{L^2\}\; =\; \backslash int\_X\; \backslash langle\; s,\; t\; \backslash rangle\backslash ,\; d\; vol\_g$

이 $L^2$-내적을 사용하여 $d\_A$의 형식적 수반 연산자를 정의할 수 있다.

:$\backslash langle\; d\_A\; s,t\; \backslash rangle\_\{L^2\}\; =\; \backslash langle\; s,\; d\_A^*\; t\; \backslash rangle\_\{L^2\}$.

이는 $d\_A^*\; =\; \backslash pm\; \backslash star\; d\_A\; \backslash star$로 주어지며, 여기서 $\backslash star$는 호지 별 연산자이다.

양-밀스 방정식은 (일반적으로 비선형) 편미분 방정식 시스템으로 주어지며, $d\_A^*\; F\_A\; =\; 0.$^[3]과 같다. 이는 $d\_A\; \backslash star\; F\_A\; =\; 0$과 동치이다. 이 방정식을 만족하는 연결을 '''양-밀스 연결'''이라고 하며, 모든 연결은 비앙키 항등식 $d\_A\; F\_A\; =\; 0$을 만족하고, 양-밀스 연결은 조화 미분 형식 $d\backslash omega\; =\; d^*\; \backslash omega\; =\; 0$의 비선형 유사체이다.

3. 1. 정의

3. 2. 유도

3. 3. 양-밀스 접속의 모듈라이 공간

4. 반자기 쌍대성 방정식

4차원 다양체에서 호지 별 연산자는 제2형식을 제2형식으로 사상하며, 이 연산자는 제곱하면 항등함수가 된다. 따라서 고윳값으로 1과 -1을 가지며, 이에 따라 2-형식 공간은 자기쌍대 및 반자기쌍대 2-형식으로 분해된다.

$G$-주다발의 접속 $A$가 $F\_A\; =\; \backslash star\; F\_A$ (자기쌍대) 또는 $F\_A\; =\; -\; \backslash star\; F\_A$ (반자기쌍대)를 만족하면, 이 접속은 양-밀스 방정식의 해가 된다. 이러한 접속을 각각 '''자기 쌍대 접속'''과 '''반자기 쌍대 접속'''이라고 하며, 해당 방정식들을 '''자기 쌍대 방정식'''과 '''반자기 쌍대 방정식'''이라고 한다.^[3]

반자기 쌍대 접속의 모듈라이 공간(인스턴톤)은 $G\; =\; SU(2)$이고 기저 다양체 $X$가 단일 연결 공간인 경우, 도널드슨에 의해 집중적으로 연구되었다.^[7][8][9] 이 경우, $SU(2)$-주다발은 두 번째 천 특성류 $c\_2(P)\; \backslash in\; H^4(X,\; \backslash mathbb\{Z\})\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{Z\}$로 분류된다.^[10]

아티야-싱어 지표 정리를 이용하면, $c\_2(P)\; =\; k$인 경우 반자기 쌍대 접속의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\{M\}\_k^-$의 차원을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash dim\; \backslash mathcal\{M\}\_k^-\; =\; 8k\; -\; 3(1\; -\; b\_1(X)\; +\; b\_+(X))$

여기서 $b\_1(X)$는 $X$의 첫 번째 베티 수이고, $b\_+(X)$는 $X$의 교차 형식과 관련하여 $H\_2(X,\; \backslash mathbb\{R\})$의 양의 정부호 부분 공간의 차원이다.

예를 들어, $X\; =\; S^4$이고 $k=1$인 경우, 모듈라이 공간의 차원은 5차원이다. 이는 $\backslash mathbb\{R\}^4$ 안에서 중심과 규모를 정의하는 최대 5개의 매개변수를 갖는 BPST 인스턴톤의 존재와 일치한다.

5. 응용

사이먼 도날드슨은 반자기쌍대 순간자의 모듈라이 공간을 이용하여 4차원 다양체의 위상수학적 성질을 연구했으며,^[27][28][29] 도날드슨 정리는 4차원 다양체의 교차 형식에 대한 중요한 결과를 제공한다.

양-밀스 방정식은 차원 축소를 통해 보고몰니 방정식, 히친 방정식, 남 방정식 등 다른 중요한 방정식들을 유도할 수 있으며, 이들은 적분가능계 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

또한, 콤팩트 리만 곡면 $\backslash Sigma$ 위의 양-밀스 방정식의 모듈라이 공간은 원기둥 $\backslash Sigma\; \backslash times\; [0,1]$ 위의 천-사이먼스 이론의 위치 공간으로 볼 수 있다.

5. 1. 도날드슨 정리

5. 2. 차원 축소 및 기타 모듈라이 공간

• $\backslash mathbb\{R\}^4$에서 반자기 쌍대성 방정식이 한 방향의 평행 이동에 대해 불변이라는 조건을 추가하면, $\backslash mathbb\{R\}^3$ 위에서 자기 단극자를 설명하는 보고몰니 방정식을 얻는다.
• 자기 쌍대성 방정식이 두 방향의 평행 이동에 대해 불변이라는 조건을 추가하면, 히친이 처음으로 연구한 히친 방정식을 얻는다. 이 방정식은 자연스럽게 힉스 다발 및 히친 계에 대한 연구로 이어진다.
• 반자기 쌍대성 방정식이 세 방향의 평행 이동에 대해 불변이라는 조건을 추가하면, 어떤 구간에서 남 방정식을 얻는다.

5. 3. 천-사이먼스 이론

참조

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_[5] 논문 A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri 1983
_[6] 서적 Gauge theory and the topology of four-manifolds American Mathematical Soc. 1998
_[7] 논문 An application of gauge theory to four-dimensional topology 1983
_[8] 논문 Connections, cohomology and the intersection forms of 4-manifolds 1986
_[9] 논문 Polynomial invariants for smooth four-manifolds 1990
_[10] 웹사이트 For a proof of this fact, see the post https://mathoverflow[...]
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_[40] 논문 Flat connections and geometric quantization 1990
_[41] 논문 Geometric quantization of Chern Simons gauge theory 1991