외연
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1. 개요
외연은 수학적 개념이 지시하는 대상들의 집합을 의미하며, 논리학에서는 개념의 적용 범위를 나타내는 중요한 개념이다. 수학에서는 외연이 집합으로 정의되며, 함수, 군 등 다양한 수학적 대상의 기저 집합을 나타낸다. 컴퓨터 과학에서는 데이터베이스의 인스턴스를 지칭하는 용어로 사용된다. 논리학에서 외연은 주연과 부주연의 개념과 관련되며, 삼단 논법의 오류 분석에 활용된다. 형이상학에서는 존재론적 논의와 연결되어, 실제 존재하지 않는 대상의 외연 포함 여부에 대한 논쟁이 있다. 일반 의미론에서는 내포보다 외연에 대한 평가를 중시한다.
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| 외연 | |
|---|---|
| 의미론 | |
| 분야 | 의미론, 논리학 |
| 유형 | 개념 |
| 설명 | 한 단어 또는 구문이 가리키는 대상의 집합 |
| 반대 의미 | 내포 |
2. 외연과 내포의 개념
개념을 이해하고 정의할 때 중요한 두 가지 측면으로 외연과 내포가 있다. 이 둘은 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 종종 상반되는 특징을 보이지만 개념의 의미를 명확히 하는 데 있어 상호 보완적인 역할을 한다.
외연은 어떤 개념이 적용될 수 있는 구체적인 대상들의 전체 집합을 가리킨다. 예를 들어 '행성'이라는 개념의 외연은 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성 등이 포함된 집합이다.
반면, 내포는 그 개념이 공통적으로 가지고 있는 본질적인 속성이나 의미를 의미한다. '행성'의 내포는 '항성 주위를 공전하는 천체', '스스로 빛을 내지 못함', '구형에 가까운 형태를 유지할 만한 질량을 가짐' 등의 속성으로 설명될 수 있다.
일반적으로 외연과 내포는 반비례 관계를 가진다고 알려져 있다. 즉, 내포가 풍부해지고 구체적인 속성이 추가될수록 그 조건을 만족하는 대상의 범위인 외연은 좁아진다. 반대로 내포가 단순해지면 외연은 넓어지는 경향이 있다. 예를 들어 '동물'이라는 개념은 외연이 매우 넓지만, '포유류'라는 속성을 추가하면 내포는 구체화되고 외연은 줄어들며, 여기에 '개'라는 속성을 더하면 내포는 더욱 구체화되고 외연은 더 좁아진다.
이처럼 외연과 내포는 서로 다른 방향성을 가지지만, 하나의 개념을 정확하게 파악하기 위해서는 대상의 범위(외연)와 속성(내포)을 함께 고려해야 하므로 상호 보완적인 관계에 있다고 할 수 있다.
2. 1. 외연 (Extension)
어떤 개념이 지시하는 대상들의 집합, 즉 그 개념이 적용되는 모든 개체의 집합을 '외연'이라고 한다. 예를 들어, "대한민국의 역대 대통령"이라는 개념의 외연은 이승만, 윤보선, 박정희, ..., 문재인, 윤석열 등 실제 대통령이었던 모든 개인들의 집합이다.수학에서, 수학적 개념 의 외연은 에 의해 지정된 집합이다. 이 집합은 현재 공집합일 수도 있다.
집합이 무엇이든 외연의 개념을 포착할 수 있다는 아이디어는 공리적 집합론의 외연성의 공리의 근간을 이룬다. 이러한 종류의 외연은 집합론에 기반한 현대 수학에서 매우 자주 사용되기 때문에 암묵적인 가정이라고 할 수 있다. 수학에서의 일반적인 노력은 설명이 필요한 관찰된 수학적 대상에서 시작하며, 대상이 외연이 되는 특성화를 찾는 것이 과제이다.
3. 논리학에서의 주연과 부주연
형식 논리학, 특히 정언 명제와 삼단 논법에서 개념의 외연적 범위를 다루는 방식은 추론의 타당성에 중요한 영향을 미친다. 어떤 판단에서 특정 개념이 그 외연, 즉 해당 개념이 적용되는 대상의 전체 범위에 걸쳐 주장될 때 그 개념은 주연(周延)되었다고 한다. 반대로, 개념의 외연 중 일부에 대해서만 주장되거나 관계하는 경우는 부주연(不周延)이라고 한다.
예를 들어, ‘모든 인간은 동물이다.’라는 명제에서 주어인 ‘인간’ 개념은 모든 인간을 포함하므로 주연된 상태이다. 하지만 술어인 ‘동물’ 개념은 모든 동물이 아닌, 인간에 해당하는 동물의 일부만을 가리키므로 부주연 상태이다.
논리적 추론, 특히 삼단 논법에서는 이러한 주연과 부주연의 규칙을 지키는 것이 중요하다. 예를 들어, 중개념은 두 전제 중 적어도 한 번은 주연되어야 하며, 전제에서 부주연이었던 개념이 결론에서 주연되어서는 안 된다는 규칙 등이 있다. 이러한 규칙을 어기면 중명사 부주연의 오류(중개념 부주연의 허위)나 부당 주연의 오류(부당 주연의 허위)와 같은 논리적 오류가 발생하게 된다.
3. 1. 주연 (周延)
어떤 개념이 그 외연, 즉 개념이 적용되는 대상의 전체 범위에 걸쳐 사용될 때, 그 개념은 주연(周延)되었다고 한다. 형식 논리학에서 어떤 판단이 주어(명사)나 술어(명사) 개념의 외연 전체에 걸쳐 주장되는 경우, 그 개념의 상태를 가리킨다.예를 들어, ‘모든 인간은 동물이다.’라는 명제에서 주어인 ‘인간’이라는 개념은 그 외연 전체(모든 인간)를 포함하므로 주연되었다고 할 수 있다. 반면, 이 명제에서 술어인 ‘동물’은 모든 동물을 가리키는 것이 아니라 인간이라는 일부 동물만을 가리키므로 주연되지 않았다. 이렇게 개념의 외연 일부에만 관련되는 경우는 부주연(不周延)이라고 한다.
삼단 논법과 같은 논리적 추론 과정에서 개념이 주연되었는지 여부는 추론의 타당성을 판단하는 데 중요한 요소가 된다.
3. 2. 부주연 (不周延)
부주연(不周延)은 어떤 판단이 특정 개념이 가진 외연의 일부에만 해당될 때를 가리킨다. 형식 논리학에서는 어떤 판단의 주어(주명사)나 술어(빈명사) 개념이 그 외연 전체에 걸쳐 주장되지 않을 때, 그 개념의 상태를 부주연이라고 한다. 예를 들어, ‘모든 인간은 동물이다.’라는 명제에서 ‘인간’ 개념은 그 외연 전체(모든 인간)를 다루므로 주연(周延)이지만, ‘동물’ 개념은 동물의 일부(인간인 동물)만을 가리키므로 부주연(不周延)이다. 반대로 개념의 전체 범위가 다루어지는 경우는 주연(周延)이라고 한다.부주연과 관련된 논리적 오류에는 다음과 같은 것들이 있다.
- 중명사 부주연의 오류: 정언적 삼단 논법에서 중개념은 적어도 한 번은 주연되어야 한다는 규칙을 어기는 오류이다. 중개념이 두 전제에서 모두 부주연 상태이면 타당한 결론을 도출할 수 없다. 예를 들어, ‘모든 돼지는 동물이다. 모든 인간은 동물이다. 따라서 모든 인간은 돼지이다.’라는 추론에서 중개념인 ‘동물’은 두 전제 모두에서 부주연 상태이므로(첫 전제에서는 '동물'의 일부인 돼지만, 두 번째 전제에서는 '동물'의 일부인 인간만 언급), 이 추론은 오류이다.
- 부당 주연의 오류: 정언적 삼단 논법의 규칙 중 하나인 "전제에서 부주연이었던 개념은 결론에서 주연이 될 수 없다"는 규칙을 어겨서 발생하는 오류이다. 예를 들어, ‘모든 새는 날개가 있다. 어떤 동물은 새이다. 그러므로 모든 동물은 날개가 있다.’라는 추론에서, 결론의 주어인 ‘동물’은 모든 동물을 의미하므로 주연 상태이다. 하지만 두 번째 전제 ‘어떤 동물은 새이다’에서 ‘동물’은 일부 동물만을 가리키므로 부주연 상태였다. 따라서 전제에서 부주연이었던 '동물' 개념이 결론에서 부당하게 주연되었으므로 오류이다. 이 규칙은 삼단 논법의 타당성을 보장하는 중요한 원칙 중 하나이다.
3. 3. 주연과 부주연 관련 오류
정언적 삼단 논법에서는 명제의 주어나 술어가 그 외연 전체를 가리키는지(주연) 아니면 일부만을 가리키는지(부주연)에 따라 추론의 타당성이 결정된다. 특히 중개념이 전제에서 적어도 한 번은 주연되어야 한다는 규칙이나, 전제에서 부주연이었던 개념이 결론에서 주연되어서는 안 된다는 규칙 등을 어기면 논리적 오류가 발생한다. 이러한 주연, 부주연 규칙과 관련된 대표적인 오류로는 중명사 부주연의 오류와 부당 주연의 오류가 있다.3. 3. 1. 중개념 부주연의 오류
중개념 부주연의 허위(中槪念不周延의虛僞) 또는 '중명사 부주연의 오류'는 정언적 삼단 논법에서 발생하는 논리적 오류 중 하나이다. 이 오류는 삼단 논법의 중개념(매개념)이 결론을 뒷받침하는 두 전제에서 적어도 한 번은 그 외연 전체를 가리키는 주연(周延) 상태여야 한다는 규칙을 어겼을 때 발생한다. 즉, 중개념이 두 전제 모두에서 일부만을 가리키는 부주연 상태일 때 잘못된 결론에 이르게 된다.예를 들어, 다음과 같은 추론은 중개념 부주연의 오류에 해당한다.
이 추론에서 중개념은 '동물'이다. 하지만 대전제 "모든 돼지는 동물이다"에서 술어인 '동물'은 모든 동물을 지칭하는 것이 아니라 돼지가 속하는 동물의 일부만을 의미하므로 주연되지 않았다 (부주연). 마찬가지로 소전제 "모든 인간은 동물이다"에서도 술어인 '동물'은 모든 동물이 아닌 인간이 속하는 동물의 일부만을 의미하므로 주연되지 않았다 (부주연). 이처럼 중개념인 '동물'이 양쪽 전제에서 모두 주연되지 않았기 때문에, 두 전제가 참이라고 할지라도 결론이 필연적으로 도출되지 않는 오류를 범하게 된다.
3. 3. 2. 부당 주연의 오류
부당 주연의 오류(不當周延의 虛僞)는 정언적 삼단 논법에 관한 형식적 오류의 하나이다. 전제에서 부주연(不周延)인 개념은 결론에서 주연이되어서는 안 된다고 하는 삼단 논법의 규칙을 어겨서 생기는 오류이다. 예를 들면 ‘모든 새는 날개가 있다. 어떤 동물은 새이다. 그러므로 모든 동물은 날개가 있다.’ 하는 따위이다.4. 수학 및 컴퓨터 과학에서의 외연
(내용 없음)
4. 1. 수학에서의 외연
수학에서, 수학적 개념 C의 '외연'은 C에 의해 지정된 집합이다. (그 집합은 현재는 공집합일 수 있다.)예를 들어, 함수의 외연은 함수의 인자와 값을 짝짓는 순서쌍의 집합, 즉 함수의 그래프이다. 추상대수학에서 군과 같은 객체의 외연은 객체의 기저 집합이다. 집합의 외연은 그 집합 자체이다. 어떤 것이든 집합이라면 그 외연의 개념을 포착할 수 있다는 아이디어는 공리적 집합론의 외연성의 공리의 기초가 된다.
이러한 종류의 외연은 집합론에 기반한 현대 수학에서 매우 자주 사용되기 때문에 거의 암묵적인 가정으로 여겨진다. 수학에서는 일반적으로 설명이 필요한 관찰된 수학적 대상에서 시작하며, 그 대상이 외연이 되는 특성화를 찾는 것이 과제가 된다.
4. 2. 컴퓨터 과학에서의 외연
컴퓨터 과학 분야에서, 일부 데이터베이스 관련 교재에서는 데이터베이스의 스키마를 가리키는 용어로 '내포'를 사용하고, 특정 시점의 데이터베이스 인스턴스를 가리키는 용어로 '외연'을 사용한다.5. 형이상학적 함의
형이상학에서는 현재 실제로 존재하는 것 외에, 실재하지 않거나 존재하지 않는 것들이 있는지에 대한 논쟁이 계속되고 있다. 만약 이러한 것들이 존재한다면, 예를 들어 가능하지만 실재하지 않는 개(어떤 실재하지 않지만 가능한 종의 개일 수도 있다)나 존재하지 않는 존재(예: 셜록 홈즈)와 같은 것들도 다양한 개념과 표현의 외연에 포함될 수 있다. 반대로, 오직 존재하고 실재하는 것들만이 개념이나 표현의 외연에 포함될 수 있다는 입장도 있다.
여기서 "실재적"이라는 것이 반드시 "존재하는" 것과 같은 의미는 아닐 수 있다. 예를 들어, 단지 가능하지만 실재하지 않는 것들이 존재할 수도 있다. 이는 현실 세계와 다른 가능 세계에 존재하는 것일 수 있다. 반대로, 어떤 실재하는 것들은 (현재) 존재하지 않을 수도 있다. 셜록 홈즈는 허구의 인물이지만 '실재적인' 허구 인물의 예시로 볼 수 있다. 아서 코난 도일이 실제로 창조한 셜록 홈즈 외에도, 그가 창조했을 수도 있는 다른 많은 등장인물들을 생각해 볼 수 있다.
비슷한 문제는 더 이상 존재하지 않는 대상에서도 발생한다. 예를 들어, "소크라테스"라는 이름의 외연은 현재 존재하지 않는 대상을 가리키는 것처럼 보인다. 이러한 문제들을 다루기 위한 시도 중 하나로 자유 논리가 있다.
6. 일반 의미론
일반 의미론 분야의 몇 가지 기본적인 공식은 내포보다 외연에 대한 평가에 크게 의존한다.
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