일반상대론의 수학적 공식화 개론

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1. 개요

일반상대론의 수학적 공식화 개론은 수학적 개념인 벡터와 텐서, 그리고 이들의 좌표 변환에 대한 내용을 다룬다. 텐서는 벡터를 확장한 개념으로, 물리학과 일반 상대성 이론에서 널리 활용되며, 시공간의 곡률을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 일반 상대성 이론에서는 휘어진 시공간을 다루며, 이와 관련된 공변 미분, 측지선, 곡률 텐서, 스트레스-에너지 텐서 등의 개념이 등장한다. 또한, 아인슈타인 장 방정식과 슈바르츠실트 해, 커 해와 같은 블랙홀 관련 해들을 통해 중력 현상을 수학적으로 설명한다.

2. 벡터와 텐서의 기본 개념

물리학 및 공학에서 사용하는 유클리드 벡터(기하 또는 공간 벡터라고도 하며, 여기서는 단순히 벡터라고 함)는 크기(또는 길이)와 방향을 모두 갖는 기하학적 대상이다. 라틴어 단어 벡터(vector)는 "운반하는 사람"을 의미한다.^[3] 기하학적 벡터는 점 A를 점 B로 "옮기는"것을 표현했다고도 볼 수 있다. 벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며, 방향은 A에서 B로의 변위 방향을 나타낸다. 선형 공간이라는 대수적 구조가 수학에 있으며, 이에 대한 대수학을 선형 대수학이라고 한다. 선형공간의 원소들을 벡터라고 부르며, 기하학적 의미가 없는 순수하게 대수학적인 대상이다. 그러나 여기에 내적이라는 구조를 부여한다면 벡터는 길이나 각도 등의 기하학적 의미를 가진다.

텐서는 벡터의 개념을 확장한 것이다. 스칼라는 방향이 없는 단순한 숫자로, 그래프에서 점(0차 객체)으로 표시된다. 벡터는 크기와 방향을 가진, 그래프에서 선(1차 객체)으로 나타난다. 벡터보다 한 차수 높은 대상을 2차 텐서라고 하며, 주로 행렬로 표현한다. 2차 텐서는 평면 상에서 여러 방향으로 움직이는, 일련의 관련된 벡터들로 볼 수 있다.

2. 1. 벡터

물리학 및 공학에서 유클리드 벡터(종종 기하 또는 공간 벡터라고 부름, 여기서는 단순히 벡터라고 함)는 크기(또는 길이)와 방향을 모두 갖는 기하학적 대상이다. 기하학적 벡터는 점 A를 점 B로 "옮기는"것을 표현했다고도 볼 수 있다. 라틴어 단어 벡터(vector)는 "운반하는 사람"을 의미한다.^[3] 벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며, 방향은 A에서 B로의 변위 방향을 나타낸다.

수학에는 선형 공간이라는 대수적 구조가 있고, 이에 대한 대수학을 선형 대수학이라고 한다. 선형공간의 원소들을 벡터라고 부르며, 기하학적 의미가 없는 순수하게 대수학적인 대상이다. 그러나 여기에 내적이라는 구조를 부여한다면 벡터는 길이나 각도 등의 기하학적 의미를 가진다. 물리학, 공학 등에서 사용하는 기하학적 벡터들은 선형 공간의 원소가 될 수 있는 수많은 종류의 대상 가운데 한 예시이다. (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 부정과 같은) 실수에 대한 수많은 대수적 연산은 기하학적 벡터에 대해서도 비슷하며, 교환, 결합, 및 분배 법칙들과 같은 친숙한 대수적 법칙들을 준수한다.

2. 2. 텐서

텐서는 벡터의 개념을 확장한 것이다. (벡터의 차원과는 다른 의미이다.) 스칼라는 방향이 없는 단순한 숫자로, 그래프에 점(0차 객체)으로 표시된다. 크기와 방향을 가진 벡터는 그래프에 선(1차 객체)으로 표시된다. 벡터보다 한 차수 높은 대상을 2차 텐서라고 하며, 주로 행렬로 표현한다. 2차 텐서는 평면 상에서 여러 방향으로 움직이는, 일련의 관련된 벡터들로 볼 수 있다.

2차 텐서인 응력 텐서. 응력은 상자의 표면들 각각에서 일련의 벡터들로서 나타난다.

텐서는 벡터의 개념을 추가적인 방향으로 확장한다. 스칼라는 방향이 없는 단순한 숫자로, 그래프에서 점(0차원 객체)으로 표시된다. 벡터는 크기와 방향을 가진, 그래프에서 선(1차원 객체)으로 나타나며, 하나의 방향을 가지므로 1차 텐서이다.

2차 텐서는 두 개의 크기와 두 개의 방향을 가지며, 그래프에서 시계의 시곗바늘과 유사한 두 개의 선으로 나타난다. 텐서의 "차수"는 포함된 방향의 수를 의미하며, 개별 방향의 차원과는 별개이다. 2차 텐서는 2차원에서 2x2 행렬, 3차원에서는 3x3 행렬로 표현될 수 있지만, 두 경우 모두 "정사각형" 행렬이다. 3차 텐서는 세 개의 크기와 방향을 가지며, 3차원에서 방향에 대해 3x3x3의 숫자로 이루어진 입방체로 표현된다.

3. 좌표 변환

물리학과 수학에서 벡터는 종종 좌표계 또는 기준틀에 따라 달라지는 숫자의 튜플 또는 목록으로 식별된다. 좌표가 회전하거나 좌표계를 늘이는 방식으로 변환되면 벡터의 성분도 변환된다. 벡터 자체는 변경되지 않지만, 기준틀이 변경되면 벡터의 성분은 이를 보상하기 위해 변경되어야 한다.

벡터의 성분 변환이 좌표 변환과 어떻게 관련되는지에 따라 벡터는 공변 또는 반변이라고 한다.

3. 1. 공변 벡터와 반변 벡터

벡터는 종종 보조 좌표계 또는 기준틀에 의존하는 튜플(즉, 숫자 목록)을 사용하여 기재된다. 좌표계가 회전하거나 늘어나는 방식으로 변환되면, 벡터의 성분들 역시 변환하게 된다. 벡터 자체는 바뀌지 않더라도, 기준 프레임이 바뀌면, 벡터의 성분들 (또는 기준 프레임에 대해 얻어진 측정 값들)은 이를 상쇄하기 위해 바뀌어야 한다.

벡터는, 벡터의 성분에서의 변환이 좌표에서의 변환과 어떻게 관련되는지에 따라, 공변적 또는 반변적이라 불린다.

반변 벡터들은 (변위와 같은) 거리의 단위를 갖거나 (속도 또는 가속도와 같은) 거리와 어떤 다른 단위의 곱의 단위를 갖는 통상의 벡터들이다. 예를 들면, 단위가 미터에서 밀리미터로 바뀌면, 1m의 변위는 1000mm가 된다.
반면, 공변 벡터들은 (그래디언트와 같이) 거리-분의-일의 단위를 갖는다. 예를 들어, 다시 미터에서 밀리미터로 바뀌면, 1K/m의 그래디언트는 0.001K/mm가 된다.

아인슈타인 표기법에서, 반변 벡터와 텐서의 반변 성분은 위 첨자(예: )로 표시되고, 공변 벡터와 텐서의 공변 성분은 아래 첨자(예: )로 표시된다. 인덱스는 적절한 행렬(종종 항등 행렬)에 의한 곱셈에 의해 "올려"지거나 "낮춰"진다.

상대론에 따르면, 우주 안에 하나의 올바른 기준점은 없기 때문에, 좌표 변화는 중요하다. 지구 상에서, 우리는 (지구 전체에 걸쳐 사용되는) 북쪽, 동쪽, 고도와 같은 차원들을 사용한다. 공간의 경우, 그러한 시스템은 유효하지 않다. 명확한 기준 그리드 없으면, 그러한 네 방향을 향함/멀어짐(towards/away), 좌측/우측, 위/아래, 및 과거/미래로서 기술하는 것이 더 정확해진다.

예시적인 사건으로서, 독립 선언문의 서명식을 고려해보자. 레이니어 산 위에서 동쪽을 바라보는 현대의 관찰자에게, 그 사건은 전방, 오른쪽, 아래인 곳에서 그리고 과거에 일어난 일이다. 하지만, 중세 영국에 살면서 북쪽을 바라보는 관찰자에게, 그 사건은 뒤쪽, 왼쪽, 위도 아래도 아닌 곳에서, 미래에 일어날 일이다. 그 사건 자체는 변하지 않았지만, 관찰자의 위치는 변하였다.

3. 2. 기울어진 축

사교 좌표계는 축들이 서로 직교할 필요가 없는, 즉 직각이 아닌 각도로 만나는 좌표계이다. 좌표 변환을 사용하면, 새로운 좌표계는 이전 좌표계에 비해 기울어진 축들을 갖는 것처럼 보이게 된다.

벡터는 종종 보조 좌표계 또는 기준 프레임에 의존하는 튜플(숫자 목록)을 사용하여 표현된다. 좌표들이 좌표계의 회전 또는 늘림에 의해 변환되면, 벡터의 성분들 역시 변환하게 된다. 벡터 자체는 바뀌지 않더라도, 기준 프레임이 바뀌면, 벡터의 성분들은 이를 상쇄하기 위해 바뀌어야 한다.

벡터는, 벡터의 성분에서의 변환이 좌표에서의 변환과 어떻게 관련되는지에 따라, 공변적 또는 반변적이라 불린다.

반변 벡터들은 (변위와 같은) 거리의 단위를 갖거나 (속도 또는 가속도와 같은) 거리와 어떤 다른 단위의 곱의 단위를 갖는 통상의 벡터들이다. 예를 들면, 단위가 미터에서 밀리미터로 바뀌면, 1m의 변위는 1000mm가 된다.
반면, 공변 벡터들은 ( 그래디언트와 같이) 거리-분의-일의 단위를 갖는다. 예를 들어, 다시 미터에서 밀리미터로 바뀌면, 1K/m의 그래디언트는 0.001K/mm가 된다.

아인슈타인 표기법에서, 반변 벡터들 및 텐서들의 반변 성분들은 위 첨자(예를 들면, ''xⁱ'')로 표시되고, 공변 벡터들 및 텐서들의 공변 성분들은 아래 첨자 (예를 들면, ''x_i'')로 표시된다. 인덱스들은 적절한 행렬 (종종 항등 행렬)에 의한 곱셈에 의해 "올려"지거나 "낮춰"진다.

상대론에 따르면, 우주 안에 하나의 올바른 기준점은 없기 때문에, 좌표 변화는 중요하다. 지구 상에서, 우리는 (지구 전체에 걸쳐 사용되는) 북쪽, 동쪽, 고도와 같은 차원들을 사용한다. 공간의 경우, 그러한 시스템은 유효하지 않다. 명확한 기준 그리드 없으면, 그러한 네 방향을 향함/멀어짐(towards/away), 좌측/우측, 위/아래, 및 과거/미래로서 기술하는 것이 더 정확해진다.

예시적인 사건으로서, 독립 선언문의 서명식을 고려해보자. 레이니어 산 위에서 동쪽을 바라보는 현대의 관찰자에게, 그 사건은 전방, 오른쪽, 아래인 곳에서 그리고 과거에 일어난 일이다. 하지만, 중세 영국에 살면서 북쪽을 바라보는 관찰자에게, 그 사건은 뒤쪽, 왼쪽, 위도 아래도 아닌 곳에서, 미래에 일어날 일이다. 그 사건 자체는 변하지 않았지만, 관찰자의 위치는 변하였다.

3. 3. 비텐서

비텐서(nontensor)는 인덱스를 올리고 내리는 것에서 텐서처럼 동작하는 텐서와 비슷한 양이지만, 좌표 변환에서 텐서처럼 변환되지는 않는다. 예를 들어, 크리스토펠 기호는 좌표가 선형으로 변하지 않으면 텐서 자체가 될 수 없다.^[1]

일반 상대성 이론에서 중력장의 에너지와 운동량은 에너지-운동량 텐서로 기술될 수 없다. 대신, 제한된 좌표 변환에 대해서만 텐서로 동작하는 대상을 도입할 수 있다. 엄밀히 말하면, 그러한 대상들은 전혀 텐서가 아니다. 그러한 가짜 텐서의 유명한 예로는 란다우-리프시츠 유사 텐서가 있다.^[1]

4. 벡터와 텐서의 응용

벡터는 크기와 방향을 모두 갖는 물리량(예를 들면, 속도)을 나타내는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 위쪽으로 초당 5 미터의 속도는 벡터 (0, 5)로 나타낼 수 있다. 벡터는 힘과 같은 물리량을 표현하는 데 사용된다.^[1]

텐서는 이방성 매질에서 유전율 및 전기적 자화율을 나타내는 데 사용된다. 또한 구형 텐서 연산자는 구 좌표계에서 양자적 각운동량 연산자의 고유 함수이다.^[2]^[3]

4. 1. 물리학에서의 응용

물리학에서 벡터는 속도, 힘, 운동량, 전기장, 자기장 등과 같이 크기와 방향을 모두 갖는 물리량을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어, 위쪽으로 초당 5 미터의 속도는 벡터 (0, 5)로 나타낼 수 있다. 전기장 및 자기장과 같은 물리적 벡터들은 물리적 공간의 각 지점에서의 벡터들의 시스템으로 표현되는 벡터장으로 나타내어진다.^[1]^[2]^[3]

텐서는 벡터의 개념을 확장한 것으로, 물리학의 여러 분야에서 사용된다. 주요 텐서의 예는 다음과 같다.

텐서	분야	설명
전자기 텐서	전자기학	전자기장을 나타내는 텐서
변형 텐서	연속체 역학	물체의 변형을 나타내는 텐서
응력-에너지 텐서	일반 상대성 이론	운동량과 에너지의 흐름을 나타내는 텐서
확산 텐서	확산 텐서 영상 (생물학)	생물학적 환경에서 분자의 확산 속도를 나타내는 텐서

4. 2. 일반 상대성 이론에서의 응용

벡터는 물리학에서 필요한 가장 근본적인 수학적 구조이다. 벡터는 크기와 방향을 모두 갖는 물리량(예를 들면, 속도)을 나타내기 위해 사용될 수 있다. 예를 들어, (양의 y 축이 '위쪽' 방향인 2 차원에서) 위쪽으로 초당 5 미터의 속도는 벡터 (0, 5)로 나타낼 수 있다. 벡터를 통해 표현되는 또 다른 양은 힘이다. 벡터는 변위, 가속도, 운동량, 각운동량과 같은 다른 많은 물리량들을 나타내기 위해 사용된다. 전기장 및 자기장과 같은 다른 물리적 벡터들은 물리적 공간의 각 지점에서의 벡터들의 시스템으로 표현된다. 즉, 벡터장이다.

텐서는 물리학에서 광범위하게 사용된다.

전자기학에서의 전자기 텐서(또는 패러데이 텐서)
연속체 역학에서, 변형을 기술하기 위한 유한 변형 텐서 및 스트레인에 대한 스트레인 텐서
이방성 매질에서, 유전율 및 전기적 자화율은 텐서임.
일반 상대성 이론에서의 응력-에너지 텐서
구면 좌표계에서 양자적 각운동량 연산자의 고유 함수인 구형 텐서 연산자.
(확산 텐서 영상의 기초인) 확산 텐서는 생물학적 환경에서의 확산 속도를 나타냄.

일반 상대성 이론에서는, 4차원 시공간을 다루므로, 4차원 텐서 또는 사차원 벡터가 필요하다. 이러한 네 가지 차원들은 길이, 높이, 너비, 및 시간이다. 이 문서에서, "점(point)"은 위치와 시간을 모두 갖는 사건이다. 벡터와 마찬가지로, 상대론에서의 텐서는 4개의 차원을 필요로 한다. 그것의 한 예는 리만 곡률 텐서이다.

5. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 에너지와 질량은 우주의 네 차원(시공간)에 곡률 효과를 미친다. 이러한 곡률은 중력의 원인이 된다. 흔히 늘어난 고무판 위에 무거운 물체를 놓는 것으로 비유되는데, 고무판이 아래로 구부러지는 것처럼 물체 주변의 좌표계가 구부러지게 된다. 이는 우주의 물체가 놓여 있는 좌표계가 구부러지는 것과 유사하다. 여기서의 수학은 지구 표면을 다루는 것보다 더 복잡한데, 2차원 곡면을 설명하는 데 사용되는 3차원 대신 곡선 좌표의 4차원이 발생하기 때문이다.

일반 상대성 이론에서 휘어진 시공간에서의 벡터의 평행 이동은 유클리드 공간에서의 평행 이동과는 다르다. 평행 이동은 곡선을 따라 벡터를 이동시키는 방법으로, 특정 점에서의 평행 이동은 함수로 나타낼 수 있다. 이 함수는 곡선을 따른 벡터의 공변 미분이 0이라는 조건을 통해 결정되며, 이는 상수 함수의 미분이 항상 0인 것과 유사하다.^[4]^[5]

공변 미분은 벡터 미적분학에서 방향 도함수를 일반화한 것이다. 공변 미분은 미분이 수행되는 방향을 나타내는 벡터와 특정 점 주변에서 정의된 벡터장을 입력으로 받아, 그 점에서의 벡터를 출력한다. 일반적인 방향 도함수와 달리 공변 미분은 어떤 좌표계에서 표현되는 방식과 독립적이어야 한다.

민코프스키 공간에서 직선에 해당하는 휘어진 시공간에서의 가장 유사한 곡선을 측지선이라고 부른다.^[9]^[10] 순전히 시간꼴 경로의 경우, 측지선은 두 사건 사이의 경로를 따라 측정했을 때 국소적으로 가장 큰 시공간 간격을 갖는 경로이다. 반면, 유클리드 공간 및 리만 다양체에서 측지선은 두 점 사이의 가장 짧은 길이를 갖는 경로이다.^[9]^[10]

리만 곡률 텐서는 리만 다양체의 곡률을 결정하며, 일반 상대론에서 시공간의 휘어짐을 수학적으로 표현한다.

아인슈타인 텐서는 로런츠 다양체 상에 정의된 랭크-2 텐서로, 무-인덱스 표기법에서는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbf{G}=\mathbf{R}-\tfrac12\mathbf{g}R,$

여기서 은 리치 텐서, 는 메트릭 텐서, 은 스칼라 곡률이다. 아인슈타인 텐서는 아인슈타인 장 방정식에 사용된다.

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 장 방정식(Einstein field equations, EFE) 또는 아인슈타인의 방정식은 10개의 방정식으로 구성되어 있다. 이 방정식은 중력의 기본적인 상호작용을 시공간이 물질과 에너지에 의해 굽어짐으로써 발생하는 현상으로 묘사한다.^[6] 1915년에 아인슈타인이 처음 발표한^[7] EFE는 텐서 방정식으로, 시공간의 국소적 곡률(아인슈타인 텐서로 표현)을 해당 시공간 내의 국소적인 에너지와 운동량(응력-에너지 텐서로 표현)과 등식으로 연결한다.^[8]

아인슈타인 장 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $G_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} ,$

여기서 $G_{\mu \nu}$ 는 아인슈타인 텐서이고 $T_{\mu \nu}$ 는 응력-에너지 텐서이다.

이는 공간의 곡률(아인슈타인 텐서)이 물질과 에너지의 존재(응력-에너지 텐서)와 직접적으로 관련되어 있음을 의미한다.

5. 1. 휘어진 시공간

카시니 우주 탐사선을 이용한 일반 상대성 이론에 대한 고정밀 테스트 (작가의 상상도): 지구와 탐사선 사이에 보내진 신호(녹색 파동)는 태양의 질량에 의한 공간-및-시간(청색 선)의 구부러짐에 의해 샤피로 효과가 발생한다. 즉, 태양의 질량은 규칙적인 격자 좌표계(파란색)가 왜곡되어 곡률을 갖도록 한다. 신호는 이러한 곡률을 따라서 태양 쪽으로 움직인다.

곡선 좌표는 축 사이의 각도가 지점마다 달라질 수 있는 좌표이다. 이것은 직선의 격자 대신에, 격자가 곡률을 갖는다는 것을 의미한다.

이에 대한 좋은 예는 지구 표면이다. 지도에서는 종종 북쪽, 남쪽, 동쪽, 서쪽을 단순한 사각형 격자로 묘사하지만, 실제로는 그렇지 않다. 대신 북쪽과 남쪽으로 뻗어 있는 경도선은 곡선이며 북극에서 만난다. 이는 지구가 평평하지 않고 둥글기 때문이다.

일반 상대성 이론에서 에너지와 질량은 우주의 네 차원(시공간)에 곡률 효과를 미친다. 이러한 곡률은 중력의 원인이 된다. 흔한 비유는 늘어난 고무판 위에 무거운 물체를 놓는 것으로, 고무판이 아래로 구부러지게 한다. 이는 물체 주변의 좌표계를 구부러지게 하며, 이는 우주의 물체가 놓여 있는 좌표계를 구부러지게 하는 것과 유사하다. 여기서의 수학은 지구에서의 수학보다 개념적으로 더 복잡하다. 2차원 곡면을 설명하는 데 사용되는 3차원 대신 곡선 좌표의 4차원이 발생하기 때문이다.

5. 2. 평행 이동

일반 상대성 이론에서 휘어진 시공간에서의 벡터의 평행 이동은 유클리드 공간에서의 평행 이동과는 다르다. 평행 이동은 곡선 를 따라 벡터 를 이동시키는 방법으로, 점 에서 의 평행 이동은 (여기서 )와 같이 함수로 나타낼 수 있다. 이 함수는 곡선 를 따른 의 공변 미분이 0이라는 조건을 통해 결정된다. 이는 상수 함수의 미분이 항상 0인 것과 유사하다.^[4]^[5]

예를 들어, 2차원 평면에 놓인 3차원 공의 표면을 생각해 보자. 이 공의 표면에서 한 원을 따라 벡터를 평행 이동시키는 경우, 벡터의 방향은 원의 곡률에 따라 변하게 된다. 이는 휘어진 공간에서의 평행 이동이 평평한 공간에서의 평행 이동과 어떻게 다른지를 보여주는 간단한 예시이다.

벡터는 종종 좌표계 또는 기준틀에 따라 달라지는 숫자의 목록으로 식별된다. 좌표가 회전하거나 늘어나는 방식으로 변환되면 벡터의 성분도 변환된다. 벡터 자체는 변경되지 않지만, 기준틀은 변경되므로 벡터의 성분은 보상하기 위해 변경되어야 한다. 이러한 벡터의 성분 변환이 좌표 변환과 어떻게 관련되는지에 따라 벡터는 공변 또는 반변이라고 한다.

반변 벡터는 좌표계와 반대 방향으로 변환된다.
공변 벡터는 좌표계와 같은 방식으로 변환된다.

아인슈타인 표기법에서 반변 벡터와 텐서 성분은 위첨자로 표시되고, 공변 벡터와 텐서 성분은 아래첨자로 표시된다.

5. 3. 공변 미분

공변 미분은 벡터 미적분학에서 방향 도함수를 일반화한 것이다. 방향 도함수와 마찬가지로, 공변 미분은 (1) 미분이 수행되는 방향을 나타내는, 점 에서 정의된 벡터 와 (2) 점 주변에서 정의된 벡터장 를 입력으로 받는다. 출력은 점 에서의 벡터이다. 일반적인 방향 도함수와 주된 차이점은 공변 미분이 어떤 좌표계에서 표현되는 방식과 독립적이어야 한다는 것이다.

공변 미분이 주어지면, 점 에서 시작하는 곡선 를 따라 에 위치한 벡터 의 평행 이동을 정의할 수 있다. 의 각 점 에 대해, 에서의 의 평행 이동은 의 함수일 것이며 로 쓸 수 있다(여기서 ). 함수 는, 곡선 를 따른 의 공변 미분이 0이라는 요건에 의해 결정된다. 이는 상수 함수는 미분이 항상 0이라는 사실과 유사하다.

공변 미분에 대한 방정식은 크리스토펠 기호를 통해 쓰여질 수 있다. 크리스토펠 기호는 휘어진 4차원의 로렌츠 다양체로 표현되는, 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 빈번하게 사용된다. 물질이 존재할 때 시공간의 기하를 결정하는 아인슈타인 장 방정식은 리치 텐서를 포함한다. 리치 텐서는, 크리스토펠 기호를 통해 표현될 수 있는, 리만 곡률 텐서로부터 얻어지기 때문에, 크리스토펠 기호에 대한 계산은 필수적이다. 일단 기하학적 구조가 결정되면, 입자들 및 광선들의 경로들은, 크리스토펠 기호들이 명시적으로 나타나는, 측지선 방정식 풀이를 통해 계산된다.

5. 4. 측지선

민코프스키 공간에서 직선에 해당하는, 휘어진 시공간에서의 가장 유사한 곡선을 측지선이라고 부른다.^[9]^[10] 순전히 시간꼴 경로의 경우, 측지선은 두 사건 사이의 경로를 따라 측정했을 때 국소적으로 가장 큰 시공간 간격을 갖는 경로이다. 반면, 유클리드 공간 및 리만 다양체에서 측지선은 두 점 사이의 가장 짧은 길이를 갖는 경로이다.^[9]^[10]

측지선의 개념은 일반 상대론에서 핵심적인데, 측지선을 따르는 운동은 시공간에서 (외부 영향으로부터 자유로운) "순수 운동"(관성 운동)으로 간주되기 때문이다.

수학의 리만 기하학에서는 일반적 리만 다양체에 대해 '''측지선'''을 정의한다. 일반 상대론에서는 질량 때문에 휘어진 시공간을 4차원 준 리만 다양체의 특별한 경우인 로런츠 다양체로 설정한다. 로런츠 다양체에 일반 상대론적 의미를 부여하면, 수학에서 정의된 측지선이 일반 상대론에서도 물리학적 의미를 갖게 된다. 여기서 특정한 '''측지선'''은 일반 상대론에서 다음과 같이 해석된다. 즉, ''모든 외부의 비중력적 힘으로부터 자유로운, 다시 말해 자유낙하하는 입자의 세계선은 수학적으로 특정한 측지선이다.'' 따라서 자유롭게 움직이거나 자유 낙하하는 입자는 항상 측지선을 따라 움직인다.

일반 상대론에서 중력은 힘이 아니라 휘어진 시공간 기하의 결과이며, 여기서 곡률의 원인은 (물질 등을 나타내는) 응력-에너지 텐서이다. 예를 들어, '''별 주위를 공전하는 행성의 경로는 그 별 주위의 휘어진 4차원 시공간 기하의 측지선을 3차원 공간에 투영한 것이다.'''

5. 5. 곡률 텐서

리만 곡률 텐서는 리만 다양체의 곡률을 결정한다. 따라서 일반 상대론에서 시공간의 휘어짐이 얼마인지를 수학적으로 표현해준다. 텐서를 축약하면 다음 3가지 수학적 대상들이 생성된다.

# 리만 곡률 텐서: 메트릭 텐서의 미분으로부터 얻어질 수 있으며 공간의 곡률에 대한 대부분의 정보를 준다. 편평한 공간에서 이 텐서는 0이다.

# 리치 텐서: 단지 2개의 인덱스들을 갖는 곡률 텐서에 대한 아인슈타인 이론에서의 필요로부터 나온다. 이것은 리만 곡률 텐서의 특정한 부분들을 평균함으로써 얻어진다.

# 스칼라 곡률: 하나의 스칼라 값을 공간 내의 각 점에 대응하는 곡률의 가장 단순한 계량이다. 이는 리치 텐서를 평균함으로써 얻어진다.

리만 곡률 텐서는 공변 미분을 통해 표현될 수 있다.

아인슈타인 텐서는 로런츠 다양체 상에 정의된 랭크-2 텐서이다. 무-인덱스 표기법에서, 이는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{G}=\mathbf{R}-\tfrac12\mathbf{g}R,

여기서 은 리치 텐서이고, 는 메트릭 텐서이고, 은 스칼라 곡률이다. 이러한 아인슈타인 텐서는 아인슈타인 장 방정식에 사용된다.

5. 6. 스트레스-에너지 텐서

'''스트레스-에너지 텐서'''(때로는, '''스트레스-에너지-운동량 텐서''' 또는 '''에너지-운동량 텐서''')는 시공간에서 에너지와 운동량의 밀도 및 다발(flux)을 기술하는, 물리학에서의 텐서량이다. 이는 뉴턴 물리학에서의 응력 텐서를 일반화시킨 것이다. 물질, 복사, 비중력적 힘장의 특성이다. 질량 밀도가 뉴턴 중력 이론에서 그러한 장의 소스인 것처럼, 스트레스-에너지 텐서는 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에서, 중력장의 소스이다.

5. 7. 아인슈타인 방정식

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 장 방정식(Einstein field equations, EFE) 또는 아인슈타인의 방정식은 10개의 방정식으로 구성되어 있다. 이 방정식은 중력의 기본적인 상호작용을 시공간이 물질과 에너지에 의해 굽어짐으로써 발생하는 현상으로 묘사한다.^[6] 아인슈타인이 1915년에 처음 발표한^[7] EFE는 텐서 방정식으로, 시공간의 국소적인 곡률 (아인슈타인 텐서로 표현)을 해당 시공간 내의 국소적인 에너지와 운동량 (응력-에너지 텐서로 표현)과 등식으로 연결한다.^[8]

아인슈타인 장 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

G_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} ,

여기서

G_{\mu \nu}

는 아인슈타인 텐서이고

T_{\mu \nu}

는 응력-에너지 텐서이다.

이것은 공간의 곡률(아인슈타인 텐서로 표시)이 물질과 에너지의 존재(응력-에너지 텐서로 표시)와 직접적으로 관련되어 있음을 의미한다.

5. 8. 슈바르츠실트 해와 블랙홀

슈바르츠실트 계량(슈바르츠실트 진공 또는 슈바르츠실트 해)은 아인슈타인 장 방정식의 해로, 구형 질량 바깥의 중력장을 기술한다. 이때 질량의 전하, 각운동량, 우주의 우주 상수는 모두 0이라고 가정한다. 이 해는 지구와 태양을 포함하여 느리게 회전하는 많은 별과 행성과 같은 천문학적 물체를 설명하는 데 유용하다. 1916년 이 해를 처음 발표한 카를 슈바르츠실트의 이름을 따서 명명되었다.

비르코프 정리에 따르면, 슈바르츠실트 계량은 회전 대칭이며 진공 해인 아인슈타인 장 방정식의 가장 일반적인 해이다. '''슈바르츠실트 블랙홀''' 또는 '''정적 블랙홀'''은 전하 또는 각운동량이 없는 블랙홀이다. 슈바르츠실트 블랙홀은 슈바르츠실트 계량으로 설명되며, 질량을 제외하고는 다른 슈바르츠실트 블랙홀과 구별할 수 없다.

5. 9. 커 해와 회전하는 블랙홀

1963년 뉴질랜드의 수학자 로이 커가 회전하는 블랙홀을 나타내는 아인슈타인 방정식 해를 구하였다. 이를 커 계량이라고 부른다. 회전으로 인해 원심력이 발생하여 사건의 지평선 바깥에 블랙홀의 영향이 미치는 작용권이라는 특이한 영역이 생긴다. 이런 블랙홀이 실제로 자연계에서 존재할 확률이 가장 높다고 보고 있다. 각운동량 외에 전하까지 가진 경우는 커-뉴먼 계량이 된다.

참조

_[1] 기타 Ivanov
_[2] 기타 Heinbockel
_[3] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics http://jeff560.tripo[...] 2007-05-25
_[4] 문서 This characterization is not universal: both the arcs between two points of a [[great circle]] on a sphere are geodesics.
_[5] 서적 Principles of Cosmology and Gravitation https://books.google[...] CRC Press
_[6] 저널 The Foundation of the General Theory of Relativity http://www.albertein[...]
_[7] 저널 Die Feldgleichungen der Gravitation http://nausikaa2.mpi[...] 1915-11-25
_[8] 서적 Gravitation W. H. Freeman
_[9] 문서 This characterization is not universal: both the arcs between two points of a [[great circle]] on a sphere are geodesics.
_[10] 서적 Principles of Cosmology and Gravitation https://books.google[...] CRC Press
_[11] 저널 The Foundation of the General Theory of Relativity http://www.albertein[...]
_[12] 저널 Die Feldgleichungen der Gravitation http://nausikaa2.mpi[...] 2006-09-12
_[13] 서적 Gravitation W. H. Freeman

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