재규격화

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1. 개요

재규격화는 양자장론에서 발생하는 무한대 문제를 해결하기 위한 수학적 기법이다. 1930년대 양자전자기학 발전 과정에서 섭동 계산의 발산 문제가 제기되었고, 1940년대 초 도모나가 신이치로가 상대론적 공변하는 장의 양자론인 초다시간이론을 제시하며 재규격화의 기반을 마련했다. 이후 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만, 프리먼 다이슨 등의 연구를 통해 재규격화 이론이 정립되었고, 양자전기역학, 양자색역학, 와인버그-살람 이론 등 소립자론 발전에 기여했다.

재규격화는 전자의 전하와 질량 등 이론의 매개변수를 재정의하여 무한대를 제거하는 방식으로 작동하며, 정칙화, 재규격화군, 유효장론 등 다양한 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 재규격화에 대한 초기 학자들의 비판적인 시각도 있었지만, 1970년대 이후 재규격화군과 유효장론 연구를 통해 그 유용성이 입증되었다. 리오 카다노프, 케네스 윌슨, 헤라르뒤스 엇호프트 등 많은 학자들이 재규격화 이론 발전에 기여했다.

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재규격화
개요
분야	물리학
목적	무한대를 다루는 방법
관련 항목	정규화
상세 내용
설명	양자장론에서 계산 결과에 나타나는 무한대 발산을 제거하고, 물리적으로 의미 있는 유한한 값을 얻어내는 일련의 과정 장의 재정의 또는 수정, 결합 상수, 질량과 같은 이론의 파라미터를 포함
필요성	양자장론 계산에서 발생하는 무한대 문제를 해결 이론의 예측이 실험 결과와 일치하도록 조정
주요 방법	정규화: 무한대를 포함하는 적분을 유한한 값으로 만드는 수학적 기법 발산 제거: 정규화된 표현에서 발산하는 항들을 제거 파라미터 재정의: 물리적으로 측정 가능한 값으로 파라미터를 재정의
역사
초기 연구	1930년대 후반 ~ 1940년대: 한스 베테, 헨드릭 안토니 크라머르스, 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만, 도모나가 신이치로 등에 의해 개발
발전	1970년대: 케네스 윌슨의 재규격화군 개념 등장 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만이 게이지 이론의 재규격화 가능성을 증명
정규화 방법 (Regularization)
종류	차원 정규화 (Dimensional regularization) 파울리-빌라르 정규화 (Pauli–Villars regularization) 격자 정규화 (Lattice regularization) 제타 함수 정규화 (Zeta function regularization) 인과 섭동 이론 (Causal perturbation theory) 아다마르 정규화 (Hadamard regularization) 점 분할 정규화 (Point-splitting regularization)
관련 과학자
과학자	스테판 L. 애들러 한스 베테 니콜라이 보골류보프 커티스 콜런 데이비드 존 캔들린 시드니 콜먼 브라이스 드윗 폴 디랙 프리먼 다이슨 엔리코 페르미 리처드 파인만 마르쿠스 피에르츠 위르크 프뢸리히 머리 겔만 제프리 골드스톤 데이비드 그로스 헤라르뒤스 엇호프트 로만 자키우 오스카르 클라인 레프 란다우 이정다오 해리 레만 에토레 마요라나 남부 요이치로 조르조 파리시 알렉산드르 폴랴코프 압두스 살람 줄리언 슈윙거 토니 스커미 에른스트 슈튀켈베르크 쿠르트 지만치크 도모나가 신이치로 마르티뉘스 펠트만 스티븐 와인버그 빅토어 바이스코프 케네스 윌슨 프랭크 윌첵 에드워드 위튼 양전닝 유카와 히데키 볼프하르트 지머만

2. 역사

응집 물질 물리학에서 시작된 재규격화는, 그 물리적 의미와 일반화에 대한 깊은 이해를 통해 기존의 "재규격화 가능" 이론의 범위를 넘어섰다. 1966년 레오 P. 카다노프는 "블록 스핀" 재규격화군을 제안하며, 먼 거리에서의 이론 구성 요소를 더 짧은 거리에서의 구성 요소 집합으로 정의하는 "블록화 아이디어"를 제시했다.^[33]

이러한 접근 방식은 케네스 G. 윌슨의 연구를 통해 구체화되었다.^[22] 윌슨은 1974년 오랫동안 난제로 여겨졌던 곤도 문제를 해결하고, 1971년에는 2차 상전이 및 임계 현상 이론에 대한 새로운 방법론을 제시하는 등 재규격화 이론 발전에 크게 기여하여 1982년 노벨 물리학상을 수상했다.

1930년대 양자 전기역학(QED) 발전 과정에서 막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단, 폴 디랙 등은 섭동 계산에서 많은 적분들이 발산하는 문제를 발견했다.^[21] 당시 장의 양자론은 상대론적으로 미비하여 정확한 값을 얻을 수 없었다.

이 문제를 해결하기 위해 1943년 도모나가 신이치로는 상대론적으로 공변하는 장의 양자론인 '''초다시간론'''을 창안했고, 재규격화는 초다시간론을 바탕으로 확립되었다.^[46]^[47]^[48]^[49]^[50]^[51]^[52] 줄리언 슈윙거는 도모나가와 유사한 형식을 개발했고, 리처드 파인만은 경로 적분을 형성하여(1948년) 재규격화 이론을 건설하였다.^[39]^[40]^[41]^[42]^[43]^[44]^[45] 프리먼 다이슨은 이 세 사람의 이론이 동등함을 증명하였다.^[53]

도모나가, 슈윙거, 파인만의 재규격화 이론은 상대론, 장의 양자론과 더불어 기본 원리로 여겨지며, 양자론적 전자기학의 기초가 되었다. 양자전기역학은 이후 소립자론의 전형이 되었으며, 양자색역학, 와인버그-살람 이론을 이끌어내는 계기가 되었다. 세 사람은 이 업적으로 노벨 물리학상을 수상했다.

양자색역학에서는 헤라르뒤스 엇호프트가 비가환 게이지 재규격화 가능성을 증명했고, 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵, H. 데이비드 폴리처는 재규격화군에 의한 점근적 자유성을 기술하여 노벨상을 수상했다.

2. 1. 고전 물리학에서의 자기 상호작용 문제

그림 1. 양자 전기역학에서의 재규격화: 한 재규격화 점에서 전자의 전하를 결정하는 단순한 전자/광자 상호 작용은 다른 점에서는 더 복잡한 상호 작용으로 나타난다.

무한대의 문제는 19세기와 20세기 초 고전 전자기학의 점 입자에서 처음 발생했다.

전하를 띤 입자의 질량은 정전기장 내의 질량-에너지를 포함해야 한다. (전자기 질량) 입자가 반지름이

r_\text{e}

인 대전된 구형 껍질이라고 가정한다. 장 내의 질량-에너지는 다음과 같다.

:

m_\text{em} = \int \frac{1}{2} E^2 \, dV = \int_{r_\text{e}}^\infty \frac{1}{2} \left( \frac{q}{4\pi r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = \frac{q^2}{8\pi r_\text{e}}

이는

r_\text{e} \rightarrow 0

일 때 무한대가 된다. 이는 점 입자가 무한대의 관성을 갖게 되므로 가속될 수 없음을 의미한다.

m_\text{em}

을 전자 질량과 같게 만드는

r_\text{e}

의 값은 고전 전자 반경이라고 하며, (

q = e

로 설정하고

c

와

\varepsilon_0

의 인수를 복원하면) 다음과 같다.

:

r_\text{e} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_\text{e} c^2} = \alpha \frac{\hbar}{m_\text{e} c} \approx 2.8 \times 10^{-15}~\text{m}

여기서

\alpha \approx 1/137

는 미세 구조 상수이고,

\hbar/(m_\text{e} c)

는 전자의 환산된 컴프턴 파장이다.
재규격화: 구형 전하 입자의 총 유효 질량에는 구형 껍질의 실제 베어 질량(전기장과 관련된 위에 언급된 질량 외에도)이 포함된다. 껍질의 베어 질량이 음수일 경우 일관된 점 극한을 취할 수 있다. 이를 "재규격화"라고 불렀고, 로렌츠와 아브라함은 이런 방식으로 전자의 고전 이론을 개발하려고 시도했다. 이 초기 연구는 이후 정칙화 및 양자장론에서의 재규격화 시도에 영감을 주었다.

전자기학적 전하 입자의 상호 작용을 계산할 때, 입자 자신의 장이 자신에게 미치는 ''반작용''을 무시하고 싶은 유혹이 있다. (회로 분석의 역기전력과 유사하다.) 그러나 이 반작용은 전하를 띤 입자가 복사선을 방출할 때의 마찰을 설명하는 데 필요하다. 전자가 점이라고 가정하면 질량이 발산하는 것과 같은 이유로, 장이 제곱 반비례 법칙을 따르기 때문에 반작용의 값이 발산한다.

아브라함-로렌츠 이론에는 인과관계가 없는 "사전 가속"이 있었다. 때로는 힘이 가해지기 ''전''에 전자가 움직이기 시작했다. 이것은 점 극한이 일관되지 않다는 신호이다.

2. 2. 양자 전기역학의 발전과 무한대 문제

막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단, 폴 디랙은 1930년대에 양자 전기역학(QED)을 개발하면서, 섭동 보정에서 많은 적분들이 발산한다는 사실을 발견했다. (무한대의 문제 참조).^[21] 1930년대에는 이러한 발산을 해결하기 위한 계산이 몇 가지 이루어졌지만, 당시 장의 양자론은 상대론적으로 미비하여 정확한 값을 제공하지 못했다.

섭동 이론 보정에서 나타나는 이러한 발산은 가상 입자의 닫힌 ''루프''를 포함하는 파인만 도형과 관련된 복사 보정에서 비롯된다.^[21] 가상 입자는 에너지와 운동량 보존을 따르지만, 상대론적 에너지-운동량 관계에서 허용되지 않는 에너지와 운동량을 가질 수 있다. (즉,

E^2 - p^2

이 반드시 해당 과정에서 입자의 질량 제곱일 필요는 없다.) 이러한 입자를 오프 쉘이라고 한다. 루프가 존재할 때, 루프에 포함된 입자의 운동량은 들어오고 나가는 입자의 에너지와 운동량에 의해 고유하게 결정되지 않는다. 따라서 루프 과정의 진폭을 구하려면 루프를 통해 이동할 수 있는 에너지와 운동량의 가능한 ''모든'' 조합을 적분해야 한다.^[21]

이러한 적분은 종종 ''발산''하여 무한대의 결과를 낳는다. 중요한 발산은 "자외선"(UV) 발산이다. 자외선 발산은 다음과 같이 설명할 수 있다.^[21]

루프의 모든 입자가 큰 에너지와 운동량을 갖는 적분 영역
장의 경로 적분에서, 매우 짧은 파장과 높은 진동수의 요동
루프가 입자 경로의 합으로 생각될 경우 입자 방출과 흡수 사이의 매우 짧은 고유 시간

따라서 이러한 발산은 단거리, 단시간 현상이다.

양자 전기 역학에는 정확히 세 가지의 단일 루프 발산 루프 다이어그램이 존재한다.^[21]

(a) 광자가 가상 전자–양전자 쌍을 생성하고, 이 쌍이 소멸된다. 이것은 진공 편광 다이어그램이다.

(b) 전자가 빠르게 가상 광자를 방출하고 재흡수하는데, 이것을 자기 에너지라고 한다.

(c) 전자가 광자를 방출하고, 두 번째 광자를 방출하고, 첫 번째 광자를 재흡수한다. 이 과정은 ''정점 재규격화''라고 한다. 이에 대한 파인만 다이어그램은 그 모양이 펭귄을 닮아서 "펭귄 다이어그램"이라고도 한다.

세 가지 발산은 이론의 세 가지 매개변수에 해당한다.

1. 장 정규화 Z.

2. 전자의 질량.

3. 전자의 전하.

적외선 발산이라고 하는 두 번째 종류의 발산은 광자와 같이 질량이 없는 입자 때문에 발생한다. 전하를 띤 입자를 포함하는 모든 과정은 무한히 많은 무한대 파장의 일관된 광자를 방출하며, 유한한 수의 광자를 방출하는 진폭은 0이다. 광자의 경우, 이러한 발산은 잘 이해되고 있다. 예를 들어, 1-루프 차수에서 정점 함수는 자외선 및 ''적외선'' 발산을 모두 갖는다. 자외선 발산과 달리, 적외선 발산은 관련 이론에서 매개변수의 재규격화를 필요로 하지 않는다.^[21]

2. 3. 재규격화 이론의 정립

도모나가 신이치로는 1943년 상대론적으로 공변하는 장의 양자론인 '''초다시간론'''을 창안하였고, 재규격화는 초다시간론을 기초로 하여 확립되었다.^[46]^[47]^[48]^[49]^[50]^[51]^[52] 수년 후, 줄리언 슈윙거는 도모나가와 유사한 형식을 개발하였고, 리처드 파인만은 경로 적분을 형성하여(1948년) 도모나가, 슈윙거, 파인만은 재규격화 이론을 건설하였다.^[39]^[40]^[41]^[42]^[43]^[44]^[45] 프리먼 다이슨은 이 세 사람의 이론이 동등함을 증명하였다.^[53]

재규격화는 상대론, 장의 양자론과 더불어 기본 원리로 여겨지며, 도모나가, 슈윙거, 파인만이 건설한 양자론적 전자기학의 기초가 되었다. 양자전기역학은 이후의 소립자론의 전형으로서 이론 형성의 규범이 되었으며, 양자색역학, 와인버그-살람 이론을 이끌어내는 실마리가 되었다. 이 업적으로 도모나가 신이치로, 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만은 노벨 물리학상을 받았다.

2. 4. 통계 물리학에서의 재규격화

응집물질물리학에서 1966년 리오 카다노프는 "블록 스핀" 재규격화군을 제안했다.^[66] ''차단 아이디어''는 먼 거리에 있는 이론의 구성요소를 더 짧은 거리에 있는 구성요소의 집합체로 정의하는 방법이다.

이 접근 방식은 개념적 요점을 다루었으며 케네스 G. 윌슨의 광범위하고 중요한 기여에서 완전한 계산적 실체가 부여되었다.^[55] 윌슨 아이디어의 힘은 1974년 오랜 문제인 곤도 문제의 구성적인 반복 재규격화 해와 1971년 2차 상전이 및 임계 현상 이론에 대한 그의 새로운 방법의 획기적인 발전을 통해 입증되었다. 그는 이러한 결정적인 공헌으로 1982년에 노벨상을 수상했다.

2. 5. 노벨상 수상

레오 카다노프는 1966년 "블록 스핀" 재규격화군을 제안했다.^[33] "블록화 아이디어"는 먼 거리에서의 이론 구성 요소를 더 짧은 거리에서의 구성 요소의 집합으로 정의하는 방법이다.

이 접근 방식은 개념적인 부분을 다루었으며, 케네스 G. 윌슨의 광범위하고 중요한 기여를 통해 완전한 계산적 실체를 갖게 되었다.^[22] 윌슨은 1974년 오랫동안 해결되지 않던 곤도 문제의 건설적인 반복 재규격화 해법과, 1971년 2차 상전이 및 임계 현상 이론에서의 새로운 방법론을 개발하여 1982년 노벨상을 수상했다.

응집 물질 물리학에서 고체 재규격화군을 연구한 케네스 윌슨이 있다. 양자전자기학의 재규격화 이론을 건설한 토모나가 신이치로, 줄리언 슈윙거, 리처드 파인만은 이 업적으로 노벨 물리학상을 수상했다.

양자색역학과 관련해서는 다음의 수상자들이 있다.

비가환 게이지 재규격화 가능성 - 헤라르뒤스 엇호프트
재규격화군에 의한 점근적 자유성 - 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵, H. 데이비드 폴리처

3. 재규격화의 기본 원리

양자역학의 섭동 이론에서는 상호작용항이 없는 자유 해밀토니안의 고유 상태를 초기 상태로 하여 시간 발전을 계산한다. 이때 상호작용으로 인해 자유 해밀토니안이 보존되지 않는 중간 상태로 전이될 수 있다. 불확정성 원리에 따르면, 장의 양자론(QFT)에서 이러한 중간 상태는 무한히 많다. 중간 상태에 존재 가능한 운동량을 적분하면 특정 과정에서 운동량, 질량, 결합 상수와 관련된 발산이 발생한다. 그러나 실제 물리 현상은 이러한 발산을 보이지 않으므로, 양자 보정에 나타나는 발산은 비물리적인 것으로 간주된다.

스칼라 4점 이론에서 차원 정칙화법을 사용한 2점 함수의 1-loop 보정을 예로 들면, 다음과 같다.

: $\Pi(k^2,m_s^2) = \frac{i}{16 \pi^2} m_s^2 \left( \frac{2}{\epsilon} +(1-\gamma) + \log{\frac{m_s^2}{4\pi\mu^2}} + \mathcal{O}(\epsilon) \right)$

여기서 $k$ 는 스칼라장의 외선 운동량, $\gamma$ 는 오일러 상수, $m_s$ 는 스칼라장의 질량, $\epsilon$ 는 차원 정칙화에서 d가 4차원으로 갈 때 0이 되는 양( $4-d \equiv \epsilon$ ), $\mu$ 는 재규격화 스케일(입자 산란에서는 외선 운동량 $k$ )이다. 괄호 안의 첫 번째 항에서 발산이 나타난다.

이 식에서 좌변은 외선 운동량의 함수이지만, 우변은 외선 운동량을 포함하지 않는다. 이는 스칼라 4점 이론의 특징이며, 페르미온이나 벡터장을 포함하는 이론에서는 우변에 외선 운동량을 포함하는 항이 나타난다. 이 발산은 비물리적인 것으로, 이론의 매개변수(전자의 질량, 결합 상수 등)를 재정의하여 제거할 수 있다.

구체적으로, 발산하는 매개변수(베어 매개변수)를 사용한 이론에서 시작하여, 베어 이론을 물리적인 매개변수(재규격화된 매개변수)와 비물리적인 발산 부분(counter term)으로 분리한다. 재규격화된 양을 사용하여 양자 보정을 계산하면 나타나는 발산과 counter term을 상쇄시킨다.

예를 들어, 스칼라 4점 이론에서 "베어" 라그랑지언은 다음과 같다.

: $\mathcal{L}_{B} = \frac{1}{2}\phi_B ( \partial_{\mu}^2 - m_{sB}^2 ) \phi_B -\frac{\lambda}{4!}\phi^4_B$

베어 질량에 대해 다음과 같이 재규격화된 유한한 질량 매개변수 $m_{sR}^2$ 를 정의하여 발산을 분리한다.

: $m^2_{sB} = \frac{Z_m}{\sqrt{Z_{\phi}}} m^2_{sR}\equiv m^2_{sR} + (Z^{1}_{m}-1) m^2_{sR}$

$Z_m,Z_{\phi}$ 는 각각 질량, 파동 함수에 관한 재규격화 계수(발산하는 계수)이다. 스칼라 4점 이론에서는 파동 함수 재규격화가 없으므로 $Z_{\phi}=1$ 이다. 최우변의 첫 항은 재규격화된 질량 매개변수, 두 번째 항은 counter term이다.

Counter term과 재규격화된 매개변수로 쓰인 양자 보정에서 발산을 상쇄하는 조건 중 하나는 다음과 같다(minimal subtraction scheme).

: $(Z^{1}_{m}-1) = \frac{i}{16 \pi^2} \frac{2}{\epsilon}$

이 조건 하에서 양자 보정에서 발산 부분이 제거된다.

차원 정칙화법 외에도 운동량의 자외선 절단에 의한 정칙화법 등 다양한 방법이 있다. 스칼라장의 두 점 함수에 대한 보정은 다음과 같다.

: $\Pi(k^2,m_s^2) = \frac{i}{16 \pi^2} \left(\Lambda^2 + m_s^2 \log{\frac{m_s^2}{4\pi \Lambda^2}} \right)$

여기서 $\Lambda$ 는 운동량의 자외선 절단점이다. 이론의 자외선 절단이 매우 높으면 양자 보정에서 발산은 $\Lambda^2$ (이차 발산)로 나타난다. 재규격화 처방과 마찬가지로 정칙화 처방을 계산 목적에 맞게 선택해야 한다. (자외선 절단은 로렌츠 공변성을 만족하지 않지만, 차원 정칙화는 만족한다.)

3. 1. 발산과 정칙화(Regularization)

양자 전기역학 개발 초기에 막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단, 폴 디랙 등은 섭동 보정에서 많은 적분들이 발산하는 현상(무한대의 문제)을 발견했다.^[37]^[38]^[39]^[40]^[41]^[42]

이러한 섭동 이론에서 나타나는 발산은 1947~49년에 헨드릭 안토니 크라머르스,^[4] 한스 베테,^[5] 줄리언 슈윙거,^[6]^[7]^[8]^[9] 리처드 파인만,^[10]^[11]^[12] 도모나가 신이치로^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19] 등에 의해 해결되었고, 1949년 프리먼 다이슨에 의해 체계화되었다.^[20] 이 발산은 파인만 도형에서 닫힌 루프를 가진 가상 입자의 복사 보정에서 나타난다.

가상 입자는 에너지와 운동량 보존 법칙을 따르지만, 관측된 질량에 대한 상대론적 에너지-운동량 관계에서 허용되지 않는 에너지와 운동량을 가질 수 있다. 즉,

E^2 - p^2

이 반드시 입자의 질량 제곱일 필요는 없으며, 예를 들어 광자의 경우 0이 아닐 수 있다. 이러한 입자를 오프 쉘이라고 한다. 루프가 존재할 때, 루프에 포함된 입자의 운동량은 입사 및 출사 입자의 에너지와 운동량에 의해 고유하게 결정되지 않는다. 루프 내 한 입자의 에너지 변화는 다른 입자의 에너지 변화로 상쇄될 수 있으며, 입사 및 출사 입자에는 영향을 미치지 않는다. 따라서 다양한 변화가 가능하다. 루프 과정의 진폭을 구하기 위해서는 루프를 따라 이동할 수 있는 모든 가능한 에너지와 운동량 조합에 대해 적분해야 한다.

이러한 적분은 종종 발산하여 무한대의 결과를 낳는다. 중요한 발산은 "자외선" (UV) 발산이다. 자외선 발산은 다음과 같이 설명할 수 있다.

루프의 모든 입자가 큰 에너지와 운동량을 갖는 적분 영역
장의 경로 적분에서 매우 짧은 파장과 높은 진동수의 요동
루프가 입자 경로의 합으로 생각될 경우 입자 방출과 흡수 사이의 매우 짧은 고유 시간

따라서 이러한 발산은 단거리, 단시간 현상이다.

양자 전기 역학에는 정확히 세 가지 종류의 단일 루프 발산 다이어그램이 있다.^[21]

(a) 광자가 가상 전자-양전자 쌍을 생성하고 소멸하는 진공 편광 다이어그램.
(b) 전자가 빠르게 가상 광자를 방출하고 재흡수하는 자기 에너지 다이어그램.
(c) 전자가 광자를 방출하고, 두 번째 광자를 방출하고, 첫 번째 광자를 재흡수하는 정점 재규격화 다이어그램. 이 다이어그램은 모양 때문에 "펭귄 다이어그램"이라고도 불린다.

이 세 가지 발산은 이론의 세 가지 매개변수(장 정규화 Z, 전자의 질량, 전자의 전하)에 해당한다.

적외선 발산은 질량이 없는 입자(광자 등) 때문에 발생하는 또 다른 종류의 발산이다. 전하를 띤 입자를 포함하는 모든 과정은 무한히 많은 무한대 파장의 일관된 광자를 방출하며, 유한한 수의 광자를 방출하는 진폭은 0이다. 광자의 경우 이러한 발산은 잘 이해되고 있다. 1-루프 차수에서 정점 함수는 자외선 및 적외선 발산을 모두 갖는다. 적외선 발산은 정점 다이어그램과 유사하지만, 전자의 두 다리를 연결하는 광자가 잘리고 두 개의 온 쉘(실제) 광자로 대체되며, 그 파장은 무한대로 가는 다이어그램을 포함하여 제거된다. 이 다이어그램은 제동 복사 과정과 같다. 제로 에너지 광자와 제동 복사를 통해 방출되는 제로 에너지 광자를 물리적으로 구별할 수 없기 때문에 이 추가 다이어그램을 포함해야 한다. 수학적 관점에서 IR 발산은 매개변수에 대한 분수 미분을 통해 정규화될 수 있다. 예를 들어,

:

\left( p^2 - a^2 \right)^{\frac{1}{2}}

는

p=a

에서 잘 정의되지만 UV 발산이며,

-a^2

에 대해

\frac{3}{2}

차 분수 미분을 취하면 IR 발산을 얻는다.

:

\frac{1}{p^2 - a^2},

따라서 IR 발산을 UV 발산으로 바꾸어 해결할 수 있다.

QED에서 전자-전자 산란에 기여하는 다이어그램. 루프는 자외선 발산을 갖습니다.

그림 2는 QED에서 전자-전자 산란에 대한 여러 1-루프 기여 중 하나를 보여준다. 왼쪽 전자는 4-모멘텀

p^{\mu}

로 시작하여

r^{\mu}

로 끝난다.

r^{\mu}-p^{\mu}

를 전달하는 가상 광자를 방출하여 에너지와 운동량을 다른 전자로 전달한다. 그러나 이 다이어그램에서는 그 일이 일어나기 전에, 4-모멘텀

q^{\mu}

를 전달하는 또 다른 가상 광자를 방출하고 재흡수한다. 에너지와 운동량 보존은

q^{\mu}

를 고유하게 결정하지 않으므로 모든 가능성이 동일하게 기여하며 적분해야 한다.

이 다이어그램의 진폭은 루프의 인수를 포함한다.

:

-ie^3 \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \gamma^\mu \frac{i (\gamma^\alpha (r - q)_\alpha + m)}{(r - q)^2 - m^2 + i \epsilon} \gamma^\rho \frac{i (\gamma^\beta (p - q)_\beta + m)}{(p - q)^2 - m^2 + i \epsilon} \gamma^\nu \frac{-i g_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}.

여기서

\gamma^{\mu}

는 감마 행렬(디랙 방정식의 공변량 공식)이며, 전자의 스핀과 관련이 있다.

e

는 전기 결합 상수,

i\epsilon

은 운동량 공간의 극 주위 적분 윤곽에 대한 발견적 정의이다. 중요한 부분은 피적분 함수의 세 가지 큰 인자, 즉 루프의 두 전자 선 및 광자 선의 전파자의

q^{\mu}

에 대한 의존성이다.

이것은

q^{\mu}

의 두 거듭제곱이 상위에 있는 조각이 있으며,

q^{\mu}

의 큰 값에서 지배적이다 (Pokorski 1987, p. 122):

:

e^3 \gamma^\mu \gamma^\alpha \gamma^\rho \gamma^\beta \gamma_\mu \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \frac{q_\alpha q_\beta}{(r - q)^2 (p - q)^2 q^2}.

이 적분은 발산하며, 어떤 방식으로든 유한한 에너지와 운동량으로 잘라내지 않는 한 무한대이다.

다른 양자장론에서도 유사한 루프 발산이 발생한다.

이러한 발산(무한대 빼기 무한대,

\infty - \infty

)을 다루기 위해 정규화라는 과정을 통해 극한 이론을 사용하여 수학적으로 제어한다(Weinberg, 1995).

조절자를 통해 루프 적분 항을 수정하면 고에너지 및 운동량에서 더 빠르게 감소하게 하여 적분이 수렴하도록 할 수 있다. 조절자는 컷오프라는 특징적인 에너지 스케일을 가지며, 이 컷오프를 무한대로 취하면 원래 적분을 복구할 수 있다.

조절자가 있는 상태에서 컷오프에 유한한 값을 부여하면 적분에서 발산하는 항이 유한하지만 컷오프에 의존하는 항으로 변환된다. 컷오프에 의존하는 반대항의 기여분과 이러한 항을 상쇄한 후 컷오프를 무한대로 취하고 유한한 물리적 결과를 복구한다. 측정 가능한 스케일에서의 물리학이 가장 짧은 거리 및 시간 스케일에서 일어나는 일과 무관하다면, 컷오프에 의존하지 않는 결과를 얻는 것이 가능해야 한다.

양자장론 계산에는 다양한 종류의 조절자가 사용되며, 각각 장단점이 있다.

차원 정규화: 헤라르뒤스 엇호프트와 마르티뉘스 펠트만이 발명한 방법으로, 가상의 분수 차원의 공간으로 적분을 수행하여 적분을 제어한다.^[56]
파울리-빌라르 조절: 매우 큰 질량을 가진 가상의 입자를 이론에 추가하여, 질량이 큰 입자를 포함하는 루프 적분 항이 큰 운동량에서 기존의 루프를 상쇄하도록 한다.
격자 정규화: 케네스 G. 윌슨이 도입한 방법으로, 초입방 격자가 고정된 격자 크기로 시공간을 구성한다고 가정한다. 이 크기는 입자가 격자에서 전파될 때 가질 수 있는 최대 운동량에 대한 자연스러운 컷오프이다. 다른 격자 크기를 가진 여러 격자에서 계산을 수행한 후, 물리적 결과는 격자 크기 0(자연 우주)으로 외삽된다. 이는 스케일링 극한의 존재를 전제한다.

재규격화 이론에 대한 엄밀한 수학적 접근 방식은 인과적 섭동 이론인데, 여기서는 자외선 발산은 분포 이론의 틀 내에서 잘 정의된 수학적 연산만을 수행함으로써 계산 시작부터 회피된다. 이 접근 방식에서, 발산은 모호성으로 대체된다. 발산 다이어그램에 해당하는 것은 이제 유한하지만 미정의 계수를 갖는 항이다. 게이지 대칭과 같은 다른 원리를 사용하여 모호성을 줄이거나 제거해야 한다.

3. 2. 재규격화된 양과 베어(Bare) 양

이론 공식(예: 라그랑지안)에 처음 등장하는 양, 즉 전자의 전하와 질량, 그리고 양자장 자체의 정규화는 실험실에서 측정된 물리 상수와 일치하지 않는다. 작성된 대로, 이들은 가상 입자 루프 효과가 "물리 상수 자체"에 미치는 영향을 고려하지 않은 "베어(Bare)" 양이었다. 무엇보다도 이러한 효과에는 고전적인 전자기학 이론가들을 괴롭혔던 전자기적 반작용의 양자역학적 대응물이 포함된다. 일반적으로 이러한 효과는 처음 고려했던 진폭만큼이나 발산하므로, 유한하게 측정된 양은 일반적으로 발산하는 베어 양을 의미한다.

따라서 현실과 연결하기 위해 공식은 측정 가능한 "재규격화된" 양으로 다시 작성해야 한다. 예를 들어 전자의 전하는 특정 운동학적 "재규격화점" 또는 "감산점"(일반적으로 "재규격화 스케일" 또는 단순히 에너지 스케일이라고 하는 특징적인 에너지를 가짐)에서 측정된 양으로 정의된다. 베어 양의 나머지 부분을 포함하는 라그랑지안의 나머지 부분은 반대항으로 재해석될 수 있으며, 다른 다이어그램에 대한 문제의 발산을 정확히 "상쇄"하는 발산하는 다이어그램과 관련된다.

예를 들어, QED의 라그랑지안에서

:

\mathcal{L}=\bar\psi_B\left[i\gamma_\mu \left (\partial^\mu + ie_BA_B^\mu \right )-m_B\right]\psi_B -\frac{1}{4}F_{B\mu\nu}F_B^{\mu\nu}

이 필드와 결합 상수는 실제로 "베어" 양이므로 위에 첨자가 붙는다. 일반적으로 베어 양은 해당 라그랑지안 항이 재규격화된 항의 배수가 되도록 작성된다.

:

\left(\bar\psi m \psi\right)_B = Z_0 \bar\psi m \psi

:

\left(\bar\psi\left(\partial^\mu + ieA^\mu \right )\psi\right)_B = Z_1 \bar\psi \left (\partial^\mu + ieA^\mu \right)\psi

:

\left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right)_B = Z_3\, F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.

게이지 불변성은 Ward–Takahashi 항등식을 통해 공변 미분 부분의 두 항

:

\bar \psi (\partial + ieA) \psi

을 함께 재규격화할 수 있음을 의미한다(Pokorski 1987, p. 115). 이는

Z_2

에 일어난 일이며,

Z_1

과 동일하다.

이 라그랑지안의 한 항, 예를 들어 그림 1에 묘사된 전자-광자 상호작용은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathcal{L}_I = -e \bar\psi \gamma_\mu A^\mu \psi - (Z_1 - 1) e \bar\psi \gamma_\mu A^\mu \psi

물리 상수

e

, 즉 전자의 전하는 특정 실험을 통해 정의할 수 있다. 이 실험의 특성 에너지와 동일하게 재규격화 척도를 설정하면 첫 번째 항이 실험실에서 관찰되는 상호작용을 제공한다 (루프 다이어그램에서 나온 작고 유한한 보정을 제외하고, 자기 모멘트에 대한 고차 보정과 같은 이국적인 현상을 제공한다). 나머지는 반대항이다. QED에서와 같이, 이 이론이 "재규격화 가능"하다면(자세한 내용은 아래 참조), 루프 다이어그램의 "발산" 부분은 모두 세 개 이하의 다리를 가진 조각으로 분해될 수 있으며, 두 번째 항(또는

Z_0

및

Z_3

에서 나오는 유사한 반대항)에 의해 상쇄될 수 있는 대수적 형태를 가진다.

Z_1

반대항의 상호작용 꼭지점을 그림 3과 같이 배치한 다이어그램은 그림 2의 루프에서 발생하는 발산을 상쇄시킨다.

역사적으로 "베어 항"을 원래 항과 반대항으로 분리하는 것은 케네스 윌슨에 의한 재규격화군 통찰력보다 먼저 이루어졌다.^[22]

3. 3. 재규격화 가능성

모든 이론이 유한한 수의 반대항(counter term)을 사용하여 재규격화에 적합한 것은 아니다. 라그랑지안이 에너지 단위로 충분히 높은 차원의 장 연산자 조합을 포함하는 경우, 모든 발산을 상쇄하는 데 필요한 반대항의 수는 무한대로 증가한다. 겉보기에 이론은 무한한 수의 자유 매개변수를 얻어 예측 능력을 잃고 과학적으로 무가치해지는데, 이러한 이론을 비재규격화 가능하다고 한다.

입자 물리학의 표준 모형은 재규격화 가능한 연산자만 포함한다. 아인슈타인-힐베르트 라그랑지안에서 민코프스키 계량에 대한 섭동으로 계량을 취급하는 방식으로 양자 중력의 장 이론을 구성하면, 일반 상대성 이론의 상호 작용은 비재규격화 가능한 연산자가 된다. 이는 섭동 이론이 양자 중력에 적용하기에 만족스럽지 않다는 것을 보여준다.

표준 모형에서의 게이지 이론, 즉 양자 전기역학(QED), 와인버그-살람 이론, 양자 색역학(QCD)은 결합 상수가 질량 차원 0인 게이지 이론이며, 재규격화 가능한 것으로 알려져 있다.

4. 재규격화군

어떤 이론이 재규격화 가능하다는 것은, 상태 변수를 특정 방식으로 변환했을 때, 이론을 기술하는 함수를 새로운 변수만으로 다시 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 이때, 원래 변수와 새로운 변수 사이의 관계를 나타내는 매개변수도 함께 변환된다.

좀 더 기술적으로 설명하면, 상태 변수 $\{s_i\}$ 와 결합 상수 집합 $\{J_k\}$ 로 표현되는 함수 $Z$ (예: 분배 함수, 작용, 해밀토니언 등)가 있다고 가정한다. 이 함수는 시스템의 물리학을 완전히 기술한다.

이제 상태 변수를 $\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}$ 와 같이 변환한다. 여기서 $\tilde s_i$ 의 개수는 $s_i$ 보다 적어야 한다. $Z$ 함수를 $\tilde s_i$ 만으로 다시 쓸 수 있고, 이 과정에서 매개변수 $\{J_k\}$ 가 $\{\tilde J_k\}$ 로 변환된다면, 이 이론은 재규격화 가능하다.

이러한 재규격화 가능 이론에서, 시스템이 가질 수 있는 거시적인 상태는 고정점들의 집합으로 나타난다.

4. 1. 재규격화 스케일과 주행 결합 상수

물리적 상수의 효과적인 변화는 규모 변화에 따라 달라지는데, 이 변화는 베타 함수로 나타낼 수 있다. 이러한 종류의 규모 의존성에 대한 일반적인 이론은 재규격화군으로 알려져 있다.^[1]

입자 물리학자들은 상호작용 에너지에 따라 특정 물리적 "상수"가 변한다고 말하지만, 실제로는 재규격화 척도가 독립적인 양이다. 그러나 이 ''주행''은 상호작용과 관련된 에너지 변화에 따른 장 이론의 작용 변화를 설명하는 편리한 수단이다. 예를 들어, 양자 색역학의 결합은 큰 에너지 규모에서 작아지기 때문에, 상호작용에서 교환되는 에너지가 커짐에 따라 이론은 자유 이론처럼 행동한다. 이는 점근적 자유로 알려진 현상이다. 증가하는 에너지 규모를 선택하고 재규격화군을 사용하면 간단한 파인만 다이어그램에서 명확해진다. 이것이 수행되지 않으면 예측은 동일하지만 복잡한 고차 취소로 인해 발생한다.^[1]

어떤 하나의 재규격화된 이론에 대해서는, 전체 스케일에 걸쳐 정의된 하나의 재규격화군 흐름이 대응한다. 한편, 재규격화된 이론에서도 재규격화 스케일을 바꿨을 때의 물리 상수의 변화에 대해서는 재규격화군을 사용한 취급이 가능하다. 이 방법에 의해 결합 상수의 베타 함수가 정의된다.^[1]

4. 2. 점근적 자유성

양자 색역학의 결합 상수는 높은 에너지 척도에서 작아지기 때문에, 상호작용에서 교환되는 에너지가 커질수록 이론은 자유 이론처럼 동작한다. 이는 점근적 자유로 알려진 현상이다.^[1] 재규격화군을 사용하고 증가하는 에너지 척도를 선택하면, 간단한 파인만 다이어그램에서 이를 명확하게 확인할 수 있다.^[1] 그렇지 않은 경우 예측은 동일하지만 복잡한 고차 취소에서 발생했을 것이다.^[1]

4. 3. 고정점 (Fixed Point)

재규격화군 흐름에서 가장 중요한 정보는 '''고정점'''이다. 고정점은 흐름과 관련된 베타 함수가 사라지는 것으로 정의된다. 따라서 재규격화군의 고정점은 정의상 척도 불변이다. 많은 경우 물리적 관심 규모 불변성은 등각 불변성으로 확대된다. 그러면 고정점에서 등각장론이 있다.^[67]

여러 이론이 동일한 고정점으로 흘러가는 능력은 보편성을 가져온다.

이러한 고정점이 자유장론에 해당하면 그 이론은 양자 자명성을 나타낸다고 한다. 격자 힉스 이론 연구에는 수많은 고정점이 나타나지만, 이들과 관련된 양자장론의 본질은 여전히 미해결 문제로 남아 있다.^[67]

5. 통계 물리학에서의 재규격화

어떤 이론이 특정 상태 변수 $\{s_i\}$ 와 결합 상수 집합 $\{J_k\}$ 의 함수인 $Z$ 로 설명된다고 가정해 보자. 이 함수는 분배 함수, 작용, 해밀토니안 등이 될 수 있으며, 시스템의 물리학에 대한 전체 설명을 포함한다.

이제 상태 변수를 $\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}$ 로 블로킹 변환을 한다. 여기서 $\tilde s_i$ 의 수는 $s_i$ 의 수보다 적어야 한다. 만약 $Z$ 함수를 ''오직'' $\tilde s_i$ 의 관점에서 다시 쓸 수 있고, 이것이 매개변수 $\{J_k\}\to \{\tilde J_k\}$ 의 특정 변경으로 가능하다면, 이 이론은 '''재규격화 가능'''하다고 한다.

대규모 시스템의 가능한 거시적 상태는 이 고정점 집합으로 주어진다.

나이젤 골든펠드(Nigel Goldenfeld)의 ''상전이와 재규격화군 강의''^[2], 쥰 진-쥐스탱의 ''양자장론과 임계 현상''^[3], 존 카디(John Cardy)의 ''통계 물리학에서의 스케일링과 재규격화''^[7] 등 여러 문헌에서 통계 물리학에서의 재규격화군 이론과 그 중요성을 설명하고 있다.

5. 1. 상전이와 임계 현상

상전이와 임계 현상은 보편성(Universality)이라는 특성을 보인다. 나이젤 골든펠드(Nigel Goldenfeld)의 ''상전이와 재규격화군 강의''^[2], 쥰 진-쥐스탱의 ''양자장론과 임계 현상''^[3], 존 카디의 ''통계 물리학에서의 스케일링과 재규격화''^[7] 등 여러 문헌에서 이 현상을 설명하고 있다. 시르코프, 드미트리는 ''보골류보프 재규격화군''^[8]에서 재규격화군 이론이 이러한 보편성을 설명하는 데 중요한 역할을 한다고 강조한다. 쥰 진-쥐스탱은 ''상전이 및 재규격화군: 이론에서 숫자로''^[4]에서 케네스 윌슨의 아이디어를 따라 통계 역학에서 임계 지수를 계산하기 위한 재규격화 방법을 제시한다. 돔, 시릴의 ''임계점: 임계 현상 현대 이론의 역사적 소개''^[5]는 임계 현상 이론의 역사를 다룬다. 브라운, 로리 M. (편집)의 ''재규격화: 로렌츠에서 란다우까지(그리고 그 너머)''^[6]는 재규격화의 발전 과정을 보여준다. 알랭 코네스는 ''갈루아 대칭과 재규격화''^[10]에서 재규격화의 수학적 기본 구조와 리만-힐베르트 문제와의 연관성을 설명한다.

5. 2. 블록 스핀 재규격화군

리오 카다노프는 1966년 논문에서 "블록 스핀" 재규격화군을 제안했다.^[66] "블록화 아이디어"는 먼 거리에서의 이론 구성 요소를 더 짧은 거리에서의 구성 요소의 집합으로 정의하는 방법이다.

이 접근 방식은 개념적인 부분을 다루었으며, 케네스 G. 윌슨의 광범위하고 중요한 기여를 통해 완전한 계산적 실체를 갖게 되었다.^[55] 윌슨의 아이디어는 1974년 오랫동안 해결되지 않던 곤도 문제의 건설적인 반복 재규격화 해법과, 1971년 2차 상전이 및 임계 현상 이론에서의 새로운 방법론에 대한 선구적인 개발로 입증되었다. 그는 이 결정적인 공헌으로 1982년 노벨상을 수상했다.

6. 재규격화에 대한 다양한 관점과 해석

재규격화는 물리학, 특히 양자장론에서 나타나는 무한대의 값을 다루는 방법이다. 이 개념은 고전 전자기학에서 처음 등장했고, 이후 양자전기역학(QED) 등 여러 분야로 확장되었다. 재규격화에 대한 다양한 관점과 해석이 존재한다.

폴 디랙과 리처드 파인만 등 초기 이론가들은 재규격화가 수학적으로 엄밀하지 않다고 비판했다.^[27]^[28] 프리먼 다이슨은 무한대가 근본적인 성질을 가지며, 재규격화와 같은 형식적인 절차로는 제거될 수 없다고 주장했다.^[24]^[25]

반면, 19세기와 20세기 초 고전 전자기학의 점 입자에서 발생한 무한대 문제를 재규격화를 통해 해결할 수 있다는 관점도 있다. 전하를 띤 입자의 질량이 무한대가 되는 문제를 해결하기 위해, 입자의 베어 질량이 음수일 수 있다는 개념을 도입하여 점 극한을 취하는 방식이다. 이 초기 연구는 이후 양자장론에서 재규격화 시도에 영감을 주었다.

압두스 살람은 1972년에 장론의 무한대 문제에 대한 좌절감을 표현하며, 재규격화 상수에 대한 유한한 값을 비합리적인 것으로 간주하는 것에 회의감을 드러냈다.^[62]

6. 1. 초기 이론가들의 비판적 시각

폴 디랙과 리처드 파인만을 포함한 여러 초기 이론가들은 재규격화에 대해 비판적인 시각을 가졌다. 이들은 양자장론에서 나타나는 무한대의 문제를 해결하기 위해 도입된 재규격화라는 방법이 수학적으로 엄밀하지 않다고 보았다.

디랙은 1975년에 "대부분의 물리학자들은 이 상황에 매우 만족하고 있다. 그들은 '양자전기역학은 좋은 이론이고 우리는 더 이상 그것에 대해 걱정할 필요가 없다'고 말한다. 나는 이른바 '좋은 이론'이 방정식에 나타나는 무한대를 무시하고 임의적인 방식으로 무시하는 것을 포함하기 때문에 상황에 매우 불만족스럽다고 말해야 한다. 이것은 합리적인 수학이 아니다. 합리적인 수학에는 양이 작을 때 무시하는 것이 포함된다. 단지 양이 무한히 크고 원하지 않는다는 이유만으로 무시하는 것이 아니다!"^[27]라고 언급하며 강한 불만을 표시했다.

파인만 역시 1985년에 "우리가 ''n''과 ''j''를 찾기 위해 하는 쉘 게임을 기술적으로 '재규격화'라고 한다. 그러나 그 단어가 아무리 영리하더라도 나는 여전히 디피 과정(dippy process)라고 부르고 싶다! 그러한 속임수에 의존해야 했기 때문에 양자 전기 역학 이론이 수학적으로 일관성이 있다는 것을 증명할 수 없었다. 이론이 지금까지 어떤 식으로든 자기 일관성이 입증되지 않았다는 것은 놀라운 일이다. 나는 재규격화가 수학적으로 타당하지 않다고 생각한다."^[28]라고 언급하며 재규격화에 대한 비판적인 입장을 분명히 했다.

프리먼 다이슨은 이러한 무한대가 근본적인 성질을 가지며 재규격화와 같은 형식적인 수학적 절차로는 제거될 수 없다고 주장했다.^[24]^[25]

6. 2. 유효 장론으로서의 재규격화

무한대의 문제는 19세기와 20세기 초 고전 전자기학의 점 입자에서 처음 발생했다.

전하를 띤 입자의 질량은 정전기장 내의 질량-에너지를 포함해야 한다. (전자기 질량) 입자가 반지름이 $r_e$인 대전된 구형 껍질이라고 가정하면, 장 내의 질량-에너지는 다음과 같다.

:

m_\text{em} = \int \frac{1}{2} E^2 \, dV = \int_{r_\text{e}}^\infty \frac{1}{2} \left( \frac{q}{4\pi r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = \frac{q^2}{8\pi r_\text{e}},

이 값은 $r_e \rightarrow 0$ 일 때 무한대가 된다. 이는 점 입자가 무한대의 관성을 갖게 되므로 가속될 수 없음을 의미한다. 그런데 $m_\text{em}$을 전자 질량과 같게 만드는 $r_e$의 값은 고전 전자 반경이라고 하며, ($q = e$로 설정하고 $c$와 $\varepsilon_0$의 인수를 복원하면) 다음과 같다.

:

r_\text{e} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_\text{e} c^2} = \alpha \frac{\hbar}{m_\text{e} c} \approx 2.8 \times 10^{-15}~\text{m},

여기서 $\alpha \approx 1/137$는 미세 구조 상수이고, $\hbar/(m_\text{e} c)$는 전자의 환산된 컴프턴 파장이다.

재규격화는 구형 전하 입자의 총 유효 질량에는 구형 껍질의 실제 베어 질량(전기장과 관련된 위에 언급된 질량 외에도)이 포함된다는 개념이다. 만약 껍질의 베어 질량이 음수일 경우 일관된 점 극한을 취할 수 있을 것이다. 이를 "재규격화"라고 불렀고, 로렌츠와 아브라함은 이런 방식으로 전자의 고전 이론을 개발하려고 시도했다. 이 초기 연구는 이후 정칙화 및 양자장론에서의 재규격화 시도에 영감을 주었다.

전자기학적 전하 입자의 상호 작용을 계산할 때, 입자 자신의 장이 자신에게 미치는 ''반작용''을 무시하고 싶은 유혹이 있다. (회로 분석의 역기전력과 유사하다.) 그러나 이 반작용은 전하를 띤 입자가 복사선을 방출할 때의 마찰을 설명하는 데 필요하다. 전자가 점이라고 가정하면 질량이 발산하는 것과 같은 이유로, 장이 제곱 반비례 법칙을 따르기 때문에 반작용의 값이 발산한다.

아브라함-로렌츠 이론에는 인과관계가 없는 "사전 가속"이 있었다. 때로는 힘이 가해지기 ''전''에 전자가 움직이기 시작했다. 이것은 점 극한이 일관되지 않다는 신호이다.

이 문제는 양자장론보다 고전장론에서 더 심각했는데, 양자장론에서 전하를 띤 입자는 가상 입자-반입자 쌍과의 간섭으로 인해 지터베베궁을 경험하여 전하를 컴프턴 파장과 비슷한 영역으로 효과적으로 퍼뜨리기 때문이다. 양자 전기역학에서 작은 결합의 경우, 전자기 질량은 입자 반경의 로그로만 발산한다.

6. 3. 압두스 살람의 인용문

압두스 살람은 1972년에 다음과 같은 발언을 통해 장론의 무한대 문제에 대한 좌절감을 표현하며, 재규격화 상수에 대한 유한한 값을 비합리적인 것으로 간주하는 것에 대한 회의감을 드러냈다.^[62]

Field-theoretic infinities — first encountered in Lorentz's computation of electron self-mass — have persisted in classical electrodynamics for seventy and in quantum electrodynamics for some thirty-five years. These long years of frustration have left in the subject a curious affection for the infinities and a passionate belief that they are an inevitable part of nature; so much so that even the suggestion of a hope that they may after all be circumvented — and finite values for the renormalization constants computed — is considered irrational.|해석|장 이론의 무한대(로렌츠의 전자 자체 질량 계산에서 처음 접함)는 고전 전기 역학에서는 70년 동안, 양자 전기 역학에서는 약 35년 동안 지속되었다. 이러한 오랜 세월의 좌절은 주제에 무한에 대한 호기심과 그것이 자연의 피할 수 없는 부분이라는 열정적인 믿음을 남겼다. 그래서 결국 우회될 수 있다는 희망과 계산된 재규격화 상수에 대한 유한한 값이 비합리적인 것으로 간주된다.^영어

이는 버트런드 러셀의 자서전 ''The Final Years, 1944–1969''에 나오는 구절과도 일맥상통한다.^[63]

The unhappy fellows who now have power in the world are mostly men who are convinced that the best way to deal with an enemy is to make him so ill that he cannot resist. They are persuaded that if their enemy is made sufficiently poor he will be unable to fight, and that if he is made sufficiently miserable he will have no wish to fight. They do not seem to have grasped the fact that a man who has nothing to lose is a desperate man, and that a community which has nothing to lose is also a desperate community. They have not learnt that hatred and resentment are very powerful motives, and that those who have little but misery to look forward to are likely to use their power, if they have any, in a purely destructive way.|해석|현대 사회에서 공동체가 불행한 이유는 행복이나 심지어 생명보다 더 소중한 무지, 습관, 신념, 열정을 갖고 있기 때문인 경우가 많다. 나는 위험한 시대에 비참함과 죽음을 사랑하고 희망이 제시될 때 화를 내는 사람들을 많이 본다. 그들은 희망은 비합리적이라고 생각하며 게으른 절망에 빠져 현실을 마주할 뿐이라고 생각한다.^영어

살람의 인용문은 재규격화에 대한 논의가 여전히 유효하며, 양자장론의 근본적인 문제에 대한 해결책을 찾는 노력이 계속되어야 함을 시사한다.

참조

_[1] 문서 See e.g., Weinberg vol I, chapter 10.
_[2] 논문 Dirac in 20th century physics: a centenary assessment https://ufn.ru/en/ar[...] 2003-09-01
_[3] 학위논문 Renormalization from Classical to Quantum Physics https://inspirehep.n[...] University of Rochester 2014
_[4] 문서 Kramers presented his work at the 1947 [[Shelter Island Conference]], repeated in 1948 at the [[Solvay Conference]]. The latter did not appear in print until the Proceedings of the Solvay Conference, published in 1950 (see Laurie M. Brown (ed.), ''Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond)'', Springer, 2012, p. 53). Kramers' approach was [[nonrelativistic]] (see [[Jagdish Mehra]], [[Helmut Rechenberg]], ''The Conceptual Completion and Extensions of Quantum Mechanics 1932–1941. Epilogue: Aspects of the Further Development of Quantum Theory 1942–1999: Volumes 6, Part 2'', Springer, 2001, p. 1050).
_[5] 논문 The Electromagnetic Shift of Energy Levels
_[6] 논문 On quantum-electrodynamics and the magnetic moment of the electron
_[7] 논문 I. A covariant formulation
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