정이십사포체

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1. 개요
2. 기하학적 구조
3. 대칭성, 근계, 테셀레이션
4. 회전
5. 시각화
참조

1. 개요

정이십사포체는 4차원에 존재하는 정다포체로, 24개의 팔면체 세포로 구성되어 있다. 이 도형은 기하학적 구조, 좌표계, 대칭성, 사원수 해석, 보로노이 세포, 회전 등 다양한 특징을 가지며, 4차원 공간에서의 회전을 시각화하는 데 사용된다. 정이십사포체는 3차원 공간에 투영될 때 마름모 십이면체, 깎은 팔면체 등 다양한 형태를 나타내며, 4차원 공간의 테셀레이션과 격자 쌓기에도 활용된다.

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정이십사포체
개요
슈레겔 다이어그램 (꼭짓점과 모서리)
종류	볼록 정사포체
순서	22
다음	23
슐레플리 기호	{3,4,3}
코크서터 다이어그램	또는 또는 또는 또는
면	24개의 {3,4} [[File:Octahedron.png\|20px]]
면의 종류	96개의 {3}
모서리 개수	96
꼭짓점 개수	24
페트리 다각형	십이각형
코크서터 군	F₄, [3,4,3], 차수 1152; B₄, [4,3,3], 차수 384; D₄, [3^1,1,1], 차수 192
꼭짓점 도형	정육면체
쌍대	자기 쌍대
성질	볼록, 아이소고날, 아이소톡설, 아이소에드럴
좌표
기타 정보
특징	4차원 공간의 특이한 존재

2. 기하학적 구조

24-포체는 4차원 도형으로, 5-포체를 제외하고 슐래플리 기호에 5가 포함된 정다각형을 제외하면, 4차원에 존재하는 삼각형과 정사각형으로 만들어진 모든 정다포체를 포함한다.^[1] 하지만 오각형 다포체는 포함하지 않는다. 이러한 정다포체들 간의 기하학적 관계는 24-포체 또는 24-포체 벌집에서 관찰할 수 있다.

24-포체는 6개의 볼록 정사각체 시퀀스 중 네 번째에 해당한다. 이 시퀀스에서 각 다포체는 이전 다포체보다 더 "둥글며" 더 많은 내용을 포함한다. 24-포체는 초입방체(8-포체) 3개를 겹쳐서 만들 수 있으며, 8-포체는 다시 16-포체 2개를 겹쳐서 만들 수 있다. 각 다포체를 이전 단계의 인스턴스에서 구성하는 역과정은 이전 단계의 반경을 보존하지만, 일반적으로 모서리 길이가 더 작은 후속 다포체를 생성한다.

두 불변 평면에서 회전 각도가 같을 때, 4차원 유클리드 공간에서는 특별한 기하학적 변환이 일어난다. 불변 평면에 클리포드 평행인 모든 대원 평면은 같은 각도로 회전하는 불변 평면이 된다. 이때 4-정다면체는 여러 방향으로 등각적으로 회전한다. 각 꼭짓점은 동시에 네 개의 직교 방향으로 같은 거리를 이동한다.

24-포체는 육각형 평면을 기준으로 60도 등각 회전하면 각 꼭짓점은 두 개의 모서리 길이만큼 떨어진 꼭짓점으로 이동하고, 모든 대원 다각형(정사각형, 육각형, 삼각형)을 120도 떨어진 같은 종류의 클리포드 평행 대원 다각형으로 이동시킨다. 등각 회전은 클리포드의 이름을 따서 클리포드 변위라고도 불린다.

''이중'' 회전 애니메이션에서 24-포체는 안쪽에서 바깥쪽으로 자체 회전하는 것처럼 보인다. 각 360도 등각 회전은 24-포체 표면이 장갑처럼 벗겨져 안쪽으로 뒤집힌 것과 같아, 오른손 장갑을 왼손 장갑으로 바꾸는 것과 같다.

육각형 평면에서 24-포체의 단순 회전에서는 각 꼭짓점이 먼저 모서리를 따라 60도 떨어진 인접 꼭짓점으로 회전한다. 그러나 ''두'' 개의 완전히 직교하는 평면에서의 등각 회전에서는 각 꼭짓점이 먼저 ''두 개의'' 모서리 길이만큼 떨어진 꼭짓점으로 회전한다. 이중 60도 회전의 나선형 측지선은 모든 다른 꼭짓점을 통과하며, 그 사이의 꼭짓점을 건너뛴다.

2. 1. 좌표계

정이십사포체는 자기 쌍대 다면체로, 꼭짓점과 세포의 수가 같고, 모서리와 면의 수도 같다. 정이십사포체는 두 가지의 데카르트 좌표계로 나타낼 수 있다.

첫 번째 좌표계는 모서리의 길이가 인 경우로, 다음과 같은 꼭짓점 좌표를 가진다.

8개의 꼭짓점: (±1, 0, 0, 0) 형태의 모든 순열
16개의 꼭짓점: (±, ±, ±, ±) 형태

이 24개의 꼭짓점은 모두 원점에서 거리 1에 위치한다. 사원수로 간주하면, 이들은 단위 후르비츠 사원수이다.

두 번째 좌표계는 "단위 반지름 좌표"라고 불리며, 단위 반지름과 단위 모서리 길이를 갖는다. 이 좌표계는 첫 번째 좌표계와 구별된다.

24개의 꼭짓점과 96개의 모서리는 16개의 비직교 큰 육각형을 형성하며, 각 꼭짓점에서 4개의 육각형이 교차한다. 또한, 24개의 꼭짓점은 18개의 정사각형 (6개의 직교하는 중심 정사각형)을 형성하며, 각 꼭짓점에서 3개의 정사각형이 교차한다.

이진 사면체 군의 24개 사원수 원소는 정이십사포체의 꼭짓점과 일치한다.

2. 1. 1. 정사각형

24-cell^영어은 다음 좌표의 24개 좌표 순열로 설명할 수 있는 꼭짓점의 볼록 껍질이다.

:(±1, ±1, 0, 0)

이 좌표는 꼭짓점 순열이 (±2, 0, 0, 0)인 16-포체를 정형화하여 구성할 수 있다.

이 좌표계에서 24-cell^영어은 모서리 길이가 이고, 반지름이 인 3-구에 내접한다.

24-cell^영어의 24개 꼭짓점은 18개의 정사각형 (6개의 직교하는 중심 정사각형)을 형성하며, 각 꼭짓점에서 3개의 정사각형이 교차한다. 각 꼭짓점에서 하나의 정사각형만 보면, 24-cell^영어은 완전히 직교하는 세 쌍의 큰 정사각형의 꼭짓점으로 볼 수 있다.

2. 1. 2. 육각형

24개의 꼭짓점과 96개의 모서리는 16개의 비직교 큰 육각형을 형성한다. 각 꼭짓점에서는 4개의 육각형이 교차한다. 각 꼭짓점에서 하나의 육각형만 보면, 24포체는 서로 클리포드 평행한 4개의 육각형 대원군을 이루는 24개의 꼭짓점으로 볼 수 있다.

24포체의 12개 축과 16개 육각형은 레이 구성을 구성하며, 구성의 언어에서 각 축이 4개의 육각형에 속하고 각 육각형이 3개의 축을 포함함을 나타내기 위해 12₄16₃으로 표기한다.

반지름이 같은 24-포체의 꼭짓점 기하학, 3개의 대원 다각형과 4개의 꼭짓점 간의 현 길이를 보여준다.

24-포체의 24개 꼭짓점은 서로 다른 네 개의 현 길이, 즉 , , 및 에 분포되어 있다. 현(24-포체의 모서리)은 중심 육각형의 모서리이고, 현은 중심 육각형의 대각선이다.

각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 다른 8개의 꼭짓점에 연결되어 있으며, 이는 60° = 의 호를 뻗는다. 다른 8개의 꼭짓점은 120° = 만큼 떨어진 곳에 위치하며, 길이 의 내부 현을 따라 위치한다.

사원수로 해석될 때, F₄ 근격자 (24-세포의 꼭짓점의 정수적 범위)는 곱셈에 닫혀 있으므로 환이다. 이것은 후르비츠 정수 사원수의 환이다. 24-세포의 꼭짓점은 후르비츠 사원수 환에서 단위군 (즉, 가역 원소의 군)을 형성한다 (이 군은 또한 이진 사면체 군으로도 알려져 있다).

24개 단위 후르비츠 사원수로 볼 때, 24-포체의 단위 반경 좌표는 (대척 쌍으로) 정사면체의 12개 회전을 나타낸다.

2. 1. 3. 삼각형

정이십사포체의 꼭짓점과 모서리로 형성되는 32개의 정삼각형은 |cm}}의 길이를 가지며, 16개의 대육각형에 내접한다. 각 정삼각형은 세 개의 완전히 분리된 정십육포체를 연결하는 고리이며, 세 개의 초정육면체(8-포체)를 연결하는 고리이기도 하다. 각 정삼각형은 각 초정육면체에 하나의 |cm}} 모서리를 가진다.

2. 1. 4. 초입방체 현

24-포체는 자기 쌍대 다면체이며, 24개의 꼭짓점을 가진다. 이 꼭짓점들은 정수 좌표와 반정수 좌표 형태로 표현될 수 있다.

8개의 꼭짓점은 정수 좌표를 순열하여 얻어진다:

:

\left( \pm 1, 0, 0, 0 \right)

16개의 꼭짓점은 반정수 좌표 형태를 가진다:

:

\left( \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2} \right)

이 24개의 꼭짓점은 모두 원점에서 거리 1에 위치하며, 후르비츠 사원수로 간주될 수 있다.

이 좌표계에서 24-포체는 단위 반지름과 단위 모서리 길이를 갖는다. 24-포체의 24개 꼭짓점은 서로 다른 네 개의 현 길이, 즉 , , , 에 분포한다. 각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 다른 8개의 꼭짓점에 연결되며, 이는 60°의 호를 이룬다. 90°만큼 떨어진 6개의 꼭짓점은 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 120°만큼 떨어진 8개의 꼭짓점은 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 반대편 꼭짓점은 길이 2의 지름을 따라 180°만큼 떨어져 있다.

24-포체의 내부 다포체가 어떻게 맞물리는지 이해하려면, 네 개의 현 길이 (, , , )가 1차원에서 4차원까지의 초입방체의 긴 지름임을 기억하는 것이 중요하다. 즉, 정사각형의 긴 지름은 이고, 정육면체의 긴 지름은 이며, 테서랙트의 긴 지름은 이다.

2. 1. 5. 측지선

24-포체의 꼭짓점 현은 측지선 대원 다각형으로 배열된다. 두 24-포체 꼭짓점 사이의 모서리 경로를 따른 측지선 거리는 항상 1, 2 또는 3이며, 반대 꼭짓점에 대해서만 3이다.

모서리는 16개의 육각형 대원에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른 모서리는 표면을 96개의 삼각형 면과 24개의 팔면체 셀로 나눈다. 16개의 육각형 대원은 4개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합에서 하나의 육각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고 각 집합의 4개의 육각형이 모든 24개의 꼭짓점에 도달한다.

현은 18개의 정사각형 대원에서 발생하며, 그중 3개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 72개의 서로 다른 현은 육각형 대원과 동일한 평면에서 실행되지 않으며, 24-포체의 모서리를 따르지 않고, 팔각형 셀 중심을 통과한다. 18개의 정사각형 대원은 3개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있다. 각 집합에서 하나의 정사각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고 각 집합의 6개의 정사각형이 모든 24개 꼭짓점에 도달한다.

현은 16개 평면의 32개의 삼각형 대원에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른 현은 육각형 대원과 동일한 평면에서 꼭짓점에서 모든 다른 꼭짓점으로 실행된다. 16개의 대육각형에 새겨진 32개의 대삼각형의 3개 모서리이며, 대원에서 2개의 모서리 떨어져 있는 꼭짓점을 연결한다.

현은 12개의 꼭짓점-꼭짓점 지름(3개의 직교 축 집합)으로 발생하며, 25번째 중심 꼭짓점 주변의 24개의 반지름으로 발생한다.

각 대원은 클리포드 평행이 아닌 다른 대원과 하나의 24-포체의 지름에서 교차한다. 두 개의 교차하는 대정사각형 또는 대육각형은 두 개의 반대 꼭짓점을 공유하지만, 클리포드 평행 대원의 정사각형 또는 육각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 두 개의 교차하는 대삼각형은 반대 꼭짓점이 없기 때문에 하나의 꼭짓점만 공유한다. 완전히 직교하거나 클리포드 평행인 대원은 전혀 교차하지 않는다. 서로소인 꼭짓점 집합을 통과한다.

2. 2. 구성

정이십사포체는 5-포체를 제외하고 4차원 정다포체의 기하학적 구조를 통합한다. 슐래플리 기호에 5가 포함된 정다포체를 제외하면, 정이십사포체는 삼각형과 정사각형으로 만들어진 4차원 정다포체를 모두 포함한다.^[1] 이러한 정다포체 간의 기하학적 관계는 정이십사포체 벌집에서 관찰할 수 있다.

정이십사포체는 초입방체(8-포체) 3개를 겹쳐서 만들 수 있으며, 초입방체는 다시 16-포체 2개를 겹쳐서 만들 수 있다. 반대로 이전 단계의 도형을 이용해 다음 단계의 도형을 만들 수도 있는데, 이 경우 반지름은 보존되지만 모서리 길이는 일반적으로 더 짧아진다.

정이십사포체는 깎아내기를 통해 면 처리할 수 있다. 내부 셀을 잘라내 꼭짓점을 제거하면 정이십사포체에 내접된 내부 4차원 다포체의 면을 볼 수 있다. 정이십사포체는 6개의 꼭짓점을 가진 평면 육각형, 4개의 꼭짓점을 가진 평면 사각형, 3개의 꼭짓점을 가진 삼각형으로 자를 수 있다. 대원 중심 평면은 이러한 평면의 일부이며, 내부 다포체의 면 평면 등 다른 평면도 존재한다.

정이십사포체는 24개의 팔면체 세포뿐만 아니라 24개의 정육면체 세포를 가진다. 하지만 이 정육면체들은 정이십사포체의 세포가 아니라, 부피적으로 분리되지 않는 세 개의 8-포체의 세포들이다. 정이십사포체는 자체 모서리 길이의 24개 입방체(세 개의 8-포체)로 구성될 수 있다. 각 입방체는 2개의 8-세포에 의해 공유되며, 각 입방체의 정사각 면은 4개의 입방체(2개의 8-세포)에 의해 공유되고, 각 96개의 모서리는 8개의 정사각 면(2개의 8-세포의 4개의 입방체)에 의해 공유되며, 각 96개의 꼭짓점은 16개의 모서리(2개의 8-세포의 4개의 입방체의 8개의 정사각 면)에 의해 공유된다.

정이십사포체는 불규칙한 5-셀인 특성 정사각뿔로 직접 구성할 수 있다. 이는 해당 대칭군 F₄의 기본 영역이며, 해당 4-orthoscheme을 자체 셀 (3-정사각뿔)에 반영함으로써 구성된다.

2. 2. 1. 상호 구성

정이십사포체는 (±1, ±1, 0, 0)의 24개 좌표 순열로 꼭짓점을 설명할 수 있다. 이 좌표는 꼭짓점 순열이 (±2, 0, 0, 0)인 16-포체를 정형화하여 구성할 수 있다.^[1] 16-포체의 꼭짓점 도형은 팔면체이므로, 16-포체의 꼭짓점을 그 인접한 모서리의 중간점에서 자르면 8개의 팔면체 세포가 생성된다. 이 과정은 또한 16-포체의 정사면체 세포를 정형화하여 16개의 팔면체를 만들고, 결과적으로 정이십사포체는 24개의 팔면체 세포를 갖게 된다.

이 좌표계에서 정이십사포체는 모서리 길이가 이고 반지름이 인 3-구에 내접한다.

8개의 정수 꼭짓점 (±1, 0, 0, 0)은 정규 16-포체의 꼭짓점이고, 16개의 반정수 꼭짓점 (±, ±, ±, ±)은 이와 쌍대인 초입방체(8-포체)의 꼭짓점이다. 초입방체는 정이십사포체의 고셋 구성을 제공하는데, 이는 초입방체를 8개의 입방 피라미드로 자르고 이를 두 번째 초입방체의 면에 부착하는 것과 같다. 16-포체는 정이십사포체의 상호 구성을 제공하며, 체사로 구성은 16-포체를 정류하는 것과 같다.

16개의 반정수 꼭짓점은 좌표에 짝수 개의 마이너스 (−) 부호가 있는 것과 홀수 개의 부호가 있는 것, 이렇게 두 그룹으로 나눌 수 있다. 각 8개의 꼭짓점 그룹은 또한 정규 16-포체를 정의한다.

2. 2. 2. 축소

24-포체는 깎아내기를 통해 면 처리될 수 있다. 꼭짓점 코드를 경계로 하는 내부 셀을 잘라내어 꼭짓점을 제거함으로써 24-포체에 내접된 내부 4-다포체의 면을 노출시킬 수 있다. 6개의 꼭짓점을 가진 평면 육각형, 4개의 꼭짓점을 가진 평면 사각형, 또는 3개의 꼭짓점을 가진 모든 삼각형을 통해 24-포체를 자를 수 있다. 대원 중심 평면(위)은 이러한 평면 중 일부일 뿐이며, 여기서는 내부 다포체의 면 평면 등 다른 평면 몇 가지를 노출할 것이다.

24-포체는 24개의 팔면체 세포뿐만 아니라 24개의 입방체 세포를 가진다. 하지만 이 입방체들은 24-포체의 세포가 아니라, 부피적으로 분리되지 않는 세 개의 8-세포의 세포들이다.

24-포체는 자체 모서리 길이의 24개 입방체(세 개의 8-세포)로 구성될 수 있다. 각 입방체는 2개의 8-세포에 의해 공유되며, 각 입방체의 정사각 면은 4개의 입방체(2개의 8-세포)에 의해 공유되고, 각 96개의 모서리는 8개의 정사각 면(2개의 8-세포의 4개의 입방체)에 의해 공유되며, 각 96개의 꼭짓점은 16개의 모서리(2개의 8-세포의 4개의 입방체의 8개의 정사각 면)에 의해 공유된다.

2. 2. 3. 사면체 구성

24-포체의 24개 꼭짓점은 서로 다른 네 개의 현 길이(, , , )에 분포되어 있다. 각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 다른 8개의 꼭짓점에 연결되어 있다.

다음으로 가까운 꼭짓점은 90° 떨어진 6개의 꼭짓점이며, 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 다른 8개의 꼭짓점은 120° 떨어진 곳에 위치하며, 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 반대편 꼭짓점은 길이 2의 지름을 따라 180° 떨어진 곳에 있다. 24-포체는 반지름이 같으므로, 중심은 모든 꼭짓점으로부터 1개의 모서리 길이에 있다.

24-포체의 내부 다포체가 어떻게 맞물리는지 시각화하려면 네 개의 현 길이(, , , )가 1차원에서 4차원까지의 초입방체의 긴 지름임을 명심해야 한다. 즉, 정사각형의 긴 지름은 이고, 정육면체의 긴 지름은 이며, 테서랙트의 긴 지름은 이다.

8개의 정수 꼭짓점 (±1, 0, 0, 0)은 정규 16-포체의 꼭짓점이고, 16개의 반정수 꼭짓점 (±, ±, ±, ±)은 이의 쌍대인 초입방체 (8-포체)의 꼭짓점이다.^[1] 초입방체는 24-포체의 고셋 구성을 제공하며, 이는 초입방체를 8개의 입방 피라미드로 자르고 이를 두 번째 초입방체의 면에 부착하는 것과 같다. 3차원 공간에서의 유사한 구성은 마름모 십이면체를 제공하지만, 이는 정규적이지 않다. 16-포체는 24-포체의 상호 구성을 제공하며, 체사로 구성은 16-포체를 정류하는 것과 같다. 초입방체와 16-포체는 24-포체에서 유일한 정규 4-포체이다.

16개의 반정수 꼭짓점을 두 그룹, 즉 좌표에 짝수 개의 마이너스 (−) 부호가 있는 것과 홀수 개의 부호가 있는 것으로 나눌 수 있다. 이러한 각 8개의 꼭짓점 그룹은 또한 정규 16-포체를 정의한다. 이것은 24-포체의 꼭짓점이 각각 정규 16-포체를 정의하고, 보완적인 것이 쌍대 초입방체를 정의하는 세 개의 서로 소 집합으로 나눌 수 있음을 보여준다.

정이십사포체, 세 개의 정팔포체, 세 개의 정십육포체는 공통의 중심을 중심으로 깊이 얽혀 있으며, 공통의 핵에서 교차한다. 정팔포체와 정십육포체는 서로 60° 등각적으로 회전한다.

정팔포체는 정이십사포체에 내접되어 있으며 꼭짓점과 모서리는 정이십사포체의 외부 요소이지만 정사각형 면과 입방 세포는 정이십사포체 내부에 있다. 정십육포체는 정이십사포체에 내접되어 있으며 꼭짓점만 정이십사포체의 외부 요소이다. 내부 정십육포체 모서리의 길이는 이다.

정십육포체는 또한 정팔포체에 내접되어 있다. 모서리는 정팔포체의 면 대각선이고, 8개의 꼭짓점은 정팔포체의 모든 다른 꼭짓점을 차지한다. 각 정팔포체에는 두 개의 정십육포체가 내접되어 있다. 따라서 각 정십육포체는 세 개의 정팔포체 중 두 개에 내접되어 있다. 이는 3차원에서 케플러가 발견한 것처럼, 두 개의 반대 정사면체가 정육면체에 내접될 수 있는 방식과 유사하다.

정이십사포체는 팔면체 면의 외피 내에 세 개의 정팔포체를 둘러싸고, 외피와 각 정팔포체의 입방체의 외피 사이에 일부 공간을 남긴다. 각 정팔포체는 세 개의 정십육포체 중 두 개를 둘러싸고, 외피와 각 정십육포체의 사면체의 외피 사이에 일부 공간을 남긴다.

2. 2. 4. 입방체 구성

24-포체는 자기 쌍대 다면체로, 꼭짓점과 세포의 수가 24개로 같고, 모서리와 면의 수도 96개로 같다.

모서리 길이가 인 24-포체의 쌍대 다면체를 내접 구를 중심으로 하여 역수를 취하면, 모서리 길이와 외접반지름이 1인 또 다른 24-포체를 얻을 수 있다. 이 24-포체의 꼭짓점 좌표는 다음과 같이 표현할 수 있다.

8개의 꼭짓점: (±1, 0, 0, 0) (정수 좌표를 순열)
16개의 꼭짓점: (±, ±, ±, ±) (반정수 좌표)

이 24개의 꼭짓점은 모두 원점에서 거리 1에 위치한다. 이들은 사원수로 간주할 때 단위 후르비츠 사원수이다.

이 좌표계에서 24-포체는 단위 반지름과 단위 모서리 길이를 갖는다. 이 좌표계를 "단위 반지름 좌표"라고 부른다.

24개의 꼭짓점과 96개의 모서리는 16개의 비직교 큰 육각형을 형성한다. 각 꼭짓점에서 4개의 육각형이 교차한다. 각 꼭짓점에서 하나의 육각형만 보면, 24-포체는 서로 클리포드 평행한 4개의 육각형 대원군을 이루는 24개의 꼭짓점으로 볼 수 있다.

24-포체의 12개 축과 16개 육각형은 레이 구성을 구성하며, 12₄16₃으로 표기한다.

24-포체의 24개 꼭짓점은 서로 다른 네 개의 현 길이, 즉 , , , 에 분포한다.

각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 다른 8개의 꼭짓점에 연결되어 있으며, 이는 60° ()의 호를 뻗는다. 다음으로 가까운 꼭짓점은 90° ()만큼 떨어진 6개의 꼭짓점이며, 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 다른 8개의 꼭짓점은 120°()만큼 떨어진 곳에 위치하며, 길이 의 내부 현을 따라 위치한다. 반대편 꼭짓점은 길이 2의 지름을 따라 180° (π)만큼 떨어진 곳에 있다.

24-포체의 내부 다포체가 어떻게 함께 맞물리는지 시각화하려면 네 개의 현 길이 (, , , )가 1차원에서 4차원까지의 초입방체의 긴 지름임을 명심하라.

24-셀의 꼭짓점 현은 측지선 대원 다각형으로 배열된다. 두 24-셀 꼭짓점 사이의 모서리 경로를 따른 측지선 거리는 항상 1, 2 또는 3이며, 반대 꼭짓점에 대해서만 3이다.

모서리는 16개의 육각형 대원에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른 모서리는 표면을 96개의 삼각형 면과 24개의 팔면체 셀로 나눈다. 16개의 육각형 대원은 4개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합에서 하나의 육각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고 각 집합의 4개의 육각형이 모든 24개 꼭짓점에 도달한다.

24-셀의 정사영
콕세터 평면	F₄
그래프
이변 대칭	[12]
콕세터 평면	B₃ / A₂ (a)	B₃ / A₂ (b)
그래프
이변 대칭	[6]	[6]
콕세터 평면	B₄	B₂ / A₃
그래프
이변 대칭	[8]	[4]

현은 18개의 정사각형 대원에서 발생하며, 그중 3개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 72개의 서로 다른 현은 24개의 팔면체 셀의 3개의 직교 축으로, 2 모서리 떨어져 있는 꼭짓점을 연결한다. 18개의 정사각형 대원은 3개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있다. 각 집합에서 하나의 정사각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고 각 집합의 6개의 정사각형이 모든 24개 꼭짓점에 도달한다.

현은 16개 평면의 32개의 삼각형 대원에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른 현은 육각형 대원과 동일한 평면에서 꼭짓점에서 모든 다른 꼭짓점으로 실행된다. 16개의 대육각형에 새겨진 32개의 대삼각형의 3개 모서리이며, 대원에서 2개의 모서리 떨어져 있는 꼭짓점을 연결한다.

현은 12개의 꼭짓점-꼭짓점 지름(3개의 직교 축 집합)으로 발생하며, 25번째 중심 꼭짓점 주변의 24개의 반지름으로 발생한다.

이러한 모든 서로 다른 24-셀 현의 제곱 길이의 합은 576 = 24²이다.

모서리는 48개의 평행 쌍으로 발생하며, 만큼 떨어져 있다. 현은 36개의 평행 쌍으로 발생하며, 만큼 떨어져 있다. 현은 48개의 평행 쌍으로 발생하며, 만큼 떨어져 있다.

24-셀의 중심 평면은 각각 육팔면체를 형성하는 4개의 직교 중심 초평면(3차원 공간)으로 나눌 수 있다. 대육각형은 60도 간격이고, 대정사각형은 90도 또는 60도 간격이고, 대정사각형과 대육각형은 90도 ''및'' 60도 간격이다. 유사한 중심 다각형(정사각형 또는 육각형)의 각 집합은 비교차 클리포드 평행 다각형(6개의 정사각형 또는 4개의 육각형)의 4개 집합으로 나눌 수 있다. 클리포드 평행 대원의 각 집합은 모든 24개 꼭짓점을 한 번만 방문하는 평행 호프 올다발이다.

각 대원은 클리포드 평행이 아닌 다른 대원과 하나의 24-셀의 지름에서 교차한다. 완전히 직교하거나 클리포드 평행인 대원은 전혀 교차하지 않는다. 서로소인 꼭짓점 집합을 통과한다.

8개의 정수 꼭짓점 (±1, 0, 0, 0)은 정규 16-포체의 꼭짓점이고, 16개의 반정수 꼭짓점 (±, ±, ±, ±)은 이의 쌍대인 초입방체 (8-포체)의 꼭짓점이다. 초입방체는 24-포체의 고셋 구성을 제공한다. 16-포체는 24-포체의 상호 구성을 제공한다. 초입방체와 16-포체는 24-포체에서 유일한 정규 4-포체이다.

16개의 반정수 꼭짓점을 두 그룹, 즉 좌표에 짝수 개의 마이너스 부호가 있는 것과 홀수 개의 부호가 있는 것으로 나눌 수 있다. 각 8개의 꼭짓점 그룹은 또한 정규 16-포체를 정의한다. 24-포체의 꼭짓점은 각각 정규 16-포체를 정의하고, 보완적인 것이 쌍대 초입방체를 정의하는 세 개의 서로 소 집합으로 나눌 수 있다. 이것은 16-포체의 대칭이 24-포체의 대칭 그룹의 지수 3인 하위 그룹을 형성함을 보여준다.

깎아내기를 통해 24-셀을 면 처리할 수 있다. 24-셀은 모서리 길이가 인 96개의 정삼각형으로 방사형으로 구성할 수 있으며, 각 삼각형은 중심에서 만나며, 각 삼각형은 두 개의 반지름과 한 개의 모서리를 기여한다. 이들은 96개의 정사면체를 형성하며, 모두 25번째 중심 꼭짓점을 공유한다. 이들은 중심에 꼭짓점을 둔 24개의 팔면체 피라미드 (절반 16-셀)를 형성한다.

24-셀은 모서리 길이가 인 96개의 정삼각형으로 구성할 수 있으며, 이들은 48개의 모서리 정사면체를 형성하며, 24-셀의 24개 중간 모서리 반지름에 중심을 둔다.

24-셀은 자체 특성 정사각뿔로 직접 구성할 수 있는데, 이는 해당 대칭군의 기본 영역이며, 해당 4-orthoscheme을 자체 셀 (3-정사각뿔)에 반영함으로써 구성된다.

24-포체는 24-팔면체 세포일 뿐만 아니라 24-입방체 세포이기도 하다. 하지만 이 입방체들은 24-포체의 세포가 아니라, 부피적으로 분리되지 않는 세 개의 8-세포의 세포들이다.

24-포체는 자체 모서리 길이의 24개 입방체(세 개의 8-세포)로 구성될 수 있다.

24-포체, 8-포체, 16-포체 외피 사이의 4차원 간극에도 불구하고, 그들의 3차원 부피는 겹칩니다. 서로 다른 외피들은 어떤 곳에서는 분리되어 있고, 다른 곳에서는 접촉하고 있다. 그들이 접촉하는 곳에서는 합쳐져서 세포 부피를 공유한다. 총 7개의 외피가 있으므로, 여러 외피가 합쳐져서 부피를 합치는 곳도 있고, 외피가 서로 관통하는 곳도 있다.

일부 내부 특징은 24-포체 자체의 (바깥쪽) 경계 외피의 3차원 공간 내에 있다. 각 팔면체 세포는 세 개의 수직 정사각형에 의해 이등분되며, 그 정사각형의 대각선은 16-포체 모서리이다. 각 정사각형은 팔면체를 두 개의 사각 피라미드로 이등분하며, 또한 테서랙트의 두 인접한 정육면체 세포를 공통 면으로 함께 결합한다.

위에서 보았듯이, 16-포체 사면체 세포는 테서랙트 정육면체 세포에 새겨져 있으며, 동일한 부피를 공유한다. 24-포체 팔면체 세포는 정육면체 세포와 부피가 겹친다. 그것들은 사각 면에 의해 두 개의 사각 피라미드로 이등분되며, 그 꼭지점은 정육면체의 꼭지점에 위치한다. 팔면체는 정육면체뿐만 아니라 그 안에 새겨진 사면체와도 부피를 공유한다. 따라서 24-포체, 테서랙트, 16-포체는 모두 일부 경계 부피를 공유한다.

24-셀의 구성 행렬은 다음과 같다.

	꼭짓점	모서리	면	셀
꼭짓점	24	8	12	6
모서리	2	96	3	3
면	3	3	96	2
셀	6	12	8	24

정이십사포체는 자기 쌍대이므로, 이 행렬은 180도 회전과 동일하다.

2. 2. 5. 내부 다포체 간의 관계

정이십사포체는 정팔포체와 정십육포체를 내부에 포함하며, 이들 사이에 복잡한 관계가 형성되어 있다.

정이십사포체의 24개 꼭짓점은 , , , 의 네 가지 현 길이에 분포한다.^[1] 이 꼭짓점들은 세 개의 정팔포체와 세 개의 정십육포체로 나눌 수 있다.^[1]

8개의 정수 꼭짓점(±1, 0, 0, 0)은 정십육포체의 꼭짓점이고, 16개의 반정수 꼭짓점(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)은 쌍대 관계인 정팔포체(초입방체)의 꼭짓점이다.^[1] 정팔포체는 정이십사포체에 내접하며, 꼭짓점과 모서리는 정이십사포체의 외부에 있지만 정사각형 면과 입방체 세포는 정이십사포체 내부에 있다.^[1] 정십육포체는 정이십사포체에 내접하며, 꼭짓점만 정이십사포체의 외부에 있고, 모서리, 삼각형 면, 사면체 세포는 정이십사포체 내부에 있다.^[1]

정십육포체는 정팔포체에도 내접한다. 모서리는 정팔포체의 면 대각선이고, 8개의 꼭짓점은 정팔포체의 다른 꼭짓점을 차지한다.^[1] 각 정팔포체에는 두 개의 정십육포체가 내접하며, 반대 꼭짓점과 면 대각선을 차지한다. 따라서 각 정십육포체는 세 개의 정팔포체 중 두 개에 내접한다.^[1] 이는 3차원에서 두 개의 정사면체가 정육면체에 내접하는 방식과 유사하다.^[1]

정이십사포체는 세 개의 정팔포체를 둘러싸고, 외피와 각 정팔포체의 입방체 외피 사이에 공간을 남긴다. 각 정팔포체는 세 개의 정십육포체 중 두 개를 둘러싸고, 외피와 각 정십육포체의 사면체 외피 사이에 공간을 남긴다.^[1]

정이십사포체, 정팔포체, 정십육포체는 공통의 중심을 중심으로 깊이 얽혀 있으며, 공통의 핵에서 교차한다.^[1] 정팔포체와 정십육포체는 서로 60° 등각 회전한다.^[1]

2. 2. 6. 경계 세포

24-포체는 이전 단계인 초입방체(8-포체)의 3개 중첩된 인스턴스로 분해될 수 있으며, 8-포체는 이전 단계인 16-포체의 2개 인스턴스로 분해될 수 있다. 각 다포체를 이전 단계의 인스턴스에서 구성하는 역과정은 이전 단계의 반경을 보존하지만 일반적으로 모서리 길이가 더 작은 후속 다포체를 생성한다.

정이십사포체, 세 개의 정팔포체, 세 개의 정십육포체는 공통의 중심을 중심으로 깊이 얽혀 있으며, 공통의 핵에서 교차한다. 정팔포체와 정십육포체는 서로 60° 등각적으로 회전한다. 즉, 두 개의 정팔포체 또는 두 개의 정십육포체의 해당 꼭짓점은 120° 떨어져 있다.

정팔포체는 정이십사포체에 내접되어 있으며 꼭짓점과 모서리는 정이십사포체의 외부 요소이지만 정사각형 면과 입방 세포는 정이십사포체 내부에 있다(정이십사포체의 요소가 아님). 정십육포체는 정이십사포체에 내접되어 있으며 꼭짓점만 정이십사포체의 외부 요소이다. 모서리, 삼각 면, 사면체 세포는 정이십사포체 내부에 있다. 내부 정십육포체 모서리의 길이는 2이다.

정십육포체는 또한 정팔포체에 내접되어 있다. 2 모서리는 정팔포체의 면 대각선이고, 8개의 꼭짓점은 정팔포체의 모든 다른 꼭짓점을 차지한다. 각 정팔포체에는 두 개의 정십육포체가 내접되어 있다(반대 꼭짓점과 면 대각선을 차지). 따라서 각 정십육포체는 세 개의 정팔포체 중 두 개에 내접되어 있다.

정이십사포체는 팔면체 면의 외피 내에 세 개의 정팔포체를 둘러싸고, 외피와 각 정팔포체의 입방체의 외피 사이에 일부 공간을 남깁니다. 각 정팔포체는 세 개의 정십육포체 중 두 개를 둘러싸고, 외피와 각 정십육포체의 사면체의 외피 사이에 일부 공간을 남깁니다.

24-포체, 8-포체, 16-포체 외피 사이의 4차원 간극에도 불구하고, 그들의 3차원 부피는 겹칩니다. 서로 다른 외피들은 어떤 곳에서는 분리되어 있고, 다른 곳에서는 접촉하고 있습니다(4-피라미드가 그들 사이에 없는 곳). 그들이 접촉하는 곳에서는 합쳐져서 세포 부피를 공유합니다. 즉, 두 개의 분리된 인접한 3차원 층이 아닌, 같은 3차원 막입니다. 총 7개의 외피가 있으므로, 여러 외피가 합쳐져서 부피를 합치는 곳도 있고, 외피가 서로 관통하는 곳도 있습니다(서로 안에서 밖으로 교차).

일부 내부 특징은 24-포체 자체의 (바깥쪽) 경계 외피의 3차원 공간 내에 있습니다. 각 팔면체 세포는 세 개의 수직 정사각형(각 테서랙트에서 하나씩)에 의해 이등분되며, 그 정사각형의 대각선(팔면체의 중심에서 서로 수직으로 교차)은 16-포체 모서리입니다(각 16-포체에서 하나씩). 각 정사각형은 팔면체를 두 개의 사각 피라미드로 이등분하며, 또한 테서랙트의 두 인접한 정육면체 세포를 공통 면으로 함께 결합합니다.

16-포체 2 사면체 세포는 테서랙트 1 정육면체 세포에 새겨져 있으며, 동일한 부피를 공유합니다. 24-포체 1 팔면체 세포는 1 정육면체 세포와 부피가 겹칩니다. 그것들은 사각 면에 의해 두 개의 사각 피라미드로 이등분됩니다, 그 꼭지점은 정육면체의 꼭지점에 위치합니다. 팔면체는 정육면체뿐만 아니라 그 안에 새겨진 사면체와도 부피를 공유합니다. 따라서 24-포체, 테서랙트, 16-포체는 모두 일부 경계 부피를 공유합니다.

2. 3. 구성 (Configuration)

8개의 정수 꼭짓점 (±1, 0, 0, 0)은 정규 16-포체의 꼭짓점이고, 16개의 반정수 꼭짓점 (±½|2분의 1^영어, ±½|2분의 1^영어, ±½|2분의 1^영어, ±½|2분의 1^영어)은 이의 쌍대인 초입방체 (8-포체)의 꼭짓점이다. 초입방체는 24-포체의 고셋 구성을 제공하며, 이는 초입방체를 8개의 입방 피라미드로 자르고 이를 두 번째 초입방체의 면에 부착하는 것과 같다. 3차원 공간에서의 유사한 구성은 마름모 십이면체를 제공하지만, 이는 정규적이지 않다. 16-포체는 24-포체의 상호 구성을 제공하며, 체사로 구성은 16-포체를 정류하는 것과 같다. 초입방체와 16-포체는 24-포체에서 유일한 정규 4-포체이다.^[1]

16개의 반정수 꼭짓점을 좌표에 짝수 개의 마이너스 (−) 부호가 있는 것과 홀수 개의 부호가 있는 두 그룹으로 나눌 수 있다. 이러한 각 8개의 꼭짓점 그룹은 또한 정규 16-포체를 정의한다. 이것은 24-포체의 꼭짓점이 각각 정규 16-포체를 정의하고, 보완적인 것이 쌍대 초입방체를 정의하는 세 개의 서로 소 집합으로 나눌 수 있음을 보여준다.

구성 행렬은 정이십사포체를 나타낸다. 행과 열은 각각 꼭짓점, 모서리, 면, 그리고 셀에 해당한다. 대각선 숫자는 전체 정이십사포체에 각 요소가 몇 개 있는지 나타낸다. 대각선이 아닌 숫자는 열의 요소가 행의 요소에 몇 개 포함되어 있는지 또는 그 요소에 얼마나 많은 요소가 있는지 나타낸다.

	꼭짓점	모서리	면	셀
꼭짓점	24	8	12	6
모서리	2	96	3	3
면	3	3	96	2
셀	6	12	8	24

정이십사포체는 자기 쌍대이므로, 이 행렬은 180도 회전과 동일하다.

3. 대칭성, 근계, 테셀레이션

24-포체는 5-포체를 제외하고, 슐래플리 기호에 5가 포함된 정다포체를 제외하면, 처음 4차원에서 모든 볼록 정다포체의 기하학적 구조를 통합한다. 즉, 24-포체는 정5-포체를 제외하고 4차원에 존재하는 삼각형과 정사각형으로 만들어진 모든 정다포체를 포함하지만, 오각형 다포체는 전혀 포함하지 않는다. 이 모든 정다포체 간의 기하학적 관계는 단일 24-포체 또는 24-포체 벌집에서 관찰할 수 있다.

24-포체는 6개의 볼록 정사각체 시퀀스에서 네 번째이다. 24-포체는 이전 단계인 초입방체(8-포체)의 3개 중첩 인스턴스로 분해될 수 있으며, 8-포체는 이전 단계인 16-포체의 2개 인스턴스로 분해될 수 있다.

24-포체는 고유한 구조를 보여주는 두 가지 자연적인 데카르트 좌표계를 가지고 있다. 24개의 꼭짓점은 반지름이 1인 24-세포에서 길이 인 32개의 정삼각형을 형성하며, 16개의 정육각형에 내접한다. 각 정삼각형은 세 개의 완전히 분리된 정사각을 연결하는 고리이다.

24-포체의 24개 꼭짓점(빨간색 노드)과 크기가 조정되지 않은 쌍대(노란색 노드)의 화합물은 이 F₄ 코세터 평면 투영에서와 같이 F₄ 군의 48개 근 벡터를 나타낸다.

SO(8)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터는 24-포체의 꼭짓점을 형성한다. 꼭짓점은 3개의 초평면에서 볼 수 있으며, 각 외부 초평면에 팔면체 세포의 6개의 꼭짓점과 중앙 초평면에 깎은 정육면체의 12개의 꼭짓점이 있다. 이 꼭짓점은 16-포체의 8개의 꼭짓점과 결합하여 B₄ 및 C₄ 단순 리 군의 32개 근 벡터를 나타낸다.

24-포체와 그 쌍대의 결합의 48개의 꼭짓점(또는 엄밀히 말해 그 반경 벡터)은 F₄형의 근계를 형성한다. 원래 24-포체의 24개 꼭짓점은 D₄형의 근계를 형성한다. 24-포체의 전체 대칭군은 F₄의 바일 군이며, F₄ 근에 직교하는 초평면을 통한 반사에 의해 생성된다. 이는 차수가 1152인 가해군이다. 24-포체의 회전 대칭군은 차수가 576이다.

정이십사포체 벌집 {3,4,3,3}의 쌍대 테셀레이션은 십육포체 벌집 {3,3,4,3}이다. 4차원 공간의 세 번째 정규 테셀레이션은 꼭짓점을 4 정수 데카르트 좌표로 설명할 수 있는 정팔포체 벌집 {4,3,3,4}이다.

3. 1. 사원수 해석

사원수로 해석될 때, 24-세포의 꼭짓점의 정수적 범위는 곱셈에 닫혀 있으므로 환을 이룬다. 이것은 후르비츠 정수 사원수의 환이다. 24-세포의 꼭짓점은 후르비츠 사원수 환에서 단위군(가역 원소의 군)을 형성하며, 이진 사면체 군으로도 알려져 있다. 24-세포의 꼭짓점은 정확하게 제곱 노름이 1인 24개의 후르비츠 사원수이며, 쌍대 24-세포의 꼭짓점은 제곱 노름이 2인 꼭짓점이다. D₄ 근격자는 F₄의 쌍대 격자이며 짝수 제곱 노름을 가진 후르비츠 사원수의 부분환으로 주어진다.

24개 단위 후르비츠 사원수로 볼 때, 24-세포의 단위 반경 좌표는 (대척 쌍으로) 정사면체의 12개 회전을 나타낸다.

차수	원소
1	1
2	-1
4	±i, ±j, ±k
6	(+1±i±j±k)/2
3	(-1±i±j±k)/2

3. 2. 보로노이 세포

SO(8)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터는 24-포체의 꼭짓점을 형성한다.

D₄ 근본 격자의 보로노이 셀은 정이십사포체이다. 이에 해당하는 보로노이 테셀레이션은 정이십사포체에 의한 4차원 유클리드 공간의 테셀레이션인 정이십사포체 벌집을 제공한다. 정이십사포체는 D₄ 격자점(짝수 노름 제곱을 가진 후르비츠 사원수)에 중심을 두고, 꼭짓점은 홀수 노름 제곱을 가진 F₄ 격자점에 위치한다. 이 테셀레이션의 각 정이십사포체는 24개의 이웃을 가지며, 이웃 중 하나와는 팔면체를 공유하고, 다른 24개의 이웃과는 하나의 꼭짓점만 공유한다. 이 테셀레이션에서 주어진 꼭짓점에는 8개의 정이십사포체가 만난다. 이 테셀레이션의 슐래플리 기호는 {3,4,3,3}이며, '''R'''⁴의 세 가지 정규 테셀레이션 중 하나이다.

이 테셀레이션의 정이십사포체에 내접하는 단위 구는 4차원에서 가장 조밀한 알려진 격자 쌓기 초구를 생성한다. 정이십사포체의 꼭짓점 배치는 4차원에서 가능한 가장 높은 접촉수를 제공하는 것으로 나타났다.

3. 3. 방사형 정삼각형 벌집

24-포체 벌집과 정팔포체 벌집은 특별한 관계를 가지는데, 24-포체 벌집은 정팔포체 벌집과 겹쳐질 수 있다. 정팔포체의 모든 꼭짓점은 24-포체의 꼭짓점과 일치하고, 24-포체의 중심은 정팔포체의 중심과 일치한다.^[1] 24-포체는 정팔포체보다 4차원 부피가 두 배 크므로, 전체적으로 24-포체당 두 개의 정팔포체가 존재하며, 그중 절반만 24-포체에 내접한다.^[1]

각 24-포체의 24개 꼭짓점 중 8개는 정팔포체의 꼭짓점에서 발생하지 않고, 대신 정팔포체의 중심에서 발생한다.^[1] 24-포체 벌집과 정팔포체 벌집의 이러한 일치 관계는 24-포체의 방사형 정삼각형 대칭을 보여주는 데 도움이 된다.^[1]

4. 회전

SO(4)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터는 정이십사포체의 꼭짓점을 형성한다. 정이십사포체와 그 쌍대의 결합의 48개 꼭짓점은 F₄형 근계를 형성한다. 원래 정이십사포체의 24개 꼭짓점은 D₄형 근계를 형성한다. 정이십사포체의 전체 대칭군은 F₄의 바일 군이며, 차수가 1152인 가해군이다. 정이십사포체의 회전 대칭군은 차수가 576이다.

24포인트 정이십사포체는 서로 60도 이중 회전된 세 개의 8포인트 정십육포체(빨강, 녹색, 파랑)를 포함한다.

정규 볼록 4-다포체는 4차원 유클리드 공간에서 고정된 점을 중심으로 하는 SO(4) 회전군의 표현이다.^[1] 4차원에는 이중 회전이 발생할 수 있는데, 이는 3차원에 비유가 없는 현상이다. 4차원 단순 회전에서는 평면의 점이 고정되고 다른 모든 점은 움직이는 반면, 4차원 이중 회전에서는 중심점만 고정되고 다른 모든 점은 움직인다.

정이십사포체의 세 직교 기저는 정이십사포체의 세 서로소인 8개 직교 꼭짓점 집합 정렬에 따라, 네 개체 벌집의 세 가지 다른 방향과 일치하도록 만들 수 있다. 이 방향 간 거리는 60도 동일 경사 회전(단일 고정점에서 각 직교 불변 평면 쌍에서 60도 이중 회전)이다.

4차원 유클리드 공간에서의 회전은 완전히 직교하는 두 2차원 회전의 합성이다. 따라서 4차원 공간에서의 일반적인 회전은 '이중 회전'이다.

thumb가 이중 회전을 수행하는 3차원 투영]]

완전히 직교하는 중심 평면의 점들은 고정될 필요가 없다. 첫 번째 불변 평면의 회전과 독립적인 속도로 두 번째 불변 평면에서 원을 그리며 회전할 수 있다. 즉, 두 개의 수직하고 교차하지 않는 회전 평면에서 이중 회전이 동시에 일어난다. 이중 회전에서는 고정된 평면이나 축이 없으며, 중심점을 제외한 모든 점이 움직인다. 회전된 각 거리는 두 개의 완전히 직교하는 중심 평면에서 다를 수 있지만, 항상 불변이다.

이중 회전은 ''좌회전''과 ''우회전''의 두 키랄 형태로 나타난다. 이중 회전에서 각 꼭짓점은 두 개의 직교하는 큰 원을 따라 나선형으로 움직인다. 경로는 오른손 또는 왼손 나선 형태일 수 있다.

꼭짓점이 꼭짓점으로 이동하는 정이십사포체의 이중 회전에서, 한 회전 불변 평면은 큰 육각형, 큰 정사각형, 또는 축(두 꼭짓점, 큰 이면각)을 포함한다. 완전히 직교하는 회전 불변 평면은 각각 큰 이면각, 큰 정사각형, 또는 큰 육각형을 포함해야 한다. 회전 불변 평면, 회전 방향, 각도, 그리고 완전히 직교하는 평면의 회전 방향 및 각도를 선택하면 회전 변위가 완전히 결정된다. 정이십사포체에는 이러한 매개변수로 허용되는 몇 가지 주목할 만한 이중 회전 유형이 있다.

두 평면이 등각 회전으로 일치하면 ''등각''이다. 등각 평면은 클리포드 평행 측지선 대원과 함께 있는 중심 평면이다. 클리포드 평행 대원은 교차하지 않으므로, 등각 대원 다각형은 서로소인 꼭짓점을 갖는다. 정이십사포체에서 모든 육각형 중심 평면은 다른 세 개와 등각이며, 모든 정사각형 중심 평면은 다른 다섯 개와 등각이다. 정이십사포체의 모든 꼭짓점을 한 번 덮는 상호 등각(클리포드 평행) 대육각형 4개를 선택할 수 있다(네 가지 방법). 마찬가지로 상호 등각 대정사각형 6개를 선택할 수 있다(세 가지 방법). 꼭짓점을 꼭짓점으로 가져가는 모든 등각 회전은 이산 올림에 해당한다.

2차원 대원 다각형은 클리포드 평행인 정이십사포체의 유일한 다면체가 아니다. 2, 3, 4차원 합동 다면체의 꼭짓점이 모두 같은 거리에 있다면 4차원에서 클리포드 평행이다. 정이십사포체에 내접된 세 정십육포체는 클리포드 평행이며, 완전하게 서로소인 다면체이다. 육각형 평면에서 60도 등각 회전은 각 정십육포체를 서로소인 정십육포체로 가져온다. 모든 이중 회전처럼 등각 회전은 두 키랄 형태로 제공된다. 각 정십육포체 ''왼쪽''에 서로소인 정십육포체가 있고, ''오른쪽''에 또 다른 정십육포체가 있다.

모든 클리포드 평행 4-다면체는 등각 회전으로 관련되지만, 모든 등각 다면체가 클리포드 평행은 아니다. 정이십사포체의 세 정팔포체는 등각이지만 클리포드 평행이 아니다. 정십육포체처럼 서로 60도 등각 회전되지만, 꼭짓점이 모두 서로소이지 않다.

등각 회전은 볼록 정규 4-다면체를 관련시킨다. 단일 정십육포체의 등각 회전은 정이십사포체를 생성하지만, 단순 회전은 그렇지 않다. 정이십사포체의 등각 회전은 정육백포체를, 정육백포체의 등각 회전은 정백이십포체를 생성한다. 서로 다른 볼록 정규 4-다면체는 서로 안에 둥지를 틀고, 동일한 4-다면체의 여러 인스턴스는 3-구면을 구성하는 클리포드 평행 공간에 숨겨져 있다. 1차원 이상 객체의 경우, 이러한 평행 부공간에 도달하는 유일한 방법은 등각 회전이다.

4. 1. 24포체의 3개의 데카르트 기저

SO(8)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터는 정이십사포체의 꼭짓점을 형성한다. 정이십사포체와 그 쌍대의 결합의 48개 꼭짓점은 F₄형의 근계를 형성한다. 원래 정이십사포체의 24개 꼭짓점은 D₄형의 근계를 형성한다.

정이십사포체 {3,4,3,3}의 쌍대 테셀레이션은 십육포체 벌집 {3,3,4,3}이다. 4차원 공간의 세 번째 정규 테셀레이션은 꼭짓점을 4 정수 데카르트 좌표로 설명할 수 있는 정팔포체 벌집 {4,3,3,4}이다.

24-포체의 세 가지 직교 기저가 있는데, 이는 24-포체의 세 개의 서로소(서로 겹치지 않음)인 8개의 직교 꼭짓점 집합을 정렬하기 위해 선택되었는지에 따라, 24-포체 벌집과 일치하도록 만들 수 있는 네 개체 벌집의 세 가지 다른 방향이 있다. 이러한 한 방향에서 다른 방향으로의 거리는 60도의 동일 경사 회전이다.

4. 2. 회전 평면

4차원 유클리드 공간의 회전에는 단순 회전, 이중 회전, 등각 회전이 있다.

단순 회전은 3차원 회전과 유사하게 회전축을 중심으로 회전하는 방식이다. 반면 이중 회전은 4차원에서만 나타나는 현상으로, 고정된 축 없이 중심점만 고정되고 모든 점이 회전한다.

등각 회전은 이중 회전의 특별한 경우로, 두 개의 서로 직교하는 평면에서 회전 각도가 같다. 이때 클리포드 평행인 모든 대원 평면은 불변 평면이 되어 여러 방향으로 등각 회전이 가능하다. 등각 회전은 클리포드의 이름을 따서 클리포드 변위라고도 불린다.

4. 2. 1. 단순 회전

(±1, ±1, 0, 0) 좌표의 모든 순열로 표현되는 24개의 꼭짓점을 가지는 볼록 껍질로 24-포체를 정의할 수 있다. 이 좌표는 (±2, 0, 0, 0) 좌표를 가진 16-포체를 정형화하여 얻을 수 있다.

이 좌표계에서 24-포체는 모서리 길이가 이고, 반지름이 인 3-구에 내접한다. 24-포체의 긴 반지름(중심에서 꼭짓점까지)은 모서리 길이와 같다는 특징이 있다.

24개의 꼭짓점은 18개의 정사각형 중심 사각형으로 구성되며, 각 꼭짓점에서 3개가 교차한다. 또한, 24-포체는 완전히 직교하는 세 쌍의 큰 사각형의 꼭짓점으로 볼 수 있으며, 이는 어떤 꼭짓점에서도 교차하지 않는다.

24-포체는 SO(4)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터로 표현될 수 있다.

4차원 유클리드 공간의 회전은 평면을 중심으로 발생하는데, '''단순 회전'''과 '''이중 회전'''이 있다. 단순 회전은 평면상의 점들이 고정되고 다른 모든 점은 움직이는 회전이며, 4차원 단순 회전에서는 점이 움직이지 않는 고정 중심 평면이 존재한다.

24-포체의 세 개의 직교 기저는 24-포체의 세 개의 서로소인 8개의 직교 꼭짓점 집합으로 정렬될 수 있다. 이 회전은 육각형 중심 평면에서 가장 명확하게 볼 수 있으며, 여기서 모든 육각형은 세 개의 지름 중 어느 것이 좌표계 축과 정렬되는지를 변경하기 위해 회전한다.

4. 2. 2. 이중 회전

24-포체와 그 쌍대의 결합의 48개 꼭짓점은 F₄형의 근계를 형성한다. 원래 24-포체의 24개 꼭짓점은 D₄형의 근계를 형성한다. 24-포체의 전체 대칭군은 F₄의 바일 군이며, 차수가 1152인 가해군이다. 24-포체의 회전 대칭군은 차수가 576이다.

정규 볼록 4-다포체는 4차원 유클리드 공간에서 고정된 점을 중심으로 하는 SO(4) 회전군의 표현이다.^[1] 4차원에는 '''이중 회전'''이 발생할 수 있는데, 이는 3차원에 비유가 없는 현상이다. 3차원 회전에서 선의 점은 고정되고 다른 모든 점은 움직인다. 4차원 단순 회전에서는 평면의 점이 고정되고 다른 모든 점은 움직인다. 반면 4차원 이중 회전에서는 점이 고정되고 다른 모든 점은 움직인다.

24-포체의 세 직교 기저는 24-포체의 세 서로소인 8개 직교 꼭짓점 집합 정렬에 따라, 네 개체 벌집의 세 가지 다른 방향과 일치하도록 만들 수 있다. 이 방향 간 거리는 60도 동일 경사 회전(단일 고정점에서 각 직교 불변 평면 쌍에서 60도 이중 회전)이다.

4차원 유클리드 공간에서의 회전은 완전히 직교하는 두 2차원 회전의 합성이다. 따라서 4차원 공간에서의 일반적인 회전은 '이중 회전'이다.

thumb가 이중 회전을 수행하는 3차원 투영]]

완전히 직교하는 중심 평면의 점들은 고정될 필요가 없다. 첫 번째 불변 평면의 회전과 독립적인 속도로 두 번째 불변 평면에서 원을 그리며 회전할 수 있다. 즉, 두 개의 수직하고 교차하지 않는 회전 평면에서 이중 회전이 동시에 일어난다. 이중 회전에서는 고정된 평면이나 축이 없으며, 중심점을 제외한 모든 점이 움직인다. 회전된 각 거리는 두 개의 완전히 직교하는 중심 평면에서 다를 수 있지만, 항상 불변이다.

이중 회전은 ''좌회전''과 ''우회전''의 두 키랄 형태로 나타난다. 이중 회전에서 각 꼭짓점은 두 개의 직교하는 큰 원을 따라 나선형으로 움직인다. 경로는 오른손 또는 왼손 나선 형태일 수 있다.

꼭짓점이 꼭짓점으로 이동하는 정이십사포체의 이중 회전에서, 한 회전 불변 평면은 큰 육각형, 큰 정사각형, 또는 축(두 꼭짓점, 큰 이면각)을 포함한다. 완전히 직교하는 회전 불변 평면은 각각 큰 이면각, 큰 정사각형, 또는 큰 육각형을 포함해야 한다. 회전 불변 평면, 회전 방향, 각도, 그리고 완전히 직교하는 평면의 회전 방향 및 각도를 선택하면 회전 변위가 완전히 결정된다. 정이십사포체에는 이러한 매개변수로 허용되는 몇 가지 주목할 만한 이중 회전 유형이 있다.

두 평면이 등각 회전으로 일치하면 ''등각''이다. 등각 평면은 클리포드 평행 측지선 대원과 함께 있는 중심 평면이다. 클리포드 평행 대원은 교차하지 않으므로, 등각 대원 다각형은 서로소인 꼭짓점을 갖는다. 24-셀에서 모든 육각형 중심 평면은 다른 세 개와 등각이며, 모든 정사각형 중심 평면은 다른 다섯 개와 등각이다. 24-셀의 모든 꼭짓점을 한 번 덮는 상호 등각(클리포드 평행) 대육각형 4개를 선택할 수 있다(네 가지 방법). 마찬가지로 상호 등각 대정사각형 6개를 선택할 수 있다(세 가지 방법). 꼭짓점을 꼭짓점으로 가져가는 모든 등각 회전은 이산 올림에 해당한다.

2차원 대원 다각형은 클리포드 평행인 24-셀의 유일한 다면체가 아니다. 2, 3, 4차원 합동 다면체의 꼭짓점이 모두 같은 거리에 있다면 4차원에서 클리포드 평행이다. 24-셀에 내접된 세 16-셀은 클리포드 평행이며, 완전하게 서로소인 다면체이다. 육각형 평면에서 60도 등각 회전은 각 16-셀을 서로소인 16-셀로 가져온다. 모든 이중 회전처럼 등각 회전은 두 키랄 형태로 제공된다. 각 16-셀 ''왼쪽''에 서로소인 16-셀이 있고, ''오른쪽''에 또 다른 16-셀이 있다.

모든 클리포드 평행 4-다면체는 등각 회전으로 관련되지만, 모든 등각 다면체가 클리포드 평행은 아니다. 24-셀의 세 8-셀은 등각이지만 클리포드 평행이 아니다. 16-셀처럼 서로 60도 등각 회전되지만, 꼭짓점이 모두 서로소이지 않다.

등각 회전은 볼록 정규 4-다면체를 관련시킨다. 단일 16-셀의 등각 회전은 24-셀을 생성하지만, 단순 회전은 그렇지 않다. 24-셀의 등각 회전은 600-셀을, 600-셀의 등각 회전은 120-셀을 생성한다. 서로 다른 볼록 정규 4-다면체는 서로 안에 둥지를 틀고, 동일한 4-다면체의 여러 인스턴스는 3-구면을 구성하는 클리포드 평행 공간에 숨겨져 있다. 1차원 이상 객체의 경우, 이러한 평행 부공간에 도달하는 유일한 방법은 등각 회전이다.

4. 2. 3. 등각 회전

24-포체는 세 가지 직교 기저를 가지는데, 이는 24-포체의 세 개의 서로소인 8개의 직교 꼭짓점 집합(4개의 수직축 집합, 또는 이에 상응하는, 어떤 내접 기저 16-포체 집합)을 정렬하기 위해 선택되었는지에 따라, 24-포체 벌집과 일치하도록 만들 수 있는 네 개체 벌집의 세 가지 다른 방향이 있다. 이는 세 개의 네 개체(tesseract)가 24-포체에 내접하여 서로 회전하는 것과 같다. 이러한 한 방향에서 다른 방향으로의 거리는 60도의 동일 경사 회전(단일 고정점을 중심으로 각 직교 불변 평면 쌍에서 60도의 이중 회전)이다. 이 회전은 육각형 중심 평면에서 가장 명확하게 볼 수 있으며, 여기서 모든 육각형은 세 개의 지름 중 어느 것이 좌표계 축과 정렬되는지를 변경하기 위해 회전한다.

두 불변 평면에서 회전 각도가 정확히 같을 때, 놀랍도록 대칭적인 기하학적 변환이 발생한다. 불변 평면에 클리포드 평행인 모든 대원 평면 자체가 동일한 각도로 회전하는 불변 평면이 되고, 4-정다면체는 여러 방향으로 등각적으로 회전한다. 각 꼭짓점은 동시에 네 개의 직교 방향으로 같은 거리를 이동한다.등각 회전에서 4-정다면체의 모든 지점은 동시에 네 개의 직교 방향으로 같은 거리를, 4차원 대각선으로 이동한다. 해당 지점은 해당 거리의 제곱에 4를 곱한 값의 제곱근과 같은 총 피타고라스 거리만큼 이동한다. 모든 꼭짓점은 두 개의 모서리 길이 이상 떨어진 꼭짓점으로 이동한다. 예를 들어, 단위 반지름 24-세포가 육각형 불변 평면에서 60° 그리고 완전히 직교하는 불변 평면에서 60° 등각적으로 회전하면, 각 꼭짓점은 (120°) 떨어진 다른 꼭짓점으로 이동하며, 네 개의 직교 방향으로 ≈ 0.866 ( 현 길이의 절반)만큼 이동한다. ≈ 0.866은 -모서리 정사면체 (단위 반지름 16-세포의 셀)의 긴 반지름이다. 이 네 개의 정사면체 반지름은 직교하지 않으며, 3차원으로 대칭적으로 압축되어 방사형으로 퍼진다 (4차원이 아님). 24-세포의 특징적인 등각 회전에서 120° 변위를 합산하는 네 개의 직교 ≈ 0.866 변위는 반지름만큼 시각화하기 쉽지 않지만, 4-정사영의 직교 모서리를 따라 4차원 전체로 확장되는 경로에서 연속적인 직교 단계로 상상할 수 있다. 실제 왼쪽(또는 오른쪽) 등각 회전에서 각 120° 변위의 네 개의 직교 ≈ 0.866 단계는 연속적이지 않고 동시적이므로, 실제로 4차원에서 대칭 반지름 ''이다''. 사실, 회전하는 꼭짓점에 중심을 둔 네 개의 직교 단위 반지름 24-세포의 중간 모서리 반지름이다. 마지막으로, 2차원 단위에서 ≈ 0.866은 단위 모서리, 단위 반지름 24-세포의 정삼각형 면의 면적이다. 단위 반지름 방사형 정삼각형 다면체의 방사형 정삼각형의 면적은 ≈ 0.866이다. 24-세포에서 육각형 평면을 기준으로 60도 등각 회전하면 각 꼭짓점은 두 개의 모서리 길이 떨어진 꼭짓점으로 이동하고, ''모든 16'' 개의 육각형을 60도 회전시키며, ''모든'' 대원 다각형(정사각형,16-세포에서 6개의 직교 대정사각형은 3쌍의 완전히 직교하는 대원을 형성한다; 각 쌍은 클리포드 평행이다. 24-세포에서 3개의 내접된 16-세포는 서로 60도 등각적으로 회전해 있으며, 결과적으로 해당 꼭짓점은 육각형 대원에서 120도 떨어져 있다. 90도 떨어진 해당 꼭짓점을 페어링하면 클리포드 평행인 해당 정사각형 대원이 나타난다. 18개의 정사각형 대원 각각은 동일한 16-세포의 다른 정사각형 대원(완전히 직교하는 것)뿐만 아니라 다른 두 개의 16-세포 각각에 있는 두 개의 정사각형 대원(서로 완전히 직교하는 것)에도 클리포드 평행이다. (완전히 직교하는 대원은 클리포드 평행이지만, 모든 클리포드 평행이 직교하는 것은 아니다.) 육각형 불변 평면에서 24-세포의 60도 등각 회전은 각 정사각형 대원을 다른 16-세포의 클리포드 평행(하지만 직교하지 않음) 정사각형 대원으로 이동시킨다. 육각형 또는 삼각형)을 120도 떨어진 동일한 종류의 클리포드 평행 대원 다각형으로 이동시킨다. 등각 회전은 또한 그 발견자인 클리포드 변위라고도 불린다.''클리포드 변위''는 등각 회전으로도 알려져 있으며, 모든 클리포드 평행 불변 평면은 네 개의 직교 방향으로 한 번에 변위된다: 동일한 각도로 회전하며, 동시에 완전히 직교하는 회전에서 해당 각도만큼 ''옆으로'' 기울어진다. 클리포드 변위는 4차원 대각선이다. 완전히 직교하는 평면 중 하나에 클리포드 평행인 모든 평면(이 경우 전체 클리포드 평행 번들 4개의 육각형 포함, 16개의 육각형은 아님)은 등각 회전 하에서 불변이다: 평면의 모든 지점은 원으로 회전하지만 평면에 남아 있으며, 전체 평면이 옆으로 기울어지는 경우에도 마찬가지이다. 16개의 육각형은 모두 동일한 각도로 회전한다(단, 그중 4개만 불변 방식으로 회전함). 모든 16개의 육각형은 60도 회전하고 60도 옆으로 변위되어 클리포드 평행 육각형으로 이동한다. 다른 모든 중심 다각형(예: 사각형)도 60도 떨어진 클리포드 평행 다각형으로 변위된다.

4. 3. 클리포드 평행 다포체

24포체 내의 클리포드 평행 다포체는 16포체와 초입방체(8포체)이다. 24포체는 16포체의 정형화로 구성될 수 있으며, 초입방체의 3개 중첩 인스턴스로 분해될 수 있다. 8포체는 16포체의 2개 인스턴스로 분해될 수 있다. 각 다포체를 이전 단계의 인스턴스에서 구성하는 역과정은 이전 단계의 반지름을 보존하지만 일반적으로 모서리 길이가 더 작은 후속 다포체를 생성한다.

24포체는 클리포드 평행한 4개의 육각형 대원군을 이루는 24개의 꼭짓점으로 볼 수 있다. 각 꼭짓점에서 4개의 육각형이 교차한다. 24포체의 12개 축과 16개 육각형은 레이 구성을 구성하며, 구성의 언어에서 각 축이 4개의 육각형에 속하고 각 육각형이 3개의 축을 포함함을 나타내기 위해 12₄16₃으로 표기한다.

24포체의 18개의 정사각은 6개의 직교 정사각 세트로 나타나며, 각각은 16포체를 형성한다. 세 개의 16포체는 완전히 분리되어 있으며(그리고 클리포드 평행), 각 16포체는 자체 8개의 꼭짓점(4개의 직교 축에)과 자체 24개의 모서리(길이 })를 가지고 있다. 18개의 정사각형 정원은 16개의 육각형 정원을 가로지른다. 각 육각형은 각 16포체에 하나의 축(2개의 꼭짓점)을 가지고 있다. 각 정육각형에 내접하는 두 개의 정삼각형(대체 꼭짓점을 차지하고, 그 모서리는 의 현이다)은 각 16포체에 하나의 꼭짓점을 가진다. 따라서 ''각 정삼각형은 세 개의 완전히 분리된 16포체를 연결하는 고리이다''. 16포체의 8개의 꼭짓점이 꼭짓점 만큼 떨어진 삼각형이 되는 네 가지 방법(24포체의 네 가지 다른 ''섬유화'')이 있다. 즉, 32개의 서로 다른 연결 삼각형이 있다. 각 ''쌍''의 16포체는 초정육면체(8포체)를 형성한다. 각 정삼각형은 각 초정육면체에 하나의 모서리를 가지므로, 세 개의 초정육면체를 연결하는 고리이기도 하다.

24포체는 등각 회전과도 관련이 있다. 두 불변 평면에서 회전 각도가 정확히 같을 때, 놀랍도록 대칭적인 기하학적 변환이 발생한다. 불변 평면에 클리포드 평행인 모든 대원 평면 자체가 동일한 각도로 회전하는 불변 평면이 되고, 4-정다면체는 여러 방향으로 등각적으로 회전한다.

4. 4. 고리

정이십사포체는 다양한 종류의 고리 집합을 포함하고 있으며, 이 고리들은 서로 복잡하게 얽혀 있다. 24-포체는 네 종류의 측지 섬유 (꼭짓점을 통과하는 다각형 고리)를 가지는데, 대원 정사각형과 그들의 등경사 나선 팔각별, 대원 육각형과 그들의 등경사 나선 육각별이 그것이다. 또한 두 종류의 세포 고리 (4차원에서 팔면체가 고리 모양으로 구부러진 사슬)를 포함하는데, 꼭짓점 대 꼭짓점으로 연결되어 정사각형으로 구부러진 네 개의 팔면체와 면 대 면으로 연결되어 육각형으로 구부러진 여섯 개의 팔면체가 있다.

24-포체는 18개의 나선형 팔각별 등각선(9개는 검은색, 9개는 흰색)을 포함하며, 세 쌍의 팔각별 모서리 나선은 세 개의 내접하는 16-포체 각각에서 발견된다. 각 16-포체는 왼쪽-오른쪽 쌍의 8-포체 고리로 분해될 수 있으며, 각 8-포체 고리는 8개의 현으로 이루어진 축 방향의 팔각별 나선을 중심으로 왼쪽 또는 오른쪽으로 꼬여 있다.

24-포체의 18개의 주요 정사각형에 대한 각 3개의 섬유화는 주요 정사각형 불변 평면에서 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 등각 회전에 해당한다. 24-포체에서 이러한 18개의 나선형 팔각별 등각선은 팔면체의 6개의 직교 4-포체 고리 내에서 찾을 수 있다. 각 4-포체 고리는 주요 정사각형 축을 중심으로 꼭짓점 대 꼭짓점으로 결합된 셀을 가지며, 주요 정사각형의 반대쪽 꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점을 찾는다.

4-포체 링의 팔면체는 다른 두 개의 팔면체 이상에 꼭짓점으로 결합되어 있으며, 세 개의 4-포체 링(및 다른 16-포체에 속하는 세 개의 축 방향 주요 정사각형)이 각 결합 꼭짓점에서 90°로 교차한다.

이는 16-포체의 특징적인 회전이며, 주요 육각형 평면에서의 24-포체의 회전처럼 24-포체의 전체 16-포체를 서로 가져가지 않기 때문에 24-포체의 특징적인 회전은 아니다.

왜곡된 24-그램을 보는 다섯 가지 방법
모서리 경로	Petrie polygons	600-포체에서	이산적 섬유화	지름 현
16-포체_3{3/8}	십이각형_2{12}	24-그램_{24/5}	정사각형_6{4}	_{{24/12}={12/2}}

24-포체의 세 개의 내접 클리포드 평행 16-포체가 모서리를 가진 분리된 8-점 4-다포체로 나타난다.	각각 12개의 모서리로 이루어진 2개의 skew polygons. 24-포체는 2개의 분리된 지그재그 십이각형으로 분해될 수 있다(4가지 방법).	5개의 24-포체의 화합물에서, 길이 φ의 황금 현을 가진 등각선은 24-현 회로의 모든 24-포체를 연결한다.	그들의 등각 회전은 모서리를 가진 6개의 클리포드 평행(분리된) 주요 정사각형을 서로 가져갑니다.	원형 등각선에서 4개의 현 떨어진 두 꼭짓점은 축으로 연결된 반대쪽 꼭짓점입니다.

4. 4. 1. 4-세포 고리

24-포체는 네 종류의 측지 섬유 (꼭짓점을 통과하는 다각형 고리)를 포함하며, 그 중 두 종류는 세포 고리 (4차원에서 팔면체가 고리 모양으로 구부러진 사슬)이다. 이 섹션에서 설명하는 4-세포 고리는 꼭짓점 대 꼭짓점으로 연결되어 정사각형으로 구부러진 네 개의 정팔면체로 구성된다.

4개의 단위 모서리 길이를 가진 정팔면체는 공통 축을 따라 꼭지점 대 꼭지점으로 연결될 수 있으며, 이 축의 길이는 4√2이다. 그런 다음 축을 모서리 길이가 √2인 정사각형으로 구부릴 수 있다. 24-포체에서 4개의 정팔면체의 √2 축은 동일 평면을 차지하여 24-포체의 18개의 √2 대정사각형 중 하나를 형성하지만, 각 정팔면체는 서로 다른 3차원 초평면을 차지한다. 24-포체는 6개의 4-세포 고리(세 가지 다른 방법)로 분할될 수 있으며, 이는 체인에서 인접한 고리처럼 서로 연결되어 있다. 대정사각형 평면에서 90°의 배수로 등각 회전하면 고리의 각 정팔면체가 고리의 다른 정팔면체로 이동한다.

24-포체의 18개의 주요 정사각형에 대한 각 3개의 섬유화는 주요 정사각형 불변 평면에서 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 등각 회전에 해당한다.

4-세포 고리의 정팔면체는 다른 두 개의 정팔면체 이상에 꼭짓점으로 결합되어 있으며, 세 개의 4-세포 링이 각 결합 꼭짓점에서 90°로 교차한다.

4. 4. 2. 6-세포 고리

정이십사포체의 24개 꼭짓점은 6개의 정팔면체로 구성된 고리를 형성하며, 이 고리는 호프 올다발과 관련이 있다. 이 고리는 3차원 공간에서 시각화하기 어렵지만, 4차원 공간에서의 기하학적 특성을 통해 이해할 수 있다.

4. 4. 3. 나선형 육각별과 해당 등각선

24-포체의 나선형 육각별 등각선은 24-포체의 꼭짓점을 연결하는 특별한 경로이다. 이 경로는 6개의 꼭짓점으로 구성된 고리 모양이며, 각 꼭짓점은 3sqrt만큼 떨어져 있다. 이 경로는 단일 평면에 놓여 있지 않고 4차원 공간을 통해 나선형으로 이동하며, 6-세포 고리와 관련이 있다.

6-세포 고리는 6개의 정팔면체 세포가 면과 면이 맞닿아 고리 모양으로 연결된 구조이다. 24-포체의 나선형 육각별 등각선은 이 6-세포 고리의 각 정팔면체에서 한 꼭짓점씩 선택하여 만들어진다. 이때 선택되는 꼭짓점들은 6-세포 고리의 각 정팔면체의 중심에서 볼 때 서로 3sqrt만큼 떨어져 있다.

이러한 나선형 육각별 등각선은 24-포체의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 4차원 공간에서의 기하학적 특성을 보여주는 흥미로운 예시이다.

4. 4. 4. 나선형 팔각별과 해당 등각선

24-포체는 18개의 나선형 팔각별 등각선을 포함하며, 이들은 9개씩 검은색과 흰색으로 나뉜다. 이 중 세 쌍의 팔각별 모서리 나선은 각각 세 개의 내접하는 16-포체에서 발견된다. 각 16-포체는 좌우 쌍의 8-포체 고리로 분해될 수 있으며, 각 8-포체 고리는 8개의 현으로 이루어진 축 방향 팔각별 나선을 중심으로 왼쪽 또는 오른쪽으로 꼬여 있다. 각 16-포체에는 6개의 뚜렷한 나선이 존재하며, 각 나선은 모든 8개의 꼭짓점을 통과하는 동일한 팔각별이다. 등각선에서 인접한 꼭짓점은

\sqrt{2}

만큼 떨어져 있으며, 등각선의 둘레는 4𝝅이다. 주요 정사각 불변 평면에서 90°의 등각 회전을 하면 각 꼭짓점은 반대쪽 꼭짓점으로 이동하며, 이는 등각선을 따라 어느 방향으로든 네 개의 꼭짓점만큼 떨어져 있고,

\sqrt{4}

만큼 등각선의 지름을 가로질러 떨어져 있다.

24-포체의 18개 주요 정사각형에 대한 각 3개의 섬유화는 주요 정사각형 불변 평면에서 뚜렷한 왼쪽(및 오른쪽) 등각 회전에 해당한다. 회전의 각 60° 단계는 6개의 분리된 주요 정사각형(각 16-포체에서 2개)을 16-포체의 특징인 8-현 나선 등각선에서 인접한 16-포체로 이동시킨다.

24-포체에서 이러한 18개의 나선형 팔각별 등각선은 팔면체의 6개의 직교 4-포체 고리 내에서 발견된다. 각 4-포체 고리는 주요 정사각형 축을 중심으로 꼭짓점 대 꼭짓점으로 결합된 셀을 가지며, 주요 정사각형의 반대쪽 꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점을 찾는다.

\sqrt{4}

현(주요 정사각형과 등각선의 지름)이 이들을 연결한다. 등각선의 4개의

\sqrt{4}

지름 현은 하나의 입방체의 꼭짓점, 팔면체, 사면체에서 다른 입방체, 팔면체, 사면체의 꼭짓점(다른 테서랙트에서)으로 연결되는

\sqrt{4}

모서리를 가진 팔각별_8{4}=4{2}을 형성하며, 12개의

\sqrt{4}

축 중 하나에서 24-포체의 중심을 통과한다.

4-포체 링의 팔면체는 다른 두 개의 팔면체 이상에 꼭짓점으로 결합되어 있으며, 세 개의 4-포체 링(및 다른 16-포체에 속하는 세 개의 축 방향 주요 정사각형)이 각 결합 꼭짓점에서 90°로 교차하기 때문이다. 해당 꼭짓점에서 팔각별은 두 개의 직각 회전을 한 번에 만듭니다. 주요 정사각형을 중심으로 90° 회전하고, 완전히 다른 4-포체 링으로 직교적으로 90° 회전한다. 팔각별의 각

\sqrt{4}

지름 현의 두 끝을 연결하는 180° 4-모서리 호는 서로 면으로 결합된 두 개의

\sqrt{2}

사면체(동일한 16-포체)의 부피와 반대 꼭짓점을 통과하며, 이는 서로 다른 4-포체 링(및 다른 테서랙트)에 있는 두 개의 꼭짓점 결합 팔면체의 반대 꼭짓점이기도 하다. 720° 팔각별 등각선은 4-포체 링의 8개의 꼭짓점과 16개의 사면체의 부피를 통과한다. 각 꼭짓점에는 세 개의 주요 정사각형과 6개의 팔각별 등각선(세 쌍의 흑백)이 해당 꼭짓점에서 교차한다.

이는 16-포체의 특징적인 회전이며, 주요 육각형 평면에서의 24-포체의 회전처럼 24-포체의 전체 16-포체를 서로 가져가지 않기 때문에 *24-포체의* 특징적인 회전은 아니다.

4. 5. 특성 정사영

정이십사포체는 SO(8)의 단순 리 군의 D₄ 근계의 24개 근 벡터로 표현되는 꼭짓점을 가진다. 이 꼭짓점들은 세 개의 초평면에서 볼 수 있는데, 각 외부 초평면에는 팔면체의 꼭짓점 6개, 중앙 초평면에는 깎은 정육면체의 꼭짓점 12개가 있다. 이들은 16-포체의 8개 꼭짓점과 결합하여 B₄ 및 C₄ 단순 리 군의 32개 근 벡터를 나타낸다.

24-포체와 그 쌍대의 결합의 48개 꼭짓점은 F₄형의 근계를 형성한다. 원래 24-포체의 24개 꼭짓점은 D₄형의 근계를 형성하며, 크기는 1:1의 비율을 갖는다. 24-포체의 전체 대칭군은 F₄의 바일 군이며, 차수가 1152인 가해군이다. 24-포체의 회전 대칭군은 차수가 576이다.

사원수로 해석될 때, F₄ 근격자 (24-세포의 꼭짓점의 정수적 범위)는 곱셈에 닫혀 있으므로 환을 이룬다. 이것은 후르비츠 정수 사원수의 환이다. 24-세포의 꼭짓점은 후르비츠 사원수 환에서 단위군을 형성하며, 이진 사면체 군으로도 알려져 있다. 24-세포의 꼭짓점은 정확하게 제곱 노름이 1인 24개의 후르비츠 사원수이며, 쌍대 24-세포의 꼭짓점은 제곱 노름이 2인 꼭짓점이다. D₄ 근격자는 F₄의 쌍대 격자이며 짝수 제곱 노름을 가진 후르비츠 사원수의 부분환으로 주어진다.

24개 단위 후르비츠 사원수로 볼 때, 24-포체의 단위 반경 좌표는 정사면체의 12개 회전을 나타낸다.

24-포체의 특성
	변	호		이중각
𝒍	1	60°	$\tfrac{\pi}{3}$	120°	$\tfrac{2\pi}{3}$
𝟀	$\sqrt{\tfrac{1}{3}} \approx 0.577$	45°	$\tfrac{\pi}{4}$	45°	$\tfrac{\pi}{4}$
𝝉	$\sqrt{\tfrac{1}{4}} = 0.5$	30°	$\tfrac{\pi}{6}$	60°	$\tfrac{\pi}{3}$
𝟁	$\sqrt{\tfrac{1}{12}} \approx 0.289$	30°	$\tfrac{\pi}{6}$	60°	$\tfrac{\pi}{3}$
_0R^3/l	$\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 0.707$	45°	$\tfrac{\pi}{4}$	90°	$\tfrac{\pi}{2}$
_1R^3/l	$\sqrt{\tfrac{1}{4}} = 0.5$	30°	$\tfrac{\pi}{6}$	90°	$\tfrac{\pi}{2}$
_2R^3/l	$\sqrt{\tfrac{1}{6}} \approx 0.408$	30°	$\tfrac{\pi}{6}$	90°	$\tfrac{\pi}{2}$
_0R^4/l	$1$
_1R^4/l	$\sqrt{\tfrac{3}{4}} \approx 0.866$
_2R^4/l	$\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.816$
_3R^4/l	$\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 0.707$

모든 정4-포체는 특성 4-직교식을 가지며, 이는 불규칙한 5-포체이다. '''정 24-포체의 특성 5-포체'''는 콕서터-딘킨 도형으로 표시된다. 이 5-포체는 사각뿔을 기반으로 하며, 이 뿔의 밑면은 정팔면체의 특성 사면체이다. 정 24-포체는 대칭 초평면에 의해 중심에서 모두 만나는 특성 5-포체의 1152개 인스턴스로 세분화된다.

특성 5-포체(4-직교식)는 밑면인 특성 사면체(3-직교식)보다 네 개의 변이 더 있으며, 이 변들은 밑면의 네 꼭짓점을 정24-포체의 중심에 있는 꼭대기(4-직교식의 다섯 번째 꼭짓점)에 연결한다. 정 24-포체의 반지름과 변의 길이가 𝒍 = 1이면, 특성 5-포체의 10개의 변은 $\sqrt{\tfrac{1}{3}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{4}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{12}}$ 의 길이를 외부 직각 삼각형 면 주위에서 가지며, $\sqrt{\tfrac{1}{2}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{4}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{6}}$ 을 더하고, $1$ , $\sqrt{\tfrac{3}{4}}$ , $\sqrt{\tfrac{2}{3}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{2}}$ 을 더한다. 직교식의 직교 변을 따라가는 4-변 경로는 $\sqrt{\tfrac{1}{4}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{12}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{6}}$ , $\sqrt{\tfrac{1}{2}}$ 이며, 처음에는 24-포체 꼭짓점에서 24-포체 변 중심으로, 그 다음 90° 회전하여 24-포체 면 중심으로, 그 다음 90° 회전하여 24-포체 팔면체 셀 중심으로, 마지막으로 90° 회전하여 24-포체 중심으로 이동한다.

4. 6. 반사

24포체는 5포체를 제외하고, 슐레플리 기호에 5가 포함된 정다각형을 제외한, 처음 4차원에서 모든 볼록 정다포체의 기하학적 구조를 통합한다. 즉, 24포체는 정5포체를 제외하고 4차원에 존재하는 삼각형과 정사각형으로 만들어진 ''모든'' 정다포체를 포함하지만, 오각형 다포체는 ''전혀'' 포함하지 않는다. 이 모든 정다포체 간의 기하학적 관계는 단일 24포체 또는 24-포체 벌집에서 관찰할 수 있다.

24포체는 자기 쌍대 다면체로, 꼭짓점(24개)과 세포 수, 그리고 모서리(96개)와 면의 수가 같다.

24포체의 24개 꼭짓점은 서로 다른 네 개의 현 길이, 즉

\sqrt{1}

,

\sqrt{2}

,

\sqrt{3}

및

\sqrt{4}

에 분포되어 있다.

\sqrt{1}

현(24포체의 모서리)은 중심 육각형의 모서리이고,

\sqrt{3}

현은 중심 육각형의 대각선이다.

\sqrt{2}

현은 중심 정사각형의 모서리이고,

\sqrt{4}

현은 중심 정사각형의 대각선이다.

각 꼭짓점은 길이 1의 모서리로 다른 8개의 꼭짓점에 연결되어 있으며, 이는 60° =

\tfrac{\pi}{3}

의 호를 뻗는다. 다음으로 가까운 꼭짓점은 90° =

\tfrac{\pi}{2}

만큼 떨어진 6개의 꼭짓점이며, 길이

\sqrt{2}

의 내부 현을 따라 위치한다. 다른 8개의 꼭짓점은 120° =

\tfrac{2\pi}{3}

만큼 떨어진 곳에 위치하며, 길이

\sqrt{3}

의 내부 현을 따라 위치한다. 반대편 꼭짓점은 길이 2의 지름을 따라 180° =

\pi

만큼 떨어진 곳에 있다. 마지막으로, 24포체는 반지름이 같으므로, 중심은 모든 꼭짓점으로부터 1개의 모서리 길이에 있다.

24포체의 내부 다포체가 어떻게 함께 맞물리는지 시각화하려면, 네 개의 현 길이 (

\sqrt{1}

,

\sqrt{2}

,

\sqrt{3}

,

\sqrt{4}

)가 1차원에서 4차원까지의 초입방체의 긴 지름임을 명심하라. 즉, 정사각형의 긴 지름은

\sqrt{2}

이고, 정육면체의 긴 지름은

\sqrt{3}

이며, 테서랙트의 긴 지름은

\sqrt{4}

이다. 게다가, 정팔면체의 긴 지름은 정사각형처럼

\sqrt{2}

이고, 24포체 자체의 긴 지름은 테서랙트처럼

\sqrt{4}

이다.

24포체의 꼭짓점 현은 측지선 대원 다각형으로 배열된다. 두 24포체 꼭짓점 사이의

\sqrt{1}

모서리 경로를 따른 측지선 거리는 항상 1, 2 또는 3이며, 반대 꼭짓점에 대해서만 3이다.

\sqrt{1}

모서리는 16개의 육각형 대원 (서로 60도의 각도로 기울어진 평면)에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른

\sqrt{1}

모서리는 표면을 96개의 삼각형 면과 24개의 팔면체 셀로 나눕니다: 24포체이다. 16개의 육각형 대원은 4개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합에서 하나의 육각형 대원만 각 꼭짓점을 통과하고 각 집합의 4개의 육각형이 모든 24개의 꼭짓점에 도달한다.

\sqrt{2}

현은 18개의 정사각형 대원 (6개의 직교 평면의 3개 집합), 그중 3개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 72개의 서로 다른

\sqrt{2}

현은 육각형 대원과 동일한 평면에서 실행되지 않으며, 24포체의 모서리를 따르지 않으며, 팔각형 셀 중심을 통과한다. 18개의 정사각형 대원은 3개의 비교차 클리포드 평행 측지선 집합으로 나눌 수 있다.

\sqrt{3}

현은 16개 평면의 32개의 삼각형 대원에서 발생하며, 그중 4개는 각 꼭짓점에서 교차한다. 96개의 서로 다른

\sqrt{3}

현은 육각형 대원과 동일한 평면에서 꼭짓점에서 모든 다른 꼭짓점으로 실행된다. 16개의 대육각형에 새겨진 32개의 대삼각형의 3개 모서리이며, 대원에서 2개의

\sqrt{1}

모서리 떨어져 있는 꼭짓점을 연결한다.

\sqrt{4}

현은 12개의 꼭짓점-꼭짓점 지름(3개의 직교 축 집합)으로 발생하며, 25번째 중심 꼭짓점 주변의 24개의 반지름으로 발생한다.

\sqrt{1}

모서리는 48개의 평행 쌍으로 발생하며,

\sqrt{3}

만큼 떨어져 있다.

\sqrt{2}

현은 36개의 평행 쌍으로 발생하며,

\sqrt{2}

만큼 떨어져 있다.

\sqrt{3}

현은 48개의 평행 쌍으로 발생하며,

\sqrt{1}

만큼 떨어져 있다.

24포체의 중심 평면은 각각 육팔면체를 형성하는 4개의 직교 중심 초평면(3차원 공간)으로 나눌 수 있다. 대육각형은 60도 간격이고, 대정사각형은 90도 또는 60도 간격이고, 대정사각형과 대육각형은 90도 ''및'' 60도 간격이다. 유사한 중심 다각형(정사각형 또는 육각형)의 각 집합은 비교차 클리포드 평행 다각형(6개의 정사각형 또는 4개의 육각형)의 4개 집합으로 나눌 수 있다. 클리포드 평행 대원의 각 집합은 모든 24개 꼭짓점을 한 번만 방문하는 평행 호프 올다발이다.

각 대원은 클리포드 평행이 아닌 다른 대원과 하나의 24포체의

\sqrt{4}

지름에서 교차한다. 두 개의 교차하는 대정사각형 또는 대육각형은 두 개의 반대 꼭짓점을 공유하지만, 클리포드 평행 대원의 정사각형 또는 육각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 두 개의 교차하는 대삼각형은 반대 꼭짓점이 없기 때문에 하나의 꼭짓점만 공유한다. 완전히 직교하거나 클리포드 평행인 대원은 전혀 교차하지 않는다. 서로소인 꼭짓점 집합을 통과한다.

24포체의 전체 대칭군은 F₄의 바일 군이며, F₄ 근에 직교하는 초평면을 통한 반사에 의해 생성된다. 이는 차수가 1152인 가해군이다. 24포체의 회전 대칭군은 차수가 576이다.

4. 7. 키랄 대칭 연산

정이십사포체는 4차원 유클리드 공간에서 회전군(SO(4))으로 표현되는 대칭을 가진다.^[1] 4차원 회전은 단순 회전과 이중 회전으로 나뉘는데, 이중 회전은 3차원에는 없는 4차원 고유의 현상이다.^[1]

정이십사포체의 대칭 연산은 총 1152개(회전 576개, 반사 576개)이며, 대칭군은 F₄이다.^[1] 각 회전은 서로 다른 비평행 거울 평면의 두 반사와 동일하다.^[1]

정이십사포체의 회전은 다양한 회전 클래스로 분류할 수 있다. 각 회전 클래스는 왼쪽 평면을 오른쪽 평면으로 가져오는 변환으로, 등각선 경로를 따라 평행하게 이동한다. 예를 들어,

[32]R_{q7,q8}

회전 클래스는 16개의 대육각형 평면(

q7

)과 다른 16개의 대육각형 평면(

q8

) 사이에서 = 120°의 호 거리로 [32]개의 회전 변위를 구성한다.

다음 표는 정이십사포체의 대칭 그룹 ''F₄''의 고유 회전들을 나타낸다.^[1]

등각선	회전 클래스			왼쪽 평면 $ql$				오른쪽 평면 $qr$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,q8}$ [16] 4𝝅 {6/2}	$[32]R_{q7,q8}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/8}=4{6/2} $^{q8}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2})$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,q8}$ [16] 4𝝅 {6/2}		120°	1.732~	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/8}=4{6/2} $^{q8}$ [16] 2𝝅 {6}		120°	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,-q8}$ [16] 4𝝅 {12}	$[32]R_{q7,-q8}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/4}=4{6} $^{-q8}$ [16] 2𝝅 {6}	$(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$
{24/2}=2{12} $^{q7,-q8}$ [16] 4𝝅 {12}		60°	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/4}=4{6} $^{-q8}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1
{24/1}={24} $^{q7,q7}$ [16] 4𝝅 {1}	$[32]R_{q7,q7}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$
{24/1}={24} $^{q7,q7}$ [16] 4𝝅 {1}	2𝝅	360°	0	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1
{24/12}=12{2} $^{q7,-q7}$ [16] 4𝝅 {2}	$[32]R_{q7,-q7}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/8}=4{6/2} $^{-q7}$ [16] 2𝝅 {6}	$(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2})$
{24/12}=12{2} $^{q7,-q7}$ [16] 4𝝅 {2}	𝝅	180°	2	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/8}=4{6/2} $^{-q7}$ [16] 2𝝅 {6}		120°	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,q1}$ [8] 4𝝅 {12}	$[16]R_{q7,q1}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/6}=6{4} $^{q1}$ [8] 2𝝅 {4}	$(1,0,0,0)$
{24/2}=2{12} $^{q7,q1}$ [8] 4𝝅 {12}		60°	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/6}=6{4} $^{q1}$ [8] 2𝝅 {4}		90°	1.414~
{24/8}=4{6/2} $^{q7,-q1}$ [8] 4𝝅 {6/2}	$[16]R_{q7,-q1}$			{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2𝝅 {6}	$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$			{24/6}=6{4} $^{-q1}$ [8] 2𝝅 {4}	$(-1,0,0,0)$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,-q1}$ [8] 4𝝅 {6/2}		120°	1.732~	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2𝝅 {6}		60°	1	{24/6}=6{4} $^{-q1}$ [8] 2𝝅 {4}		90°	1.414~
{24/1}={24} $^{q6,q6}$ [18] 4𝝅 {1}	$[36]R_{q6,q6}$			{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2𝝅 {4}	$(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2},0,0)$			{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2𝝅 {4}	$(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2},0,0)$
{24/1}={24} $^{q6,q6}$ [18] 4𝝅 {1}	2𝝅	360°	0	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2𝝅 {4}		90°	1.414~	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2𝝅 {4}		90°	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q6,-q6}$ [18] 4𝝅 {2}	$[36]R_{q6,-q6}$

5. 시각화

24-포체는 5-포체를 제외하고, 슐래플리 기호에 5가 포함된 정다각형을 제외한, 처음 4차원에서 모든 볼록 정다포체의 기하학적 구조를 통합한다.^[1] 즉, 24-포체는 정5-포체를 제외하고 4차원에 존재하는 삼각형과 정사각형으로 만들어진 ''모든'' 정다포체를 포함하지만, 오각형 다포체는 ''전혀'' 포함하지 않는다. 이러한 기하학적 관계는 24-포체 벌집에서 관찰할 수 있다.

24-포체는 6개의 볼록 정사각체 시퀀스에서 네 번째이다. 24-포체는 이전 단계인 초입방체(8-포체)의 3개 중첩 인스턴스로 분해될 수 있으며, 8-포체는 이전 단계인 16-포체의 2개 인스턴스로 분해될 수 있다.

24-포체의 구조는 여러 가지 방법으로 시각화할 수 있다.
평행 투영

정점 우선: 3차원 공간에 투영하면 마름모십이면체 외피가 생성된다. 24개의 팔면체 세포 중 12개는 쌍으로 마름모십이면체의 중심에서 만나는 6개의 사각 이중뿔로 투영된다. 나머지 12개의 팔면체 세포는 마름모십이면체의 12개 마름모 면에 투영된다.
세포 우선: 3차원 공간에 투영하면 깎은 팔면체 외피가 생성된다. 두 개의 팔면체 세포는 w축을 따라 뷰어에서 가장 가깝고 멀리 떨어진 세포로, 깎은 팔면체의 사각형 면의 중심에 정점이 있는 팔면체로 투영된다. 나머지 6개의 세포는 깎은 팔면체의 사각형 면에 투영된다.
모서리 우선: 늘어난 육각 이중뿔 외피를 갖는다.
면 우선: 불균일한 육각 이중반각기둥 외피를 갖는다.

가장자리를 중심으로 한 투영으로, 적도 주변의 6개 팔면체 고리 중 하나를 보여준다.

원근 투영가장 가까운 정팔면체 세포가 빨간색으로 칠해져 있고, 다른 세포들은 투명하게 처리되어 있다.

이러한 투영 방식은 24-포체가 정팔면체 24개로 이루어져 있다는 사실을 시각적으로 확인할 수 있게 해준다.

5. 1. 세포 고리

24-포체는 24개의 팔면체 포체로 둘러싸여 있으며, 6개의 포체를 갖는 대원으로 면과 면을 맞대어 쌓을 수 있다.^[1] 이 포체들의 배열은 3-구의 구조를 잘 나타내는데, 임의의 포체를 "북극"으로 표시하면 8개의 대원 자오선(2개 포체 길이)이 3차원으로 방사형으로 퍼져나가 "남극" 포체에서 수렴한다. 이 골격은 24개 포체 중 18개(2 + 8 × 2)를 차지한다.

24-포체는 5개의 위도 층으로 구성될 수 있다.

층 번호	포체 수	설명	위도	영역
1	1 포체	북극	0°	북반구
2	8 포체	자오선 포체의 첫 번째 층	60°	북반구
3	6 포체	비자오선 / 중간	90°	적도
4	8 포체	자오선 포체의 두 번째 층	120°	남반구
5	1 포체	남극	180°	남반구
총계	24 포체	colspan="3" \|

24-포체는 6-포체 대원 고리의 4개의 포체 불연속 집합으로 나눌 수 있으며, 이는 4개의 비 교차 연결 고리의 불연속 호프 올다발을 형성한다. 한 고리는 "수직"이며, 극점 포체와 4개의 자오선 포체를 포함한다. 다른 3개의 고리는 각각 2개의 적도 포체와 4개의 자오선 포체(북반구에서 2개, 남반구에서 2개)를 포함한다.

24-포체는 4개의 포체 길이를 갖는 대원 경로를 따를 수 있는데, 이는 정사각형 측지선에 해당한다. 24-포체는 각 포체의 반대 꼭짓점(및 내부)을 통해 순수하게 대원을 통과할 수 있는 2차원 이상의 유일한 정규 다포체이다.

24-포체는 세 개의 8-포체 하위 집합으로 등분될 수 있으며, 각 하위 집합은 초입방체의 구성을 갖는다. 각 하위 집합은 4개의 포체 길이를 갖는 두 개의 비 교차 연결 대원 체인으로 더 분할될 수 있다. 이러한 세 하위 집합을 모두 모으면 또 다른 6-고리의 불연속 호프 올다발이 생성된다.

5. 2. 평행 투영

24-포체의 ''정점 우선'' 평행 투영을 3차원 공간에 투영하면 마름모 십이면체 외피가 생성된다. 24개의 팔면체 세포 중 12개는 쌍으로 마름모 십이면체의 중심에서 만나는 6개의 사각 이중뿔로 투영된다. 나머지 12개의 팔면체 세포는 마름모 십이면체의 12개 마름모 면에 투영된다.

24-포체의 ''세포 우선'' 평행 투영을 3차원 공간에 투영하면 깎은 팔면체 외피가 생성된다. 두 개의 팔면체 세포는 w축을 따라 뷰어에서 가장 가깝고 멀리 떨어진 세포로, 깎은 팔면체의 사각형 면의 중심에 정점이 있는 팔면체로 투영된다. 이 중앙 팔면체를 둘러싸고 있는 것은 16개의 다른 세포의 투영으로, 각 8쌍은 중앙 팔면체의 삼각형 면과 깎은 팔면체의 가장 가까운 삼각형 면 사이에 있는 8개의 부피 중 하나에 투영된다. 나머지 6개의 세포는 깎은 팔면체의 사각형 면에 투영된다. 이는 깎은 팔면체가 정규 팔면체와 8개의 불규칙하지만 동일한 팔면체로 분해되는 것과 일치하며, 각 팔면체는 반대 정점 2개가 제거된 입체의 볼록 껍질 형태이다.

''모서리 우선'' 평행 투영은 늘어난 육각 이중뿔 외피를 가지며, ''면 우선'' 평행 투영은 불균일한 육각 이중반각기둥 외피를 갖는다.

5. 3. 원근 투영

24-포체의 세포 우선 원근 투영에서는 가장 가까운 정팔면체 세포가 빨간색으로 칠해져 있고, 다른 세포들은 투명하게 처리되어 있다. 이 투영은 다음과 같은 단계를 거친다.

1. 가장 가까운 세포가 먼저 4차원 공간에서 3차원 공간으로 투영된다. 이 세포는 투영된 정팔면체의 형태를 가진다.

2. 이 정팔면체의 각 면에 다른 정팔면체 세포들이 투영된다. 이 세포들은 찌그러진 형태로 나타난다.

3. 나머지 6개의 세포는 정팔면체의 반대편에 위치하며, 2차원 이미지에서는 나타나지 않는다.

이러한 투영 방식은 24-포체의 구조를 이해하는 데 도움을 준다. 특히, 24-포체가 정팔면체 24개로 이루어져 있다는 사실을 시각적으로 확인할 수 있다.

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