초다양체

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1. 개요

초다양체는 세 가지 방식으로 정의되는 수학적 개념으로, 일반적인 다양체의 개념을 확장한 것이다. 첫 번째 정의는 환 달린 공간 위의 층으로, "대수기하학적 접근법"으로 불린다. 두 번째는 "구체적인 접근법"으로, 무한히 많은 초대칭 생성자를 사용하지만, 유한 개의 생성자를 사용하는 정의와 동등하다. 세 번째는 초다양체를 슈퍼점의 기저 토포스로 묘사한다. 초다양체는 보존 좌표와 페르미온 좌표를 모두 갖는 다양체로, 물리학에서 널리 사용되며, 초공간, 미분 형식, 홀수 심플렉틱 구조 등 다양한 개념과 연관된다. 배첼러 정리에 따르면, 모든 초다양체는 비표준적으로 벡터 다발의 외대수의 층을 갖춘 초다양체와 동형이다.

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초다양체

2. 정의

초다양체는 일반적인 다양체의 개념을 확장한 것으로, 국소적으로 "평평한" 초공간과 유사한 구조를 가진다. 물리학 교과서 등에서는 초다양체를 보존 좌표와 페르미온 좌표를 모두 갖는 다양체로 정의한다. 이러한 정의에 따르면 초다양체는 지역적으로 "평평한", "유클리드" 초공간처럼 보이게 하는 좌표 차트로 구성된다. 이러한 국소 좌표는 종종 다음과 같이 표시된다.^[1]

: $(x,\theta,\bar{\theta})$

여기서 ''x''는 (실수 값을 갖는) 시공간 좌표이고, $\theta\,$ 와 $\bar{\theta}$ 는 그래스만 값을 갖는 공간 "방향"이다.^[1]

그래스만 값을 갖는 좌표의 물리적 해석은 논쟁의 대상이며, 초대칭에 대한 명시적인 실험적 탐색은 긍정적인 결과를 얻지 못했다. 그러나 그래스만 변수를 사용하면 함수 적분의 간결한 정의, BRST 양자화에서 유령의 적절한 처리, 양자장론에서 무한대의 소멸, 아티야-싱어 지수 정리에 대한 위튼의 연구, 거울 대칭에 대한 최근 응용 등 여러 중요한 수학적 결과를 엄청나게 단순화할 수 있다.^[1]

2. 1. 초공간

음이 아닌 정수

p,q

를 생각하자. (

p

는 보손적 차원의 수,

q

는 페르미온적 차원의 수다.)

p|q

차원의 '''초공간'''은 다음과 같은 데이터로 주어지는 환 달린 공간이다.

두 실수 벡터 공간 $X$ , $V$ ( $\dim X=p$ , $\dim V=q$ )
자명한 벡터 다발 $\textstyle E = X\times\bigwedge(V^*)\twoheadrightarrow X$
$E$ 의 매끄러운 단면으로 구성되는, $\mathbb Z/2$ 등급 실수 결합 대수의 층 $\textstyle\Gamma^\infty(X,E)=\mathcal C^\infty(X)\otimes\bigwedge(V^*)$

이 층의 단면

:

f\in \mathcal C^\infty\left(X, \bigwedge V^*\right)

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

:

f = \sum_{I,J}\frac1{I!}f_{I,J}x^I \xi^J + o(1)

:

I \in \mathbb N^{\dim V}

:

J \in \{0,1\}^{\dim V}

이에 따라, 이는 “가환 좌표”

(x^1,\dotsc,x^p)

와 “반가환 좌표”

(\xi^1,\dotsc,\xi^q)

에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.

이 환 달린 공간을

\mathbb R^{p|q}

로 표기한다.

2. 2. 초다양체

음이 아닌 정수 p, q를 생각하자. (p는 보손적 차원의 수, q는 페르미온적 차원의 수다.) p|q차원의 '''초다양체'''는 다양체이자, 국소적으로

\mathbb R^{p|q}

와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로

\mathcal C^\infty(\mathbb R^p)

와 동형인 환 달린 공간)와 유사하다.

2. 3. 초다양체 위의 미분 형식

Differential form^영어들의 층은 Z/2^한국어 등급 미분 등급 대수의 층이다.

:

\Omega(\mathbb R^{p|q}) = \mathcal C^\infty(\mathbb R^p) \otimes_{\mathbb R} \bigwedge \operatorname{Span}_{\mathbb R}\left\{\mathrm dx^1,\dotsc,\mathrm dx^p,\,\theta^1,\dotsc,\theta^q,\mathrm d\theta^1,\dotsc,\mathrm d\theta^q\right\}

:

\deg x^i = \deg \mathrm d\theta = 0

:

\mathrm dx^i = \deg \theta^i = 1

임의의

p|q

차원 초다양체

M

의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.

3. 비공식적 정의 (물리학)

물리학 교과서와 입문 강좌에서 흔히 사용되는 비공식적인 정의에 따르면, 초다양체는 보존 좌표와 페르미온 좌표를 모두 갖는 다양체이다. 이는 지역적으로 "평평한", "유클리드" 초공간처럼 보이게 하는 좌표 차트로 구성된다. 이러한 국소 좌표는 종종 다음과 같이 표시된다.

: $(x,\theta,\bar{\theta})$

여기서 ''x''는 (실수 값을 갖는) 시공간 좌표이고, $\theta\,$ 와 $\bar{\theta}$ 는 그래스만 값을 갖는 공간 "방향"이다.

그래스만 값을 갖는 좌표의 물리적 해석은 논쟁의 대상이며, 초대칭에 대한 명시적인 실험적 탐색은 긍정적인 결과를 얻지 못했다. 그러나 그래스만 변수를 사용하면 여러 중요한 수학적 결과를 엄청나게 단순화할 수 있다. 여기에는 함수 적분의 간결한 정의, BRST 양자화에서 유령의 적절한 처리, 양자장론에서 무한대의 소멸, 아티야-싱어 지수 정리에 대한 위튼의 연구, 그리고 거울 대칭에 대한 최근 응용이 포함된다.

그래스만 값을 갖는 좌표의 사용으로 초수학 분야가 탄생했으며, 여기서 기하학의 상당 부분이 초 등가물로 일반화될 수 있으며, 리만 기하학의 대부분과 리 군 및 리 대수 (예: 리 초대수 등) 이론의 대부분이 포함된다. 그러나 드람 코호몰로지를 초다양체로 적절히 확장하는 것을 포함하여 문제가 남아 있다.

4. 다양한 정의 방식

초다양체는 환 달린 공간 위의 층, 매끄러운 다양체의 확장, 슈퍼점의 기저 토포스 등 다양한 방식으로 정의될 수 있다.

대수기하적 접근법: 환 달린 공간 위의 층으로 정의한다.^[1] 이 방법은 수학적으로는 우아하지만, 계산이나 직관적인 이해에는 어려움이 있을 수 있다.
구체적인 접근법: 일반적인 수학 개념을 보다 쉽고 자연스럽게 일반화한다.^[1] 이 정의는 무한히 많은 초대칭 생성기를 사용하지만, 유한 개를 제외한 나머지는 실질적인 내용을 담고 있지 않다. 유한 개의 초대칭 생성기를 사용하는 정의와 무한 개의 생성기를 사용하는 정의는 서로 동등하다.^[1]^[2]
슈퍼점의 기저 토포스를 이용한 접근법: 이 접근법은 현재 활발히 연구되고 있다.^[3]

각 정의에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션을 참고할 수 있다.

4. 1. 대수기하학적 정의

초다양체는 다양체이자, 국소적으로

\mathbb R^{p|q}

와 동형인 환 달린 공간이다. 여기서

\mathbb R^{p|q}

는 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.^[1]

두 실수 벡터 공간 $X$ , $V$ ( $\dim X=p$ , $\dim V=q$ )
자명한 벡터 다발 $\textstyle E = X\times\bigwedge(V^*)\twoheadrightarrow X$
$E$ 의 매끄러운 단면으로 구성되는, $\mathbb Z/2$ 등급 실수 결합 대수의 층 $\textstyle\Gamma^\infty(X,E)=\mathcal C^\infty(X)\otimes\bigwedge(V^*)$

이는 일반적인 매끄러운 다양체의 정의(국소적으로

\mathcal C^\infty(\mathbb R^p)

와 동형인 환 달린 공간)와 유사하다.

이 층의 단면

:

f\in \mathcal C^\infty\left(X, \bigwedge V^*\right)

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

:

f = \sum_{I,J}\frac1{I!}f_{I,J}x^I \xi^J + o(1)

:

I \in \mathbb N^{\dim V}

:

J \in \{0,1\}^{\dim V}

이에 따라, 이는 “가환 좌표”

(x^1,\dotsc,x^p)

와 “반가환 좌표”

(\xi^1,\dotsc,\xi^q)

에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.

차원이 (''p'',''q'')인 초다양체 '''M'''은

C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)

와 국소적으로 동형인 슈퍼대수의 층 ''O_'''M''''' 또는 C^∞('''M''')을 가진 위상 공간 ''M''이다. 여기서

C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)

는 ''q''개의 생성자에 대한 그라스만 대수(외대수)이다.

이러한 정의 방식은 수학적으로 엄밀하지만, 직관적인 이해가 어려울 수 있다는 단점이 있다.^[1]

4. 2. 구체적인 정의

음이 아닌 정수

p,q

를 생각하자. (

p

는 보손적 차원의 수,

q

는 페르미온적 차원의 수다.)

p|q

차원의 '''초다양체'''는 다양체이자, 국소적으로

\mathbb R^{p|q}

와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적인 매끄러운 다양체의 정의(국소적으로

\mathcal C^\infty(\mathbb R^p)

와 동형인 환 달린 공간)와 유사하다. 초다양체에 대한 세 가지 주요 정의는 다음과 같다.

1. 환 달린 공간 위의 층으로 정의하는 방식으로, "대수기하학적 접근법"이라고도 불린다.^[1] 이 방법은 수학적으로는 우아하지만, 계산이나 직관적인 이해에는 어려움이 있을 수 있다.

2. "구체적인 접근법"은 일반적인 수학 개념을 보다 쉽고 자연스럽게 일반화한다.^[1] 이 정의는 무한히 많은 초대칭 생성기를 사용하지만, 유한 개를 제외한 나머지는 실질적인 내용을 담고 있지 않다. 이는 구체적인 접근법에서 대부분의 생성기를 동일하게 만드는 거친 위상을 사용하기 때문이다. 유한 개의 초대칭 생성기를 사용하는 정의와 무한 개의 생성기를 사용하는 정의는 서로 동등하다.^[1]^[2]

3. 초다양체를 슈퍼점의 기저 토포스로 묘사하는 방법도 있다. 이 접근법은 현재 활발히 연구되고 있다.^[3]

매끄러운 다양체와 유사하게 초다양체를 정의할 수도 있지만, 이 경우 모형 공간

\mathbb{R}^p

는 "모형 초공간"

\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a

로 대체된다.

\mathbb{R}_c

와

\mathbb{R}_a

는 그래스만 수의 1차원 공간에서 짝수 및 홀수 실수 부분 공간으로 정의된다. 이는 가산 무한 개의 반교환 변수에 의해 생성되는 공간, 즉

\mathbb{C}\otimes\Lambda(V)

(여기서 ''V''는 무한 차원)으로 표현된다.

z=z^*

를 만족하는 요소 ''z''는 "실수"라고 한다. 짝수 개의 그래스만 생성자로만 구성된 실수 요소는 "c-수" 공간

\mathbb{R}_c

를, 홀수 개의 그래스만 생성자로만 구성된 실수 요소는 "a-수" 공간

\mathbb{R}_a

를 형성한다. ''c''-수는 교환법칙을 따르고, ''a''-수는 반교환법칙을 따른다.

\mathbb{R}^p_c

와

\mathbb{R}^q_a

는 각각

\mathbb{R}_c

와

\mathbb{R}_a

의 ''p''-겹 및 ''q''-겹 데카르트 곱으로 정의된다.^[4]

일반적인 다양체처럼 초다양체는 미분 가능한 전이 함수로 이어붙인 지도 모음으로 정의된다.^[4] 전이 함수는 매끄러운 구조와 0이 아닌 야코비 행렬을 가져야 한다. 이는 개별 차트가 그래스만 대수 위의 벡터 공간 위상보다 훨씬 더 거친 위상을 사용하는 경우에만 가능하다. 이 위상은

\mathbb{R}^p_c

를

\mathbb{R}^p

로 투영하고 그 위의 자연스러운 위상을 사용하여 얻는다. 결과 위상은 하우스도르프가 아니지만, "사영 하우스도르프"라고 부를 수 있다.^[4]

이 정의가 첫 번째 정의와 동등하다는 것은 명확하지 않지만, 거친 위상을 사용함으로써 대부분의 "점"을 동일하게 만들기 때문에 두 정의는 본질적으로 같아진다. 즉, 거친 위상을 가진

\mathbb{R}^p_c\times\mathbb{R}^q_a

는

\mathbb{R}^p\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)

와 동형이다.^[1]^[2]

5. 성질

초다양체는 일반적인 다양체와 달리, 점들의 집합으로 완전히 구성되지 않는다. 대신, 초다양체 '''M'''의 구조는 "매끄러운 함수"의 다발 ''O_'''M'''''에 포함되어 있다는 이중적인 관점을 취한다. 이 이중적인 관점에서, 주입 사상은 다발의 전사 사상에 해당하며, 전사 사상은 다발의 단사 사상에 해당한다.

이 이중적인 관점에 대한 대안적인 접근 방식은 점의 함자를 사용하는 것이다.

만약 '''M'''이 (''p'',''q'') 차원의 초다양체라면, 기저 공간 ''M''은 매끄러운 함수의 다발이 $O_M/I$ 인 미분 가능 다양체의 구조를 상속받으며, 여기서 $I$ 는 모든 홀수 함수에 의해 생성된 아이디얼이다. 따라서 ''M''은 '''M'''의 기저 공간 또는 몸체라고 불린다. 몫 사상 $O_M\to O_M/I$ 는 단사 사상 ''M'' → '''M'''에 해당한다; 따라서 ''M''은 '''M'''의 부분다양체이다.

6. 예시

$M$ 이 매끄러운 다양체이고, $E$ 가 $M$ 위의 벡터 다발이면, 외대수 $\textstyle\bigwedge^\bullet(E^*)$ 의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 $M$ 은 초다양체를 이룬다. 이를 $\Pi E$ 라고 쓴다. $\Pi$ 는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.

: $\Pi \colon \operatorname{VectBdl} \to \operatorname{sMfd}$

특히, $E=\mathrm{TM}$ (접다발)인 경우 $\Pi\mathrm{TM}$ 은 미분 형식들의 층 $\Omega(M)$ 이다.

'''배첼러 정리'''(Batchelor定理, Batchelor's theorem^영어)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉, 모든 초다양체는 $\Pi E$ 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 함자 $\Pi$ 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ , $F\twoheadrightarrow N$ 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상

: $\phi\colon E\to F$

은 초다양체의 사상

: $\Pi\phi \colon \Pi(E) \to \Pi(F)$

을 유도하는데, 층 단면의 밂

: $(\Pi\phi)_*\colon \Gamma(\mathcal O_{\Pi(E)}) \to \Gamma(\mathcal O_{\Pi(F)})$

는 (외대수에서 유도되는) $\mathbb N$ 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 $\mathbb Z/2$ 차수만을 보존한다.

초다양체의 예시는 다음과 같다.

$M$ 을 매끄러운 다양체라고 할 때, ''홀수 접다발'' ΠT $M$ 은 $M$ 위의 미분 형식의 묶음 Ω( $M$ )에 의해 주어지는 초다양체이다.
더 일반적으로, $E$ → $M$ 을 벡터 다발이라고 할 때, Π $E$ 는 Γ(ΛE^*)의 묶음에 의해 주어지는 초다양체이다. 실제로 Π는 벡터 다발 범주에서 초다양체 범주로의 함자이다.
리 슈퍼군은 초다양체의 한 종류이다.

7. 배첼러 정리

'''배첼러 정리'''(Batchelor's theorem^영어)에 따르면, 모든 초다양체는 $\Pi E$ 형태의 초다양체와 동형이다.^[5] 여기서 $E$ 는 어떤 매끄러운 다양체 $M$ 위의 벡터 다발을 의미하며, $\Pi E$ 는 $E$ 의 외대수의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 $M$ 으로 정의되는 초다양체이다.

하지만 이러한 동형은 표준적이지 않다. 즉, 초다양체를 단순히 벡터 다발로 생각할 수는 없다. 또한, 함자 $\Pi$ 는 초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도 범주의 동치를 이루지 않는데, 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다.

배첼러 정리의 증명은 분할 불변성의 존재에 의존하므로, 복소수 또는 실해석적 초다양체에는 적용되지 않는다.

7. 1. 초다양체 사상의 분류

배첼러 정리(Batchelor's theorem^영어)에 따르면, 모든 초다양체는 어떤 매끄러운 벡터 다발

E

에 대하여

\Pi E

꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 초다양체 사이의 사상은 벡터 다발 사상과 매우 다르다.

두 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

,

F\twoheadrightarrow N

사이의 벡터 다발 사상

:

\phi\colon E\to F

은 초다양체의 사상

:

\Pi\phi \colon \Pi(E) \to \Pi(F)

을 유도한다. 이때 층 단면의 밂

:

(\Pi\phi)_*\colon \Gamma(\mathcal O_{\Pi(E)}) \to \Gamma(\mathcal O_{\Pi(F)})

는 (외대수에서 유도되는)

\mathbb N

값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은

\mathbb Z/2

차수만을 보존한다.

임의의 두 초다양체

M

,

N

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\hom_{\operatorname{sMfd}}(M,N) \cong \hom_{\operatorname{sAlg}_{\mathbb R}} (\Gamma(\mathcal O_N), \Gamma(\mathcal O_M))

여기서

$\operatorname{sAlg}_{\mathbb R}$ 는 실수 위의, $\mathbb Z/2$ 등급을 갖는 실수 등급 대수의 범주이다.

즉, 초다양체 사이의 사상은 실수 위의

\mathbb Z/2

등급을 갖는 등급 대수의 범주에서의 사상과 일대일 대응된다. 이는 충실충만한 함자

:

\operatorname{sMfd} \to \operatorname{sAlg}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}

를 정의한다.

8. 홀수 심플렉틱 구조

초다양체는 심플렉틱 형식을 갖춘 그라스만-홀수 구조를 가질 수 있다.

8. 1. 홀수 심플렉틱 형식

초다양체에서 홀수 심플렉틱 형식

\omega

는 닫힌 홀수 형식이며, 접다발 ''TM''에 비퇴화 페어링을 유도한다. 이러한 초다양체를 P-다양체라고 한다. 홀수 심플렉틱 형식은 홀수 변수와 짝수 변수의 페어링을 유도하기 때문에, 등급이 매겨진 차원은 (''n'',''n'')이 된다. P-다양체에 대한 다르부 정리의 변형이 존재하며, 이를 통해 홀수 심플렉틱 형식

\omega

가 다음과 같이 표현되는 좌표 집합으로 P-다양체를 국소적으로 갖출 수 있다.

:

\omega = \sum_{i}  d\xi_i \wedge dx_i ,

여기서

x_i

는 짝수 좌표이고,

\xi_i

는 홀수 좌표이다. 홀수 심플렉틱 형식은 초다양체의 그라스만-짝수 심플렉틱 형식과 혼동해서는 안 된다.

8. 2. 안티브래킷

홀수 심플렉틱 2-형식

\omega

가 주어지면, 초다양체 위의 두 함수 ''F''와 ''G''의 '''안티브래킷'''(푸아송 괄호의 한 종류)을 다음과 같이 정의할 수 있다.

::

\{F,G\}=\frac{\partial_rF}{\partial z^i}\omega^{ij}(z)\frac{\partial_lG}{\partial z^j}.

여기서

\partial_r

과

\partial_l

은 각각 오른쪽과 왼쪽 미분이며, ''z''는 초다양체의 좌표이다. 이 괄호를 갖춘 초다양체 위의 함수 대수는 안티브래킷 대수가 된다.

안티브래킷을 보존하는 좌표 변환을 P-변환이라고 한다. P-변환의 베레진이 1과 같으면 SP-변환이라고 한다.

8. 3. P-다양체와 SP-다양체

다르부 정리를 홀수 심플렉틱 형식에 적용하면, P-다양체는 P-변환에 의해 서로 연결된 초공간

{\mathcal{R}}^{n|n}

의 열린 집합들로 구성됨을 보일 수 있다. 이러한 변환 함수들을 SP-변환으로 선택할 수 있다면, 그 다양체를 SP-다양체라고 한다. 동등하게 SP-다양체는 비퇴화 홀수 2-형식 ω와 밀도 함수 ρ를 가지는 초다양체로 정의할 수 있으며, 각 좌표 패치에서 ρ가 항등적으로 1과 같은 다르부 좌표가 존재한다.

8. 4. 라플라시안

초다양체 위에서 라플라시안 연산자 Δ는 함수 ''H''를 해당 해밀턴 벡터장의 발산의 절반으로 변환하는 연산자로 정의된다. 구체적으로는 다음과 같다.

:

\Delta H=\frac{1}{2\rho}\frac{\partial_r}{\partial z^a}\left(\rho\omega^{ij}(z)\frac{\partial_l H}{\partial z^j}\right).

다르부 좌표계에서 이 정의는 다음과 같이 표현된다.

:

\Delta=\frac{\partial_r}{\partial x^a}\frac{\partial_l}{\partial \theta_a}

여기서 ''x''^''a''와 ''θ''_''a''는 짝수 및 홀수 좌표이다.

:

\omega=dx^a\wedge d\theta_a.

라플라시안은 홀수이며 멱영이다.

:

\Delta^2=0.

라플라시안에 대한 함수 ''H''의 코호몰로지가 정의될 수 있다. 알베르트 슈바르츠(Albert Schwarz)는 [https://arxiv.org/abs/hep-th/9205088 Batalin-Vilkovisky 양자화의 기하학]에서 함수 ''H''의 라그랑지안 부분다양체 ''L''에 대한 적분은 ''H''의 코호몰로지 클래스와 주변 초다양체의 본체에서 ''L''의 본체의 호몰로지 클래스에만 의존한다는 것을 보였다.

9. SUSY

초대칭 다양체의 SUSY 구조는 홀수 차원 분포 $P \subset TM$ 으로 정의된다. 이 분포와 연관된 프로베니우스 텐서 $S^2 P \mapsto TM/P$ 가 비퇴화되면, ''M''을 ''SUSY-다양체''라고 부른다. (1, ''k'') 차원의 SUSY 구조는 홀수 접촉 구조와 동일하다.

참조

_[1] 서적 Supermanifolds: Theory and Applications http://www.worldscie[...] World Scientific 2007
_[2] 문서 Op. Cit.
_[3] nlab
_[4] 서적 Supermanifolds Cambridge University Press 1984
_[5] 간행물 The structure of supermanifolds

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