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핵작용소

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목차

1. 개요

핵작용소는 힐베르트 공간과 바나흐 공간에서 다르게 정의되며, 급수 표현을 통해 나타낼 수 있는 작용소를 의미한다. 힐베르트 공간에서는 p차 핵작용소, 특히 1차 핵작용소는 대각합류 작용소 또는 핵작용소로, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소로 불린다. 바나흐 공간에서는 알렉산드르 그로텐디크에 의해 핵작용소의 정의가 확장되었으며, 콤팩트 작용소는 핵 또는 트레이스 클래스라고도 불린다. 핵작용소는 대각합, 샤텐 노름, 힐베르트-슈미트 내적과 같은 연산 및 성질을 가지며, 힐베르트-슈미트 적분 작용소가 대표적인 예시이다. p값이 커짐에 따라 p차 핵작용소 공간은 더 넓은 공간을 포함하며, 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예시이다. 핵작용소 개념은 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트의 연구를 통해 발전되었으며, 로베르트 샤텐과 존 폰 노이만에 의해 p-핵작용소 개념이 도입되었다.

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핵작용소

2. 정의

핵작용소는 표현 방식에 따라 힐베르트 공간과 바나흐 공간에서 다르게 정의된다. 힐베르트 공간에서는 특이값 분해를 통해 정의하며, 바나흐 공간에서는 쌍대 공간의 원소를 이용하여 정의한다.

2. 1. 힐베르트 공간에서의 정의

실수체 또는 복소수체인 \mathbb K와, \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 유계 작용소 T\colon V\to W를 생각하자. 이때 T는 다음과 같이 특이값과 정규직교열을 이용하여 표현 가능하다.[3]

:\mathcal{L} = \sum_{n=1}^N \rho_n \langle f_n, \cdot \rangle g_n

여기서 \{f_1, \ldots, f_N\} 및 \{g_1, \ldots, g_N\}는 정규 직교 집합이며, \{\rho_1, \ldots, \rho_N\}는 연산자의 특이값 집합이다.

2. 1. 1. p차 핵작용소

\mathbb K가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하고, 임의의 양의 실수 p\in\mathbb R^+가 주어졌다고 하자.

두 \mathbb K-힐베르트 공간 V, W 사이의 유계 작용소

:T\colon V\to W

가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, T를 '''p차 핵작용소'''(p次核作用素, p-nuclear operator영어)라고 한다.

:T=\sum_{0\le i

여기서

  • 0\le N\le\infty이다.
  • (e_i)_{0\le i는 V 속의 정규 직교열이다. 즉, \langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}이어야 한다. (그러나 (e_i)_{0\le i는 V의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 V가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
  • (f_i)_{0\le i는 W 속의 정규 직교열이다. 즉, \langle f_i,f_j\rangle=\delta_{ij}이어야 한다. (그러나 (f_i)_{0\le i는 W의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 W가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
  • (\alpha_i)_{0\le i이다. (여기서 \operatorname L^p(\{i\}_{0\le i은 크기 N의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 N=\infty라면 이는 \ell^p(\mathbb K)이며, N<\infty라면 이는 \mathbb K^N이다.)
  • 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 \operatorname B(V,W)의 작용소 노름에 대한 것이다.


만약 p=1일 경우, 1차 핵작용소는 '''대각합류 작용소''' 또는 단순히 '''핵작용소'''라고 불린다.[3] 만약 p=2일 경우, 2차 핵작용소는 '''힐베르트-슈미트 작용소'''라고 불린다.[3]

V와 W 사이의 p차 핵작용소들의 \mathbb K-벡터 공간을

:\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\operatorname B(V,W)

로 표기한다. 이는 유계 작용소 공간 \operatorname B(V,W)의 부분 공간이므로, 따라서 \mathbb K-노름 공간을 이룬다.

2. 2. 바나흐 공간에서의 정의

핵작용소의 정의는 0인 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다.[4][5] 그러나 p>1일 경우에는 그렇지 않다.[6][7]

알렉산더 그로텐디크는 1955년에 트레이스 클래스 작용소의 정의를 일반적인 바나흐 공간으로 확장했다.

''A''와 ''B''를 바나흐 공간이라고 하고, ''A'''를 ''A''의 쌍대 공간, 즉 통상적인 노름을 갖는 ''A'' 위의 모든 연속 또는 유계 작용소의 집합이라고 하자. 이때, 표준적인 평가 사상 A^{\prime} \otimes B \to \operatorname{Hom}(A, B)가 존재한다. 여기서 \operatorname{Hom}(A, B)는 A에서 B로 가는 연속 선형 사상의 바나흐 공간을 의미한다. 이 사상은 f \in A^{\prime}와 b \in B를 선형 사상 a \mapsto f(a) \cdot b로 보낸다.

연산자 \mathcal L \in \operatorname{Hom}(A,B)가 이 평가 사상의 상에 속하면 핵 작용소라고 한다.

2. 2. 1. q차 핵작용소

바나흐 공간에서 연산자 \mathcal L \in \operatorname{Hom}(A,B)는 \Vert g_n \Vert \leq 1을 만족하는 벡터들의 열 \{g_n\} \in B와 \Vert f^*_n \Vert \leq 1을 만족하는 범함수들의 열 \left\{f^*_n\right\} \in A^{\prime}, 그리고 다음 조건을 만족하는 복소수들의 열 \{\rho_n\}이 존재할 때,

\sum_n |\rho_n|^q < \infty,

다음과 같이 표현되면 q차 핵작용소라고 한다.[1]

\mathcal{L} = \sum_n \rho_n f^*_n(\cdot) g_n

여기서 합은 연산자 노름에서 수렴한다.

q=1인 경우, 즉 1차 핵작용소는 핵작용소라고 불리며, 이는 급수 \sum \rho_n이 절대 수렴하는 연산자이다. q=2인 경우, 즉 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 연산자라고 불린다.

3. 연산

핵작용소는 대각합, 샤텐 노름, 힐베르트-슈미트 내적과 같은 여러 연산에 대해 닫혀 있다. 이러한 연산들은 핵작용소가 유용한 성질들을 가지도록 한다. 특히, p=2인 경우, \(\mathfrak S_2(V,W)\)는 힐베르트-슈미트 내적에 의해 힐베르트 공간을 이룬다.[6]

3. 1. 대각합

임의의 \mathbb K-힐베르트 공간 V에 대하여, \mathfrak S_1(V,V) 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 '''대각합'''이라고 한다.

:\operatorname{tr}\colon\mathfrak S_p(V,V)\to\mathbb K

:\operatorname{tr}\left(\sum_{0\le i

이는 사용되는 정규 직교 벡터열 e_i에 의존하지 않는다.

이는 \mathfrak S_1(V,V) 위의 \mathbb K-선형 변환을 이룬다.

다음이 주어졌다고 하자.

  • \mathbb K-힐베르트 공간 V
  • 대각합류 작용소 T\in\mathfrak S_1(V,V)
  • T의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) (\lambda_i)_{0\le i<\dim_{\mathbb K}\mathcal H}라고 하자.


그렇다면, '''리츠키 정리'''(Lidskii’s theorem영어)에 따르면 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr}T=\sum_{0\le i<\dim_{\mathbb K}\mathcal H}\lambda_i

힐베르트 공간의 핵작용소는 트레이스 연산을 정의할 수 있다는 중요한 특징을 갖는다. 힐베르트 공간에 대한 정규 직교 기저 \{\psi_n\}가 주어졌을 때, 트레이스는 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{Tr} \mathcal {L} = \sum_n \langle \psi_n, \mathcal{L} \psi_n \rangle.

이 합은 절대적으로 수렴하며, 그 결과는 기저에 독립적이다. 이 트레이스는 \mathcal{L}의 고유값(중복도 포함)의 합과 동일하다.

3. 2. 샤텐 노름

마찬가지로, \mathfrak S_p(V,W) 위에 다음과 같은 '''샤텐 p-노름'''(Schatten p-norm영어)을 정의할 수 있다.

:\|\|_p\colon\mathfrak S_p(V,W)\to\mathbb R_{\ge0}

:\|\|_p\colon T\mapsto\operatorname{tr}_V(T^*T)^{p/2}

=\operatorname{tr}_W(TT^*)^{p/2}



(T^*는 에르미트 수반이다. 1/q거듭제곱을 취하는 것은 T^*T가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 \mathfrak S_1에 속한다.) 물론, p<1일 경우 샤텐 p-노름은 사실 노름이 아니다. 이는 위와 동치로 T의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 (s_i)_{i=0}^N들이 주어졌을 때

:\|T\|=\sum_{0\le i

로 정의될 수 있다.

위와 같은 p-노름을 부여하면, \mathfrak S_p(V,W)는 \mathbb K-바나흐 공간을 이룬다.[6]

3. 3. 힐베르트-슈미트 내적

\mathfrak S_2(V,W)는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.

:\langle S,T\rangle=\operatorname{tr}(S^*T)

이 내적은 '''힐베르트-슈미트 내적'''(Hilbert–Schmidt inner product영어)이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 \mathbb K-힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.

:\mathfrak S_2(V,W)\to \bar V\hat\otimes_{\mathbb K}W

:\sum_{0\le i

여기서 \hat\otimes_{\mathbb K}는 (대수적) \mathbb K-텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.

임의의 0에 대하여, \mathcal S_p(V,V) 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 \mathfrak S_2(V,V)이다.

4. 성질

힐베르트 공간 상의 핵작용소는 그 트레이스가 유한하며, 기저 선택에 의존하지 않는 중요한 성질을 갖는다. 힐베르트 공간에서 주어진 임의의 정규 직교 기저 \{\psi_n\}에 대해, 그 트레이스는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\mbox{Tr} \mathcal {L} = \sum_n \langle \psi_n , \mathcal{L} \psi_n \rangle.

이는 우변의 합이 절대 수렴하며, 기저에 의존하지 않기 때문이다. 또한, 이 트레이스는 \mathcal{L}의 (중복을 포함한) 고윳값 전체의 합과 같다.

4. 1. 포함 관계

0 < p ≤ p' < ∞ 인 임의의 p, p'에 대하여 다음이 성립한다.

:\mathfrak S_p(V,W)\subseteq\mathfrak S_{p'}(V,W)

만약 V와 W가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 V와 W가 유한 차원이라면 물론 항상 \mathfrak S_p(V,W)=\operatorname B(V,W)이다.)

특히, 두 \mathbb K-힐베르트 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

4. 2. 연산에 대한 닫힘

핵작용소 공간은 유한 합, 스칼라 곱, 에르미트 수반에 대해 닫혀 있다. 즉, 핵작용소 공간은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀있고, 임의의 T\in\mathfrak S_p(V,W)에 대하여 그 에르미트 수반 역시 핵작용소이다.[6]

곱셈 정리에 따라, 서로 다른 차수의 핵작용소들의 곱은 더 낮은 차수의 핵작용소가 된다. 즉, 1/r=1/p+1/q를 정의하면, 임의의 세 \mathbb K-힐베르트 공간 U,V,W에 대하여 다음이 성립한다.[6]

:\mathfrak S_q(V,W)\mathfrak S_p(U,V)\subseteq\mathfrak S_r(U,W)

:\|TS\|_rr\le \|T\|_q\|S\|_p\qquad\forall S\in \mathfrak S_p(U,V),\;T\in\mathfrak S_q(V,W)

4. 3. 위상수학적 성질

힐베르트 공간 V에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

5. 예

힐베르트-슈미트 작용소의 예로는 '''힐베르트-슈미트 적분 작용소'''(Hilbert–Schmidt integral operator영어)가 있다.

5. 1. 힐베르트-슈미트 적분 작용소

연결 열린집합 U\subseteq\mathbb R^n 및 함수

:f\in\operatorname L^2(U\times U;\mathbb C)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.

:T\colon\operatorname L^2(U;\mathbb C)\to\operatorname L^2(U;\mathbb C)

:Tu(x)=\int_Uf(x,y)u(y)\,\mathrm dy

이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 f의 L2 노름과 같다.

:\|T\|_2=\|f\|_{\operatorname L^2}

6. 역사

다비트 힐베르트[8][9][10][11]와 에르하르트 슈미트[12][13][14]가 1900년대에 힐베르트-슈미트 적분 작용소를 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.

힐베르트 공간에서, 임의의 p에 대한 p-핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(Robert Schatten|로베르트 샤텐pl, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.[15]

리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(Ви́ктор Бори́сович Ли́дский|빅토르 보리소비치 리츠키ru, Ві́ктор Бори́сович Лі́дський|빅토르 보리소비치 리지키uk, 1924~2008)가 증명하였다.

트레이스 클래스 작용소의 정의는 1955년, 알렉산드르 그로텐디크에 의해 일반적인 바나흐 공간으로 확장되었다.

7. 같이 보기

참조

[1] 문서 Schaefer|Wolff|1999|loc=Chapter III, §7
[2] 문서 Stolz|Teichner|2012|loc=Theorem 4.26
[3] 서적 Functional analysis Academic Press 1980
[4] 저널 Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires 1955
[5] 저널 La theorie de Fredholm 1956
[6] 저널 "''p''-nuclear operators in the sense of Grothendieck" 2010-02
[7] 저널 "Grothendieck’s concept of a ''p''-nuclear operator" 1984-03
[8] 저널 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Erste Mitteilung) http://resolver.sub.[...] 1904-03-05
[9] 저널 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Zweite Mitteilung) http://resolver.sub.[...] 1904-06-25
[10] 저널 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Dritte Mitteilung) http://resolver.sub.[...] 1905-07-22
[11] 저널 Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Vierte Mitteilung) http://resolver.sub.[...] 1906-03-03
[12] 저널 Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener http://resolver.sub.[...] 2017-01-15
[13] 저널 Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Zweite Abhandlung. Auflösung der allgemeinen linearen Integralgleichung http://resolver.sub.[...] 1907
[14] 저널 Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III Teil. Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen http://resolver.sub.[...] 1908
[15] 저널 The cross-space of linear transformations III 1948-07


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