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보편대수학

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목차

1. 개요

보편대수학은 집합과 그 집합에 정의된 연산들의 모임인 대수적 구조를 연구하는 수학의 한 분야이다. 대수적 구조, 항수, 방정식, 대수적 다양체 등의 기본 개념을 다루며, 준동형 사상, 부분 대수, 곱과 같은 기본적인 구성 방법을 통해 대수를 연구한다. 동형 정리와 버크호프의 HSP 정리와 같은 핵심 정리들을 포함하며, 군, 환, 격자 등 다양한 대수 구조의 연구에 적용된다. 또한 제약 충족 문제(CSP)와 같은 응용 분야를 가지며, 범주론과 오퍼라드 이론과도 관련이 있다. 보편대수학은 1898년 앨프리드 노스 화이트헤드에 의해 처음 사용되었으며, 1930년대 이후 비르크호프와 오어의 연구를 통해 발전했다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 보편대수학 - 구조 (논리학)
    수학적 논리에서 구조는 논의 영역, 시그니처, 해석 함수로 구성된 삼중항으로, 특정 시그니처를 가지며 일차 논리 언어의 공식과 항을 통해 수학적 개념을 형식적으로 표현하고 분석하는 데 사용된다.
  • 보편대수학 - 항수 (수학)
    항수(수학)는 함수나 연산자가 받는 인수의 개수를 나타내는 수학 용어로, 대수 구조를 추상화하고 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
  • 범주론 - 작은 범주
    그로텐디크 전체 \mathcal{U}가 주어졌을 때, \mathcal{U}-작은 범주는 대상과 사상의 모임이 모두 \mathcal{U}의 원소인 범주를 의미하며, 이는 함자와 자연 변환과 함께 완비 범주이자 쌍대 완비 범주인 2-범주를 이룬다.
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    토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
보편대수학
개요
분야수학, 대수학
연구 대상대수적 구조의 공통적인 성질
역사
기원19세기
주요 인물조지 불
알프레트 노르트 화이트헤드
버트런드 러셀
개릿 버코프
필립 홀
아나톨리 말체프
주요 개념
대수 구조군
환
체
가군
격자
불 대수
연산항등원
결합 법칙
교환 법칙
분배 법칙
준동형 사상준동형 정리
합동 관계
부분 대수주어진 대수 구조의 부분 집합으로, 원래의 연산에 대해 닫혀 있는 구조
생성주어진 부분 집합으로부터 대수 구조를 생성하는 방법
응용
컴퓨터 과학프로그래밍 언어 이론
오토마타 이론
형식 언어
논리학모델 이론
범주론대수 구조와 그 사이의 관계를 추상적으로 다루는 수학 분야
암호학암호 알고리즘 설계 및 분석
관련 분야
추상대수학특정 대수 구조 (군, 환, 체 등)를 연구하는 분야
모델 이론형식 언어와 그 해석 사이의 관계를 연구하는 논리학의 한 분야
범주론수학적 구조와 그 구조 사이의 관계를 추상적으로 연구하는 분야

2. 기본 개념

보편대수학에서 '''대수'''(또는 대수적 구조)는 집합 ''A''와 그 위에 정의된 연산들의 모임을 말한다. ''A'' 상의 ''n''-항 연산은 ''A''의 ''n''개의 원소를 인수로 받아 ''A''의 하나의 원소를 반환하는 사상이다.


  • 영항 연산: ''A''의 원소, 즉 상수를 의미하며, 주로 ''a''와 같은 라틴 소문자로 표기한다.
  • 단항 연산: ''A''에서 ''A''로의 사상이며, ~''x''와 같이 인수 앞에 기호를 붙여 표현한다.
  • 이항 연산: 중위 표기법에 따라 ''x'' * ''y''와 같이 인수 사이에 기호를 넣어 표현한다.
  • 다변수 연산: (항수가 불특정해도 무방) 통상적인 사상의 표기법에 따라 인수를 쉼표로 구분하여 괄호로 묶은 ''f''(''x'',''y'',''z'')나 ''f''(''x''1,...,''x''''n'')과 같은 표기를 사용한다.


특정 경우에서는 infinitary|무한항 연산영어이 의미를 가질 수 있으며, 완비 격자의 대수 이론 등에서 사용된다. 대수를 언급할 때는 어떤 유형 Ω의 대수인지 명시하기도 하는데, 여기서 Ω는 해당 대수의 연산의 아리티(항수)를 나타내는 자연수의 순서쌍이다.

2. 1. 대수 구조

보편대수학에서 대수 (또는 대수적 구조)는 집합 ''A''와 그 위에 정의된 연산들의 모임을 말한다.

집합 ''A''에 대한 ''n''-항 연산은 ''A''의 ''n''개의 원소를 받아 ''A''의 단일 원소를 반환하는 함수이다. 따라서, 0항 연산 (또는 *무항 연산*)은 단순히 ''A''의 원소 또는 상수로 표현될 수 있으며, 종종 ''a''와 같은 문자로 표시된다. 1항 연산 (또는 단항 연산)은 단순히 ''A''에서 ''A''로의 함수이며, 종종 ~''x''와 같이 인자 앞에 기호를 배치하여 표시한다. 2항 연산 (또는 이항 연산)은 중위 표기법에 따라 ''x'' ∗ ''y''와 같이 인자 사이에 기호를 배치하여 표시하는 경우가 많다. 더 높은 항수 또는 지정되지 않은 항수의 연산은 일반적으로 함수 기호로 표시하며, 인자는 괄호 안에 쉼표로 구분하여 배치한다 (예: ''f''(''x'',''y'',''z'') 또는 ''f''(''x''1,...,''x''''n'')).

특정 경우 infinitary|무한항 연산영어이 사용될 수 있으며, 이는 완비 격자의 대수 이론에서 볼 수 있다. 대수를 언급하는 한 가지 방법은 특정 유형의 대수 \Omega라고 부르는 것이며, 여기서 \Omega는 대수의 연산 항수를 나타내는 자연수의 순서열이다.

2. 2. 항수 (Arity)

집합 ''A''에 대한 ''n''-항 연산은 ''A''의 ''n''개의 원소를 받아 ''A''의 단일 원소를 반환하는 함수이다. 0항 연산(무항 연산)은 단순히 ''A''의 원소 또는 상수이며, 주로 ''a''와 같은 문자로 표시된다. 1항 연산(단항 연산)은 ''A''에서 ''A''로의 함수이며, ~''x''와 같이 인자 앞에 기호를 붙여 표시한다. 2항 연산(이항 연산)은 ''x'' ∗ ''y''와 같이 인자 사이에 기호를 배치하는 중위 표기법으로 나타낸다. 항수가 더 높거나 지정되지 않은 경우, ''f''(''x'',''y'',''z'') 또는 ''f''(''x''1,...,''x''''n'')와 같이 괄호 안에 쉼표로 인자를 구분하여 함수 기호로 표시한다.

어떤 대수를 특정 유형의 대수 Ω라고 부를 수 있는데, 여기서 Ω는 대수의 연산 항수를 나타내는 자연수의 순서쌍이다. \textstyle\bigwedge_{\alpha\in J} x_\alpha와 같이 무한항 연산도 허용될 수 있는데, ''J''는 무한 인덱스 집합이며, 완비 격자의 대수 이론에서 사용된다.

2. 3. 방정식 (Equations)

연산이 지정된 후, 대수의 본질은 공리의 형태를 띠는, 즉 항등식 또는 '''등식 법칙'''에 의해 더욱 정의된다. 이항 연산에 대한 결합 법칙 공리가 그 예시인데, 이는 방정식 ''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'') = (''x'' ∗ ''y'') ∗ ''z''로 주어진다. 이 공리는 집합 ''A''의 모든 원소 ''x'', ''y'', 그리고 ''z''에 대해 성립하도록 의도되었다.

예시로, 군의 정의를 고려해 보자. 일반적으로 군은 단일 이항 연산 ∗에 대해 다음과 같은 공리를 만족하도록 정의된다:

  • 결합법칙: ''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'')  =  (''x'' ∗ ''y'') ∗ ''z'';   형식적으로: ∀''x'',''y'',''z''. ''x''∗(''y''∗''z'')=(''x''∗''y'')∗''z''.
  • 항등원: 각 원소 ''x''에 대해 ''e'' ∗ ''x''  =  ''x''  =  ''x'' ∗ ''e''를 만족하는 원소 ''e''가 존재한다;   형식적으로: ∃''e'' ∀''x''. ''e''∗''x''=''x''=''x''∗''e''.
  • 역원: 항등원은 쉽게 유일함을 알 수 있으며, 일반적으로 ''e''로 표시된다. 그러면 각 ''x''에 대해 ''x'' ∗ ''i''  =  ''e''  =  ''i'' ∗ ''x''를 만족하는 원소 ''i''가 존재한다;   형식적으로: ∀''x'' ∃''i''. ''x''∗''i''=''e''=''i''∗''x''.


보편대수학적 관점은 범주론에 잘 맞는다. 예를 들어, 범주론에서 군 대상을 정의할 때, 문제의 대상이 집합이 아닐 수도 있으므로, (일반 범주에서 의미가 있는) 정량화된 법칙 대신 등식 법칙을 사용해야 한다. (개별 원소를 참조하는) 게다가, 역원과 항등원은 범주에서 사상으로 지정된다. 예를 들어, 위상군에서 역원은 원소별로 존재해야 할 뿐만 아니라 연속 매핑(사상)을 제공해야 한다.

3. 대수적 다양체 (Varieties)

항등식으로 정의된 대수적 구조의 모임을 다양성 또는 '''등식 클래스'''라고 한다.

대부분의 일반적인 수학적 대수 시스템은 다양체의 예시이지만, 일반적인 정의가 종종 양화 또는 부등식을 포함하기 때문에 항상 명확한 방식은 아니다. 연산을 특정하고 나면, 그 대수의 내재적인 성질은 공리계에 의해 더욱 한정되는데, 보편대수학에서는 이러한 공리계로 등식(등식률, 등식 법칙)에 의해 제공하는 것이 일반적이다. 예를 들어, 이항 연산에 대한 결합성 공리는 등식 ''x'' * (''y'' * ''z'') = (''x'' * ''y'') * ''z''로 표현된다. 이 공리는 집합 ''A''의 임의의 원소 ''x'', ''y'', ''z''에 대해 만족될 것이 의도되어 있다.

등식으로 정의할 수 있는 대수적 구조는 대수적 다양체라고 통칭되며, 보편대수학의 한 대상으로서 대수적 다양체를 연구하는 경우도 있고, 보편대수학의 연구 대상은 대수적 다양체만 조사하면 충분하다고 생각하는 사람도 있다.

이러한 제한의 한 가지 장점은 보편 대수학에서 연구되는 구조가 ''유한 곱''을 갖는 모든 범주에서 정의될 수 있다는 것이다. 예를 들어, 위상 그룹은 위상 공간 범주에 있는 그룹일 뿐이다.

군의 일반적인 정의는 하나의 이항 연산 ∗에 대한 결합법칙, 항등원, 역원 공리로 주어진다. 보편 대수학적 관점에서는 영항 연산 ''e''와 단항 연산 ~을 추가하여 군의 성질을 보편적으로 정량화된 등식으로만 나타낸다.


  • 결합성: ''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'') = (''x'' ∗ ''y'') ∗ ''z''.
  • 항등원: ''e'' ∗ ''x'' = ''x'' = ''x'' ∗ ''e''
  • 역원: ''x'' ∗ (~''x'') = ''e'' = (~''x'') ∗ ''x''


일반적인 정의와 다른 점을 요약하면 다음과 같다.

일반적인 군의 정의보편 대수학적 정의



보편 대수학적 정의에서는 항등원과 역원의 유일성을 특별히 언급하지 않아도, 고전적인 군론 교과서에서 다루는 기본적인 내용이므로 문제가 되지 않는다.

정량화된 법칙을 등식으로 바꾸는 것은 단순한 형식적인 차이를 넘어, 범주론에서 군 대상을 정의할 때 유용하다. 또한, 보편 대수학의 관점은 역원이나 항등원이 존재할 뿐만 아니라, 그것이 범주의 사상(射)이라는 것까지 주장한다. 위상군에서는 역원을 대응시키는 반전 사상이 연속 사상이 될 것을 요구한다.

3. 1. 다양체의 제약 조건

다양체는 양화를 포함하지 않는데, 전칭 양화(∀)는 방정식 앞에 오는 경우를 제외하고는 허용되지 않으며, 존재 양화(∃)는 허용되지 않는다. 또한, 논리 연결사 중 논리 접속(∧) 이외의 연결사는 포함되지 않는다. 다양체variety영어는 동일성 외의 관계, 특히 부등식이나 순서 관계를 포함하지 않는다.

3. 2. 체 (Field)의 특수성

체는 모든 체의 법칙을 방정식으로 표현할 수 있는 유형이 없기 때문에 다양체가 아니다. 이는 체에서 모든 "0이 아닌" 요소에 대해 역원이 존재한다는 것이 정의되어 있으나, 이 역원을 유형에 직접 추가할 수 없기 때문이다.

4. 주요 구성 방법

보편 대수학에서 대수 구조를 다루는 기본적인 세 가지 방법은 다음과 같다.


  • 준동형 사상: 두 대수 사이의 연산을 보존하는 함수이다. 자세한 내용은 준동형 사상 항목을 참고하라.
  • 부분 대수: 어떤 대수의 부분 집합이면서, 원래 대수의 연산에 대해 닫혀 있는 것이다.
  • 곱: 여러 대수 구조의 데카르트 곱에 성분별 연산을 정의한 것이다.

4. 1. 준동형 사상 (Homomorphism)

준동형 사상은 두 대수 구조 사이의 함수 ''h'': ''A'' → ''B'' 로서, ''A''의 모든 연산 ''f''''A''에 대해 그에 대응하는 ''B''의 연산 ''f''''B'' (예: 항수 ''n'')가 존재하여, ''h''(''f''''A''(''x''1, ..., ''x''''n'')) = ''f''''B''(''h''(''x''1), ..., ''h''(''x''''n''))를 만족하는 것을 말한다. 즉, 연산을 보존하는 함수이다.

예를 들어:

  • ''e''가 상수(영항 연산)이면, ''h''(''e''''A'') = ''e''''B''이다.
  • ~가 일항 연산이면, ''h''(~''x'') = ~''h''(''x'')이다.
  • ∗가 이항 연산이면, ''h''(''x'' ∗ ''y'') = ''h''(''x'') ∗ ''h''(''y'')이다.


이와 같이 준동형 사상은 대수 구조 ''A''의 연산 결과를 ''B''에서도 동일하게 유지한다. 때로는 함수가 어떤 대수에서 온 것인지 문맥상 명확할 경우, ''f''의 아래첨자를 생략하기도 한다.

대수의 준동형 사상 ''h''(''A'')는 같은 종류의 대수가 된다. 준동형 사상에 대한 더 자세한 내용은 준동형 사상 항목에 설명되어 있다.

4. 2. 부분 대수 (Subalgebra)

''A''의 부분 대수는 ''A''의 모든 연산에 대해 닫혀 있는 ''A''의 부분 집합이다. 다시 말해, ''A''의 부분 집합이면서 그 자체로 동일한 연산에 대해 대수 구조를 이루는 것이 부분 대수이다.

4. 3. 곱 (Product)

여러 대수 구조의 데카르트 곱을 통해 새로운 대수 구조를 결합하고, 각 성분별로 연산을 정의하여 새로운 대수 구조를 만들 수 있다.

5. 핵심 정리

보편 대수학의 중요한 정리는 다음과 같다.


  • 동형 정리: 군, 환, 가군 등의 동형 정리를 포괄한다.
  • 버크호프의 HSP 정리: 대수적 구조의 한 종류가 다양체가 되기 위한 필요충분조건은 그것이 준동형 사상, 부분 대수, 임의의 직적에 대해 닫혀 있다는 것이다.[1]


연산을 특정하면, 그 대수의 내재적인 성질은 공리계에 의해 더욱 한정되는데, 보편 대수학에서는 이러한 공리계를 등식 (등식률, 등식 법칙)으로 제공하는 것이 일반적이다. 예를 들어, 이항 연산에 대한 결합성 공리는 ''x'' * (''y'' * ''z'') = (''x'' * ''y'') * ''z'' 와 같이 표현된다.

군의 예를 통해 보편 대수학의 정의 방식을 살펴보자. 일반적인 군의 정의는 하나의 이항 연산 ∗에 대한 결합율, 항등율, 반전율 공리계로 주어진다. 보편 대수학에서는 여기에 영항 연산 ''e''와 단항 연산 ~을 추가하여 군의 성질을 등식으로만 나타낸다. 이렇게 하면 군은 세 개의 연산(이항, 단항, 영항)과 세 개의 등식 법칙(결합율, 항등율, 반전율)으로 정의되며, 변수에 대한 보편 정량화만 사용된다.

이러한 보편 대수학적 정의는 군의 일반적인 정의와 동등하며, 정량화된 법칙을 등식율로 바꾸는 것은 군 대상을 정의할 때와 같이 범주론에서 유용하게 사용된다. 또한 보편 대수학의 관점은 역원이나 항등원이 존재할 뿐만 아니라, 그것이 범주의 사상(射)이라는 것까지 명확하게 나타낸다. 위상군의 예에서처럼, 역원을 대응시키는 반전 사상이 연속 사상이 되어야 한다는 추가적인 조건을 표현할 수도 있다.

5. 1. 동형 정리 (Isomorphism Theorems)

군, 환, 가군 등에 대한 동형 정리를 포괄하는 일반적인 정리이다.

5. 2. 버크호프의 HSP 정리 (Birkhoff's HSP Theorem)

버크호프의 HSP 정리는 어떤 대수 구조의 모임이 다양체가 되기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 대수 구조의 모임이 준동형 사상, 부분 대수, 임의의 직적에 대해 닫혀 있어야 다양체가 된다.[1]

6. 응용 분야

보편대수학은 통일적인 접근 방식 외에도 심오한 정리와 중요한 예시, 반례를 제공하여, 새로운 종류의 대수학 연구를 시작하려는 사람들에게 유용한 틀을 제공한다.

특정 종류의 대수학에 대해 발명된 방법을 보편대수학의 관점에서 재구성하여 (가능하다면) 다른 종류의 대수학에 적용함으로써, 해당 방법들을 다른 종류의 대수학에도 사용할 수 있게 한다. 또한 개념적 명확성을 제공해주기도 한다. J.D.H. 스미스는 "특정 틀 안에서는 지저분하고 복잡해 보이는 것이 적절한 일반적인 틀에서는 단순하고 명백하게 드러날 수 있다."라고 말했다.

특히, 보편대수학은 모노이드, 환, 격자 연구에 적용될 수 있다. 보편대수학 등장 이전에는 많은 정리들(특히 동형 정리)이 이 모든 종류의 대수학에서 개별적으로 증명되었지만, 보편대수학을 사용하면 모든 종류의 대수적 시스템에 대해 한 번에 증명할 수 있다는 장점이 있다.

일례로 군의 정의를 살펴보자. 일반적인 군의 정의는 단일 이항 연산 ∗에 대해 결합법칙, 항등원, 역원의 공리를 만족해야 한다. 하지만 이 정의는 존재량 기호("존재한다...")를 포함하기 때문에 보편대수학의 관점에는 바로 부합하지 않는다.

보편대수학적 관점에서 군은 이항 연산 ∗ 외에, 영항 연산 ''e''(항등원)와 단항 연산 ~(역원)을 추가하여, 정량화된 법칙 없이 오직 등식 법칙(결합법칙, 항등원, 역원)만으로 정의할 수 있다. 이는 범주론에서 군 대상을 정의할 때 유용하다. 위상군의 경우, 역원은 연속 매핑을 제공해야 하며, 항등 사상은 폐포가 되어야 한다.

히긴스(Higgins)의 1956년 논문은 다양한 특정 대수적 시스템에 대한 틀을 제공하는 것으로 널리 알려져 있으며, 그의 1963년 논문은 부분적으로만 정의된 연산을 갖는 대수학(예: 범주, 군체)에 대한 논의로 유명하다. 이는 고차원 대수학 주제로 이어진다.

6. 1. 제약 충족 문제 (Constraint Satisfaction Problem, CSP)

보편대수학은 제약 충족 문제(CSP)를 다루는 데 유용한 언어를 제공한다. 제약 충족 문제는 주어진 관계 대수 ''A''와 이 대수에 대한 존재 문장 <math>\varphi</math>가 있을 때, <math>\varphi</math>가 ''A''에서 충족될 수 있는지 여부를 묻는 중요한 계산 문제이다. 대수 ''A''는 종종 고정되어 있으며, 이 경우 CSP''A''는 오직 존재 문장 <math>\varphi</math>만을 인스턴스로 갖는 문제를 가리킨다.[1]

모든 계산 문제는 어떤 대수 ''A''에 대한 CSP''A''로 나타낼 수 있다.[1] 예를 들어, ''n''-채색 문제는 ''n''개의 원소와 부등식이라는 단일 관계를 갖는 대수의 CSP로 표현할 수 있다.

이분법 추측(2017년 4월에 증명됨)에 따르면, ''A''가 유한 대수이면 CSP''A''는 P 또는 NP-완전 문제이다.[2]

6. 2. 다양한 대수 구조 연구

보편대수학은 모노이드, 환, 격자 등 다양한 대수 구조를 연구하는 데 통일된 관점과 도구를 제공한다.

대부분의 일반적인 수학적 대수 시스템은 다양체의 예시이지만, 일반적인 정의가 종종 양화 또는 부등식을 포함하기 때문에 항상 명확한 방식은 아니다. 보편 대수의 예시로는 군, 환, 반군, 준군, 군체, 마그마, 루프 등이 있다. 고정된 체 위의 벡터 공간과 고정된 환 위의 가군 또한 보편 대수에 해당하며, 이들은 이항 덧셈과 체 또는 환의 각 원소에 대한 일련의 단항 스칼라 곱 연산자를 갖는다. 반격자, 격자, 부울 대수 등은 관계 대수의 예시이다.

보편대수학은 통일적인 접근 방식 외에도 심오한 정리와 중요한 예시, 반례를 제공하며, 특정 종류의 대수학에 대해 발명된 방법을 다른 종류의 대수학에 적용할 수 있게 한다. J.D.H. 스미스는 "특정 틀 안에서는 지저분하고 복잡해 보이는 것이 적절한 일반적인 틀에서는 단순하고 명백하게 드러날 수 있다"고 말했다.

특히, 보편대수학은 모노이드, 환, 격자 연구에 적용될 수 있다. 보편대수학 등장 이전에는 많은 정리들(특히 동형 정리)이 이 모든 종류의 대수학에서 개별적으로 증명되었지만, 보편대수학을 사용하면 모든 종류의 대수적 시스템에 대해 한 번에 증명할 수 있다.

7. 범주론 및 오퍼라드 이론과의 관계

보편대수학은 범주론과 오퍼라드 이론의 기법을 사용하여 연구될 수 있다. 보편 대수학적 접근에서는 연산 목록과 해당 연산이 따르는 방정식을 작성하는 대신, 로이버 이론 또는 대수적 이론으로 알려진 특별한 종류의 범주를 사용하거나, 모나드를 사용하여 대수적 구조를 설명할 수 있다.

범주론의 발전된 형태인 오퍼라드 이론에서 오퍼라드는 보편대수학과 유사하게 일련의 연산을 다루지만, 방정식에서 변수의 중복이나 생략을 허용하지 않는다는 제한이 있다.[4] 이러한 제한 때문에 링과 같은 대수 구조는 오퍼라드로 표현할 수 있지만, 군과 같이 변수의 중복이나 생략이 필요한 대수 구조는 표현할 수 없다. 하지만, 오퍼라드는 링과 벡터 공간의 개념을 혼합하여 결합 대수를 정의할 수 있는 등 고유한 장점을 가진다.[5]

7. 1. 범주론 (Category Theory)

보편대수학은 범주론의 기법을 사용하여 연구될 수 있다. 이 접근 방식에서는 연산 목록과 해당 연산이 따르는 방정식을 작성하는 대신, 로이버 이론 또는 더 일반적으로 대수적 이론으로 알려진 특별한 종류의 범주를 사용하여 대수적 구조를 설명할 수 있다. 또는 모나드를 사용하여 대수적 구조를 설명할 수도 있다. 두 접근 방식은 밀접하게 관련되어 있으며 각각 고유한 장점을 가지고 있다.[3]

특히 모든 로이버 이론은 집합 범주에 대한 모나드를 제공하는 반면, 집합 범주에 대한 "유한" 모나드는 로이버 이론에서 발생한다. 그러나 모나드는 하나의 특정 범주(예: 집합 범주) 내에서 대수적 구조를 설명하는 반면, 대수적 이론은 많은 범주 클래스(즉, 유한 곱을 갖는 범주) 내에서 구조를 설명한다.

범주론의 최근 발전은 오퍼라드 이론이다. 오퍼라드는 보편대수학과 유사하게 일련의 연산이지만, 방정식은 변수를 가진 표현식 사이에서만 허용되고 변수의 중복 또는 생략은 허용되지 않는다는 점에서 제한된다.[4] 따라서 링은 소위 어떤 오퍼라드의 "대수"로 설명될 수 있지만, 그룹은 그렇지 않다. 1=''gg''−1 = 1|1=''gg''−1 = 1영어 규칙은 왼쪽에서 변수 ''g''를 중복하고 오른쪽에서 생략하기 때문이다.

7. 2. 오퍼라드 이론 (Operad Theory)

오퍼라드는 보편대수학과 유사하게 일련의 연산이지만, 방정식은 변수를 가진 표현식 사이에서만 허용되고 변수의 중복 또는 생략은 허용되지 않는다는 점에서 제한된다.[4] 따라서 링은 소위 어떤 오퍼라드의 "대수"로 설명될 수 있지만, 그룹은 그렇지 않다. 1=''gg''−1 = 1영어 규칙은 왼쪽에서 변수 ''g''를 중복하고 오른쪽에서 생략하기 때문이다. 처음에 이것은 문제가 되는 제한으로 보일 수 있지만, 오퍼라드는 특정 장점이 있다는 보상이 있다. 예를 들어 링과 벡터 공간의 개념을 혼합하여 결합 대수의 개념을 얻을 수 있지만, 그룹과 벡터 공간의 개념과 유사한 하이브리드는 형성할 수 없다.[5]

8. 역사

앨프리드 노스 화이트헤드가 1898년에 출판한 저서 "보편 대수학 논고(A Treatise on Universal Algebra)"에서 '보편 대수학'이라는 용어가 현재와 같은 의미로 사용되기 시작했다.[8] 화이트헤드는 이 주제의 창시자로 윌리엄 로언 해밀턴, 오거스터스 드 모르간을 언급했고, 제임스 조지프 실베스터가 이 용어를 처음 만들었다고 언급했다.[8]

당시에는 리 대수나 쌍곡선 쿼터니언과 같은 구조가 결합적인 곱셈 부류를 넘어 대수적 구조를 확장해야 할 필요성을 제기했다. 알렉산더 맥팔레인은 한 논평에서 "이 책의 주요 아이디어는 여러 방법을 통합하거나, 이들을 포함하도록 일반 대수를 일반화하는 것이 아니라, 오히려 여러 구조를 비교 연구하는 것이다."라고 썼다.[9] 당시 조지 불의 논리 대수는 일반적인 수 대수와 강력한 대조점을 이루었기 때문에 "보편"이라는 용어는 긴장된 감정을 누그러뜨리는 역할을 했다.

화이트헤드의 초기 연구는 쿼터니언(해밀턴), 헤르만 그라스만의 Ausdehnungslehre, 그리고 불의 논리 대수를 통합하려 했다. 화이트헤드는 저서에서 다음과 같이 썼다.

:"그러한 대수들은 상세한 개별 연구에 고유한 가치를 지니고 있으며, 또한 기호적 추론의 일반 이론과 특히 대수적 기호법에 의해 밝혀지는 빛을 위해 비교 연구할 가치가 있다. 비교 연구는 지식 없이는 불가능하기 때문에, 비교는 불가피하게 이전의 개별 연구를 전제한다."[8]

그러나 화이트헤드는 일반적인 성격의 결과를 내놓지 못했다. 이 주제에 대한 연구는 개릿 버코프와 외위스테인 오어가 보편대수학에 관한 논문을 발표하기 시작한 1930년대 초까지 미미했다. 1940년대와 1950년대의 메타수학과 범주론의 발전은 이 분야, 특히 아브라함 로빈슨, 알프레드 타르스키, 안제이 모스토프스키와 그들의 제자들의 연구를 더욱 발전시켰다.[10]

1935년에서 1950년 사이의 기간 동안 대부분의 논문은 버코프의 논문이 제시한 방향에 따라 자유 대수, 합동과 부분 대수 격자, 그리고 준동형사상 정리를 다루었다. 수학적 논리학의 발전은 대수에 대한 응용을 가능하게 했지만, 그 발전은 느리게 이루어졌다. 아나톨리 말체프가 1940년대에 발표한 결과는 전쟁 때문에 주목받지 못했다. 타르스키가 1950년 케임브리지 국제 수학자 회의에서 행한 강연은 모델 이론적 측면이 발전하는 새로운 시대를 열었고, 이는 주로 타르스키 자신뿐만 아니라 C.C. 창, 레온 헨킨, 뱌르니 요운손, 로저 린던 등에 의해서 이루어졌다.

1950년대 후반, 에드워드 마르체프스키[11]는 자유 대수의 중요성을 강조했으며, 마르체프스키 자신과 얀 미치엘스키, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. 우르바니크 등에 의해 자유 대수의 대수적 이론에 관한 50편 이상의 논문이 출판되었다. 1963년 윌리엄 로워리의 논문을 시작으로, 범주론의 기술이 보편대수학에서 중요해졌다.[12]

참조

[1] 논문 Non-dichotomies in constraint satisfaction complexity http://www.lix.polyt[...] 2008
[2] arXiv The Proof of CSP Dichotomy Conjecture 2017
[3] 논문 The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads http://www.dpmms.cam[...] 2007
[4] 서적 Operads in Algebra, Topology and Physics American Mathematical Society
[5] 서적 Associative Algebras Springer New York
[6] nlab Essentially algebraic theory
[7] 서적 Model Theory North Holland
[8] 서적 Universal Algebra Van Nostrand Co., Inc
[9] 간행물 Review:''A Treatise on Universal Algebra'' (pdf) https://archive.org/[...] Science 1899
[10] 간행물 Review of ''Universal Algebra'' by P. M. Cohn American Mathematical Monthly 1967-08
[11] 간행물 A general scheme of the notions of independence in mathematics. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1958
[12] 논문 Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis) http://www.tac.mta.c[...] 1964
[13] 문서 Universal Algebra Van Nostrand Co., Inc. 1968
[14] 문서 Universal Algebra Van Nostrand Co., Inc. 1968
[15] 간행물 A general scheme of the notions of independence in mathematics. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1958


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