에너지 보존 법칙

3. 열의 일당량

열의 일당량은 열역학 제1법칙과 에너지 보존 법칙의 핵심 개념으로, 단위 열을 생성하는데 필요한 기계적 일의 양을 의미한다.^[38]

역사적으로, 에너지 보존 법칙은 열의 일당량에 의해 뒷받침되었다. 에너지 보존 법칙이 발견될 당시, 앙투안 라부아지에의 칼로릭 이론과는 달리 열이 역학적인 일로 변할 수 있다는 것을 보여주는 예이기 때문이다.

열과 일의 관계를 발견하기 위한 시도는 벤자민 톰슨(럼퍼드 백작)에서부터 시작되었다. 그는 포신의 앞부분을 물속에 넣고 회전하는 굴대에 연결하여 포신 앞쪽의 드릴로 쇠를 깎아 내는 작업을 했다. 얼마 후 열이 발생하고 수 시간 뒤에는 물이 끓기 시작하는 것을 발견하였다. 그는 이 결과를 통해 열을 ‘칼로릭’이라는 물질의 흐름으로 생각한 라부아지에의 이론을 부정하고 열이 운동과 관련이 있다고 설명했다.^[81]

벤자민 톰슨이 열이 운동과 관련이 있다는 새로운 시각을 제공했다면, 독일의 내과의사 로베르트 율리우스 마이어는 에너지가 보존된다는 근본적인 개념을 제시했다. 그는 동물의 체온에 대한 이론과 몸이 기계적인 일을 한다는 것을 결합시켜 몸속의 연소반응이 열과 일을 발생시킨다고 결론지었다. 이 결론과 운동이 마찰을 통해 열을 만든다는 것을 종합하여 운동과 열은 서로 전환 가능하다는 생각으로 발전되었다. 그는 철학적 추론으로 유물론과 대비되는 자신의 생각을 더욱 발전시켜 열의 일당량 값을 추측하고 “소멸되지 않고 변환 가능하면서 무게가 없는 실제”라고 언급된 에너지 개념을 소개했다.

마이어의 추론이 경험적 근거가 부족하고 사변적 추론에 의존했다면, 영국의 줄은 열의 일당량을 정밀하게 측정했다. 그의 실험 장비는 끈의 한쪽 끝에는 추가 달려있고 반대쪽 끝은 물레방아의 축에 감겨있는 상태에서 중력에 의해 정해진 거리만큼 추가 내려오면 물레방아가 물을 휘저으며 일을 하는 형태였다. 이론적으로는 추의 무게와 추가 내려온 거리로부터 추가 한 일의 양을 측정할 수 있고, 물의 양과 증가한 온도를 재서 발생한 열의 양을 측정할 수 있다. 다만 이 실험에서 발생하는 열량이 매우 적어 사람의 체온이나 미세한 주변 환경의 변동에도 측정값이 영향을 받을 수 있다는 점이 줄이 실험을 조작했을 수 있다는 의문을 가지게 한다.^[82]

에너지 보존 법칙이 확고하게 자리 잡은 오늘날에는 열의 일당량이 정밀하게 측정되었다. 에너지와 일, 열을 재는 과학적 단위는 ‘줄’로 통합되었고 J라고 표기하며, 1줄은 1g의 물을 0.24도 높이는데 필요한 에너지에 해당한다.

수식으로는 다음과 같이 표시할 수 있다.

::$W\; =\; JQ\backslash ,\backslash !$

여기서 W는 일, Q는 열량, J는 열의 일당량을 뜻한다.

4. 열역학 제1법칙

열역학 제1법칙은 에너지 보존 법칙을 열역학적 관점에서 설명한 것이다. 1850년 루돌프 클라우지우스가 정립했으며, 닫힌 계에서 내부 에너지 변화는 계에 가해진 열과 계가 한 일의 차이와 같다는 것을 의미한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; U\; =\; Q\; -\; W\; \backslash ,\backslash !$ 또는 $\backslash Delta\; U\; =\; Q\; +\; W\; \backslash ,\backslash !$

(W 앞의 부호는 일의 정의에 따라 달라질 수 있다.)

열역학 제1법칙은 제1종 영구기관이 불가능하다는 것을 보여준다.^[67][68] 19세기 이전에는 열과 역학이 서로 다른 현상으로 여겨졌지만, 19세기에 들어서 J.R.마이어, 줄 등의 연구를 통해 열과 역학적 일이 동등하며 서로 변환될 수 있다는 것이 밝혀졌다.

마이어는 1842년에 역학적 에너지 보존 법칙을 제시하였고,^[71] 1850년에는 열의 일당량 개념을 도입한 논문을 발표했다. 그는 밀폐된 용기 속 수소 기체를 가열하는 실험을 통해 "열이란 압력에 저항하여 부피를 증가시키는 능력"이며, 이는 곧 "일을 하는 능력"이라고 결론 내렸다.

줄은 1842년에 마이어와 유사한 실험을 고안했지만, 열에너지를 통해 일을 계산하는 방식으로 접근했다. 그는 추가 떨어지면서 물속의 교반기를 회전시키는 장치를 통해 위치에너지가 운동에너지로, 다시 열에너지로 변환되는 과정을 관찰했다. 줄의 실험은 열이 에너지의 한 형태이며, 에너지의 총량은 변하지 않는다는 것을 증명했다.^[72]

열역학 제 1법칙은 에너지 보존의 법칙을 열역학적인 관점에서 서술한 것으로 볼 수 있으며 수식적 표현은 다음과 같다.^[72]

::$\backslash Delta\; U\; =\; Q\; -\; W\; \backslash ,\backslash !$ or $\backslash Delta\; U\; =\; Q\; +\; W\; \backslash ,\backslash !$

W앞에 마이너스 기호와 플러스 기호를 둘다 사용하는 이유는 때때로 편의에 따라 일의 정의를 달리하여 기호를 반대로 표시하기도 하기 때문이다. 여기서 Q는 계에 제공된 열을 의미하며, 복사의 형태로 전달된다. 대류는 기체나 액체의 직접적인 운동을 통해 전달되는 것이고, 전도는 분자 수준의 접촉을 통해 에너지 전달이 일어나는 것이며, 복사는 뜨거운 물체가 강한 전자기파를 방출하면서 에너지를 전달하는 것이다.

극소한 변화에 대해서는

:: $dU\; =\; dQ\; -\; dW\; \backslash ,\backslash !$

식이 성립한다. 여기서 dQ와 dW가 Q와 W의 변화량이 아닌 극미량을 뜻한다는 점에 주의해야 한다. Q와 W의 변화량은 아무런 의미가 없다. 다시 말해서 Q와 W는 다른 변수의 함수 꼴로 나타나지 않으며 경로의존적인 적분 값을 가지게 된다.

5. 역학적 에너지 보존 법칙

고전역학에서 역학적 에너지 보존 법칙은 위치 에너지와 운동 에너지의 합이 일정하게 유지된다는 것을 의미한다. 뉴턴 운동 법칙의 제2법칙으로부터 유도될 수 있으며, 보존력(위치에너지로 표현 가능한 힘)이 작용하는 경우에 성립한다.^[83]

일 입자계의 경우, 입자에 작용하는 힘 $\backslash boldsymbol\{F\}(\backslash boldsymbol\{r\}(t),t)$가 포텐셜 $V(\backslash boldsymbol\{r\}(t))$을 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash boldsymbol\{F\}(\backslash boldsymbol\{r\}(t),t)\; =\; -\backslash nabla\; V(\backslash boldsymbol\{r\}(t))\; +\; \backslash boldsymbol\{f\}(t)$

이때 뉴턴 역학의 운동의 제2법칙은 다음과 같다.

:$m\backslash frac\{d^2\backslash boldsymbol\{r\}\}\{dt^2\}(t)=-\backslash nabla\; V(\backslash boldsymbol\{r\}(t))\; +\; \backslash boldsymbol\{f\}(t).$

여기서,

• $m$은 질량
• $\backslash boldsymbol\{r\}$은 입자의 위치
• $t$는 시간
• 나블라 $\backslash nabla$와 포텐셜 $V$의 곱 $\backslash nabla\; V$는 포텐셜의 기울기

• \left\{\frac{1}{2}m\left|\frac{d\boldsymbol{r}(t_1)}{dt}\right|^2 + V(\boldsymbol{r}(t_1))\right\}

• 힘:

• 운동방정식:

• \left\{V(\{\boldsymbol{r}_i(t_1)\}) + \sum_{i=1}^N \left(\frac{1}{2}m_i\left|\frac{d\boldsymbol{r}_i(t_1)}{dt}\right|^2 \right)\right\}.

6. 뇌터 정리와 에너지 보존 법칙

에미 뇌터가 1915년에 증명하고 1918년에 발표한 뇌터 정리는 자연계에 대칭성이 있으면 그에 상응하는 보존량이 존재하고, 그 역도 성립한다는 것을 수학적으로 보여준다.^[54][55][56] 이 정리에서 에너지 보존 법칙은 '''시간 병진 대칭성'''(시간이 흘러도 물리 법칙이 변하지 않는 성질)에 대응하는 보존량으로 설명된다.^[57]

예를 들어, 오늘 실험을 하든 내일 실험을 하든 동일한 조건에서는 같은 결과가 나와야 한다. 이것이 시간 병진 대칭성이다. 뇌터 정리에 따르면, 어떤 계가 시간 변화에 대해 대칭적이라면 그 계의 에너지는 보존된다.

만약 어떤 계가 외부와의 상호작용 때문에 시간 변환 대칭성을 갖지 않더라도, 더 큰 계를 고려하면 항상 시간 변환 대칭성을 확보할 수 있다. 따라서 뇌터 정리에 따르면, 전 우주적인 에너지는 보존된다고 해석할 수 있다.

뇌터 정리는 에너지 보존 법칙을 '대칭성'이라는 자연의 근본적인 성질로 이해하게 해주었고, 물리학 이론의 중요한 토대가 되었다. 특히 현대 물리학에서는 에너지 보존 법칙을 해석할 때 뇌터 정리를 활용한다.

7. 상대성 이론과 에너지 보존 법칙

아인슈타인의 특수 상대성 이론에 따르면, 에너지는 에너지-운동량 4-벡터의 구성 요소이다. 에너지와 운동량은 각각 4-벡터의 한 성분으로 개별적으로 보존된다. 이는 주어진 관성 기준틀에서 닫힌 계에서 시간에 따라 변하지 않는다. 또한, 이 벡터의 길이(민코프스키 노름)는 단일 입자의 경우 정지 질량이며, 입자 시스템의 경우 불변 질량으로 보존된다.^[79][80]

단일 질량 입자의 상대론적 에너지는 운동 에너지 외에 정지 질량에 의한 에너지를 포함한다. 질량이 있는 입자의 운동 에너지가 0이거나, 물체 또는 시스템의 운동량의 중심 좌표계에서 총 에너지(내부 운동 에너지 포함)는 정지 질량 또는 불변 질량에 비례하며, 이는 $E=mc^2$ 방정식으로 나타낼 수 있다.

따라서 특수 상대성 이론에서 에너지 보존 법칙은 관찰자의 기준틀이 변하지 않는 한 유효하다. 시스템의 총 에너지는 관찰자에 따라 다를 수 있지만, 각 관찰자에게 그 값은 시간에 따라 변하지 않는다. 또한, 모든 관찰자에게 보존되고 불변인 것은 에너지-운동량 관계에 의해 정의되는 불변 질량으로, 모든 관찰자가 볼 수 있는 최소 시스템 질량 및 에너지이다.

상대성 이론에서 에너지 보존 법칙은 에너지 개념을 확장하여 유지된다. 에너지는 질량 형태의 에너지까지 포함하여 보존되며, 질량 자체가 곧 에너지이므로 질량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙은 본질적으로 같은 법칙이다. 이로써 과학의 두 가지 큰 법칙인 질량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙이 하나로 통합되어 더욱 견고한 토대를 이루게 되었다.

8. 양자역학과 에너지 보존 법칙

양자역학에서, 양자계의 에너지는 자기 수반 연산자인 해밀토니안으로 설명되며, 이는 시스템의 힐베르트 공간에 작용한다.^[65] 해밀토니안이 시간에 무관한 연산자라면, 측정 결과의 발생 확률은 시간에 따라 변하지 않는다. 따라서 에너지의 기대값도 시간 독립적이다. 양자장론에서 국소적 에너지 보존은 에너지-운동량 텐서 연산자에 대한 양자 뇌터 정리에 의해 보장된다. 에너지 보존은 양자 시스템의 정상적인 유니타리 진화에 의해 보존된다.^[66]

하지만 비유니타리 본 규칙이 적용될 때, 시스템의 에너지는 시스템이 에너지 고유 상태에 있지 않았다면 기대값보다 낮거나 높은 에너지를 가지고 측정된다. 거시적 시스템의 경우, 이 효과는 일반적으로 측정하기에는 너무 작다.^[29] 이 에너지 격차의 처리는 잘 이해되지 않는다. 대부분의 물리학자들은 측정 과정에서 에너지가 거시적인 환경으로 전달되거나 전달된다고 생각하는 반면,^[30][31][32] 다른 사람들은 관측 가능한 에너지가 단지 "평균적으로" 보존된다고 생각한다. 양자역학에서 에너지 보존 원칙의 위반에 대한 결정적인 증거로 확인된 실험은 없지만, 제안된 일부 최신 실험에서 양자역학에서 에너지 보존 원칙의 위반에 대한 증거를 찾을 수 있다는 것을 배제하지 않는다.^[31]

오르보와 같은 영구 기관의 맥락에서, 에릭 애쉬 교수는 BBC에서 "에너지 보존을 부정하는 것은 과학의 작은 부분뿐만 아니라 전체 구조를 붕괴시킬 것입니다. 우리가 현대 세계를 건설한 모든 기술은 폐허가 될 것입니다."라고 주장했다. 에너지 보존 법칙 때문에 "우리는 특정 장치의 세부 사항을 조사하지 않고도 오르보가 작동할 수 없다는 것을 알고 있습니다."^[33]

에너지 보존은 약 200년 동안 기본적인 물리 법칙으로 자리 잡아왔다. 현대 일반 상대성 이론의 관점에서 볼 때, 실험실 환경은 에너지 보존이 정확하게 이루어지는 민코프스키 시공간으로 잘 근사될 수 있다. 지구 전체는 다시 에너지가 정확하게 보존되는 슈바르츠실트 계량으로 잘 근사될 수 있다. 모든 실험적 증거를 고려할 때, 새로운 이론 (예: 양자 중력)은 성공하기 위해 지상 실험에서 에너지가 항상 정확하게 보존되는 것처럼 보이는 이유를 설명해야 할 것이다.^[34] 일부 추측성 이론에서는 양자 역학에 대한 수정 사항이 현재 테라전자볼트(TeV) 수준의 입자 가속기를 통해 감지할 수 있을 정도로 작다. 이중 특수 상대성 이론 모델은 충분히 에너지가 높은 입자의 에너지-운동량 보존 법칙의 붕괴를 주장할 수 있다. 이러한 모델은 수십억 년 동안 이상한 비보존 현상을 보이지 않고 이동하는 것으로 보이는 우주선의 관찰에 의해 제약을 받는다.^[35] 양자 역학의 일부 해석은 관찰된 에너지가 파동 함수의 국소화로 인해 본 규칙이 적용될 때 증가하는 경향이 있다고 주장한다. 만약 사실이라면, 물체는 자발적으로 가열될 것으로 예상될 수 있다. 따라서 이러한 모델은 크고 차가운 천문학적 물체의 관찰뿐만 아니라 (종종 과냉각된) 실험실 실험의 관찰에 의해 제약을 받는다.^[36]

밀턴 A. 로스만은 에너지 보존 법칙이 핵물리학 실험에 의해 1000조 분의 1 (10¹⁵)의 정확도로 검증되었다고 썼다. 그는 이 법칙의 정밀도를 "모든 실용적인 목적에 완벽하다"고 정의했다.^[37]

양자역학에서도 에너지 보존 법칙은 엄밀하게 성립한다. 닫힌 계의 에너지를 나타내는 연산자는 고전역학의 해밀토니안에 해당하는 연산자 $\backslash hat\{H\}$이다.^[66] 외부 계와의 상호 작용이 없는 고립계를 생각하면, 해밀토니안 $\backslash hat\{H\}$에는 명시적인 시간 의존성이 없으므로 에너지 보존 법칙이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\backslash hat\{H\}\}\{\backslash partial\; t\}=0\; ~\backslash Rightarrow~$

\frac{d}{dt}\left\langle\psi\right\vert\hat{H}\left\vert\psi\right\rangle=0.

9. 현대적 응용 및 한국의 관점

에너지 보존 법칙은 현대 사회에서 에너지 효율을 높이고, 신재생에너지를 개발하며, 기후 변화에 대응하는 등 다양한 문제를 해결하는 데 중요한 이론적 기반이 된다. 특히 한국은 에너지 자원이 부족하고 에너지 소비 밀도가 높아 에너지 효율 향상과 신재생에너지 개발이 매우 중요한 과제이다. 따라서 에너지 보존 법칙은 한국의 에너지 정책 수립과 기술 개발에 핵심적인 고려 사항이다.^[67][68]

19세기 이전에는 열과 역학이 독립적인 현상으로 여겨졌으나, 19세기에 들어 열과 역학적 일이 동등하다는 것이 증명되면서 에너지 보존 법칙이 정식화되었다. 이는 자연 현상의 통일성을 보여주는 중요한 발견이었다.^[69][70]

고트프리트 라이프니츠는 활력의 보존 원리를 통해 역학적 과정에서 활력이 보존된다고 주장했다.^[71] 이후 요한 베르누이는 완전탄성운동에서 활력 개념을 체계적으로 설명했고, 캐번디쉬는 활력 보존 원리를 열 교환 문제에 적용했다.

19세기 초, 에워트는 석탄 연소 시 발생하는 열과 역학적 능력 사이의 정량적 관계를 추측했다. 1820년대에는 역학적 일의 개념이 강조되면서 역학적 에너지의 척도로 사용되었고, 이는 상호변환과정의 정량적 기초가 되었다.

1842년 율리우스 로베르트 폰 마이어는 역학적 에너지 보존 법칙을 제시하고, 열의 일당량 개념을 통해 열과 일의 관계를 설명했다.^[72] 제임스 줄은 마이어와 유사한 실험을 통해 열에너지를 계산하고, 에너지 형태가 변해도 총량은 보존됨을 증명했다.^[73]

1840년대에는 여러 물리학자와 엔지니어들이 열과 일 사이의 정량적 동등성을 밝히고, 열의 일 해당량을 계산했다. 이를 통해 에너지 보존 원리가 명확해지고 실험적 검증과 수학적 개념화가 가능해졌다.

헤르만 폰 헬름홀츠는 1847년 에너지 보존 법칙을 자연계 일반 법칙으로 주장하고, <힘의 보존에 관하여>에서 수학적 정식화를 제시했다.^[75][76] 그는 생리학 연구를 바탕으로 에너지 보존 원리를 유기체에도 적용하려 했으며, 생기력 개념을 배격하고 모든 힘이 일정하다는 법칙을 주장했다.^[77][78]

20세기에는 중성자 발견과 알베르트 아인슈타인의 질량-에너지 등가 원리를 통해 질량과 에너지가 상호 전환될 수 있음이 밝혀지면서, 에너지 보존 법칙은 질량-에너지 보존 법칙으로 확장되었다.

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