대수적 조합론
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1. 개요
대수적 조합론은 조합론적 방법과 대수적 방법의 상호 작용을 연구하는 수학 분야이다. 1970년대 후반에 용어가 도입되었으며, 1991년 미국 수학회는 수학 주제 분류에 대수적 조합론(05E)을 추가했다. 주요 연구 대상으로는 대칭 함수, 결합 도식, 강한 정규 그래프, 영 타블로, 매트로이드, 유한 기하학 등이 있다. 대칭 함수는 변수의 순열에 불변인 다항식이며, 결합 도식은 특정 호환성 조건을 만족하는 이항 관계의 모음이다. 강한 정규 그래프는 정규 그래프의 일종이며, 영 타블로는 표현론에서 사용되는 조합론적 대상이다. 매트로이드는 선형 독립의 개념을 일반화하며, 유한 기하학은 유한한 수의 점을 다루는 기하학이다.
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| 대수적 조합론 | |
|---|---|
| 대수적 조합론 | |
| 분야 | 수학, 조합론 |
| 연구 대상 | 대수적 구조를 갖는 조합론적 대상 |
| 관련 분야 | 대수학, 기하학, 확률론, 위상수학 |
2. 역사
"대수적 조합론"이라는 용어는 1970년대 후반에 도입되었다. 1990년대 초중반까지 대수적 조합론의 주요 연구 대상은 결합 체계, 강한 정규 그래프, 군 작용이 있는 부분 순서 집합과 같이 많은 대칭을 가지거나, 대칭 함수, 영 타블로와 같이 표현 이론에서 기원한 풍부한 대수적 구조를 갖는 조합 객체였다. 이 시기는 1991년 미국 수학회(AMS) 수학 주제 분류에 05E(대수적 조합론)가 추가되면서 반영되었다.
대수적 조합론은 조합론적 방법과 대수적 방법의 상호 작용이 특히 강력하고 중요한 수학 분야로 더 광범위하게 여겨지게 되었다. 조합론적 측면에서는 열거적이거나 매트로이드, 다포체, 부분 순서 집합, 유한 기하학을 포함할 수 있다. 대수적인 측면에서는 군론과 표현론 외에도 격자 이론 및 가환대수가 일반적으로 사용된다.
대수적 조합론의 중요한 주제는 다음과 같다.
3. 범위
4. 중요한 주제
4. 1. 대칭 함수
대칭 함수 환은 ''n''이 무한대로 갈 때 ''n'' 불확정에서 대칭 다항식의 환의 특정 극한이다. 이 환은 대칭 다항식 사이의 관계가 불확정수의 ''n''과 독립적인 방식으로 표현될 수 있는 보편적인 구조 역할을 한다(그러나 그 요소는 다항식도 함수도 아니다). 무엇보다도 이 환은 대칭군의 표현론에서 중요한 역할을 한다.
4. 2. 결합 도식
결합 도식은 특정 호환성 조건을 만족하는 이항 관계의 모음이다. 결합 도식은 조합적 설계 및 부호론과 같은 여러 주제에 대한 통합적 접근 방식을 제공한다. 대수학에서 결합 도식은 군을 일반화하며, 결합 도식 이론은 군의 선형 표현에 대한 지표 이론을 일반화한다.
4. 3. 강한 정규 그래프
강한 정규 그래프 ''G'' = ( ''V'', ''E'' )는 정점 ''v'' 와 차수가 ''k'' 인 정규 그래프이다. 강한 정규 그래프는 다음 조건을 만족하는 정수 λ 및 μ를 갖는다.
이러한 종류의 그래프는 때때로 srg( ''v'', ''k'', λ, μ)라고 한다.
일부 저자는 정의를 자명하게 충족하는 그래프, 즉 하나 이상의 동일한 크기의 완전 그래프 및 그 여 그래프인 튜란 그래프의 분리된 합집합인 그래프를 제외한다.
4. 4. 영 타블로
영 타블로(pl.: ''tableaux'')는 표현론과 슈베르트 미적분학에서 유용한 조합적 대상이다. 대칭군 및 일반 선형군의 군 표현을 설명하고 성질을 연구하는 편리한 방법을 제공한다. 영 타블로는 1900년 캠브리지 대학의 수학자 알프레드 영에 의해 소개되었다. 그런 다음 1903년 게오르그 프로베니우스의 대칭군 연구에 적용되었다. 영 타블로 이론은 Percy MacMahon, WVD Hodge, G. de B. Robinson, Gian-Carlo Rota, Alain Lascoux, Marcel-Paul Schützenberger 및 Richard P. Stanley를 포함한 많은 수학자에 의해 더욱 발전되었다.
4. 5. 매트로이드
매트로이드는 선형 공간에서 선형 독립의 개념을 일반화하는 구조이다. 매트로이드를 정의하는 동등한 방법이 많이 있으며, 가장 중요한 개념들은 독립 집합, 기저, 회로, 닫힌 집합 또는 평면, 폐포 연산자 및 랭크 함수 등이다.
매트로이드 이론은 선형 대수학 및 그래프 이론의 용어에서 광범위하게 차용하는데, 주로 이 분야에서 중심적으로 중요한 다양한 개념의 추상화이기 때문이다. 메트로이드들은 기하학, 위상수학, 조합 최적화, 네트워크 이론 및 부호론에서 응용을 찾았다.
4. 6. 유한 기하학
유한 기하학은 유한한 수의 점을 다루는 기하학이다. 익숙한 유클리드 기하학은 유한하지 않은데, 유클리드 직선은 무한히 많은 점을 포함하기 때문이다. 화소가 점으로 간주되는 컴퓨터 화면에 표시되는 그래픽을 기반으로 하는 기하학은 유한 기하학이다. 유한 기하학이라고 부를 수 있는 많은 시스템이 있지만 규칙성과 단순성 때문에 유한 사영 공간과 아핀 공간에 주로 주의를 기울인다. 유한 기하학의 다른 중요한 유형은 유한 뫼비우스 또는 반전 평면과 라게르 평면이며, 이는 벤츠 평면이라고 하는 일반적인 유형의 예이고, 더 높은 유한 반전기하학과 같은 고차원 아날로그이다.
유한 기하학은 선형 대수학을 통해 구성될 수 있으며, 유한체 위의 선형 공간에서 시작한다. 이렇게 구성된 아핀 평면과 사영 평면을 갈루아 기하학이라고 한다. 유한 기하학은 순전히 공리적으로 정의될 수도 있다. 가장 일반적인 유한 기하학은 갈루아 기하학인데, 3차원 이상의 모든 유한 사영 공간은 유한체 위의 사영 공간(즉, 유한체 위의 벡터 공간의 사영화)과 동형 사상이기 때문이다. 그러나 2차원에는 갈루아 기하학과 동형 사상이 아닌 아핀 평면과 사영 평면, 즉 비데자르그 평면이 있다. 다른 종류의 유한 기하학에도 유사한 결과가 적용된다.
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