등급 대수

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1. 개요

등급 대수는 가환환 K, 모노이드 (N, ⋅), 각 n에 대한 K-가군 An, 그리고 A 위의 K-결합 대수 구조로 정의된다. 이 구조는 A_mA_n ⊆ A_mn과 φ(K) ⊆ A_1을 만족해야 하며, A를 N 등급을 갖는 등급 대수라고 한다. 특히 정수환 Z 위의 단위 결합 대수는 등급환이라고 불린다. 등급의 종류가 주어지지 않으면 N = ℕ으로 간주하며, 등급이 Z/2인 경우 초대수라고 한다. 등급환은 덧셈군의 직합으로 분해되는 환이며, R_mR_n ⊆ R_(m+n)을 만족한다. 등급 대수의 원소는 동차 원소와 비동차 원소로 구분되며, 등급 대수 준동형은 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 등급 대수는 직합, 텐서곱, 등급의 망각, 무관 아이디얼 등의 연산을 갖는다. 등급 대수는 코호몰로지 환, 미분 형식 공간, 모노이드 환 등 다양한 예시를 가지며, G-등급 환으로 일반화될 수 있다. 반가환 구조를 갖는 등급 대수도 존재하며, 힐베르트-푸앵카레 급수와 힐베르트 함수는 등급 가군의 불변량을 나타낸다. 등급 모노이드는 멱급수 환과 자유 모노이드와 관련이 있다.

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등급 대수
정의
유형	대수 구조
정의	RᵢRⱼ ⊆ Rᵢ₊ⱼ
예시	ℤ
관련 항목
관련 항목	차수
관련 항목	차수환
관련 항목	차수 리 대수

2. 정의

등급 대수

'''등급 대수'''는 다음과 같은 데이터로 정의된다.

가환환 $K$
모노이드 $(N,\cdot)$
각 $n\in N$ 에 대하여, $K$ -가군 $A_n$ . 편의상 $\textstyle A=\bigoplus_{n\in N}A_n$ 로 표기한다.
$A$ 위의 $K$ -결합 대수 구조

이 구조는 다음 두 조건을 만족시킨다.

$A_mA_n\subseteq A_{mn}\qquad(\forall m,n\in N)$
$\phi(K)\subseteq A_1$

이 경우,

A

를

N

등급을 가진 등급 대수라고 한다.

K=\mathbb Z

(정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로,

\mathbb Z

위의 등급 대수는 '''등급환'''(等級環, graded ring^영어)이라고 한다.

일반적으로 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우

N=\mathbb N

(음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이

\mathbb Z/2

(2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 '''초대수'''(超代數, superalgebra^영어)라고 부르기도 한다.

등급환은 다음의 직합으로 분해되는 환이다.

:

R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots

덧셈군의, 이러한 조건을 만족한다.

:

R_mR_n \subseteq R_{m+n}

모든 음이 아닌 정수

m

과

n

에 대해.

R_n

의 영이 아닌 원소는 ''차수'' 의 ''동차''라고 한다. 직합의 정의에 따라,

R

의 모든 영이 아닌 원소

a

는

a=a_0+a_1+\cdots +a_n

의 합으로 유일하게 쓸 수 있으며, 여기서 각

a_i

는 0이거나 차수 의 동차이다. 영이 아닌

a_i

는 의 ''동차 성분''이다.

몇 가지 기본 속성은 다음과 같다.

$R_0$ 는 의 부분환이다. 특히, 곱셈 항등원 $1$ 은 차수 0의 동차 원소이다.
모든 $n$ 에 대해, $R_n$ 는 양쪽 -가군이며, 직합 분해는 -가군의 직합이다.
$R$ 은 결합 -대수이다.

아이디얼

I\subseteq R

은 모든 에 대해

a

의 동차 성분도 에 속하는 경우 ''동차''이다. (동등하게, 의 등급 부분 가군인 경우; 참조.) 동차 아이디얼

I

와

R_n

의 교집합은 의 차수

n

의 ''동차 부분''이라고 하는 -부분 가군이다. 동차 아이디얼은 그 동차 부분의 직합이다.

만약

I

가 의 양쪽 동차 아이디얼이면,

R/I

도 다음과 같이 분해되는 등급환이다.

:

R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,

여기서

I_n

은 의 차수

n

의 동차 부분이다.

A = \bigoplus_{i\in \mathbb N_0}A_i = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots

를 등급 환이라고 하자.

$A_0$ 는 ''A''의 부분환이다.^[2]
$A_+ = \bigoplus_{i\in \mathbb N_+}A_i = A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots$ 는 $A$ 의 아이디얼이 된다.
각 $A_i$ 는 $A_0$ -가군이다.^[2]
가환 $\mathbb{N}_0$ -등급 환 $A=\bigoplus_{i \in \mathbb{N}_0} A_i$ 가 네이터 환인 것은, $A_0$ 가 네이터적이고 ''A''가 $A_0$ 위의 대수로서 유한 생성일 때, 그리고 그 때에 한한다.^[3]

분해의 임의의 인자

A_i

의 원소는 차수 ''i''의 '''제차원'''(homogeneous elements)이라고 불린다. 아이디얼이나 다른 부분 집합

\mathfrak{a}

⊂ ''A''가 '''제차'''(homogeneous)라는 것은 다음을 만족하는 것이다. 임의의 원소 ''a'' ∈

\mathfrak{a}

에 대해, 모든 ''a_i''를 제차원으로 하여 ''a=a₁+a₂+...+a_n''일 때, 모든 ''a_i''가

\mathfrak{a}

의 원소이다. 주어진 ''a''에 대해, 이 제차원은 유일하게 정의되며, ''a''의 '''제차 부분'''(homogeneous parts)이라고 불린다.

''I''가 ''A''의 제차 아이디얼이라면,

A/I

도 등급 환이며, 다음 분해를 가진다.

:

A/I = \bigoplus_{i \in \mathbb{N}_0}(A_i + I)/I

임의의 (등급이 없는) 환 ''A''는 ''A''₀ = ''A'' 및 ''i'' > 0에 대해 ''A''_''i'' = 0으로 함으로써 등급화할 수 있다. 이것은 ''A''의 '''자명한 등급화'''(trivial gradation)라고 불린다.

가환환 K 위의, 모노이드 N 등급의 두 등급 대수 A, B 사이의 등급 대수 준동형(graded-algebra homomorphism^영어)

f\colon A\to B

은 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

:

\deg f(a)=\deg a\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}

이에 따라, K 위의 N등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

:

\operatorname{grAlg}_{K,N}

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형

\phi\colon M\to N

및 K 위의 M등급 대수 A와 N등급 대수 B가 주어졌을 때,

\phi

위의 등급 대수 준동형

f\colon A\to B

은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

:

\deg f(a)=\phi(\deg a)\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}

2. 1. 동급 원소

등급 대수

A

의 원소

a\in A

는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

만약

a\in A_n

인

n\in N

이 존재할 경우

a

를 '''동급 원소'''(同級, homogeneous element^영어)라고 한다. 만약

a\ne0

이라면 이는 유일하며,

n

을

a

의 '''등급'''이라고 한다. 이는 보통

\deg A

로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)

만약

a\in A_n

인

n

이 존재하지 않을 경우

a

를 '''비동급 원소'''(inhomogeneous element^영어)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

2. 2. 준동형

가환환 K 위의, 모노이드 N 등급의 두 등급 대수 A, B 사이의 등급 대수 준동형(graded-algebra homomorphism^영어)

f\colon A\to B

은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

:

\deg f(a)=\deg a\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}

즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, K 위의 N등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

:

\operatorname{grAlg}_{K,N}

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형

\phi\colon M\to N

및 K 위의 M등급 대수 A와 N등급 대수 B가 주어졌을 때,

\phi

위의 등급 대수 준동형

f\colon A\to B

은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

:

\deg f(a)=\phi(\deg a)\qquad\forall n\in N,\;a\in A_n\setminus\{0\}

3. 성질

가환 모노이드 $(N,+,0)$ 가 추가로 가환 반환의 구조 $(N,+,\cdot,0,1)$ 를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

: $\sigma\colon(N,+,0)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)$

만약 $(N,+)$ -등급 $K$ -대수 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $K$ 가 '''등급 가환 대수'''(graded-commutative algebra^영어)라고 한다.

: $ab=\sigma(mn)ba\qquad\forall a\in A_m,\;b\in A_n$

만약 $K$ 의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, $+1=-1$ 이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

가환환 $K$ 와 모노이드 $N$ , $N'$ 이 주어졌을 때, $N$ -등급 $K$ -대수 $A$ 및 $N'$ -등급 $K$ -대수 $A'$ 의 직합(direct sum) $A\oplus A'$ 은 다음과 같은 $N\times N'$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -가군으로서 $A\oplus A'$ 은 가군의 직합이다.

$(A\oplus A')_{n,n'}=A_n\oplus A'_{n'}$

$(a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A')$

가환환 $K$ 와 가환 모노이드 $(N,+)$ 이 주어졌을 때, $N$ -등급 $K$ -대수 $A$ , $A'$ 의 텐서곱(tensor product^영어) $A\otimes_KA'$ 은 다음과 같은 $N$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱이다.
$(A\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A'$

보다 일반적으로,

N

이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우

(N,+)

-등급

K

-대수

A

에 대하여

:

A_mA_n\subseteq A_{m+n}

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

:

\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두

(N,+)

-등급

K

-대수

A

,

A'

에 대하여 등급 텐서곱(graded tensor product^영어)

A\hat\otimes_KA'

은 다음과 같은

N

-등급

K

-대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\hat\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱 $A\otimes_KA'$ 이다.
$(A\hat\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=\sigma(m,n)(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a\in A,\;b\in A_m,\;a'\in A'_n,\;b'\in A'$

이는 흔히

N=\mathbb Z

또는

N=\mathbb N

또는

N=\mathbb Z/2

이며,

:

\sigma\colon n\mapsto (-1)^n

인 경우 사용된다.

두 등급 가환

\mathbb Z/2

-등급

K

-대수

A

,

A'

이 주어졌을 때, 등급 텐서곱

A\hat\otimes_KA'

역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱

A\otimes_KA'

는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

가환환

K

위의 모노이드

N

등급을 갖는 등급 대수

(A_n)_{n\in N}

와 모노이드 준동형

q\colon N\to \tilde N

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

(A_n)_{n\in N}

에서 등급 구조를 망각하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

A_{\tilde n}=\bigoplus_{n\in q^{-1}(\tilde n)}A_n

이에 따라

\bigoplus_{\tilde n\in\tilde N}A_{\tilde n}

은

\tilde N

-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

\operatorname{grAlg}_{K,N}\to\operatorname{grAlg}_{K,\tilde N}

를 정의한다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수

(A_n)_{n\in\mathbb N}

는

\mathbb N\to\mathbb Z/2

를 통해 등급을 망각하여 초대수

(A_n)_{n\in\mathbb Z/2}

로 만들 수 있다.

가환환

K

위의, 자연수 등급의 등급 대수

A=(A_n)_{n\in\mathbb N}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

A_+=\bigoplus_{n>0}A_n

은

A

의 아이디얼을 이룬다. 이 아이디얼을 '''무관 아이디얼'''(無關ideal, irrelevant ideal^영어)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

:

A/A_+\cong A_0

:

a+A_+\mapsto a\qquad\forall a\in A_0

4. 연산

등급 대수에서 정의되는 다양한 연산들을 다룬다.
텐서곱가환환 $K$ 와 가환 모노이드 $(N,+)$ 가 주어졌을 때, $N$ -등급 $K$ -대수 $A$ , $A'$ 의 텐서곱 $A\otimes_KA'$ 은 다음과 같은 $N$ -등급 $K$ -대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱이다.
$(A\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A'$

일반적으로,

N

이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우

(N,+)

-등급

K

-대수

A

에 대하여

:

A_mA_n\subseteq A_{m+n}

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

:

\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두

(N,+)

-등급

K

-대수

A

,

A'

에 대하여 등급 텐서곱(graded tensor product^영어)

A\hat\otimes_KA'

은 다음과 같은

N

-등급

K

-대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\hat\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱 $A\otimes_KA'$ 이다.
$(A\hat\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=\sigma(m,n)(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a\in A,\;b\in A_m,\;a'\in A'_n,\;b'\in A'$

이는 흔히

N=\mathbb Z

또는

N=\mathbb N

또는

N=\mathbb Z/2

이며,

:

\sigma\colon n\mapsto (-1)^n

인 경우 사용된다.

두 등급 가환

\mathbb Z/2

-등급

K

-대수

A

,

A'

이 주어졌을 때, 등급 텐서곱

A\hat\otimes_KA'

역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱

A\otimes_KA'

는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.
등급의 망각가환환

K

위의 모노이드

N

등급을 갖는 등급 대수

(A_n)_{n\in N}

와 모노이드 준동형

q\colon N\to \tilde N

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

(A_n)_{n\in N}

에서 등급 구조를 망각하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

A_{\tilde n}=\bigoplus_{n\in q^{-1}(\tilde n)}A_n

이에 따라

\bigoplus_{\tilde n\in\tilde N}A_{\tilde n}

은

\tilde N

-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

\operatorname{grAlg}_{K,N}\to\operatorname{grAlg}_{K,\tilde N}

를 정의한다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수

(A_n)_{n\in\mathbb N}

는

\mathbb N\to\mathbb Z/2

를 통해 등급을 망각하여 초대수

(A_n)_{n\in\mathbb Z/2}

로 만들 수 있다.
무관 아이디얼가환환

K

위의, 자연수 등급의 등급 대수

A=(A_n)_{n\in\mathbb N}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

A_+=\bigoplus_{n>0}A_n

은

A

의 아이디얼을 이룬다. 이 아이디얼을 '''무관 아이디얼'''(irrelevant ideal^영어)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

:

A/A_+\cong A_0

:

a+A_+\mapsto a\qquad\forall a\in A_0

4. 1. 직합

가환환

K

와 모노이드

N

,

N'

이 주어졌을 때,

N

-등급

K

-대수

A

및

N'

-등급

K

-대수

A'

의 직합(direct sum)

A\oplus A'

은 다음과 같은

N\times N'

-등급

K

-대수이다.

K

-가군으로서

A\oplus A'

은 가군의 직합이다.

(A\oplus A')_{n,n'}=A_n\oplus A'_{n'}

(a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A')

4. 2. 텐서곱

가환환

K

와 가환 모노이드

(N,+)

이 주어졌을 때,

N

-등급

K

-대수

A

,

A'

의 텐서곱(tensor product^영어)

A\otimes_KA'

은 다음과 같은

N

-등급

K

-대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱이다.
$(A\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a,b\in A,\;a',b'\in A'$

보다 일반적으로,

N

이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우

(N,+)

-등급

K

-대수

A

에 대하여

:

A_mA_n\subseteq A_{m+n}

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

:

\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두

(N,+)

-등급

K

-대수

A

,

A'

에 대하여 등급 텐서곱(graded tensor product^영어)

A\hat\otimes_KA'

은 다음과 같은

N

-등급

K

-대수이다.

$K$ -텐서곱으로서 $A\hat\otimes_KA'$ 은 가군의 텐서곱 $A\otimes_KA'$ 이다.
$(A\hat\otimes_KA')_n=\bigoplus_{n_1,n_2\in N\colon n_1+n_2=n}A_n\otimes_KA'_n$
$(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=\sigma(m,n)(ab)\otimes(a'b')\qquad\forall a\in A,\;b\in A_m,\;a'\in A'_n,\;b'\in A'$

이는 흔히

N=\mathbb Z

또는

N=\mathbb N

또는

N=\mathbb Z/2

이며,

:

\sigma\colon n\mapsto (-1)^n

인 경우 사용된다.

두 등급 가환

\mathbb Z/2

-등급

K

-대수

A

,

A'

이 주어졌을 때, 등급 텐서곱

A\hat\otimes_KA'

역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱

A\otimes_KA'

는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

4. 3. 등급의 망각

가환환

K

위의 모노이드

N

등급을 갖는 등급 대수

(A_n)_{n\in N}

와 모노이드 준동형

q\colon N\to \tilde N

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

(A_n)_{n\in N}

에서 등급 구조를 망각하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

A_{\tilde n}=\bigoplus_{n\in q^{-1}(\tilde n)}A_n

이에 따라

\bigoplus_{\tilde n\in\tilde N}A_{\tilde n}

은

\tilde N

-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

\operatorname{grAlg}_{K,N}\to\operatorname{grAlg}_{K,\tilde N}

를 정의한다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수

(A_n)_{n\in\mathbb N}

는

\mathbb N\to\mathbb Z/2

를 통해 등급을 망각하여 초대수

(A_n)_{n\in\mathbb Z/2}

로 만들 수 있다.

4. 4. 무관 아이디얼

가환환

K

위의, 자연수 등급의 등급 대수

A=(A_n)_{n\in\mathbb N}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

A_+=\bigoplus_{n>0}A_n

은

A

의 아이디얼을 이룬다. 이 아이디얼을 '''무관 아이디얼'''(無關ideal, irrelevant ideal^영어)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

:

A/A_+\cong A_0

:

a+A_+\mapsto a\qquad\forall a\in A_0

5. 예

등급 대수의 예시는 다양하며, 여러 수학적 대상에서 찾아볼 수 있다.

위상 공간 $X$ 의 코호몰로지 환 $\operatorname H^\bullet(X)$ 은 코호몰로지류의 차수에 따라 자연수 등급을 갖는 등급환이다.
매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 공간 $\Omega^\bullet(M)$ 은 차수에 따라 자연수 등급을 갖는 $\mathbb R$ -등급 대수이다. 특히, 미분 형식의 외미분은 차수가 1인 사상의 예시이다.
모노이드 $M$ 에 대한 모노이드 환은 $M$ 등급을 갖는 등급환이다.
클리퍼드 대수는 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 등급을 갖는 등급 대수이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 텐서 대수 $\operatorname T(M;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty M^{\otimes_Kn}$ 는 $\mathbb N$ -등급 $K$ -대수이며, 이 경우 $\operatorname T_n(M;K)=M^{\otimes_Kn}$ 이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 외대수 $\Lambda(M;K)=\operatorname T(M;K)/(m^2)_{m\in M}$ 는 $\mathbb N$ -등급 $K$ -대수이다.
가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 대칭 대수 $\operatorname{Sym}(M;K)=\operatorname T(M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}$ 는 $\mathbb N$ -등급 $K$ -대수이다. 특히, 가환환 $K$ 위의 다항식환 $K[x_1,...,x_n]$ 은 $\mathbb N$ -등급 $K$ -대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 $A_n$ 들은 (0을 포함한) $n$ 차 동차다항식들의 집합과 같다.

(비등급) 링 ''R''은 로 설정하고, ''i'' ≠ 0에 대해

R_i=0

으로 설정하여 등급을 매길 수 있다. 이를 ''R''에 대한 '''자명한 등급'''이라고 한다.

다항식환

R = k[t_1, \ldots, t_n]

은 차수에 의해 등급이 매겨진다. 즉, 차수가 ''i''인 동차 다항식으로 구성된

R_i

의 직합이다.

''S''를 등급 정역 ''R''에 있는 모든 영이 아닌 동차 원소의 집합이라고 하자. 그러면 ''S''에 대한 ''R''의 국소화는

\Z

-등급 환이다.

''I''가 가환환 ''R''의 아이디얼이면,

\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n/I^{n+1}

는 ''I''를 따른 ''R''의 연관 등급 환이라고 하는 등급 환이다. 기하학적으로, 이는 ''I''에 의해 정의된 부분다양체를 따라 정규 원뿔의 좌표환이다.

등급 가군 $M$과 $N$ 사이의 등급 사상(graded morphism)은 각 차수를 보존하는 가군 준동형 사상 $f: M \to N$이다. 즉, 모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $f(M_n) \subseteq N_n$을 만족해야 한다. 등급 사상 $f: M \to N$의 핵은

\ker(f) = \{m \in M \mid f(m) = 0\}

으로 정의되며, 이는 $M$의 등급 부분 가군이 된다. 상은

\operatorname{im}(f) = \{f(m) \mid m \in M\}

으로 정의되며, 이는 $N$의 등급 부분 가군이 된다. 등급환 $A$에서 다른 등급환 $B$로의 사상 $\phi: A \to B$가 주어졌을 때, $B$는 $A$를 통해 등급 대수의 구조를 가질 수 있다. 등급 가군의 꼬임 연산

M(n)

은 등급 가군

M

의 차수를

n

만큼 이동시키는 연산이다.

등급이 매겨진 벡터 공간 사이의 선형 사상

f: V \to W

가 주어졌을 때,

V

의 동차 원소

v

의 차수는

f(v)

의 차수에서

v

의 차수를 뺀 값으로 정의된다. 특히,

V

에서

W

로 가는 차수

d

의 선형 사상은

V_n

을

W_{n+d}

로 보낸다.

6. 등급 가군

환론에서 '''등급 가군'''은 등급환 ''R'' 위의 왼쪽 가군 ''M''으로, 다음 조건을 만족한다.

: $M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,$

: $R_iM_j \subseteq M_{i+j}$

모든 와 에 대해 성립한다.

예를 들어, 등급 벡터 공간은 (자명한 등급을 갖는) 체 위의 등급 가군이다. 등급환은 자기 자신 위의 등급 가군이며, 등급환의 아이디얼은 균질 일 때만 등급 부분 가군이다. 등급 가군의 소멸자는 균질 아이디얼이다. 가환환 ''R''의 아이디얼 ''I''와 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, 직합 $\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n M/I^{n+1} M$ 은 연관된 등급환 $\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}$ 위의 등급 가군이다.

등급 가군 $f: N \to M$ 의 '''등급 사상''' 또는 '''등급 준동형 사상'''은 등급을 보존하는 기본 가군의 준동형 사상이다. 즉, 이다. '''등급 부분 가군'''은 그 자체로 등급 가군이며 집합론적 포함이 등급 가군의 사상인 부분 가군이다. 명시적으로, 등급 가군 ''N''이 ''M''의 등급 부분 가군이라는 것은 ''M''의 부분 가군이고 를 만족하는 것과 동치이다. 등급 가군 사상의 핵과 상은 등급 부분 가군이다.

등급환에서 중심에 있는 상을 갖는 다른 등급환으로의 등급 사상을 주는 것은 후자 환에 등급 대수의 구조를 주는 것과 같다.

등급 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $M$ 의 $\ell$ -꼬임은 $M(\ell)_n = M_{n+\ell}$ 로 정의되는 등급 가군이다 (대수 기하학의 세르의 꼬임층 참고).

''M''과 ''N''을 등급 가군이라고 하자. $f\colon M \to N$ 이 가군의 사상인 경우, 만약 $f(M_n) \subseteq N_{n+d}$ 이면 ''f''는 차수 ''d''를 갖는다고 한다. 미분 기하학에서 미분 형식의 외미분은 차수 1을 갖는 이러한 사상의 한 예이다.

등급이 매겨진 벡터 공간 사이의 선형 사상 $f: V \to W$가 주어졌을 때, $V$의 동차 원소 $v$의 차수는 $f(v)$의 차수에서 $v$의 차수를 뺀 값으로 정의된다. 즉, $\deg(f(v)) = \deg(f) + \deg(v)$. 특히, $V$에서 $W$로 가는 차수 $d$의 선형 사상은 $V_n$을 $W_{n+d}$로 보낸다.

미분 형식의 외미분은 차수가 1인 사상이다.

6. 1. 등급 사상

등급 가군 $M$과 $N$ 사이의 등급 사상(graded morphism)은 각 차수를 보존하는 가군 준동형 사상 $f: M \to N$이다. 즉, 모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $f(M_n) \subseteq N_n$을 만족해야 한다.

등급 부분 가군(graded submodule)은 가군 $M$의 부분 가군 $N$으로, 각 차수 성분의 교집합으로 표현될 수 있는 부분 가군이다. 즉, $N = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} (N \cap M_n)$을 만족한다.

등급 사상 $f: M \to N$의 핵(kernel)은 $\ker(f) = \{m \in M \mid f(m) = 0\}$으로 정의되며, 이는 $M$의 등급 부분 가군이 된다. 상(image)은 $\operatorname{im}(f) = \{f(m) \mid m \in M\}$으로 정의되며, 이는 $N$의 등급 부분 가군이 된다.

등급환 $A$에서 다른 등급환 $B$로의 사상 $\phi: A \to B$가 주어졌을 때, $B$는 $A$를 통해 등급 대수(graded algebra)의 구조를 가질 수 있다. 이는 스칼라 곱셈을 $a \cdot b = \phi(a)b$로 정의함으로써 얻어진다.

등급 가군의 꼬임(twisting) 연산 $M(n)$은 등급 가군 $M$의 차수를 $n$만큼 이동시키는 연산이다. 즉, $M(n)_i = M_{n+i}$로 정의된다.

6. 2. 차수가 있는 사상

등급이 매겨진 벡터 공간 사이의 선형 사상 $f: V \to W$가 주어졌을 때, $V$의 동차 원소 $v$의 차수는 $f(v)$의 차수에서 $v$의 차수를 뺀 값으로 정의된다. 즉, $\deg(f(v)) = \deg(f) + \deg(v)$.

특히, $V$에서 $W$로 가는 차수 $d$의 선형 사상은 $V_n$을 $W_{n+d}$로 보낸다.
예시: 미분 형식의 외미분. 미분 형식의 외미분은 차수가 1인 사상이다.

7. 등급 가군의 불변량

가환 등급환 R 위의 등급 가군 M에 대한 불변량을 다룬다. M의 각 등급 성분 M_i는 유한 생성 R₀-가군이다. R₀가 뇌터 환이면 M_i는 유한 생성 R₀-가군이라는 조건은 M이 뇌터 R-가군이라는 조건과 동치이다.

등급 가환환 ''A'' 위의 등급 가군 ''M''이 주어졌을 때, 형식적 멱급수 $P(M, t) \in \mathbb{Z}[\![t]\!]$ 을 연관시킬 수 있다.

: $P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n$

( $\ell(M_n)$ 은 유한하다고 가정한다.) 이는 ''M''의 힐베르트-푸앵카레 급수라고 불린다.

등급 가군은 가군으로서 유한 생성일 때 유한 생성이라고 한다. 유한 개의 원소로 생성되는 등급이 매겨진 가군을 유한 생성 등급 가군이라고 하며, 생성원은 균질 원소여야 한다. 생성원은 제차 부분으로 바꿈으로써 제차로 취할 수 있다.

만약 ''R''이 다항식환 이고, ''k''는 체이며, ''M''이 그 위의 유한 생성 등급 가군이라고 하자. 이때 함수 $n \mapsto \dim_k M_n$ 는 ''M''의 힐베르트 함수라고 불린다. 힐베르트 함수는 충분히 큰 ''n''에 대해 ''M''의 힐베르트 다항식이라고 불리는 정수값 다항식과 일치한다.

7. 1. 힐베르트-푸앵카레 급수

등급 가환환 A 위의 등급 가군 M이 주어졌을 때, 형식적 멱급수

P(M, t) \in \mathbb{Z}[\![t]\!]

을 연관시킬 수 있다.

:

P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n

(

\ell(M_n)

은 유한하다고 가정한다.) 이는 M의 힐베르트-푸앵카레 급수라고 불린다.

등급 가군은 가군으로서 유한 생성일 때 유한 생성이라고 한다. 생성원은 제차 부분으로 바꿈으로써 제차로 취할 수 있다.

k를 체, A를 다항식환

k[x_0, \dots, x_n]

, M을 A 위 유한 생성 등급 가군이라고 하자. 이때 함수

n \mapsto \dim_k M_n

는 M의 힐베르트 함수라고 불린다. 이 함수는 충분히 큰 n에 대해 M의 정수값 다항식과 일치한다.

7. 2. 유한 생성 가군

유한 개의 원소로 생성되는 등급이 매겨진 가군을 유한 생성 등급 가군이라고 한다. 여기서 생성원은 균질 원소여야 한다.

등급이 매겨진 환 R에 대한 유한 생성 등급 가군 M은 다음과 같은 성질을 갖는다.

M의 각 등급 성분 M_i는 유한 생성 R₀-가군이다.
충분히 큰 i에 대해 M_i = 0이다.

만약 R₀가 뇌터 환이면 M_i는 유한 생성 R₀-가군이라는 조건은 M이 뇌터 R-가군이라는 조건과 동치이다.

7. 3. 힐베르트 함수와 다항식

등급 가환환 A 위의 등급 가군 M이 주어졌을 때, 형식적 멱급수 P(M, t) ∈ Zt을 연관시킬 수 있다.

:P(M, t) = Σℓ(M_n) tⁿ

(ℓ(M_n)은 유한하다고 가정한다.) 이는 M의 힐베르트-푸앵카레 급수라고 불린다.

등급 가군은 가군으로서 유한 생성일 때 유한 생성이라고 한다. 생성원은 제차 부분으로 바꿈으로써 제차로 취할 수 있다.

k를 체, A를 다항식환 k[x₀, ..., x_n], M을 A 위 유한 생성 등급 가군이라고 하자. 이때 함수 n ↦ dim_k M_n는 M의 힐베르트 함수라고 불린다. 이 함수는 충분히 큰 n에 대해 M의 힐베르트 다항식이라고 불리는 정수값 다항식과 일치한다.

8. G-등급 환과 대수

G-등급 환과 대수

임의의 모노이드 ''G''를 지수 집합으로 사용하여 등급을 매기는 환으로 일반화할 수 있다. '''''G''-등급 환''' ''R''은 다음과 같은 직합 분해를 갖는 환이다.

: $R = \bigoplus_{i\in G}R_i$

다음 조건을 만족한다.

: $R_i R_j \subseteq R_{i \cdot j}.$

어떤 $i \in G$ 에 대해 $R_i$ 안에 있는 ''R''의 원소들은 '''등급''' ''i''의 '''동차'''라고 한다.

이전에 정의된 "등급 환"의 개념은 이제 $\N$ -등급 환과 동일하게 되며, 여기서 $\N$ 은 덧셈 아래의 자연수 모노이드이다. 등급 가군 및 대수에 대한 정의도 지수 집합 $\N$ 을 임의의 모노이드 ''G''로 대체하여 이러한 방식으로 확장할 수 있다.

환에 항등원을 요구하지 않는 경우 반군이 모노이드를 대체할 수 있다.

군은 자연스럽게 해당 군환을 등급화한다. 마찬가지로, 모노이드 환은 해당 모노이드에 의해 등급화된다. 초대수는 $\Z_2$ -등급 대수의 또 다른 용어이다. 예시로는 클리포드 대수가 있다. 여기서 동차 원소는 차수가 0(짝수) 또는 1(홀수)이다.

초가환 대수(때로는 '''왜-가환 결합 고리''')는 반가환 $(\Z, \varepsilon)$ -등급 대수와 동일하며, 여기서 $\varepsilon$ 는 $\Z/2\Z$ 의 가산 구조의 자기 준동형 사상이다.

외대수는 $(\Z, \varepsilon)$ 구조에 대해 등급이 매겨진 반가환 대수의 예이며, 여기서 $\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z$ 는 몫 사상이다.

9. 반가환성

일부 등급환(또는 대수)은 반가환 구조를 갖는다. 이 개념은 등급의 모노이드에서 $\Z/2\Z$ 의 덧셈 모노이드로의 준동형사상을 필요로 한다. 특히, '''부호 모노이드'''는 $(\Gamma, \varepsilon)$ 쌍으로 구성되며, 여기서 $\Gamma$ 는 모노이드이고 $\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z$ 는 덧셈 모노이드의 준동형사상이다. '''반가환 $\Gamma$ -등급환'''은 다음을 만족하는 $\Gamma$ 에 대해 등급이 매겨진 환 ''A''이다.

: $xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,$

모든 동차원소 ''x''와 ''y''에 대해.

일부 등급 대수 (또는 결합 대수)는 반가환성 구조를 갖는다. 이 개념은 등급화의 모노이드에서 두 원소로 구성된 체 '''Z'''/2'''Z'''의 가법적 모노이드로의 준동형 사상을 요구한다. 구체적으로, '''부호 모노이드'''는 쌍 (Γ, ε)로 구성된다. 여기서 Γ는 모노이드이고 ε : Γ → '''Z'''/2'''Z'''는 가법적 모노이드의 준동형 사상이다. '''반가환 Γ-등급 환'''은 Γ에 의해 등급화된 환 ''A''이며 다음을 만족한다.

: 모든 제차 원소 ''x''와 ''y''에 대해, $xy = (-1)^{\varepsilon(\deg x)\,\varepsilon(\deg y)} yx$

9. 1. 예시

외대수는

(\Z, \varepsilon)

구조에 대해 등급이 매겨진 반가환 대수의 예이며, 여기서

\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z

는 몫 사상이다.

슈퍼가환 대수 (때로는 '''왜-가환 결합 고리''')는 반가환

(\Z, \varepsilon)

-등급 대수와 동일하며, 여기서

\varepsilon

는

\Z/2\Z

의 가산 구조의 자기 준동형 사상이다.

외대수는 반가환 대수의 예이다. 구조 ('''Z'''_{≥ 0}, ε)에 의해 차수 부여가 이루어지며, 여기서 ε: '''Z''' → '''Z'''/2'''Z'''는 몫 사상이다.

초가환 대수('''비가환 결합 환'''이라고도 불림)는 반가환 ('''Z'''/2'''Z''', ε)-차수 대수와 동일하며, 여기서 ε는 '''Z'''/2'''Z'''의 가법적 구조에 대한 항등자기 준동형 사상이다.

10. 등급 모노이드

등급 모노이드는 가환환 $\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n$ 의 부분 집합으로, 덧셈 부분을 사용하지 않고 $R_n$ 에 의해 생성된다. 즉, 등급 모노이드의 원소 집합은 $\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n$ 이다.^[1]

형식적으로, 등급 모노이드는 모노이드 $(M,\cdot)$ 이며, $\phi:M\to\mathbb N_0$ 의 등급 함수가 있어 $\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')$ 가 성립한다. $1_M$ 의 등급은 반드시 0이다. 일부 저자는 ''m''이 항등원이 아닐 때 $\phi(m)\ne 0$ 일 것을 요구하기도 한다.

항등원이 아닌 원소의 등급이 0이 아니라고 가정하면, 등급 ''n''인 원소의 수는 모노이드의 생성 집합 ''G''의 기수 ''g''에 대해 최대 $g^n$ 이다. 따라서 등급 ''n'' 이하의 원소의 수는 최대 $n+1$ ( $g=1$ 인 경우) 또는 $\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$ 이다. 실제로, 각 원소는 ''G''의 최대 ''n''개의 원소의 곱이며, 이러한 곱은 $\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$ 개만 존재한다. 마찬가지로, 항등원은 두 개의 항등원이 아닌 원소의 곱으로 쓸 수 없다. 즉, 이러한 등급 모노이드에는 단위 약수가 없다.

알파벳 A 위 단어들의 자유 모노이드는 등급 모노이드로 간주될 수 있으며, 여기서 단어의 등급은 단어의 길이이다.

10. 1. 멱급수 환

이러한 개념을 통해 형식적 멱급수 환의 개념을 확장할 수 있다. 지수 집합이

\mathbb N

대신에, 각 정수 ''n''에 대해 차수 ''n''의 원소의 수가 유한하다는 가정 하에, 지수 집합은 임의의 등급 모노이드가 될 수 있다. 노비코프 링도 참조.

좀 더 형식적으로,

(K,+_K,\times_K)

를 임의의 반환이라 하고

(R,\cdot,\phi)

를 등급 모노이드라고 하자. 그러면

K\langle\langle R\rangle\rangle

는 ''R''에 의해 지수화된, ''K''의 계수를 갖는 멱급수의 반환을 나타낸다. 그 원소는 ''R''에서 ''K''로의 함수이다. 두 원소

s,s'\in K\langle\langle R\rangle\rangle

의 합은 점별로 정의되며,

m\in R

을

s(m)+_Ks'(m)

로 보내는 함수이고, 곱은

m\in R

을 무한 합

\sum_{p,q \in R \atop p \cdot q=m}s(p)\times_K s'(q)

로 보내는 함수이다. 이 합은 각 ''m''에 대해 (''p'', ''q'') 쌍의 수가 유한하며 ''pq'' = ''m''이므로, 올바르게 정의된다(즉, 유한하다).

10. 2. 자유 모노이드

형식 언어 이론에서, 주어진 알파벳 A에 대해, A 위 단어들의 자유 모노이드는 등급 모노이드로 간주될 수 있으며, 여기서 단어의 등급은 단어의 길이이다.

참조

_[1] 서적 Elements of automata theory Cambridge University Press
_[2] 서적
_[3] 서적

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