몫공간

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1. 개요

몫공간은 위상 공간 X와 그 위의 동치 관계 ~가 주어졌을 때, 몫집합 X/~에 정의되는 위상 공간을 의미한다. 몫위상은 열린 집합 또는 닫힌 집합을 통해 정의되며, 표준 사영을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 몫공간은 몫사상, 다각형 표시, 뿔, 붙임 공간 등 다양한 개념과 연결되어 있으며, 분리 공리, 연결성, 콤팩트성, 차원 등 다른 위상 개념과의 관계를 가진다.

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몫공간
몫공간 (위상수학)
정의	위상 공간 X와 X 위의 동치 관계 ~가 주어졌을 때, 몫공간 X/~는 X의 동치류들의 집합이며, 몫사상 q: X → X/~에 의해 유도되는 몫 위상을 갖는다.
예시
원판에서 구면 만들기	단위 원판 D²의 경계에 있는 모든 점들을 하나의 점으로 동일시하면 구면 S²을 얻을 수 있다.
구간에서 원 만들기	단위 구간 [0, 1]의 양 끝점을 동일시하면 원 S¹을 얻을 수 있다.
정사각에서 원환면 만들기	단위 정사각형 [0, 1]×[0, 1]의 한 쌍의 반대쪽 변을 동일한 방향으로 붙이면 원통을 얻고, 이 원통의 나머지 한 쌍의 변을 붙이면 원환면을 얻을 수 있다.
정사각에서 클라인 병 만들기	단위 정사각형 [0, 1]×[0, 1]의 한 쌍의 반대쪽 변을 동일한 방향으로 붙이고, 나머지 한 쌍의 변을 반대 방향으로 붙이면 클라인 병을 얻을 수 있다.
추가 정보
참고	몫 공간은 위상수학에서 중요한 개념이며, 다양한 위상 공간을 구성하는 데 사용된다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 와 그 위의 동치 관계 $\sim$ 이 주어졌을 때, 몫집합 $X/\mathord\sim$ 위의 '''몫위상'''과 '''몫사상'''은 다음과 같이 정의된다.

몫위상은 표준 사영 $X\to X/\mathord\sim$ 을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 이는 임의의 위상 공간 $Y$ 및 함수 $f\colon X/\mathord\sim\to Y$ 에 대하여, $f$ 가 연속 함수인 것과 $f\circ[-]_\sim\colon X\to Y$ 가 연속 함수인 것을 동치로 만드는 유일한 $X/\mathord\sim$ 위의 위상이다.

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 전사 함수 $q\colon X\to Y$ 가 있을 때, $q$ 를 '''몫사상'''이라 한다.

몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 몫공간 $X/\mathord\sim$ 에 대하여 표준 사영 $X\to X/\mathord\sim$ 은 몫사상이다. 몫사상 $q\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, $X$ 위에 동치 관계 $\stackrel q\sim$ 을 정의하면, $Y$ 는 몫공간 $X/\mathord{\stackrel q\sim}$ 과 위상 동형이다.

$X$ 를 위상 공간, $\sim$ 을 $X$ 에 대한 동치 관계라고 할 때, 몫집합 $Y = X/{\sim}$ 은 $X$ 원소들의 동치류 집합이다. $x \in X$ 의 동치류는 $[x]$ 로 표기한다. $Y$ 의 구성은 표준적인 전사 함수 $q:X\ni x\mapsto[x]\in Y$ 를 정의한다. $q$ 는 몫 사상이며, $X/{\sim}$ 과 관련된 표준 몫 사상 또는 표준 투영 사상이라고 불린다. $\sim$ 하에서의 '''몫공간'''은 집합 $Y$ 에 '''몫 위상'''을 부여한 것이다.

$f : X \to Y$ 가 '''몫 사상'''(때로는 '''식별 사상'''이라고도 함)은 전사 함수이고 $Y$ 는 $f$ 에 의해 유도된 최종 위상을 갖는다. 모든 몫 사상은 연속적이지만 모든 연속 사상이 몫 사상인 것은 아니다.

$X$ 의 부분 집합 $S$ 가 어떤 집합 $T$ 에 대해 $S = f^{-1}(T)$ 의 형태인 경우 '''포화'''( $f$ 에 대해)라고 하며, 이는 $f^{-1}(f(S)) = S$ 인 경우와 같다. 할당 $T \mapsto f^{-1}(T)$ 는 $Y = f(X)$ 의 부분 집합 $T$ 와 $X$ 의 포화 부분 집합 사이에 일대일 대응을 설정한다. 전사 $f : X \to Y$ 는 모든 포화 집합 $S$ 에 대해 $X$ 에서 $S$ 가 열린 집합인 것은 $Y$ 에서 $f(S)$ 가 열린 집합인 경우와 같은 경우에 몫 사상이다.

$\tau$ 가 $X$ 에 대한 위상이고 $f : X \to Y$ 가 임의의 사상인 경우, $X$ 의 포화 부분 집합인 모든 $U \in \tau$ 의 집합 $\tau_f$ 는 $X$ 에 대한 위상을 형성한다.

'''섬유의 몫 공간 특성화'''

$X$ 에 대한 동치 관계 $\,\sim\,$ 이 주어지면, 점 $x \in X$ 의 동치류를 $[x] := \{z \in X : z \sim x\}$ 로 나타내고, $X /{\sim} := \{[x] : x \in X\}$ 는 동치류의 집합을 나타낸다. 점을 해당 동치류로 보내는 사상 $q : X \to X /{\sim}$ 를 표준 사상이라고 한다.

$X$ 가 위상 공간인 경우 $X /{\sim}$ 에 $q$ 에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면 몫 공간이 되고 $q : X \to X /{\sim}$ 가 몫 사상이 된다. 동형사상(homeomorphism)까지, 이 구조는 모든 몫 공간을 나타낸다.

$f : X \to Y$ 를 위상 공간 사이의 전사라고 하고, 모든 $a, b \in X$ 에 대해 $a \,\sim\, b$ 인 것은 $f(a) = f(b)$ 인 경우와 같다고 선언하면 $\,\sim\,$ 는 모든 $x \in X$ 에 대해 $[x] = f^{-1}(f(x))$ 인 $X$ 에 대한 동치 관계이며, $f([x])$ 의 고유한 원소를 $\hat{f}([x])$ 로 표시한다.

할당 $[x] \mapsto \hat{f}([x])$ 는 $f$ 의 섬유와 $Y$ 의 점 사이의 전단사 $\hat{f} : X /{\sim} \;\to\; Y$ 를 정의한다. 사상 $q : X \to X / {\sim}$ 을 정의하고, $X / {\sim}$ 에 $q$ 에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면(이로 인해 $q$ 는 몫 사상이 됨) 이 사상은 다음과 같이 관련된다.

: $f = \hat{f} \circ q \quad \text{ and } \quad q = \hat{f}^{-1} \circ f.$

$f : X \to Y$ 가 몫 사상인 것은 $\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y$ 가 동형사상인 경우와 같다.

2. 1. 몫위상

위상 공간

X

와 그 위의 동치 관계

{\sim}\subseteq X^2

가 주어졌을 때, 몫집합

X/\mathord\sim

위의 '''몫위상'''(-位相, quotient topology^영어)은 다음과 같이 정의된다.^[1]

(열린집합을 통한 정의) 부분 집합 $U\subseteq X/\mathord\sim$ 이 열린집합일 필요충분조건은 $[-]_\sim^{-1}(U)\subseteq X$ 가 $X$ 의 열린집합인 것이다. (여기서 $\textstyle[-]_\sim^{-1}(U)=\{x\in X\colon[x]_\sim\in U\}$ 는 $U$ 의 표준 사영 $X\to X/\mathord\sim$ 에 대한 원상이다.)
(닫힌집합을 통한 정의) 부분 집합 $F\subseteq X/\mathord\sim$ 이 닫힌집합일 필요충분조건은 $[-]_\sim^{-1}(F)\subseteq X$ 가 $X$ 의 닫힌집합인 것이다.

이 위상은 표준 사영

:

X\to X/\mathord\sim

을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 또한, 임의의 위상 공간

Y

및 함수

f\colon X/\mathord\sim\to Y

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 연속 함수이다.
$f\circ[-]_\sim\colon X\to Y$ 는 연속 함수이다.

X

가 위상 공간이고,

\sim

이

X

에 대한 동치 관계일 때, 몫집합

Y = X/{\sim}

은

X

원소들의 동치류 집합이다.

x \in X

의 동치류는

[x]

로 표기한다.

Y

의 구성은 표준적인 전사 함수

q:X\ni x\mapsto[x]\in Y

를 정의한다.

q

는 몫 사상이며, 일반적으로

X/{\sim}

과 관련된 표준 몫 사상 또는 표준 투영 사상이라고 불린다.

\sim

하에서의 '''몫공간'''은 집합

Y

에 '''몫 위상'''을 부여한 것이다. 몫 위상의 열린 집합은

U \subseteq Y

의 역상

q^{-1}(U)

가 열린 집합인 부분 집합들이다. 다시 말해,

\{ x \in X : [x] \in U \}

가

X

에서 열려 있으면

U

는

X / {\sim}

에 대한 몫 위상에서 열려 있다. 마찬가지로, 부분 집합

S \subseteq Y

가 닫힌 집합이면,

\{ x \in X : [x] \in S \}

는

X

에서 닫혀 있다.

몫 위상은 사상

x \mapsto [x]

에 대한 몫 집합의 극대 위상이다.

를 위상 공간으로 하고, """"를 위의 동치 관계로 한다. ~에 관한 동치류 전체로 이루어진 몫집합 위에 위상을 다음과 같이 정한다. 즉, 에 속하는 동치류로 이루어진 의 부분집합이 열린 집합이라는 것은, (그 동치류를 의 부분 집합으로 보았을 때) 그 합집합이 에서의 열린 집합이 되는 것으로 정의한다. 이것을 몫집합 위의 '''몫위상''' (quotient topology)이라고 부른다.

같은 내용이지만, 몫집합 위의 몫위상을 다음과 같이 특징지을 수도 있다. 를 의 각 원소를 그 원소가 속한 동치류로 사상시키는 표준 사영이라고 하면, 몫집합 위의 몫위상은 를 연속으로 만드는 최강의 위상 (가장 미세한 위상)이다.

위상 공간 에서 집합 로의 전사 가 주어졌을 때, 위에 ''f''를 연속으로 만드는 최강의 위상 (에 관한 종 위상)으로서 몫위상을 정의할 수 있다. 이것은, 의 부분 집합 가 열린 집합이라는 것을 에 의한 역상 가 의 열린 집합이 되는 것으로 정의한다고 해도 같은 의미이다. 사상 는 라고 놓음으로써 위의 동치 관계를 유일하게 유도하지만, 이 때의 몫공간 는 와 (각각의 몫위상을 생각하면) 위상 동형이다. 이 대응은 가 속한 동치류 를 상 로 사상시킴으로써 얻어진다.

일반적으로, 연속인 전사 는, 의 위상이 가 정하는 몫위상이 되어 있을 때, 몫 사상이라고 불린다. 따라서, 표준 사영 는 몫 사상이다.

2. 2. 몫사상

두 위상 공간

X

,

Y

사이의 전사 함수

q\colon X\to Y

가 다음 세 조건을 만족하면 '''몫사상'''(-寫像, quotient map^영어)이라고 한다.^[1]

$f$ 는 연속 함수이며, $U\subseteq Y$ 가 부분 집합이고 $q^{-1}(U)\subseteq X$ 가 열린집합이면, $U\subseteq Y$ 역시 열린집합이다.
$f$ 는 연속 함수이며, $F\subseteq Y$ 가 부분 집합이고 $q^{-1}(F)\subseteq X$ 가 닫힌집합이면, $F\subseteq Y$ 역시 닫힌집합이다.
임의의 위상 공간 $Z$ 및 함수 $f\colon Y\to Z$ 에 대하여, $f$ 가 연속 함수인 것과 $f\circ q\colon X\to Z$ 가 연속 함수인 것은 동치이다.

몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 몫공간

X/\mathord\sim

에 대하여, 표준 사영

X\to X/\mathord\sim

은 몫사상이다. 반대로, 몫사상

q\colon X\to Y

가 주어졌을 때,

X

위에 다음과 같은 동치 관계

\stackrel q\sim

을 정의할 수 있다.

:

x\stackrel q\sim x'\iff q(x)=q(x')\qquad\forall x,x'\in X

그러면

Y

는 몫공간

X/\mathord{\stackrel q\sim}

과 위상 동형이다.

X

를 위상 공간이라고 하고,

\sim

을

X

에 대한 동치 관계라고 할 때, 몫집합

Y = X/{\sim}

은

X

의 원소들의 동치류 집합이다.

x \in X

의 동치류는

[x]

로 표기한다.

Y

의 구성은 표준적인 전사 함수

q:X\ni x\mapsto[x]\in Y

를 정의한다.

q

는 몫 사상이며, 일반적으로

X/{\sim}

과 관련된 표준 몫 사상 또는 표준 투영 사상이라고 불린다.

\sim

하에서의 '''몫공간'''은 집합

Y

에 '''몫 위상'''을 부여한 것으로, 몫 위상의 열린 집합은

U \subseteq Y

의 역상

q^{-1}(U)

가 열린 집합인 그러한 부분 집합들이다. 즉,

\{ x \in X : [x] \in U \}

가

X

에서 열려 있으면

U

는

X / {\sim}

에 대한 몫 위상에서 열려 있다. 마찬가지로, 부분 집합

S \subseteq Y

가 닫힌 집합이면,

\{ x \in X : [x] \in S \}

는

X

에서 닫혀 있다.

몫 위상은 사상

x \mapsto [x]

에 대한 몫 집합의 극대 위상이다. 함수

f : X \to Y

가 '''몫 사상'''이 되려면 전사이고

Y

는

f

에 의해 유도된 최종 위상을 가져야 한다. 부분 집합

V \subseteq Y

가 열린(닫힌) 집합인 것은

f^{-1}(V)

가 열린(각각 닫힌) 집합인 경우와 같다. 모든 몫 사상은 연속적이지만 모든 연속 사상이 몫 사상인 것은 아니다.

X

의 부분 집합

S

는 어떤 집합

T

에 대해

S = f^{-1}(T)

의 형태인 경우 '''포화'''(

f

에 대해)라고 하며, 이는

f^{-1}(f(S)) = S

인 경우와 같다. 할당

T \mapsto f^{-1}(T)

는

Y = f(X)

의 부분 집합

T

와

X

의 포화 부분 집합 사이에 일대일 대응을 설정한다(그 역은

S \mapsto f(S)

임). 전사

f : X \to Y

는 모든 포화 집합

S

에 대해

X

에서

S

가 열린 집합인 것은

Y

에서

f(S)

가 열린 집합인 경우와 같은 경우에 몫 사상이다.

\tau

가

X

에 대한 위상이고

f : X \to Y

가 임의의 사상인 경우,

X

의 포화 부분 집합인 모든

U \in \tau

의 집합

\tau_f

는

X

에 대한 위상을 형성한다.

Y

도 위상 공간인 경우

f : (X, \tau) \to Y

는 몫 사상(각각, 연속)인 것은

f : \left(X, \tau_f\right) \to Y

에 대해서도 마찬가지인 경우와 같다.

'''섬유의 몫 공간 특성화'''

X

에 대한 동치 관계

\,\sim\,

이 주어지면, 점

x \in X

의 동치류를

[x] := \{z \in X : z \sim x\}

로 나타내고,

X /{\sim} := \{[x] : x \in X\}

는 동치류의 집합을 나타낸다. 점을 해당 동치류로 보내는 사상

q : X \to X /{\sim}

(즉, 모든

x \in X

에 대해

q(x) := [x]

로 정의됨)를 표준 사상이라고 한다. 이 사상은 전사 사상이며 모든

a, b \in X

에 대해

a \,\sim\, b

인 것은

q(a) = q(b)

인 경우와 같다. 결과적으로, 모든

x \in X

에 대해

q(x) = q^{-1}(q(x))

이다. 특히, 이는 동치류 집합

X /{\sim}

이 표준 사상

q

의 섬유 집합과 정확히 같다는 것을 보여준다.

X

가 위상 공간인 경우

X /{\sim}

에

q

에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면 몫 공간이 되고

q : X \to X /{\sim}

가 몫 사상이 된다. 동형사상(homeomorphism)까지, 이 구조는 모든 몫 공간을 나타낸다.

f : X \to Y

를 위상 공간 사이의 전사(아직 연속적이거나 몫 사상이라고 가정하지 않음)라고 하고, 모든

a, b \in X

에 대해

a \,\sim\, b

인 것은

f(a) = f(b)

인 경우와 같다고 선언하면

\,\sim\,

는 모든

x \in X

에 대해

[x] = f^{-1}(f(x))

인

X

에 대한 동치 관계이며, 이는

f([x])

(

f([x]) = \{ \,f(z)\, : z \in [x]\}

로 정의됨)가 싱글톤 집합임을 의미한다.

f([x])

의 고유한 원소를

\hat{f}([x])

로 표시한다(따라서 정의에 따라

f([x]) = \{ \,\hat{f}([x])\, \}

).

할당

[x] \mapsto \hat{f}([x])

는

f

의 섬유와

Y

의 점 사이의 전단사

\hat{f} : X /{\sim} \;\to\; Y

를 정의한다. 사상

q : X \to X / {\sim}

을 위와 같이(

q(x) := [x]

로) 정의하고,

X / {\sim}

에

q

에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면(이로 인해

q

는 몫 사상이 됨) 이 사상은 다음과 같이 관련된다.

:

f = \hat{f} \circ q \quad \text{ and } \quad q = \hat{f}^{-1} \circ f.

이 사실과

q : X \to X / {\sim}

가 몫 사상이라는 사실로부터

f : X \to Y

가 연속적인 것은

\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y

의 경우도 마찬가지인 경우와 같다. 또한,

f : X \to Y

가 몫 사상인 것은

\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y

가 동형사상인 경우와 같다.

연속인 전사 함수

f: X \to Y

는,

Y

의 위상이

f

가 정하는 몫위상이 되어 있을 때, 몫 사상이라고 불린다. 따라서, 표준 사영

q: X \to X/{\sim}

는 몫 사상이다.

'''세습적 몫 사상'''은 모든 부분 집합

T \subseteq Y

에 대해 제한

f\big\vert_{f^{-1}(T)} ~:~ f^{-1}(T) \to T

또한 몫 사상인 성질을 가진 전사 사상

f : X \to Y

이다.

3. 성질

몫공간과 몫사상은 여러 중요한 성질을 갖는다. 모든 몫사상은 전사 연속 함수이며, 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 모두 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수가 되는 것과 위상 동형 사상이 되는 것은 서로 필요충분조건이다. 콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 함수의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수는 모두 같은 개념이다. (이는 모든 연속 함수가 닫힌 함수이기 때문이다.)

$f : X \to Y$ 가 몫 사상이라는 것은 $f$ 가 전사이고 $Y$ 가 $f$ 에 의해 유도된 끝 위상을 갖는다는 것을 의미한다. 이는 부분 집합 $V \subseteq Y$ 가 열린(닫힌) 집합인 것과 $f^{-1}(V)$ 가 $X$ 에서 열린(닫힌) 집합인 것이 동치라는 의미이다. 모든 몫 사상은 연속이지만, 모든 연속 사상이 몫 사상인 것은 아니다.

$X$ 의 부분 집합 $S$ 가 어떤 집합 $T$ 에 대해 $S = f^{-1}(T)$ 형태일 때, $S$ 를 포화 ( $f$ 에 대해)라고 한다. 이는 $f^{-1}(f(S)) = S$ 인 경우와 같다. 사상 $T \mapsto f^{-1}(T)$ 는 $Y = f(X)$ 의 부분 집합 $T$ 와 $X$ 의 포화 부분 집합 사이에 일대일 대응을 설정한다 (그 역은 $S \mapsto f(S)$ ). 전사 함수 $f : X \to Y$ 는 $X$ 의 모든 포화 집합 $S$ 에 대해 " $S$ 가 $X$ 에서 열린 집합인 것"과 " $f(S)$ 가 $Y$ 에서 열린 집합인 것"이 동치일 때 몫 사상이다.

$\tau$ 가 $X$ 에 대한 위상이고 $f : X \to Y$ 가 임의의 사상일 때, $X$ 의 포화 부분 집합인 모든 열린 집합 $U \in \tau$ 의 집합 $\tau_f$ 는 $X$ 에 대한 위상을 형성한다. $Y$ 도 위상 공간인 경우, $f : (X, \tau) \to Y$ 가 몫 사상(또는 연속)인 것은 $f : \left(X, \tau_f\right) \to Y$ 가 몫 사상(또는 연속)인 것과 동치이다.

$X$ 에 대한 동치 관계 $\sim$ 이 주어지면, 점 $x \in X$ 의 동치류를 $[x] := \{z \in X : z \sim x\}$ 로 나타내고, $X /{\sim} := \{[x] : x \in X\}$ 는 동치류들의 집합을 나타낸다. 점을 해당 동치류로 보내는 사상 $q : X \to X /{\sim}$ (즉, 모든 $x \in X$ 에 대해 $q(x) := [x]$ 로 정의됨)를 표준 사상(canonical map)이라고 한다. 이 사상은 전사 사상이며 모든 $a, b \in X$ 에 대해 " $a \sim b$ "인 것은 " $q(a) = q(b)$ "인 것과 동치이다. $X$ 가 위상 공간인 경우, $X /{\sim}$ 에 $q$ 에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면 몫 공간이 되고 $q : X \to X /{\sim}$ 는 몫 사상이 된다.

$f : X \to Y$ 를 위상 공간 사이의 전사 함수(연속적이거나 몫 사상이라고 가정하지 않음)라고 하고, 모든 $a, b \in X$ 에 대해 " $a \sim b$ "인 것은 " $f(a) = f(b)$ "인 것과 같다고 선언하면, $\sim$ 는 $X$ 에 대한 동치 관계가 된다. 이때 모든 $x \in X$ 에 대해 $[x] = f^{-1}(f(x))$ 이다. 사상 $[x] \mapsto \hat{f}([x])$ 는 $f$ 의 섬유와 $Y$ 의 점 사이에 전단사 $\hat{f} : X /{\sim} \;\to\; Y$ 를 정의한다. 사상 $q : X \to X / {\sim}$ 을 $q(x) := [x]$ 로 정의하고, $X / {\sim}$ 에 $q$ 에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면 $q$ 는 몫 사상이 된다. 이 사상들은 다음 관계를 만족한다.

: $f = \hat{f} \circ q \quad \text{ and } \quad q = \hat{f}^{-1} \circ f.$

$q : X \to X / {\sim}$ 가 몫 사상이라는 사실로부터, " $f : X \to Y$ 가 연속"인 것은 " $\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y$ 가 연속"인 것과 동치이다. 또한, " $f : X \to Y$ 가 몫 사상"인 것은 " $\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y$ 가 동형사상"인 것과 동치이다.

3. 1. 함의 관계

모든 전사 연속 함수는 몫사상이며, 모든 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수일 필요충분조건은 위상 동형 사상이다. 콤팩트 공간

X

에서 하우스도르프 공간

Y

로 가는 함수

X\to Y

의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수의 개념이 서로 동치이다. (이는 모든 연속 함수

X\to Y

가 닫힌 함수이기 때문이다.)

두 몫사상

f\colon X\to Y

와

g\colon Y\to Z

의 합성

g\circ f\colon X\to Z

는 몫사상이다.

몫사상

q : X \to Y

은 다음 속성에 의해 전사 사상 중에서 특징지어진다. 만약

Z

가 임의의 위상 공간이고

f : Y \to Z

가 임의의 함수라면,

f

가 연속 함수인 것은

f \circ q

가 연속 함수인 것과 동치이다.

특히 상공간

X / \sim

과 자연스러운 전사

q : X \to X / \sim

는 다음의 보편성으로 특징지어진다.

$g : X \to Z$ 가 연속이고, $X$ 의 임의의 원 $a, b$ 에 대해 $a \sim b$ 이면 $g(a) = g(b)$ 를 만족시킨다면, 연속 사상 $f : X / \sim \to Z$ 로 $g = f \circ q$ 를 만족하는 것이 유일하게 존재한다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

두 몫사상

f\colon X\to Y

와

g\colon Y\to Z

의 합성

g\circ f\colon X\to Z

는 몫사상이다.

몫사상

f\colon X\to Y

및 연속 함수

h\colon X\to Z

에 대하여,

x,x'\in X

이고

f(x)=f(x')

이면 항상

h(x)=h(x')

인 경우,

f

와

h

를 통해 유일하게 정의되는 함수

\widetilde h\colon Y\to Z

(

\widetilde h\circ f=h

)는 연속 함수이다.^[1]

몫사상

q\colon X\to Y

및 부분 집합

A\subseteq Y

에 대하여, 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한

q\restriction(q^{-1}(A),A)\colon q^{-1}(A)\to A

는 몫사상이다.^[1]

$A\subseteq Y$ 는 열린집합이다.
$A\subseteq Y$ 는 닫힌집합이다.
$q$ 는 열린 함수이다.
$q$ 는 닫힌 함수이다.

몫사상

f\colon X\to Y

,

f'\colon X'\to Y'

에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수

f\times f'\colon X\times X'\to Y\times Y'

(

f\times f'\colon(x,x')\mapsto(f(x),f'(x'))

)는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 곱위상에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상

f\colon X\to Y

및 국소 콤팩트 공간

Z

에 대하여,

f\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z

는 (곱위상에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 콤팩트 생성 공간

X

,

Z

및 몫사상

f\colon X\to Y

에 대하여,

k(f\times\operatorname{id}_Z)\colon k(X\times Z)\to k(Y\times Z)

는 (콤팩트 생성 곱위상에 대하여) 몫사상이다.^[2]

3. 3. 끝 위상과의 관계

몫 위상은 표준 사영에 대한 끝 위상이다. 위상 공간

Y

가 위상 공간들의 집합

(X_i)_{i\in I}

및 함수들의 집합

(f_i\colon X_i\to Y)_{i\in I}

에 대한 끝 위상을 갖는다고 가정하자. 이는 위상합

:

X=\bigsqcup_{i\in I}X_i

위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수

:

f\colon X\to Y

에 대한 끝 위상과 같다. 이 경우,

f\restriction(X,f(X))\colon X\to f(X)

는 몫사상이다. 따라서

f(X)

는 열린닫힌집합이며,

X

의 몫공간과 위상 동형이다. 또한

Y\setminus f(X)

은 이산 공간이다. 즉,

Y

는

(X_i)_{i\in I}

의 위상합의 몫공간과 이산 공간의 위상합이다.

X

를 위상 공간이라 하고,

\sim

을

X

에 대한 동치 관계라고 하자. 몫집합

Y = X/{\sim}

은

X

의 원소들의 동치류 집합이다.

표준적인 전사 함수

q:X\ni x\mapsto[x]\in Y

를 통해,

q

는 몫 사상이며, 일반적으로

X/{\sim}

과 관련된 표준 몫 사상 또는 표준 투영 사상이라고 불린다.

몫공간은 집합

Y

에 몫 위상을 부여한 것이다. 몫 위상의 열린 집합은

U \subseteq Y

의 역상

q^{-1}(U)

가 열린 집합인 그러한 부분 집합들이다.

몫 위상은 사상

x \mapsto [x]

에 대한 몫 집합의 극대 위상이다. 지도

f : X \to Y

가 몫 사상(때로는 식별 사상이라고도 함)은 전사이고

Y

는

f

에 의해 유도된 최종 위상을 갖는 경우이다. 부분 집합

V \subseteq Y

가 열린(닫힌) 집합인 것은

f^{-1}(V)

가 열린(각각 닫힌) 집합인 경우와 같다. 모든 몫 사상은 연속적이지만 모든 연속 사상이 몫 사상인 것은 아니다.

X

의 부분 집합

S

는 어떤 집합

T

에 대해

S = f^{-1}(T)

의 형태인 경우 포화(

f

에 대해)라고 하며, 이는

f^{-1}(f(S)) = S

인 경우와 같다. 할당

T \mapsto f^{-1}(T)

는

Y = f(X)

의 부분 집합

T

와

X

의 포화 부분 집합 사이에 일대일 대응을 설정한다(그 역은

S \mapsto f(S)

임). 전사

f : X \to Y

는 모든 포화 집합

S

에 대해

X

에서

S

가 열린 집합인 것은

Y

에서

f(S)

가 열린 집합인 경우와 같은 경우에 몫 사상이다.

\tau

가

X

에 대한 위상이고

f : X \to Y

가 임의의 사상인 경우,

X

의 포화 부분 집합인 모든

U \in \tau

의 집합

\tau_f

는

X

에 대한 위상을 형성한다.

Y

도 위상 공간인 경우

f : (X, \tau) \to Y

는 몫 사상(각각, 연속)인 것은

f : \left(X, \tau_f\right) \to Y

에 대해서도 마찬가지인 경우와 같다.

X

에 대한 동치 관계

\,\sim\,

이 주어지면, 점

x \in X

의 동치류를

[x] := \{z \in X : z \sim x\}

로 나타내고,

X /{\sim} := \{[x] : x \in X\}

는 동치류의 집합을 나타낸다. 점을 해당 동치류로 보내는 사상

q : X \to X /{\sim}

(즉, 모든

x \in X

에 대해

q(x) := [x]

로 정의됨)를 캐노니컬 사상이라고 한다. 이 사상은 전사 사상이며 모든

a, b \in X

에 대해

a \,\sim\, b

인 것은

q(a) = q(b)

인 경우와 같다.

X

가 위상 공간인 경우

X /{\sim}

에

q

에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면 몫 공간이 되고

q : X \to X /{\sim}

가 몫 사상이 된다.

f : X \to Y

를 위상 공간 사이의 전사(아직 연속적이거나 몫 사상이라고 가정하지 않음)라고 하고, 모든

a, b \in X

에 대해

a \,\sim\, b

인 것은

f(a) = f(b)

인 경우와 같다고 선언한다. 그러면

\,\sim\,

는 모든

x \in X

에 대해

[x] = f^{-1}(f(x))

인

X

에 대한 동치 관계이다. 할당

[x] \mapsto \hat{f}([x])

는

f

의 섬유와

Y

의 점 사이의 전단사

\hat{f} : X /{\sim} \;\to\; Y

를 정의한다. 사상

q : X \to X / {\sim}

을

q(x) := [x]

로 정의하고,

X / {\sim}

에

q

에 의해 유도된 몫 위상을 부여하면

q

는 몫 사상이 된다. 이 사상은 다음과 같이 관련된다.

:

f = \hat{f} \circ q \quad \text{ and } \quad q = \hat{f}^{-1} \circ f.

q : X \to X / {\sim}

가 몫 사상이라는 사실로부터

f : X \to Y

가 연속적인 것은

\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y

의 경우도 마찬가지인 경우와 같다. 또한,

f : X \to Y

가 몫 사상인 것은

\hat{f} : X / {\sim} \;\to\; Y

가 동형사상인 경우와 같다.

위상 공간

X

위의 동치 관계 "~"에 대해, 동치류들로 이루어진 몫집합

X/{\sim}

위에 위상을 정의할 수 있다.

X/{\sim}

의 부분집합이 열린 집합이라는 것은, 그 동치류들을

X

의 부분집합으로 보았을 때 그 합집합이

X

에서의 열린 집합이 되는 것으로 정의한다. 이를 몫집합

X/{\sim}

위의 몫위상이라고 한다.

표준 사영

q: X \twoheadrightarrow X/{\sim}

는

X

의 각 원소를 그 원소가 속한 동치류로 사상시키는 함수이다. 몫집합

X/{\sim}

위의 몫위상은

q

를 연속으로 만드는 최강의 위상 (가장 미세한 위상)이다.

위상 공간

X

에서 집합

Y

로의 전사 함수

f: X \twoheadrightarrow Y

가 주어졌을 때,

Y

위에

f

를 연속으로 만드는 최강의 위상(

f

에 관한 끝 위상)으로서 몫위상을 정의할 수 있다.

Y

의 부분집합

V

가 열린 집합이라는 것은

f

에 의한 역상

f^{-1}(V)

가

X

의 열린 집합이 되는 것으로 정의해도 같은 의미이다. 사상

f

는

x_1 \sim x_2 :\Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)

로 정의하여

X

위의 동치 관계를 유일하게 유도하지만, 이 때의 몫공간

X/{\sim}

는

Y

와 (각각의 몫위상을 생각하면) 위상 동형이다.

연속인 전사 함수

f: X \twoheadrightarrow Y

에 대해,

Y

의 위상이

f

가 정하는 몫위상이 되어 있을 때,

f

를 몫 사상이라고 부른다. 따라서 표준 사영

q: X \twoheadrightarrow X/{\sim}

는 몫 사상이다.

4. 예시

붙이기: 위상수학에서는 점들을 '붙인다'는 개념을 사용한다. 위상 공간 X에서 점 x와 y를 붙인다는 것은, a ~ b (즉, a = b이거나, a = x, b = y이거나, a = y, b = x인 경우)라는 동치 관계를 만족하는 몫 공간을 고려하는 것을 의미한다.

'''단위 정사각형의 경계 붙이기''': 단위 정사각형 $I^2 = [0, 1] \times [0, 1]$ 에서 모든 경계점을 동일하게 취급하는 동치 관계를 생각하면, 몫 공간 $I^2 / \sim$ 은 구 $S^2$ 와 위상 동형이다.

예를 들어, $[0,1]/\{0,1\}$ 은 원 $S^1$ 과 위상 동형이다.

'''부착 공간''': $X$ 가 공간이고 $A$ 가 $X$ 의 부분 공간일 때, $A$ 의 모든 점을 하나의 동치류로 하고, $A$ 바깥의 점들은 자기 자신과만 동치 관계를 가지도록 하여 만들어지는 몫 공간을 $X/A$ 로 쓴다. 예를 들어, 2차원 구는 경계가 한 점으로 동일시되는 닫힌 원반과 위상 동형이다 ( $D^2 / \partial{D^2}$ ).

'''실수에 대한 몫 공간''': 실수 집합 $\R$ 에 통상적인 위상을 주고, "x ~ y 만약 그리고 오직 만약 x - y가 정수"라는 동치 관계를 정의하면, 몫 공간 $\R / \sim$ 은 x의 동치류를 $\exp(2 \pi i x)$ 로 보내는 위상 동형에 의해 단위원 $S^1$ 과 위상 동형이다.

'''궤도 공간''': 위상군 $G$ 가 공간 $X$ 에 연속적으로 작용하는 경우, 점들이 같은 궤도에 속할 때만 동등하다고 하는 동치 관계를 $X$ 에 정의할 수 있다. 이 동치 관계에 대한 몫 공간을 '''궤도 공간'''이라고 하며 $X / G$ 로 나타낸다. 예를 들어, $G = \Z$ 가 $\R$ 에 평행 이동으로 작용하면, 궤도 공간 $\R / \Z$ 는 $S^1$ 과 위상 동형이다.

주의:

\R / \Z

표기법은 약간의 혼동을 일으킬 수 있다.

\Z

를 덧셈을 통해

\R

에 작용하는 군으로 보면 몫은 원이 되지만,

\Z

를

\R

의 위상 부분 공간으로 보면 몫은 한 점

\Z

에서 연결된 가산 무한 개의 원 다발이 된다.

4. 1. 다각형의 몫공간

직사각형의 마주보는 한 쌍의 변을 붙여서 몫공간을 만들 수 있다. 이때, 직사각형 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향으로 붙이면 원기둥이 되고, 같은 방향으로 붙이면 뫼비우스의 띠가 된다.

그림1	그림2	몫공간
150픽셀	150픽셀	원기둥
150픽셀	150픽셀	뫼비우스의 띠

어떤 위상 공간이 짝수 개의 변을 가진 다각형의 변들을 둘씩 짝지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형이라면, 이 다각형과 동치 관계의 순서쌍을 위상 공간의 '''다각형 표시'''라고 한다. 변의 수가 $2n$ 인 다각형 표시는 길이 $2n$ 의 문자열로 나타낼 수 있는데, 각 문자 ( $a_i$ )는 다각형의 변을 나타내고, 위 첨자 -1은 방향이 반대임을 의미한다. 예를 들어 $\alpha\in\{a_1,a_2,\dotsc,a_n,a_1^{-1},a_2^{-2},\dotsc,a_n^{-1}\}^{2n}$ 와 같이 표현한다.

문자열에서 $a_i$ 가 두 번 등장하면 해당 변을 같은 방향으로 붙이고, $a_i$ 와 $a_i^{-1}$ 가 한 번씩 등장하면 반대 방향으로 붙인다.

다각형 표시 그림	다각형 표시	몫공간 그림	몫공간
150픽셀	$abb^{-1}a^{-1}$	150픽셀	구
150픽셀	$abab$	150픽셀	실수 사영 평면
150픽셀	$abab^{-1}$	150픽셀	클라인 병
150픽셀	$aba^{-1}b^{-1}$	150픽셀	원환면

4. 2. 부분 집합을 한 점으로 합친 공간

위상 공간

X

의 부분 집합

A

를 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은

X/A

로 표기한다.

하우스도르프 공간

X

및 콤팩트 집합

A\subseteq X

에 대하여,

X/A

는 항상 하우스도르프 공간이다.

예를 들어,

:

[0,1]/\{0,1\}\cong\mathbb S^1

:

\bar{\mathbb D}^2/\mathbb S^1\cong\mathbb S^2

이다. 여기서

\bar{\mathbb D}^n

은

n

차원 유클리드 공간의 닫힌 공이며,

\mathbb S^n

은

n

차원 초구이다.

'''부착 공간'''. 더 일반적으로, $X$ 가 공간이고 $A$ 가 $X$ 의 부분 공간이라고 가정하자. $A$ 의 모든 점을 단일 동치 클래스로 식별하고 $A$ 외부의 점은 자기 자신과만 동등하게 둘 수 있다. 결과적인 몫 공간은 $X/A$ 로 표시된다. 그러면 2차원은 경계가 단일 점으로 식별되는 닫힌 원반과 위상 동형이다: $D^2 / \partial{D^2}.$

4. 3. 뿔

위상 공간

X

위의 '''뿔'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{cone}(X)=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})

하우스도르프 공간 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다.

유클리드 공간

\mathbb R^n

의 콤팩트 집합

X

위의 뿔은 다음과 같은 공간과 위상 동형이다.

:

\operatorname{cone}(X)\cong\{(1-t)a+tx\colon x\in X,\;t\in[0,1]\}

:

a\in\mathbb R^{n+1}\setminus\mathbb R^n

임의의 연속 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 널호모토픽하다.
$f$ 의 연속 확장 $\operatorname{cone}(X)\to Y$ 가 존재한다.

4. 4. 붙임 공간

두 위상 공간

X

,

Y

와 부분 집합

A\subseteq X

및 연속 함수

f\colon A\to Y

가 주어졌을 때, 위상합

X\sqcup Y

위에 동치 관계를 다음과 같이 정의한다.

:

x\sim f(x)\qquad\forall x\in A

이때,

f

의 '''붙임 공간'''은 몫공간

Y\cup_fX=(X\sqcup Y)/\sim

으로 주어진다.

예를 들어,

$\bar{\mathbb D}^2\cup_{\iota_{\mathbb S^1}}\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb S^2$
$\operatorname M\cup_{\iota_{\partial{\operatorname M}}}\operatorname M\cong\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$
$M\cup_f\bar{\mathbb D}^2\cong\mathbb{RP}^2$

여기서

\iota_{\mathbb S^1}\colon\mathbb S^1\to\bar{\mathbb D}^2

와

\iota_{\partial{\operatorname M}}\colon\partial{\operatorname M}\to\operatorname M

은 포함 함수이며,

f\colon\partial\bar{\mathbb D}^2\to\partial{\operatorname M}

는 두 경계 사이의 위상동형사상이다.

위상수학에서는 점을 붙이는 것에 대한 논의가 이루어진다.

X

가 위상 공간일 때,

X

에서 점

x

와

y

를 붙이는 것은

a \sim b

인 동치 관계, 즉

a = b

또는

a = x, b = y

(또는

a = y, b = x

)를 만족하는 몫 공간을 고려하는 것을 의미한다.

단위 정사각형

I^2 = [0, 1] \times [0, 1]

에서 모든 경계점이 동등하다는 동치 관계 ~를 생각하면,

I^2 / \sim

은 구

S^2

와 위상 동형이다.

'''부착 공간''':

X

가 공간이고

A

가

X

의 부분 공간일 때,

A

의 모든 점을 단일 동치 클래스로 식별하고

A

외부의 점은 자기 자신과만 동등하게 두어 얻어지는 몫 공간은

X/A

로 표시된다. 2차원은 경계가 단일 점으로 식별되는 닫힌 원반과 위상 동형이다:

D^2 / \partial{D^2}.

실수 집합

\R

에 보통 위상을 부여하고,

x \sim y

만약 그리고 오직 만약

x - y

가 정수인 경우, 몫 공간

X / {\sim}

은

x

의 동치 클래스를

\exp(2 \pi i x)

로 보내는 위상 동형에 의해 단위 원

S^1

과 위상 동형이다.

위상군

G

가 공간

X

에 연속적으로 작용할 때, 점이 동일한 궤도에 있는 경우에만 점이 동등하다고 하는 동치 관계를

X

에 형성할 수 있다. 이 관계에 따른 몫 공간을 '''궤도 공간'''이라 하며,

X / G

로 표시한다.

G = \Z

가

\R

에 평행 이동으로 작용하는 경우, 궤도 공간

\R / \Z

는

S^1

과 위상 동형이다.

'''주의''':

\R / \Z

표기법은 다소 모호하다.

\Z

가 덧셈을 통해

\R

에 작용하는 군으로 이해되면 몫은 원이지만,

\Z

가

\R

의 위상 부분 공간으로 간주되면 몫은 단일 점

\Z

에서 연결된 가산 무한한 원 다발이다.

4. 5. 열린 함수나 닫힌 함수가 아닌 몫사상

표준 사영

p\colon\mathbb R\to\mathbb R/(0,1]

은 몫사상이지만, 열린 함수나 닫힌 함수가 아니다.

예를 들어,

(-\infty,1)\subseteq\mathbb R

는 열린집합이지만,

p((-\infty,1))\subseteq\mathbb R/(0,1]

은 열린집합이 아니다. 이는

p^{-1}(p((-\infty,1)))=(-\infty,1]\subseteq\mathbb R

가 열린집합이 아니기 때문이다.

또한,

[1,\infty)\subseteq\mathbb R

는 닫힌집합이지만,

p([1,\infty))\subseteq\mathbb R/(0,1]

은 닫힌집합이 아니다. 이는

p^{-1}(p([1,\infty)))=(0,\infty)\subseteq\mathbb R

가 닫힌집합이 아니기 때문이다.

4. 6. 곱이 몫사상이 아닌 두 몫사상

곱위상에 대하여 몫사상이 아닌 예시를 살펴보자.

임의의

n\in\mathbb Z

에 대하여

r_n=\sqrt 2/(|n|+1)

이라고 하자. 또한

A_n\subseteq[n,n+1]\times\mathbb R

가

(n,r_n)

,

(n+1/2,r_n)

,

(n+1,r_{n+1})

을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

:

B=(\mathbb Q\times\mathbb Q)\cap\operatorname{cl}_{\mathbb R^2}\bigcup_{n\in\mathbb Z}A_n

\mathbb Q/\mathbb Z

로의 표준 사영

\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z

과 항등 함수

\mathbb Q\to\mathbb Q

의 곱

:

f\colon\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q

에 대하여,

f^{-1}(f(B))=B\subseteq\mathbb Q\times\mathbb Q

는 닫힌집합이지만,

f(B)\subseteq\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q

는 닫힌집합이 아니다. 이는

:

f((0,0))\in\operatorname{cl}_{\mathbb Q/\mathbb Z\times\mathbb Q}f(B)\setminus f(B)

이기 때문이다.

따라서,

f

는 몫사상이 아니다.^[1]

5. 다른 위상 개념과의 관계

몫공간은 분리 공리와 관련하여 일반적으로 좋은 관계를 가지지 않는다. 원래 공간의 분리 성질이 몫공간에 상속되지 않거나, 몫공간이 원래 공간에는 없는 분리 성질을 가질 수 있다. 몫공간이 T1 공간이 되려면 모든 동치류가 원래 공간에서 닫힌 집합이어야 한다. 몫 사상이 열린 사상일 때, 몫공간이 하우스도르프 공간이 되려면 동치 관계가 곱 공간의 닫힌 부분 집합이어야 한다.

연결 공간이나 경로 연결 공간의 몫공간은 항상 연결되어 있거나 경로 연결되어 있다. 그러나 단일 연결 또는 수축 가능 공간의 몫공간은 이러한 성질을 반드시 공유하지는 않는다.

콤팩트 공간의 몫공간은 항상 콤팩트하다. 하지만 국소 콤팩트 공간의 몫공간은 국소 콤팩트하지 않을 수 있다.

몫공간의 위상 차원은 원래 공간의 차원보다 클 수도 있고 작을 수도 있다. 공간 채움 곡선은 몫공간의 차원이 원래 공간보다 커지는 예시이다.

5. 1. 분리 공리

일반적으로 몫공간은 분리 공리와 관련하여 좋은 동작을 보이지 않는다. 원래 공간 $X$의 분리 성질이 몫공간 $X / \sim$에 반드시 상속되지는 않으며, $X / \sim$이 $X$에는 없는 분리 성질을 가질 수도 있다.

$X / \sim$가 T1 공간이 되기 위한 필요충분조건은 모든 동치류(equivalence class)가 $X$에서 닫힌 집합인 것이다.

몫사상이 열린 사상인 경우, $X / \sim$가 하우스도르프 공간이 되기 위한 필요충분조건은 $\sim$가 곱공간 $X \times X$의 닫힌 부분 집합인 것이다.

5. 2. 연결성

위상 공간이 연결되어 있거나 호상 연결이면, 그 임의의 몫공간도 같은 성질을 가진다.^[1] 그러나 단일 연결 또는 가측인 공간의 몫공간은 반드시 같은 성질을 가진다고 할 수는 없다.^[1]

5. 3. 콤팩트성

위상 공간이 콤팩트이면 그 임의의 몫공간도 콤팩트하다.^[1] 그러나 국소 콤팩트 공간의 몫공간은 국소 콤팩트가 아닐 수도 있다.^[1]

5. 4. 차원

몫공간의 위상 차원은 원래 공간의 차원보다 클 수도 있고, 작을 수도 있다. 공간 채움 곡선은 몫공간의 차원이 원래 공간보다 커지는 예시를 보여준다.^[1]

참조

_[1] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[2] 서적 Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid 2006

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