부등식은 두 수 또는 식의 크고 작음을 나타내는 수학적 표현이다. 실수 집합에서 두 실수 a, b에 대한 부등식은 a ≠ b, a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b의 형태로 나타낼 수 있으며, 모든 변수의 값에 대해 항상 성립하는 절대 부등식과 특정 범위에서만 성립하는 조건 부등식으로 구분된다. 부등식은 토머스 해리엇에 의해 기호 >와 <가 도입되었으며, 여러 종류의 표기법과 성질을 가지며, 수직선 상에서 다양한 성질을 따른다. 또한, 코시-슈바르츠 부등식, 거듭제곱 부등식 등과 같은 다양한 유형의 부등식이 존재하며, 수학자들은 이러한 부등식을 사용하여 양의 범위를 정하기도 한다.
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'''절대 부등식'''은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이다. '''조건 부등식'''은 특정한 범위의 변수의 값 아래에서만 성립하는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 '''증명'''이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 '''풀이'''라고 한다.
예를 들어, 실수 부등식 이 성립할 필요충분조건은 이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식 가 성립할 필요 충분 조건은 이므로, 이는 절대 부등식이다.
''a'' < ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''작다'''는 것을 의미한다.
''a'' > ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''크다'''는 것을 의미한다.
어느 경우든 ''a''는 ''b''와 같지 않다. 이러한 관계는 '''엄격한 부등식'''[1]이라고 알려져 있으며, 이는 ''a''가 ''b''보다 엄격하게 작거나 엄격하게 크다는 것을 의미한다. 등호는 제외된다.
엄격한 부등식과 대조적으로, 엄격하지 않은 두 가지 유형의 부등식 관계가 있다.
''a'' ≤ ''b''는 ''a''가 ''b'' '''보다 작거나 같다'''는 것을 의미한다 (또는 동등하게, 최대 ''b'', 또는 ''b''보다 크지 않음).
''a'' ≥ ''b''는 ''a''가 ''b'' '''보다 크거나 같다'''는 것을 의미한다 (또는 동등하게, 최소한 ''b'', 또는 ''b''보다 작지 않음).
"~보다 크지 않음" 관계는 로도 나타낼 수 있다. "~보다 작지 않음"도 마찬가지로 와 같다.
''a'' ≠ ''b''는 ''a''가 ''b''와 같지 않다는 것을 의미한다. 이 부등식은 때때로 엄격한 부등식의 한 형태로 간주된다.[4] 그것은 어느 쪽이 더 크다고 말하지 않는다.
미지수를 포함하는 부등식은 방정식과 유사한 개념을 가진다. 즉, 변수에 값을 대입했을 때, 올바른 평가를 제공하는 값을 '''부등식의 해'''라고 부르며, 부등식의 해가 되는 값을 모두 구하는 것을 '''부등식을 푼다'''라고 한다.
또한, 미지수를 포함하는 부등식이 주어졌을 때, 대부분의 경우 임의의 값이 해가 되는 것은 아니며, 따라서 부등식이 미지의 수에 관한 조건을 정하는 것이라고 이해된다. 임의의 값에 대해 부등식이 성립하는 것은 아님을 강조할 때에는 '''조건부 부등식'''이라고 부르기도 한다. 이에 반해 방정식에 대한 항등식에 해당하는 것, 즉 임의의 값에 대해 성립하는 부등식은 '''절대 부등식'''이라고 불린다.
예: ''x'' + 1 > 1 (이 경우, ''x''가 0보다 크다는 조건이 제시된다)
절대 부등식의 예: ''x''2 + 1 > 0 (단, ''x''는 실수를 값으로 갖는 변수)
부등식 기호에는 다음과 같은 것들이 있다.
＞: 크다, 초과
≧ (≥): 크거나 같음, 이상
＜: 작다, 미만
≦ (≤): 작거나 같음, 이하
이것들을 이용하여, 예를 들어 ''x''가 100 이상이고 1000 미만인 것은 100 ≦ ''x'' < 1000으로 표현된다. 또한, ''a'' ≦ 100 이고 ''a'' ≧ 100 이라면 ''a'' = 100이라고 결론 내릴 수 있다.
"≧" 나 "≦" 처럼 두 줄을 사용하는 표기는 일본에서 자주 사용되지만, 세계적으로는 "≥" 나 "≤"가 사용된다.
3. 표기법
토머스 해리엇(Thomas Harriot영어)이 기호 ‘>’ 및 ‘<’를 도입하였다.[20] 부등식에는 여러 가지 종류가 있으며, 이를 나타내기 위해 다양한 표기법이 사용된다.
''a'' < ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''작다'''는 것을 의미한다.
''a'' > ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''크다'''는 것을 의미한다.
위의 두 경우 모두 ''a''는 ''b''와 같지 않다. 이러한 관계는 '''엄격한 부등식'''[1]이라고 하며, ''a''가 ''b''보다 엄격하게 작거나 크다는 것을 의미한다. 즉, 등호는 성립하지 않는다.
엄격한 부등식 외에, 등호가 포함될 수 있는 부등식 관계도 두 가지 있다.
''a'' ≤ ''b'' (또는 ''a'' ⩽ ''b'', ''a'' ≦ ''b'')는 ''a''가 ''b'' '''보다 작거나 같다'''는 것을 의미한다. (''b''보다 크지 않다고 표현할 수도 있다.)
''a'' ≥ ''b'' (또는 ''a'' ⩾ ''b'', ''a'' ≧ ''b'')는 ''a''가 ''b'' '''보다 크거나 같다'''는 것을 의미한다. (''b''보다 작지 않다고 표현할 수도 있다.)
17세기와 18세기에는 부등식을 나타내기 위해 개인적인 표기법이나 타이프라이팅 기호가 사용되었다.[2] 예를 들어, 1670년에 존 월리스는 < 및 > 기호 위에 단일 수평 막대를 사용했다.
1734년에는 피에르 부게르가 ≦ 및 ≧ 기호를 처음 사용했다.[3] 이후, 수학자들은 부게르의 기호를 ≤ (단일 수평 막대) 또는 ⩽ (기울어진 형태)로 단순화했다.
'''~보다 크지 않음''' 관계는 > 기호에 "아님"을 뜻하는 슬래시(/)를 겹쳐 쓴 로 나타낼 수 있다. '''~보다 작지 않음'''도 마찬가지로 와 같이 표현할 수 있다.
''a'' ≠ ''b''는 ''a''가 ''b''와 같지 않다는 것을 의미하며, 때로는 이 역시 엄격한 부등식의 한 형태로 간주된다.[4] 이 표현은 어느 쪽이 더 큰지는 나타내지 않으며, ''a''와 ''b''가 순서 집합의 원소일 필요도 없다.
공학 분야에서는 어떤 양이 다른 양보다 "훨씬 크다"는 것을 나타내기 위해 덜 공식적인 표기법을 사용하기도 한다.[5] 이는 보통 여러 크기 순서만큼 큰 경우를 의미한다.
''a'' ≪ ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''훨씬 작다'''는 것을 의미한다.[6]
''a'' ≫ ''b''는 ''a''가 ''b''보다 '''훨씬 크다'''는 것을 의미한다.[7]
이는 근사에서 작은 값을 무시해도 정확도에 큰 영향을 주지 않는 경우에 사용된다. (예: 물리학의 초상대론적 극한)
위에 제시된 모든 부등식 기호에서, 서로 마주보는 기호 쌍( < 와 >, ≤ 와 ≥ 등)은 대칭이다. 예를 들어 ''a'' < ''b''와 ''b'' > ''a''는 같은 의미이다.
4. 수직선 상의 성질
실수 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 부등식은 다음과 같은 성질을 가진다. 이러한 성질은 비엄격 부등식(≤ 및 ≥)을 엄격 부등식(< 및 >)으로 바꾸어도 성립한다. 단, 함수를 적용하는 경우에는 '엄격한' 단조 함수로 제한한다.
관계 ≤ 와 ≥는 서로 역관계이다. 즉, ''a'' ≤ ''b'' 와 ''b'' ≥ ''a''는 같다.
유리수체|Q한국어, +, ×, ≤)와 실수체|R한국어, +, ×, ≤)는 모두 순서체이지만, −1이 ''i''의 제곱이므로 복소수체|C한국어, +, ×, ≤)를 순서체로 정의할 수 없다.[12]
'''R'''은 순서체일 뿐만 아니라 상한 공리도 갖는다. 사실, '''R'''은 그 성질을 가진 유일한 순서체로 정의될 수 있다.[13]
6. 연쇄 표기법
'''a'' < ''b'' < ''c'''''는 "''a'' < ''b''이고 ''b'' < ''c''"임을 의미하며, 추이율에 의해 ''a'' < ''c''도 성립한다. 위 규칙에 따라 세 항에 같은 숫자를 더하거나 빼거나, 0이 아닌 같은 숫자로 곱하거나 나누는 것이 가능하다. 단, 곱하거나 나누는 숫자가 음수일 경우에는 모든 부등호의 방향을 바꿔야 한다. 따라서, ''a'' < ''b'' + ''e'' < ''c''는 ''a'' − ''e'' < ''b'' < ''c'' − ''e''와 같다.
이 표기법은 항의 개수를 늘려 일반화할 수 있다. 예를 들어 '''''a''1 ≤ ''a''2 ≤ ... ≤ ''a''''n'''''은 ''i'' = 1, 2, ..., ''n'' − 1에 대해 ''a''''i'' ≤ ''a''''i''+1임을 의미한다. 추이율에 의해, 이 조건은 1 ≤ ''i'' ≤ ''j'' ≤ ''n''인 모든 ''i'', ''j''에 대해 ''a''''i'' ≤ ''a''''j''인 것과 같다.
연쇄 표기법을 사용해 부등식을 풀 때, 각 항을 독립적으로 평가하는 것이 가능하며 때로는 반드시 그렇게 해야 한다. 예를 들어 부등식 4''x'' < 2''x'' + 1 ≤ 3''x'' + 2를 풀기 위해 덧셈이나 뺄셈을 이용해 부등식의 어느 한 부분에서 ''x''를 আলাদা(고립)시킬 수는 없다. 대신 부등식을 독립적으로 풀어 ''x'' < 1/2 와 ''x'' ≥ −1을 얻고, 이 둘을 결합하여 최종 해 −1 ≤ ''x'' < 1/2를 얻어야 한다.
때때로 연쇄 표기법은 서로 다른 방향의 부등식과 함께 사용되기도 하는데, 이 경우 인접한 항 사이 부등식의 논리곱을 의미한다. 예를 들어 지그재그 포셋의 정의는 ''a''1 < ''a''2 > ''a''3 < ''a''4 > ''a''5 < ''a''6 > ... 와 같이 표현된다. 혼합 연쇄 표기법은 <, =, ≤ 와 같이 호환 가능한 관계에서 더 자주 사용된다. 예를 들어 ''a'' < ''b'' = ''c'' ≤ ''d''는 ''a'' < ''b'', ''b'' = ''c'', ''c'' ≤ ''d''를 의미한다. 이러한 표기법은 파이썬 등 몇몇 프로그래밍 언어에 존재한다. 반면 C와 같이 비교 결과 유형에 순서를 제공하는 프로그래밍 언어에서는 동일한 유형의 연쇄 표기법도 완전히 다른 의미를 가질 수 있다.[14]
7. 날카로운 부등식
전칭 명제 부등식 ''φ''는 모든 유효한 전칭 명제 부등식 ''ψ''에 대해, ''ψ'' ⇒ ''φ''가 성립하면, ''ψ'' ⇔ ''φ'' 또한 성립할 경우 날카로운 부등식이라고 한다. 예를 들어, 부등식 ∀''a'' ∈ '''R'''. ''a''2 ≥ 0은 날카로운 부등식인 반면, 부등식 ∀''a'' ∈ '''R'''. ''a''2 ≥ −1은 날카롭지 않다.[1]
8. 평균 사이의 부등식
평균 간에는 여러 부등식이 존재한다. 예를 들어, 모든 양수 ''a''1, ''a''2, ..., ''a''''n''에 대해 다음 부등식이 성립한다.
이를 이용하여, 예를 들어 ''x''가 100 이상이고 1000 미만인 것은 100 ≤ ''x'' < 1000으로 표현된다. 또한, ''a'' ≤ 100 이고 ''a'' ≥ 100 이라면 ''a'' = 100이라고 결론 내릴 수 있다.
"≧" 나 "≦" 처럼 두 줄을 사용하는 표기는 일본에서 자주 사용되지만, 세계적으로는 "≥" 나 "≤"가 사용된다.
실수 ''a''에 대해 ''a'' ≤ ''b''가 되는 실수 ''b''를 구하는 것을 ''a''를 ''b''로 '''위에서 평가한다''' 또는 '''위에서 억제한다'''라고 한다.[18][19] 반면에 ''a'' ≥ ''b''가 되는 실수 ''b''를 구하는 것을 ''a''를 ''b''로 '''아래에서 평가한다''' 또는 '''아래에서 억제한다'''라고 한다. 또한 실수 값 함수 ''f''(''x'')에 대해 ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'')가 모든 ''x''에 대해 성립하는 실수 값 함수 ''g''(''x'')를 구하는 것도 위에서 평가한다 또는 위에서 억제한다고 한다.[18] 마찬가지로 아래에서 평가한다 또는 아래에서 억제한다는 표현도 사용된다. 이러한 평가는 그 목적에 맞는 한, 가능한 한 간단한 것을 찾아 선택하지만, 그것에는 경험이나 역량이 요구된다.
위에서 1, 2, 3, 4는 부등호 기호의 약속이다. 5, 6, 7은 순서의 공리로 추상화되는 성질이다. 즉, 5, 6, 7은 실수의 크기 관계가 순서 관계임을 나타낸다. 8, 9, 10이 성립하는 것은 순서가 체 연산과 적합하며, 실수 전체가 순서체를 이룬다는 것을 의미한다.
부등식의 양변에 같은 값을 더해도 결과는 변하지 않는다. 따라서 방정식과 마찬가지로, 부등식도 이항을 통해 동치인 형태로 변형할 수 있다.
''x'' < ''y''이면, ''x'' + ''a'' < ''y'' + ''a''이다.
부등식의 양변에 같은 상수 ''c''를 더하거나빼도 된다.[4] 즉, 임의의 실수 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 다음이 성립한다.
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