사영 가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 가환환의 경우
- 3.2. 사영 가군과 관련된 기타 성질
4. 국소 자유 가군
- 4.1. 국소 자유 가군층
5. 대수적 벡터 다발
6. 사영 분해와 사영 차원
7. 퀼렌-수슬린 정리
참조

1. 개요

사영 가군은 환 R 위의 가군 P에 대해 정의되며, 여러 동치 조건을 만족하는 가군을 의미한다. 주요 조건으로는 모든 짧은 완전열이 분할 완전열이거나, P와 Q의 직합이 자유 가군인 가군 Q가 존재하거나, 함자 hom(P, -)가 완전 함자인 경우 등이 있다. 사영 가군은 범주론적 정의를 가지며, 리프팅 성질에 따라 정의된다. 사영 가군은 자유 가군, 평탄 가군, 꼬임 없는 가군 등의 개념과 관련되며, 자유 가군은 사영 가군이지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 사영 가군은 가환환, 국소환, 주 아이디얼 정역 등 특정 환 위에서는 자유 가군이 된다. 사영 가군은 국소 자유 가군과 밀접한 관련이 있으며, 가환환 위의 유한 생성 가군이 사영 가군일 필요충분조건은 국소 자유 가군인 것이다. 사영 가군은 대수적 벡터 다발과 유사한 개념이며, 사영 분해와 사영 차원을 통해 가군의 구조를 분석하는 데 사용된다. 퀼렌-수슬린 정리는 다항식환 위의 사영 가군이 자유 가군임을 보이며, 세르 문제를 해결하는 데 기여했다.

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사영 가군

2. 정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $P$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 '''사영 왼쪽 가군'''이라고 한다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 '''사영 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

모든 짧은 완전열 $0\to M\to N\to P \to 0$가 분할 완전열이다.
$P\oplus Q$가 자유 가군인 왼쪽 가군 $Q$가 존재한다.
함자 $\hom(P,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}$가 완전 함자이다. 여기서 $\operatorname{Ab}$는 아벨 군들의 범주이다.
모든 가군 준동형 $f\colon P\to M$ 및 전사 가군 준동형 $\pi\colon\tilde M\twoheadrightarrow M$에 대하여, $\pi\circ\tilde f=f$인 가군 준동형사상 $\tilde f\colon P\to\tilde M$이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)
:

::

&&P\\&{\scriptstyle\exists}\swarrow&\downarrow\\\tilde M&\to&M&\to&0

일반적인 범주론적 정의는 리프팅 성질에 따라 정의되며, 쌍대화를 통해 단사 가군을 유도할 수 있다. 사영 가군은 가군 범주에서 ''R''-가군의 사영 대상이다.^[9]

3. 성질

(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_RM$ 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]

:자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군

사영 가군의 일반적인 범주론적 정의는 자유 가군에서 사영 가군으로 이어지는 리프팅 성질에 따라 정의된다. 가군 ''P''는 모든 전사 함수 가군 준동형 사상 ''f'' : ''N'' ↠ ''M''|f : N ↠ M^영어과 모든 가군 준동형 사상 ''g'' : ''P'' → ''M''|g : P → M^영어에 대해, 1=''f'' ''h'' = ''g''|f h = g^영어를 만족하는 가군 준동형 사상 ''h'' : ''P'' → ''N''|h : P → N^영어가 존재할 충분 필요 조건일 때 사영 가군이다.

사영 가군은 가군 범주에서 ''R''-가군의 사영 대상이며, 모듈 ''P''가 투영 모듈일 필요충분조건은 다른 모듈 ''Q''가 존재하여 ''P''와 ''Q''의 직합이 자유 모듈이 되는 것이다.

''R''-가군 ''P''는 공변 함자 Hom(''P'', -): ''R''-'''Mod''' → '''Ab'''|Hom(P, -): R-Mod → Ab^영어가 사상 함자일 필요충분조건을 만족한다. 여기서 ''R''-'''Mod'''|R-Mod^영어는 왼쪽 ''R''-가군의 범주이고, '''Ab'''는 아벨 군의 범주이다. 이 함자는 항상 좌 완전 함자이지만, ''P''가 사영 가군일 때는 우 완전하기도 하다.

모듈 ''P''가 사영 모듈일 필요충분조건은 집합 $\{a_i \in P \mid i \in I\}$ 와 집합 $\{f_i\in \mathrm{Hom}(P,R) \mid i\in I\}$ 가 존재하여, ''P''의 모든 ''x''에 대해, ''f''_''i''(''x'')는 유한 개의 ''i''에 대해서만 0이 아니고, $x=\sum f_i(x)a_i$ 를 만족하는 것이다.

단위원을 갖는 환 에서 가군은 모두 왼쪽 가군이며, 사상은 모두 왼쪽 가군의 준동형을 의미할 때, 가군 가 '''사영 가군''' 또는 '''사영적'''이라는 것은 다음 조건들을 만족하는 것을 의미한다.

함자 Hom(''P'', –)|Hom(P, –)^영어가 완전하다.
는 어떤 자유 가군의 직합 인자와 동형이다.
임의의 전사 ''N'' → ''M''|N → M^영어에 대해 Hom(''P'', ''N'') → Hom(''P'', ''M'')|Hom(P, N) → Hom(P, M)^영어도 전사이다.
임의의 가군 에 대해 Ext(''P'', ''M'') 이다.
임의의 가군 과 양의 정수 에 대해 Ext^''n''(''P'', ''M'') 이다.
임의의 전사 ''f'' : ''N'' → ''M''|f : N → M^영어와 사상 ''g'' : ''P'' → ''M''|g : P → M^영어에 대해 ''f''・ ''h'' 가 되는 사상 ''h'' : ''P'' → ''N''|h : P → N^영어이 존재한다.

3. 1. 가환환의 경우

국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.^[5] 가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

:사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군

:국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

사영 가군이다.
국소 자유 가군이다.

'''세르-스완 정리'''에 따르면, 가환환

R

위의 유한 생성 사영 가군의 범주는

\operatorname{Spec}(R)

위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[5]

국소 자유 가군이다.
점별 자유 가군이다.
사영 가군이다.
평탄 가군이다.

특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이다.

가환환 ''R'' 위의 유한 표시 가군 ''M''에 대해 (특히 ''M''이 유한 생성 ''R''-가군이고 ''R''이 네터 환인 경우), 다음은 동치이다.^[5]

#

M

은 평탄 가군이다.

#

M

은 사영 가군이다.

# 모든 극대 아이디얼

\mathfrak{m}

에 대해,

M_\mathfrak{m}

은

R_\mathfrak{m}

-가군으로 자유 가군이다.

# 모든 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 대해,

M_\mathfrak{p}

은

R_\mathfrak{p}

-가군으로 자유 가군이다.

# 단위 아이디얼을 생성하는

f_1,\ldots,f_n \in R

이 존재하여, 각 ''i''에 대해

M[f_i^{-1}]

은

R[f_i^{-1}]

-가군으로 자유 가군이다.

#

\widetilde{M}

은

\operatorname{Spec}R

위의 국소적으로 자유인 층이다 (여기서

\widetilde{M}

은 ''M''에 연관된 층이다.)

''R''이 네터 정역이면, 나카야마 보조정리에 의해, 위의 조건들은 다음과 동치이다.

$k(\mathfrak{p})$ -벡터 공간 $M \otimes_R k(\mathfrak{p})$ 의 차원은 ''R''의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 에 대해 동일하다. 여기서 $k(\mathfrak{p})$ 는 $\mathfrak{p}$ 에서의 잉여체이다.^[6] 즉, ''M''은 상수 계수를 갖는다.

가환 국소환 위의 유한 생성 사영 가군은 자유 가군이다.

3. 2. 사영 가군과 관련된 기타 성질

사영 가군의 직합과 직합인자는 사영적이다.^[9] 링

R

의 멱등원

e = e^2

에 대해,

Re

는

R

위의 사영 왼쪽 가군이다.

사영 가군의 부분 가군은 사영적일 필요는 없다. 사영 가군의 몫 역시 사영적일 필요는 없다. 예를 들어, 정수의 몫환 '''Z'''/''n''은 '''Z'''의 몫이지만, 비틀림이 없는 것은 아니므로 평탄하지 않고, 따라서 사영적이지 않다.

반단순환

R

에서 모든 왼쪽

R

-가군은 사영적이다.

4. 국소 자유 가군

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 이 다음 조건을 만족시킨다면 '''국소 자유 가군'''(locally free module^영어)이라고 한다.

모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, $R_f\otimes_RM$ 가 $R_f$ -자유 가군이 되는 $f\in R\setminus\mathfrak p$ 가 존재한다.

국소환 위의 사영 가군은 자유 가군이므로, 사영 가군은 "국소적으로 자유"이다. (모든 소 아이디얼에서의 국소화가 환의 해당 국소화 위에서 자유 가군이라는 의미이다.)

하지만, 국소적으로 자유이지만 사영 가군이 아닌, 네터 환이 아닌 환 위의 유한 생성 가군의 예가 있다. 예를 들어, 부울 환은 모든 국소화가 두 원소의 체인 '''F'''₂와 동형이므로 부울 환 위의 모든 가군은 국소적으로 자유이지만, 부울 환 위에는 사영 가군이 아닌 가군이 있다. 한 예는 ''R''/''I''인데, 여기서 ''R''은 가산 개의 '''F'''₂의 직접곱이고, ''I''는 ''R'' 안에 있는 가산 개의 '''F'''₂의 직접합이다. ''R''/''I''는 ''I''가 주 아이디얼이 아니기 때문에 사영 가군이 아니다. (''R''-가군 ''R''/''I''는 부울 환이므로 국소적으로 자유이고, 크기가 1인 생성 집합을 갖는 ''R''-가군으로 유한 생성되기도 한다.) (가환환 ''R''과 아이디얼 ''I''에 대해, 몫 가군 ''R''/''I''가 사영 ''R''-가군이면 ''I''는 주 아이디얼이다.)

4. 1. 국소 자유 가군층

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건을 만족시키면 '''점별 자유 가군층'''(pointwise free sheaf of modules^영어)이라고 한다.

모든 점 $x\in X$ 에 대하여 줄기 $\mathcal F_x$ 는 $\mathcal O_{X,x}$ -자유 가군이다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건을 만족시키면, '''국소 자유 가군층'''(局所自由加群層, locally free sheaf of modules^영어, faisceau de modules localement libre^프랑스어)이라고 한다.^[10]

모든 점 $x\in X$ 에 대하여, $\mathcal F|_U\cong\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U$ 가 되는 열린 근방 $U\ni x$ 및 기수 $\kappa$ 가 존재한다.

점별 자유 가군층

\mathcal F

의

x\in X

에서의 '''계수'''(rank^영어)는

\mathcal O_{X,x}

-자유 가군

\mathcal F_x

의 계수이며, 이는 함수

:

\dim M\colon X\to\operatorname{Card}

를 정의한다. (여기서

\operatorname{Card}

는 모든 기수의 모임이다.)

\operatorname{Card}

에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약

\mathcal F

가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수

\dim M\colon X\to\operatorname{Card}

는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

5. 대수적 벡터 다발

스킴 $Y$ 위의, 계수 $n\in\mathbb N$ 의 '''대수적 벡터 다발'''(algebraic vector bundle^영어)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[11]

스킴 $E$
스킴 사상 $\pi\colon E\to Y$
열린 덮개 $\mathcal U$
각 $U\in\mathcal U$ 에 대하여, 스킴 동형 사상 $i_U \colon f^{-1}(U) \to \mathbb A^n_U = \mathbb A^n_{\mathbb Z} \times U$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 $U,V\in\mathcal U$ 및 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U \cap V$ 에 대하여, $i_V \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R} \to \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R}$ 는 어떤 $R$ -선형 변환 $T_{U,V,R} \in \operatorname{Mat}(n,n;R)$ 에 의하여 유도된다.

Y

위의 대수적 벡터 다발의 '''동형 사상'''

:

\phi \colon (E,\pi,\mathcal U,i) \to (E',\pi,\mathcal U',i')

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$Y$ -스킴의 동형 사상 $\phi\colon E\to E'$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$(E,\pi, \mathcal U \cup \mathcal U',(i,i'))$ 는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 $U\in\mathcal U$ , $U'\in\mathcal U'$ 및 $\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U\cap U'$ 에 대하여, $i_{U'} \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_R \to \mathbb A^n_R$ 는 어떤 $\operatorname{Mat}(n,n;R)$ 의 원소에 의하여 유도된다.

이 경우, 계수

n

의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수

n

의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.^[11] 구체적으로, 대수적 벡터 다발

\pi\colon E\to Y

에 대응되는 가군층은 다음과 같다.

:

\Gamma(E,U) = \{s\colon U \to E\colon \pi\circ s=\operatorname{id}_U\}\qquad(U\in\operatorname{Open}(Y))

6. 사영 분해와 사영 차원

주어진 가군 ''M''에 대해, ''M''의 '''사영 분해'''는 각 $P_i$ 가 사영 가군인 다음과 같은 완전열이다.

: $\cdots \to P_n \to \cdots \to P_2 \to P_1 \to P_0 \to M \to 0$

모든 가군은 사영 분해를 가지며, 특히 '''자유 분해''' (자유 가군에 의한 분해)가 존재한다.^[9]

유한 분해의 ''길이''는 $P_n$ 이 영 가군이 아니고 $P_i = 0$ (i > n 인 경우)인 지수 n이다. 만약 ''M''이 유한 사영 분해를 허용한다면, ''M''의 모든 유한 사영 분해 중 최소 길이를 '''사영 차원'''이라 부르며 pd(''M'')으로 표기한다. ''M''이 유한 사영 분해를 허용하지 않는다면, 관례상 사영 차원은 무한이라고 한다. 예를 들어, pd(''M'') = 0 인 가군 ''M''을 고려하면, 0 → $P_0$ → ''M'' → 0 의 완전성은 가운데 화살표가 동형사상임을 나타내고, 따라서 ''M''은 사영 가군이다.^[9]

가군 ''M''의 '''사영 분해'''는, 각 $P_i$ 가 사영 가군인 완전열

: $\cdots \to P_{n+1} \overset{d_{n+1}}{\to} P_n \to \cdots \to P_1 \overset{d_1}{\to} P_0 \overset{d_0}{\to} M \to 0$

로 정의된다. 특히, 모든 $i \ge 0$ 에 대해 $P_i \to Im d_i$ 가 사영 피복이면, 이를 '''극소 사영 분해'''라고 한다. 모든 가군은 자유 분해를 가지므로 사영 분해도 가진다. $i > n$ 인 모든 $i$ 에 대해 $P_i = 0$ 인 사영 분해는 '''길이''' $n$ 의 사영 분해라고 한다. 이러한 $n$ 이 존재하면 그 최솟값을 ''M''의 '''사영 차원'''이라 하고, 없으면 사영 차원은 $\infty$ 이다. 단, $\{0\}$ 의 사영 차원은 $-1$ 이다. 사영 차원은 pd(''M'')으로 표기하며, ''M''의 극소 사영 분해의 길이와 같다.

7. 퀼렌-수슬린 정리

Quillen-Suslin theorem|퀼렌-수슬린 정리^영어는 세르 문제를 해결한 심오한 결과이다. 만약 K가 체이거나, 더 일반적으로 주 아이디얼 정역이고, R = K[X₁,...,X_n]가 K 위의 다항식 환이라면, R 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다.^[7]

이 문제는 세르가 처음 체 K에 대해 제기했으며(가군은 유한 생성됨), 배스가 유한 생성되지 않은 가군에 대해 해결했고,^[8] 퀼렌과 수슬린은 독립적으로, 동시에 유한 생성 가군에 대한 경우를 다루었다.

주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군이 자유 가군이므로, "만약 R이 모든 (유한 생성) 사영 R-가군이 자유 가군인 가환 환이라면, 모든 (유한 생성) 사영 R[X]-가군도 자유 가군인가?"라는 질문을 할 수 있다. 답은 '아니오'이다. 반례는 y² = x³라는 곡선의 원점에서의 국소 환으로서 R과 같다. 따라서 퀼렌-수슬린 정리는 변수의 개수에 대한 단순한 수학적 귀납법으로는 증명될 수 없었다.

참조

_[1] 서적 Algebras, Rings and Modules, Part 1 https://books.google[...]
_[2] 서적 Algebras, Rings and Modules, Part 1 https://books.google[...]
_[3] 참고문헌
_[4] 웹사이트 Section 10.95 (05A4): Descending properties of modules—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2022-11-03
_[5] 서적 Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry Springer-Verlag
_[6] 문서
_[7] 참고문헌
_[8] 간행물 Big projective modules are free Duke University Press
_[9] 참고문헌
_[10] 저널 Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas http://www.numdam.or[...] 2016-05-10
_[11] 서적 Algebraic geometry

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