사영 표현

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

사영 표현은 체 K와 K-벡터 공간 V, 군 G가 주어졌을 때, G에서 사영 선형군 PGL(V;K)로의 군 준동형이다. 사영 표현은 선형 표현과 밀접한 관련이 있으며, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도하고, 반대로 사영 표현은 군의 중심 확대를 통해 선형 표현으로 '올릴' 수 있다. 리 군의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군의 유니터리 표현으로 유도되며, 무한 차원 사영 유니터리 표현은 바르그만 정리에 따라 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지가 자명한 경우에만 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다. 사영 표현은 양자역학, 특히 양자 시스템의 대칭성을 설명하는 데 중요한 역할을 하며, SO(3)의 사영 표현과 같은 구체적인 예시가 존재한다.

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사영 표현

2. 정의

체 $K$ 와 $K$ -벡터 공간 $V$ , 그리고 군 $G$ 가 주어졌을 때, $G$ 의 $V$ 위의 $K$ -선형 '''사영 표현'''은 군 준동형

: $G \to \operatorname{PGL}(V;K) =\operatorname{GL}(V;K)/K^\times$

이다. 여기서 $\operatorname{PGL}(V)$ 는 사영 선형군이다.

$\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C \}$ 이고, $\mathbb K$ -힐베르트 공간 $H$ 와 리 군 $G$ 가 주어졌을 때, $H$ 의 '''사영 유니터리 표현'''(射影unitary表現, projective unitary representation^영어)은 연속 함수인 군 준동형

: $G \to \operatorname{PU}(H) = \operatorname U(H) / \mathbb K^\times$

이다. 여기서 $\operatorname{PU}(-)$ 는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

3. 성질

사영 표현은 선형 표현과 밀접하게 관련되어 있다. 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도하며, 반대로 사영 표현은 군의 중심 확대를 통해 선형 표현으로 '들어 올릴' 수 있다.

리 군의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군의 유니터리 표현으로 유도된다. 그러나 무한 차원에서는 일반적으로 성립하지 않는다. '''바르그만 정리'''(Bargmann’s theorem^영어)에 따르면, 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지가 자명한 경우에만 무한 차원 사영 유니터리 표현도 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.^[9]^[10]

3. 1. 선형 표현과의 관계

모든 선형 표현

:

G \to \operatorname{GL}(V;K)

이 주어졌을 때, 몫군 사상

:

q\colon\operatorname{GL}(V;K) \twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(V;K)

을 통하여 사영 표현

:

G \to \operatorname{PGL}(V;K)

을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현

:

\rho\colon G \to \operatorname{PGL}(V;K)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의할 수 있다.

:

H = G \times_{\pi,q} \operatorname{GL}(V;K) =\{(g,T)\in G\times\operatorname{GL}(V;K)\colon \pi(g) = q(T) \}

이는 군의 범주의 올곱이다.

이에 따라서, 군 준동형

:

\rho_H\colon H \to \operatorname{GL}(V;K)

:

\rho_H\colon (g,T) \mapsto T

이 존재한다. 또한, 군 준동형

:

\phi \colon H \to G

:

\phi \colon (g,T) \mapsto g

은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은

:

H \ge \operatorname Z(H) \ge \ker\phi = \{(1_G,\alpha 1_V)\colon \alpha\in K^\times\} \cong K^\times

이다. 즉,

H

는

G

의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:

1 \to K^\times \to H \to G \to 1

일반적인 사영 표현

\rho\colon G \to \operatorname{PGL}(V)

은 선형 표현

G \to \operatorname{GL}(V)

으로 올릴 수 없으며, 이 올림에 대한 장애는 군 코호몰로지를 통해 이해할 수 있다.

그러나, 다른 군

H

의 선형 표현으로

G

의 사영 표현

\rho

를 올릴 수 있는데, 이는

G

의 중심 확대가 된다. 그룹

H

는 다음과 같이 정의된

G\times\mathrm{GL}(V)

의 부분군이다.

:

H = \{(g, A) \in G\times\mathrm{GL}(V) \mid \pi(A) = \rho(g)\}

여기서

\pi

는

\mathrm{GL}(V)

에서

\mathrm{PGL}(V)

로의 몫 맵이다.

\phi((g, A)) = g

로 설정하여 준동형사상

\phi:H\rightarrow G

를 정의할 수 있다.

\phi

의 커널은 다음과 같다.

:

\mathrm{ker}(\phi) = \{(e, cI) \mid c \in F^*\}

이는

H

의 중심에 포함되며,

\phi

가 전사라는 것도 분명하므로

H

는

G

의 중심 확대이다.

올림 문제의 분석에는 군 코호몰로지가 관련되어 있다. 각

G

의

g

에 대해

\operatorname{PGL}(V)

에서

\operatorname{GL}(V)

로 올리는 과정에서 올린 원소

L(g)

를 고정하면, 올림은 다음을 만족한다.

:

L(gh) = c(g, h)L(g)L(h)

여기서

c(g, h)

는 스칼라

F^*

에 속한다. 따라서 2-코사이클 또는 슈어 승수

c

는 코사이클 방정식을 만족한다.

:

c(h, k)c(g, hk) = c(g, h) c(gh, k)

모든

G

의

g, h, k

에 대해. 이

c

는 올림

L

의 선택에 따라 달라진다. 다른 올림

L'(g) = f(g) L(g)

를 선택하면 다른 코사이클이 생성된다.

:

c^\prime(g, h) = f(gh)f(g)^{-1} f(h)^{-1} c(g,h)

이는

c

와 코호몰로지적이다. 따라서

L

은

H^2(G, F^*)

에서 유일한 클래스를 정의한다. 이 클래스는 자명하지 않을 수 있다. 예를 들어, 대칭군과 교대군의 경우, 슈어는 슈어 승수의 정확히 하나의 비자명 클래스가 있으며, 모든 해당 기약 표현을 완전히 결정했다.^[2]

일반적으로, 비자명 클래스는

G

에 대한 확장 문제로 이어진다.

G

가 올바르게 확장되면, 확장된 군의 선형 표현을 얻게 되며, 이는 다시

G

로 되돌아갈 때 원래의 사영 표현을 유도한다. 해는 항상 중심 확장이다. 슈어의 보조정리에 따르면,

G

의 중심 확장의 기약 표현과

G

의 기약 사영 표현은 본질적으로 동일한 객체이다.

3. 2. 군 코호몰로지 (Group Cohomology)

군 코호몰로지는 올림 문제의 분석에 관련되어 있다. 실제로, 각

G

의

g

에 대해

\operatorname{PGL}(V)

에서

\operatorname{GL}(V)

로 올리는 과정에서 올린 원소

L(g)

를 고정하면, 올림은 다음을 만족한다.^[2]

:

L(gh) = c(g, h)L(g)L(h)

여기서

c(g, h)

는 스칼라

F^*

에 속한다. 따라서 2-코사이클 또는 슈어 승수

c

는 코사이클 방정식을 만족한다.

:

c(h, k)c(g, hk) = c(g, h) c(gh, k)

모든

G

의

g, h, k

에 대해. 이

c

는 올림

L

의 선택에 따라 달라진다. 다른 올림

L'(g) = f(g)L(g)

를 선택하면 다른 코사이클이 생성된다.

:

c^\prime(g, h) = f(gh)f(g)^{-1} f(h)^{-1} c(g,h)

이는

c

와 코호몰로지적이다. 따라서

L

은

H^2(G, F^*)

에서 유일한 클래스를 정의한다. 이 클래스는 자명하지 않을 수 있다. 예를 들어, 대칭군과 교대군의 경우, 슈어(Schur)는 슈어 승수의 정확히 하나의 비자명 클래스가 있으며, 모든 해당 기약 표현을 완전히 결정했다.

일반적으로, 비자명 클래스는

G

에 대한 확장 문제로 이어진다.

G

가 올바르게 확장되면, 확장된 군의 선형 표현을 얻게 되며, 이는 다시

G

로 되돌아갈 때 원래의 사영 표현을 유도한다. 해는 항상 중심 확장이다. 슈어의 보조정리에 따르면,

G

의 중심 확장의 기약 표현과

G

의 기약 사영 표현은 본질적으로 동일한 객체이다.

3. 3. 유한 차원 및 무한 차원 사영 유니터리 표현

리 군의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 연결 리 군

G

의 사영 유니터리 표현이 주어지면, 항상 특정 가환 네모를 만족시키는 유니터리 표현을 찾을 수 있다.

무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 '''바르그만 정리'''(Bargmann’s theorem^영어)에 따르면, 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

리 군의 사영 표현을 연구하면 그 중심 확대의 진정한 표현을 고려하게 된다. 많은 경우에, 덮개군의 표현을 고려하는 것으로 충분하다. 구체적으로, 연결된 리 군의 덮개가 주어지면, 이산 중심 부분군에 대해 특정 관계가 성립한다. 또한, 기약 유니타리 표현이 주어지면, 슈어 보조정리에 의해 중심 부분군은 항등원의 스칼라 배수로 작용한다. 따라서 사영 수준에서 원래 군으로 내려가는 사영 표현을 정의할 수 있다.

바그만의 정리는 특정 조건 하에서 모든 기약 사영 유니타리 표현이 이러한 방식으로 발생하는지에 대한 기준을 제공한다. 중요한 예시는 회전군 SO(3)의 경우인데, SO(3)의 보편적 덮개는 SU(2)이다. SU(2)의 표현론에 따르면, 홀수 차원 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려오고, 짝수 차원 표현은 SO(3)의 사영 표현으로 내려온다. 이러한 SO(3)의 사영 표현은 "스피노리얼 표현"이라고 하며, 그 요소는 스피너라고 불린다.

SO(3)의 모든 유한 차원 기약 ''사영'' 표현은 SU(2)의 유한 차원 기약 ''일반'' 표현에서 나온다.

양자 물리학에서 물리 시스템의 대칭성은 일반적으로 리 군의 양자 힐베르트 공간에 대한 사영 유니타리 표현으로 구현된다. 몫을 취하는 이유는 물리적으로 힐베르트 공간에서 비례하는 두 벡터가 동일한 물리적 상태를 나타내기 때문이다. 따라서 항등원의 배수인 유니타리 연산자는 물리적 상태 수준에서 항등원 역할을 한다.

유한 차원 사영 표현은 리 대수의 사영 유니타리 표현을 생성한다. 유한 차원인 경우, 리 대수 표현을 "비사영화"하는 것이 항상 가능하다. 준동형 사상 정리에 비추어 볼 때, 보편 피복으로 넘어가는 것을 희생하여 비사영화하는 것이 가능하다. 즉, 모든 유한 차원 사영 유니타리 표현은 보편 피복군의 일반적인 유니타리 표현에서 발생한다.

반대로, 보편 피복군의 기약 유니타리 표현이라면, 슈어의 보조정리에 의해, 중심은 항등원의 스칼라 배수로 작용한다. 따라서 사영 수준에서, 원래 군의 사영 표현으로 내려간다. 따라서 기약 사영 표현과 보편 피복군의 기약 행렬식이 1인 일반 표현 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 있다.

중요한 예는 SO(3)의 경우이며, 그 보편 피복은 SU(2)이다. 리 대수는 반단순이고, SU(2)는 콤팩트 군이므로, 이에 대한 모든 유한 차원 표현은 표현이 유니타리가 되는 내적을 허용한다.^[6] 따라서, SO(3)의 기약 ''사영'' 표현은 SU(2)의 기약 ''일반'' 표현과 일대일로 대응한다.

이전 결과는 무한 차원에서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 위치 공간 및 운동량 공간에서의 변환을 고려해 보자. 이러한 연산자들은 사영 유니타리 표현을 정의할 수 있지만, 일반적인 유니타리 표현으로는 이어지지 않는다. 그러나 이러한 연산자들은 하이젠베르크 군의 일반적인 유니타리 표현에서 나온다.

반면에, 바르그만의 정리에 따르면 리 대수의 두 번째 리 대수 코호몰로지 군이 자명할 경우, 모든 사영 유니타리 표현은 보편 피복으로 이동한 후 사영 해제될 수 있다.^[9]^[10] 이 정리는 군에는 적용되지 않는데, 관련 가환 리 대수의 두 번째 코호몰로지 군이 자명하지 않기 때문이다. 이 결과가 적용되는 예시로는 반단순군과 푸앵카레 군 등이 있다.

바르그만의 정리 증명은 중심 확대를 고려함으로써 진행된다. 주요 기술적 요점은 중심확대가 리 군임을 보이는 것이다. 일단 이 결과가 확립되면, 중심 확대는 1차원 리 군 중심 확대임을 알 수 있으므로, 리 대수도 1차원 중심 확대이다. 코호몰로지 군은 1차원 중심 확대의 공간으로 식별될 수 있다. 이 값이 자명한 경우 모든 1차원 중심 확대는 자명하다. 이 경우 보편 피복은 보편 피복과 실수선의 복사본의 직적일 수밖에 없다. 그런 다음 표현을 보편 피복으로 끌어올리고, 마지막으로 이 끌어올림을 보편 피복으로 제한할 수 있다.

4. 예

특수 직교군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 스피너 사영 표현이다. 이들은 스핀 군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.^[3] 스핀 군은 중심 확대이자 범피복군이다.

: $1 \to \operatorname{Cyc}(2) \cong \operatorname Z(\operatorname{Spin}(n)) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1 \qquad(n\ge3)$

회전군 SO(3)의 경우, 보편적 덮개는 SU(2)이다. SU(2)의 표현론에 따르면, 각 차원에서 SU(2)의 기약 표현이 정확히 하나씩 존재한다. 차원이 홀수일 때("정수 스핀"의 경우), 이 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려온다. 차원이 짝수일 때("분수 스핀"의 경우), 이 표현은 SO(3)의 사영 표현으로 내려오며, 일반적인 표현에서 나오지 않는다. 이러한 SO(3)의 사영 표현은 "스피노리얼 표현"이라고 하며, 그 요소(벡터)는 스피너라고 불린다.

4. 1. 범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현

양자역학에서 위치 및 운동량 연산자는 하이젠베르크 군의 유니터리 표현으로 유도되는 사영 유니터리 표현의 한 예시이다.^[7]^[8]

아벨 리 군

\mathbb R^{2n} = \{(\mathbf x,\mathbf p)\colon \mathbf x,\mathbf p \in \mathbb R^n\}

의 르베그 공간

\operatorname L^2(\mathbb R^n)

위에 정의된 다음과 같은 사영 표현을 생각할 수 있다.

:

\rho \colon \mathbb R^{2n} \to \operatorname L^2(\mathbb R^n)

:

\rho(\mathbf x,\mathbf0)f(\mathbf y) = f(\mathbf y-\mathbf x)

:

\rho(\mathbf0,\mathbf p)f(\mathbf y) = \exp(\mathrm i\mathbf p\cdot\mathbf y)f(\mathbf y)

이는 양자역학에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 교환자는 절댓값이 1인 복소수이므로, 사영 유니터리 표현을 이룬다.

\mathbb R^{2n}

은 단일 연결 공간이며, 스스로의 범피복군이다. 그러나 이 사영 유니터리 표현은

\mathbb R^{2n}

의 유니터리 표현으로부터 유도되지 않으며,

\mathbb R^{2n}

의 중심 확장인 하이젠베르크 군

:

1 \to \mathbb R^\times \to \operatorname{Heis}(n;\mathbb R) \to \mathbb R^{2n} \to 1

의 유니터리 표현으로 유도된다.

\mathbb R^n

에서 움직이는 양자 입자의 위치 공간 및 운동량 공간에서의 변환은 힐베르트 공간

L^2(\mathbb R^n)

에 작용한다. 이러한 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}(T_a f)(x) &= f(x - a) \\(S_a f)(x) &= e^{iax}f(x),\end{align}

여기서

a\in\mathbb R^n

이다. 이 연산자들은

\mathbb R^{2n}

의 사영 유니터리 표현

\rho

를 정의한다.

:

\rho(a, b) = [T_a S_b]

이 연산자들은 위상 인수를 제외하고는 서로 교환하기 때문이다. 그러나 어떤 방식으로 위상 인수를 선택하더라도, 이는 일반적인 유니터리 표현으로 이어지지 않는다. 위치 변환은 운동량 변환과 교환하지 않으며, 0이 아닌 상수를 곱해도 이 관계는 변하지 않기 때문이다. 하지만 이러한 연산자들은

\mathbb R^{2n}

의 1차원 중심 확장인 하이젠베르크 군의 일반적인 유니터리 표현에서 유도된다. (스톤-폰 노이만 정리 참조).

4. 2. 이산 푸리에 변환 (Discrete Fourier Transform)

오실레이터 표현, 세타 표현

소수

p

에 대한 정수 모듈로

p

의 필드

\mathbb Z/p

를 고려하고,

V

를

\mathbb C

값을 갖는

\mathbb Z/p

상의 함수들의

p

차원 공간이라고 하자.

\mathbb Z/p

의 각

a

에 대해,

V

에 대한 두 개의 연산자

T_a

와

S_a

를 다음과 같이 정의한다.

:

\begin{align}(T_a f)(b) &= f(b - a) \\(S_a f)(b) &= e^{2\pi iab/p}f(b).\end{align}

S_a

에 대한 공식을

a

와

b

가 정수인 것처럼 작성했지만, 결과는

a

와

b

mod

p

의 값에만 의존한다. 연산자

T_a

는 변환이고,

S_a

는 주파수 공간에서의 이동이다(즉,

f

의 이산 푸리에 변환을 변환하는 효과가 있다).

\mathbb Z/p

의 모든

a

와

b

에 대해, 연산자

T_a

와

S_b

는 상수를 곱하는 것까지 교환함을 쉽게 확인할 수 있다.

:

T_a S_b = e^{-2\pi iab/p}S_b T_a

.

따라서

\mathbb Z/p\times \mathbb Z/p

의 사영 표현

\rho

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\rho(a, b) = [T_a S_b]

,

여기서

[A]

는 몫 그룹

\mathrm{PGL}(V)

에서 연산자

A\in\mathrm{GL}(V)

의 이미지를 나타낸다.

T_a

와

S_b

는 상수를 곱하는 것까지 교환하므로,

\rho

는 사영 표현임이 쉽게 확인된다. 반면에,

T_a

와

S_b

는 실제로 교환하지 않으며—그리고 그들의 0이 아닌 배수는 교환하지 않을 것이므로—

\rho

는

\mathbb Z/p\times \mathbb Z/p

의 일반 (선형) 표현으로 리프팅될 수 없다.

사영 표현

\rho

가 충실하기 때문에, 이전 섹션의 구성에 의해 얻어진

\mathbb Z/p\times \mathbb Z/p

의 중심 확대

H

는

\mathrm{GL}(V)

에서

\rho

의 이미지의 사전 이미지일 뿐이다. 구체적으로, 이것은

H

가 다음과 같은 형태의 모든 연산자의 그룹임을 의미한다.

:

e^{2\pi ic/p}T_a S_b

for

a,b,c\in\mathbb Z/p

. 이 그룹은 하이젠베르크 군의 이산 버전이며, 다음과 같은 형태의 행렬 그룹과 동형이다.

::

\begin{pmatrix}1 & a & c\\0 & 1 & b\\0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}

with

a, b, c\in\mathbb Z/p

.

4. 3. 리 군의 사영 표현 (Projective Representations of Lie Groups)

리 군의 사영 표현은 그 중심 확대의 진정한 표현을 고려함으로써 연구될 수 있다(^[1] 참조). 많은 경우, 덮개군의 표현을 고려하는 것으로 충분하다.

구체적으로,

\hat G

가 연결된 리 군

G

의 연결된 덮개라고 가정하면, 이산 중심 부분군

N

에 대해

G\cong \hat G/N

이 성립한다. (여기서

\hat G

는

G

의 특별한 종류의 중심 확대이다.) 또한,

\Pi

가

\hat G

의 기약 유니타리 표현이라고 가정하자(차원이 무한일 수도 있다). 그러면 슈어 보조정리에 의해 중심 부분군

N

은 항등원의 스칼라 배수로 작용한다. 따라서 사영 수준에서

\Pi

는

G

로 내려간다. 즉, 각

g\in G

에 대해,

\hat G

에서

g

의 역상

\hat g

를 선택하고, 다음과 같이 사영 표현

\rho

를 정의할 수 있다.

:

\rho(g) = \left[\Pi\left(\hat g\right)\right]

여기서

[A]

는 연산자

A\in\mathrm{GL}(V)

의

\mathrm{PGL}(V)

에서의 상을 나타낸다.

N

이

\hat G

의 중심에 포함되고

\hat G

의 중심이 스칼라로 작용하므로,

\left[\Pi\left(\hat g\right)\right]

의 값은

\hat g

의 선택에 의존하지 않는다.

위의 구성은 사영 표현의 중요한 예시이다. 바그만의 정리는

G

의 ''모든'' 기약 사영 유니타리 표현이 이러한 방식으로 발생하는지에 대한 기준을 제공한다.

4. 4. SO(3)의 사영 표현 (Projective Representations of SO(3))

리 군의 사영 표현을 연구하면 그 중심 확대의 진정한 표현을 고려하게 된다. 많은 경우에, 덮개군의 표현을 고려하는 것으로 충분하다.

회전군 SO(3)의 경우, SO(3)의 보편적 덮개는 SU(2)이다. SU(2)의 표현론에 따르면, 각 차원에서 SU(2)의 기약 표현이 정확히 하나씩 존재한다. 차원이 홀수일 때("정수 스핀"의 경우), 이 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려온다.^[3] 차원이 짝수일 때("분수 스핀"의 경우), 이 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려오지 않지만, SO(3)의 사영 표현으로 내려온다. 이러한 SO(3)의 사영 표현(일반적인 표현에서 나오지 않는 표현)은 "스피노리얼 표현"이라고 하며, 그 요소(벡터)는 스피너라고 불린다.

SO(3)의 모든 유한 차원 기약 ''사영'' 표현은 SU(2)의 유한 차원 기약 ''일반'' 표현에서 나온다.

4. 5. 덮개군 (Examples of Covers)

여러 중요한 군들은 다른 군에 의해 덮개를 이루며, 이는 사영 표현 연구에 유용하다. 주목할 만한 예시는 다음과 같다.

특수 직교군 SO(''n'', ''F'')은 스핀 군 Spin(''n'', ''F'')에 의해 이중 덮개를 이룬다.
특히, SO(3)군 (3차원 회전군)은 SU(2)에 의해 이중 덮개를 이룬다. 이는 SU(2)의 표현 연구가 스핀의 비상대론적(저속) 이론으로 이어지기 때문에 양자역학에서 중요한 응용 분야를 갖는다.
SO⁺(3;1)군은 뫼비우스 군과 동형이며, 마찬가지로 SL₂(C)에 의해 이중 덮개를 이룬다. 둘 다 앞서 언급한 SO(3)과 SU(2)의 상위 군이며, 상대론적 스핀 이론을 형성한다.
푸앵카레 군의 보편 덮개는 이중 덮개(SL₂(C)와 R⁴의 반직접 곱)이다. 이 덮개의 기약 유니타리 표현은 위그너의 분류와 같이 푸앵카레 군의 사영 표현을 발생시킨다. 덮개로 넘어가는 것은 분수 스핀 경우를 포함하기 위해 필수적이다.
직교군 O(''n'')은 핀 군 Pin_±(''n'')에 의해 이중 덮개를 이룬다.
심플렉틱 군 Sp(2''n'')=Sp(2''n'', R) (심플렉틱 군의 콤팩트 실수 형태와 혼동하지 말 것. 이 역시 때때로 Sp(''m'')으로 표시됨)은 메타플렉틱 군 Mp(2''n'')에 의해 이중 덮개를 이룬다. Sp(2''n'')의 중요한 사영 표현은 Mp(2''n'')의 메타플렉틱 표현에서 비롯된다.

5. 역사

바르그만은 1954년에 바르그만 정리를 증명하였다.^[11]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 논문 On unitary ray representations of continuous groups 1954

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