심플렉틱 다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 부분 다양체
6. 라그랑지안 올다발
7. 라그랑지안 사상
8. 응용
9. 특수화 및 일반화
참조

1. 개요

심플렉틱 다양체는 매끄러운 다양체와 닫힌 비퇴화 2차 미분 형식인 심플렉틱 형식으로 구성된 순서쌍이다. 심플렉틱 형식은 반대칭성, 닫힘, 비퇴화성을 만족해야 하며, 짝수 차원을 갖는다. 심플렉틱 다양체는 표준적인 부피 형식을 가지며, 심플렉틱 형식을 보존하는 매끄러운 함수를 사상으로 하는 범주를 형성한다. 심플렉틱 동형 사상은 심플렉틱 다양체의 범주에서의 동형 사상으로, 해밀턴 역학에서 정준변환으로 불린다. 심플렉틱 다양체는 국소적으로 평탄하며, 다양한 부분 다양체와 라그랑지안 올다발, 라그랑지안 사상 등의 개념을 갖는다. 심플렉틱 다양체는 해밀턴 역학의 위상 공간으로 활용되며, 정확한 심플렉틱 다양체, almost Kähler manifold, 푸아송 다양체 등으로 특수화되거나, 다중심플렉틱 다양체, 고차 심플렉틱 다양체 등으로 일반화될 수 있다.

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심플렉틱 다양체
개요
접촉 기하학 및 해밀턴 역학에서 중요한 역할을 하는 미분가능 다양체의 유형
정의	짝수 차원 미분가능 다양체 M과 M 상의 닫힌 2-형식 ω
조건	ω가 퇴화하지 않음
역사
기원	해밀턴 역학 연구에서 기인
주요 연구자	조제프루이 라그랑주 시메옹 드니 푸아송 윌리엄 로언 해밀턴
기본 개념
심플렉틱 형식 (ω)	다양체 위의 닫힌 비퇴화 2-형식
닫힘 조건	dω = 0 (ω의 외미분은 0)
비퇴화 조건	각 점에서 ωx(u, v) = 0이면 u = 0
심플렉틱 벡터 공간	심플렉틱 형식이 주어진 벡터 공간
성질
차원	항상 짝수 차원
다르부 정리	모든 심플렉틱 다양체는 국소적으로 표준 형태를 가짐
모서리 정리	닫힌 2-형식은 국소적으로 어떤 1-형식의 미분으로 표현 가능
예시
위상 공간	해밀턴 역학에서 위상 공간은 자연스러운 심플렉틱 구조를 가짐
켈러 다양체	심플렉틱 구조와 리만 구조를 동시에 갖는 복소다양체
여접다발	다양체의 여접다발은 표준적인 심플렉틱 형식을 가짐
응용
해밀턴 역학	고전 역학의 위상 공간 기술
양자화	기하학적 양자화 이론
끈 이론	이론물리학의 특정 모델
위상수학	4차원 다양체 연구
관련 개념
접촉 다양체	심플렉틱 다양체와 유사한 홀수 차원 다양체
푸아송 다양체	심플렉틱 다양체의 일반화
모멘트 사상	리 군 작용과 관련된 사상
참고 문헌
주요 참고 서적	McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (1998), Introduction to Symplectic Topology, 옥스퍼드 수학 모노그래프, 옥스퍼드 대학교 출판부, ISBN 0-19-850451-4
추가 참고 자료	Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. See section 3.2

2. 정의

'''심플렉틱 다양체''' $(M,\omega)$ 는 매끄러운 다양체 $M$ 와, 그 위에 정의된 닫힌 비퇴화 2차 미분 형식 $\omega$ 으로 이루어진 순서쌍이다.^[3]^[4] 여기서 $\omega$ 를 '''심플렉틱 형식'''(symplectic form|심플렉틱 형식^영어)이라고 한다.

심플렉틱 형식 $\omega$ 는 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.

'''반대칭성''': 2차 미분 형식의 정의에 따라 $\omega$ 는 각 점 $p \in M$ 의 접공간 $T_pM$ 위에서 반대칭 쌍선형 형식이다. 즉, 모든 벡터장 $X, Y$ 에 대해 $\omega(X,Y)=-\omega(Y,X)$ 이다.^[9]^[10]
'''닫힘''': $\omega$ 의 외미분 $\mathrm d\omega$ 는 0이다 ( $\mathrm d\omega=0$ ). 이는 푸앵카레 보조정리에 의해 국소적으로 $\omega=d\theta$ 인 1차 미분 형식 $\theta$ 가 존재함을 의미한다. 이 $\theta$ 를 '''심플렉틱 퍼텐셜'''(symplectic potential|심플렉틱 퍼텐셜^영어)이라고 부르기도 한다.
'''비퇴화성''': 임의의 점 $p\in M$ 에서, 모든 0이 아닌 접벡터 $X\in T_pM$ 에 대하여, $\omega(X,Y)\ne0$ 인 접벡터 $Y\in T_pM$ 이 존재해야 한다.^[3]^[4] 즉, $X \ne 0$ 이면 1차 형식 $\omega(X,\cdot)$ 도 0이 아니다. 따라서 $\omega$ 는 각 점 $p$ 에서 접공간 $T_pM$ 과 그 쌍대 공간인 여벡터 공간 $T_p^*M$ 사이의 동형사상 $X \mapsto \omega(X, \cdot)$ 을 정의한다. 이 점에서 심플렉틱 형식은 리만 다양체의 계량 텐서와 유사한 역할을 한다. 비퇴화성 조건과 반대칭성 조건 때문에 심플렉틱 다양체는 반드시 짝수 차원을 가져야 한다.^[3]^[4]^[9]^[10]

만약

\omega

가 반대칭성과 비퇴화성은 만족하지만 닫혀 있지 않다면, 이를 '''거의 심플렉틱 형식'''(almost symplectic form|거의 심플렉틱 형식^영어)이라고 하고, 이러한 형식을 갖춘 다양체

(M, \omega)

를 '''거의 심플렉틱 다양체'''(almost symplectic manifold|거의 심플렉틱 다양체^영어)라고 한다.

다양체

M

에 심플렉틱 형식

\omega

를 지정하는 것을 "다양체

M

에 '''심플렉틱 구조'''를 부여한다"고 표현한다.

'''심플렉틱 다양체의 범주'''는 심플렉틱 다양체를 대상으로 하고, 심플렉틱 형식을 보존하는 매끄러운 함수를 사상으로 하는 범주이다. 즉, 두 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

,

(M',\omega')

사이의 사상은

f^*\omega'=\omega

를 만족하는 매끄러운 함수

f\colon M\to M'

이다. 여기서

f^*

는

f

에 의한 미분 형식의 당김 연산이다.

'''심플렉틱 동형 사상'''(symplectomorphism|심플렉토모피즘^영어)은 심플렉틱 다양체의 범주에서의 동형 사상이다. 즉, 두 심플렉틱 다양체

(M,\omega)

,

(M',\omega')

사이의 심플렉틱 동형 사상

f

는

f^*\omega'=\omega

를 만족하는 미분동형사상

f\colon M\to M'

이다. 심플렉틱 동형 사상은 해밀턴 역학에서 정준변환에 해당한다.

3. 성질

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 는 표준적으로 부피 형식을 가지며, 따라서 표준적으로 유향 다양체를 이룬다. 구체적으로, 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 이용하여 다음과 같은 최고차 미분 형식을 정의할 수 있다.

: $\frac1{n!}\underbrace{\omega\wedge\omega\wedge\dotsb\wedge\omega}_{n = (\dim M)/2} \in \Omega^{\dim M}(M)$

$\omega$ 가 비퇴화이기 때문에, 이 형식은 항상 부피 형식을 정의한다. 따라서 모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원의 유향 다양체이다.

콤팩트 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 의 경우, 2차 베티 수 $b_2(M)$ 는 0일 수 없다. 이는 $\omega^n/n!$ 이 부피 형식이므로, $\omega$ 가 정의하는 코호몰로지 동치류 $[\omega]$ 가 $\mathbb H^2(M;\mathbb Q)$ 에서 0이 아니기 때문이다 ( $0\ne[\omega]\in\mathbb H^2(M;\mathbb Q)$ ).

모든 심플렉틱 다양체는 호환되는 개복소구조를 가지므로, 개복소구조의 존재는 심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건이다. 특히, 4차원 다양체 $M$ 의 경우, 개복소구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같이 주어진다.

: $1-b_1(M)+b_2^+(M)\equiv0\pmod2$

여기서 $b_i$ 는 베티 수이고, $b_2^\pm$ 는 2차 코호몰로지 군 $H^2(M)$ 에서 교차 형식 아래 고윳값이 $\pm1$ 인 부분 공간의 차원이다.

차원과 방향을 제외하면, 위 조건들은 모두 호모토피 불변량이다. 이 밖에도, 자이베르그-위튼 불변량을 통해, 호모토피 불변이 아닌, 심플렉틱 구조의 존재에 대한 필요 조건을 유도할 수 있다.

다르부 정리에 따르면, 모든 심플렉틱 다양체는 국소적으로 평탄한 공간(표준적인 심플렉틱 벡터 공간)과 동형이다. 즉, 심플렉틱 다양체는 리만 다양체와 달리 곡률과 같은 국소적인 기하학적 불변량을 갖지 않는다.

대역적으로, 심플렉틱 다양체는 부피를 가지며, 부피 외에도 심플렉틱 용량이라는 2차원적인 "넓이"에 해당하는 불변량을 갖는다.

리만 다양체의 경우와 마찬가지로, 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 의 접다발 $\mathrm TM$ 과 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 은 표준적으로 동형이다. 이 동형은 다음과 같은 '''음악 사상'''(musical morphism^영어)으로 정의된다.

: $\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM$

: $\flat \colon \mathrm TM \to \mathrm T^*M$

: $\sharp\colon \alpha \mapsto \omega^{-1}(\alpha,-)$

: $\flat\colon v \mapsto \omega(v,-)$

여기서 $\omega^{-1}$ 는 $\omega$ 로부터 유도되는 $\mathrm T^*M \otimes \mathrm T^*M \to \mathbb R$ 형식이 아니라, $\omega$ 가 정의하는 동형 사상 $\mathrm TM \to \mathrm T^*M$ 의 역함수 $\mathrm T^*M \to \mathrm TM$ 를 의미한다. 실수 벡터 다발은 항상 자신의 쌍대 다발과 동형이지만, 리만 계량이나 심플렉틱 형식과 같은 추가 구조가 없다면 이 동형은 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.

또한, 심플렉틱 다양체의 접다발의 부분 벡터 다발 $E \subseteq \mathrm TM$ 이 주어졌을 때, 그 '''직교 여다발'''(orthogonal complement^영어)

: $E^\perp = \{v\in \mathrm TM \colon \omega(v,e) = 0 \text{ for all } e \in E\} = \ker(E \hookrightarrow \mathrm TM \xrightarrow{\flat} \mathrm T^*M)$

을 정의할 수 있다.

심플렉틱 형식 $\omega$ 와 호환되는 거의 복소구조를 가진 리만 다양체는 거의 복소다양체라고 불린다. 이는 켈러 다양체의 개념을 일반화한 것으로, 개복소구조가 반드시 적분 가능할 필요는 없다. 즉, 다양체의 복소 구조로부터 유도될 필요는 없다.

4. 예

심플렉틱 벡터 공간: $\R^{2n}$ 의 기저를 $\{v_1, \ldots, v_{2n}\}$ 이라고 할 때, 이 기저에 대한 심플렉틱 형식 ''ω''는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:

\omega(v_i, v_j) = \begin{cases} 1 & j-i =n \text{ 이고 } 1 \leqslant i \leqslant n \\ -1 & i-j =n \text{ 이고 } 1 \leqslant j \leqslant n \\ 0 & \text{그 외의 경우} \end{cases}

이 경우 심플렉틱 형식은 간단한 이차 형식으로 표현되며, 해당 이차 형식의 행렬 Ω는 ''n'' × ''n'' 항등 행렬

I_n

을 사용하여 다음과 같은 2''n'' × 2''n'' 블록 행렬로 나타낼 수 있다.

:

\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n  \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}.

초구 $\mathbb S^n$ 가 심플렉틱 구조를 가질 수 있는 필요충분조건은 $n=0$ 또는 $n=2$ 인 경우이다. $n$ 이 홀수일 때는 불가능하며, $n>2$ 이고 짝수일 때는 2차 베티 수가 0이기 때문에 불가능하다.

임의의 $n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 의 여접다발 $T^*M$ 은 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. $M$ 위의 국소 좌표계를 $(q^1, \ldots, q^n)$ 이라 하고, 이에 대응하는 코탄젠트 다발의 섬유 좌표계를 $(p_1, \ldots, p_n)$ (즉, 코탄젠트 벡터 $dq^1, \ldots, dq^n$ 에 대한 좌표)라고 하면, 여접다발 $T^*M$ 위의 점은 국소적으로 $(q^i, p_i)$ 로 나타낼 수 있다. 이때 표준 심플렉틱 형식 또는 푸앵카레 2-형식이라고 불리는 심플렉틱 형식 $\omega$ 는 다음과 같이 정의된다.

::

\omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq^i

이는 심플렉틱 퍼텐셜

\theta = \sum_{i=1}^n p_i dq^i

의 외미분

\omega = d\theta

로도 얻을 수 있다. 이렇게 정의된

(T^*M, \omega)

는

2n

차원 심플렉틱 다양체를 이룬다. 여접다발은 고전 역학에서 자연스럽게 등장하는 위상 공간이다.

임의의 리만 곡면 (2차원 유향 다양체) 위에서는 적절한 리만 계량을 부여하고, 그에 따른 부피 형식을 심플렉틱 형식으로 삼으면 심플렉틱 다양체를 만들 수 있다. 즉, 2차원에서는 다양체가 방향을 가질 수 있는지(가향성) 여부만이 심플렉틱 구조 존재의 유일한 제약 조건이다.

켈러 다양체는 호환 가능한 적분 가능한 복소 구조를 갖춘 심플렉틱 다양체이다. 이는 복소 다양체의 특별한 종류이며, 복소 대수 기하학에서 많은 예시를 찾을 수 있다. 예를 들어, 모든 매끄러운 복소 사영 대수다양체 $V \subset \mathbb{CP}^n$ 는 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 위의 푸비니-스터디 형식을 제한하여 얻는 심플렉틱 형식을 가진다. 또한, 엔리퀘스-고다이라 분류에 따르면, 1차 베티 수가 짝수인 모든 4차원(=복소 2차원) 단일 연결 복소다양체는 켈러 다양체 구조를 가질 수 있으며, 따라서 심플렉틱 구조도 가질 수 있다.^[14]

5. 부분 다양체

심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 의 부분 다양체에는 몇 가지 자연스러운 기하학적 개념이 존재한다.

심플렉틱 부분 다양체: $M$ 의 (짝수 차원일 수 있는) 부분 다양체 $S \subset M$ 중에서, $M$ 의 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 $S$ 에 제한한 $\omega|_S$ 가 $S$ 자체의 심플렉틱 형식이 되는 경우를 말한다. 즉, 심플렉틱 부분 다양체는 그 자체로 심플렉틱 다양체가 된다.
등방 부분 다양체(isotropic submanifold): 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 부분 다양체에 제한했을 때 0이 되는 부분 다양체를 의미한다. 다시 말해, 각 점에서의 접선 공간이 주변 다양체 접선 공간의 등방 부분 공간이 되는 경우이다. 유사하게, 각 접선 공간이 코등방(coisotropic, 등방 부분 공간의 쌍대)이면 그 부분 다양체는 코등방 부분 다양체라고 한다.
라그랑주 부분 다양체(Lagrangian submanifold): 심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 의 부분 다양체 $L \subset M$ 중에서, 심플렉틱 형식 $\omega$ 를 $L$ 에 제한한 것이 0이 되고( $\omega|_L=0$ ), 차원이 원래 다양체 차원의 절반( $\text{dim }L = \frac{1}{2}\dim M$ )인 경우를 말한다. 라그랑주 부분 다양체는 차원이 가장 큰 등방 부분 다양체이다.

라그랑주 부분 다양체는 등방 부분 다양체 중에서 특히 중요하게 다뤄진다. 대표적인 예시 중 하나는 곱 심플렉틱 다양체

(M \times M, \omega \times -\omega)

에서 심플렉틱 동형 사상의 그래프가 라그랑주 부분 다양체가 된다는 점이다. 이러한 라그랑주 부분 다양체들의 교차점은 일반적인 매끄러운 다양체에서는 볼 수 없는 강성(rigidity) 성질을 나타낸다. 아르놀트 추측은 매끄러운 라그랑주 부분 다양체의 자기 교차점 개수의 하한을 제시하는데, 이는 일반적인 매끄러운 다양체의 오일러 지표 대신 부분 다양체의 베티 수의 합으로 주어진다.

\mathbb{R}^{2n}

공간에 전역 좌표

(x_1, \dotsc, x_n, y_1, \dotsc, y_n)

을 부여하고 표준 심플렉틱 형식

:

\omega =\mathrm{d}x_1\wedge \mathrm{d}y_1 + \dotsb + \mathrm{d}x_n\wedge \mathrm{d}y_n.

을 정의할 수 있다. 이때

\mathbb{R}^n_{\mathbf{x}}

(즉,

y_1 = \dotsb = y_n = 0

인 부분 공간)은

\mathbb{R}^{2n}

의 표준적인 라그랑주 부분 다양체가 된다.

\mathbb{R}^n_{\mathbf{x}}

위의 임의의 접벡터

X, Y

에 대해

\omega(X, Y) = 0

이 성립하기 때문이다. 예를 들어

n=1

일 때,

X = f(x)\partial_x, Y=g(x)\partial_x

이고

\omega = \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y

이면,

:

\omega(X,Y) = \omega(f(x)\partial_x,g(x)\partial_x) = \frac{1}{2}f(x)g(x)(\mathrm{d}x(\partial_x)\mathrm{d}y(\partial_x) - \mathrm{d}y(\partial_x)\mathrm{d}x(\partial_x)) = 0

이 된다. 왜냐하면

\mathrm{d}y(\partial_x) = 0

이기 때문이다.

다양체의 여접다발

T^*M

은 국소적으로

\mathbb{R}^{2n}

과 유사한 구조를 가지며, 자연스러운 심플렉틱 형식을 부여받아 심플렉틱 다양체가 된다. 여접다발의 영단면(zero section), 즉 각 점

p \in M

에 영벡터

0 \in T_p^*M

을 대응시키는 부분 다양체는 라그랑주 부분 다양체의 중요한 예시이다. 예를 들어,

X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y^2 - x = 0\}

의 여접다발

T^*X

는

\mathbb{R}^4 = T^*\mathbb{R}^2

의 부분 다양체로 볼 수 있는데, 여기서 영단면(

\mathrm{d}x=0, \mathrm{d}y=0

인 부분)은 라그랑주 부분 다양체가 된다.

표준 공간

\mathbb{R}^{2n}

을 좌표

(q_1,\dotsc ,q_n,p_1,\dotsc ,p_n)

으로 생각할 때,

n

개의 매개변수

(u_1,\dotsc,u_n)

으로 기술되는 부분 다양체

L

:

q_i=q_i(u_1,\dotsc,u_n) \quad p_i=p_i(u_1,\dotsc,u_n)

이 라그랑주 부분 다양체가 될 필요충분조건은 모든

i, j

에 대해 라그랑주 괄호

[u_i, u_j]

가 0이 되는 것이다.

:

[u_i,u_j]=\sum_k \left( \frac {\partial q_k}{\partial u_i}\frac {\partial p_k}{\partial u_j} - \frac {\partial p_k}{\partial u_i}\frac {\partial q_k}{\partial u_j} \right) = 0

이는 심플렉틱 형식

\omega

가

L

의 접다발

TL

위에서 0이 되어야 한다는 조건, 즉

\omega\left( \frac {\partial}{\partial u_i}, \frac {\partial}{\partial u_j} \right)=0

과 동치이다.

모스 이론에서도 라그랑주 부분 다양체가 나타난다. 모스 함수

f:M\to\mathbb{R}

가 주어지면, 충분히 작은

\varepsilon

에 대해

\varepsilon \cdot \mathrm{d}f

의 그래프는 여접다발

T^*M

안의 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 일반적인 모스 함수의 경우, 이 라그랑주 부분 다양체와 영단면(

M

)의 교차점은 정확히

f

의 임계점 집합

\text{Crit}(f)

이 된다.

켈러 다양체 또는 칼라비-야우 다양체

M

에서는 정칙

n

-형식

\Omega=\Omega_1+\mathrm{i}\Omega_2

(여기서

\Omega_1

은 실수부,

\Omega_2

는 허수부)를 이용하여 특수 라그랑주 부분 다양체(special Lagrangian submanifold)를 정의할 수 있다. 이는 라그랑주 부분 다양체

L

중에서 추가적으로

\Omega_2

를

L

에 제한했을 때 0이 되는 경우를 말한다. 이 조건은 실수부

\Omega_1

을

L

에 제한하면

L

의 부피 형식이 된다는 것과 동치이다. 특수 라그랑주 부분 다양체의 예시는 다음과 같다.

하이퍼켈러 다양체의 복소 라그랑주 부분 다양체
칼라비-야우 다양체의 실수 구조(real structure)의 고정점 집합

SYZ 추측은 거울 대칭 현상을 설명하기 위해 칼라비-야우 다양체를 특수 라그랑주 원환면(torus)들로 분해하는 것을 제안하며, 특수 라그랑주 부분 다양체 연구에 큰 영향을 미쳤다. 또한 토마스-야우 추측은 칼라비-야우 다양체에서 특수 라그랑주 부분 다양체의 존재성이 후카야 범주의 브릿지랜드 안정성 조건과 관련된 안정성 개념과 동등할 것이라고 예측한다.

6. 라그랑지안 올다발

'''라그랑지안 올다발'''은 심플렉틱 다양체 ''M''의 모든 올이 라그랑주 부분다양체가 되는 올다발이다. 심플렉틱 다양체 ''M''은 짝수 차원이므로, 국소 좌표 $(p_1, \dots, p_n, q^1, \dots, q^n)$ 을 잡을 수 있다. 다르부 정리에 따라 심플렉틱 형식 ''ω''는 적어도 국소적으로 $\omega = \sum_k dp_k \wedge dq^k$ 형태로 쓸 수 있다. 여기서 d는 외미분이고, ∧는 외곱이다. 이 형식을 푸앵카레 2-형식 또는 정규 2-형식이라고도 한다.

이 구성을 사용하면, 심플렉틱 다양체 ''M''을 국소적으로 여접다발 $T^*\mathbb{R}^n$ 으로 생각할 수 있으며, 라그랑지안 올다발은 자명한 올다발 $\pi: T^*\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 으로 볼 수 있다. 이것이 라그랑지안 올다발의 표준적인 국소적 모습이다.

7. 라그랑지안 사상

''L''을 심플렉틱 다양체 (''K'', ω)의 라그랑지안 부분 다양체로 정의하고, 매장 ''i'' : ''L'' ↪ ''K'' (''i''는 '''라그랑지안 매장'''이다)가 주어졌다고 하자. 또한 ''π'' : ''K'' ↠ ''B''는 ''K''의 라그랑지안 올다발 구조를 나타낸다고 하자. 이때 합성 사상 (''π'' ∘ ''i'') : ''L'' ↪ ''K'' ↠ ''B''를 '''라그랑지안 사상'''이라고 부른다. ''π'' ∘ ''i''의 '''임계값 집합'''은 초점선(커스틱)이라고 한다.

두 라그랑지안 사상 (''π''₁ ∘ ''i''₁) : ''L''₁ ↪ ''K''₁ ↠ ''B''₁과 (''π''₂ ∘ ''i''₂) : ''L''₂ ↪ ''K''₂ ↠ ''B''₂는 다음 조건을 만족하면 '''라그랑지안 동치'''라고 한다. 즉, 미분동형사상 ''σ'' : ''L''₁ → ''L''₂, ''τ'' : ''K''₁ → ''K''₂, ''ν'' : ''B''₁ → ''B''₂가 존재하여 다음 가환도표가 가환하고, ''τ''는 심플렉틱 형식을 보존해야 한다.^[4]^[10]

기호로 표현하면 다음과 같다.

:

\tau \circ  i_1 = i_2 \circ \sigma, \quad \nu \circ \pi_1 = \pi_2 \circ \tau, \quad \tau^*\omega_2 = \omega_1 \,

여기서 ''τ''^∗''ω''₂는 ''τ''에 의한 ''ω''₂의 당김을 나타낸다.

8. 응용

심플렉틱 다양체는 고전역학, 특히 해밀턴 역학에서 닫힌 계의 위상 공간을 일반화한 개념으로 등장한다.^[7] 해밀턴 방정식이 미분방정식을 통해 계의 시간 변화를 설명하는 것처럼, 심플렉틱 형식 $\omega$ 는 해밀턴 함수 $H$ 의 미분 $dH$ 로부터 계의 흐름을 나타내는 벡터장 $V_H$ 를 얻게 해준다.^[8]

이를 위해서는 접다양체 $TM$ 에서 여접다양체 $T^*M$ 로 가는 선형 사상 $TM \rightarrow T^*M$ , 또는 이와 동등하게 $T^*M \otimes T^*M$ 의 원소가 필요하다. $\omega$ 를 $T^*M \otimes T^*M$ 의 단면이라 할 때, 다음과 같은 조건들이 요구된다.

1. $\omega$ 가 비퇴화(non-degenerate)여야 한다는 조건은, 모든 미분 $dH$ 에 대해 $dH = \omega(V_H, \cdot)$ 를 만족하는 유일한 벡터장 $V_H$ 가 존재함을 보장한다. 즉, 각 상태 변화(미분 $dH$ )에 대응하는 고유한 시스템의 흐름( $V_H$ )을 결정할 수 있게 한다.

2. 해밀토니안 $H$ (계의 총 에너지 등에 해당)가 시스템의 흐름선을 따라 일정하게 유지되어야 하므로, $dH(V_H) = \omega(V_H, V_H) = 0$ 이어야 한다. 이는 $\omega$ 가 교대 형식(alternating)이며, 따라서 2-형식임을 의미한다.

3. $\omega$ 는 시스템의 흐름 아래에서 변하지 않아야 한다. 즉, $V_H$ 방향으로의 리 미분 $\mathcal{L}_{V_H}(\omega)$ 이 0이어야 한다. 카르탕의 공식을 적용하면 다음과 같다.

: $\mathcal{L}_{V_H}(\omega) = \mathrm d (\iota_{V_H} \omega) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega = \mathrm d (\mathrm d H) + \iota_{V_H} \mathrm d\omega = \mathrm d\omega(V_H)=0$

여기서 $\iota_{V_H}$ 는 내부곱 연산자이다. 이 조건이 임의의 매끄러운 함수 $H$ 에 대해 성립하려면, $\omega$ 는 닫힌 형식(closed)이어야 한다 ( $\mathrm d\omega = 0$ ).

결론적으로, 해밀턴 역학의 위상 공간이 심플렉틱 다양체가 되기 위해서는 심플렉틱 형식 $\omega$ 가 비퇴화성, 교대성, 닫힘성을 만족해야 한다. 이러한 수학적 구조는 에너지 보존과 같은 물리 법칙을 자연스럽게 반영한다.

9. 특수화 및 일반화

심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$ 는 심플렉틱 형식 $\omega$ 가 완전 형식일 경우 '''정확 심플렉틱 다양체'''(exact symplectic manifold)라고 한다. 예를 들어, 매끄러운 다양체의 코탄젠트 다발은 표준 심플렉틱 형식을 부여하면 정확한 심플렉틱 다양체가 된다. 반면, 2-구면 위의 면적 2-형식은 닫힌 형식이지만 완전 형식이 아니므로, 이를 갖춘 2-구면은 정확하지 않은 심플렉틱 다양체이다.

심플렉틱 형식 $\omega$ 와 리만 계량 $g$ 가 특정 호환성 조건을 만족하여 호환 삼중쌍 $(M, \omega, g)$ 를 이룰 때, 해당 심플렉틱 다양체는 개 켈러 다양체(almost Kähler manifold)가 된다. 이는 접다발 $TM$ 이 개복소 구조(almost complex structure) $J$ 를 가짐을 의미한다. 그러나 이 개복소 구조 $J$ 는 반드시 적분 가능할 필요는 없으므로, 모든 개 켈러 다양체가 켈러 다양체인 것은 아니다.

모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체(Poisson manifold)의 특수한 경우이다. 심플렉틱 다양체의 정의에서 심플렉틱 형식 $\omega$ 가 모든 점에서 비퇴화여야 한다는 조건을 완화하더라도 여전히 푸아송 다양체가 된다.

심플렉틱 다양체의 개념은 다음과 같이 일반화될 수 있다.

'''다중심플렉틱 다양체'''(multisymplectic manifold): 차수 ''k'' ≥ 2 인 닫힌 비퇴화 미분 ''k''-형식 $\omega$ 를 갖춘 다양체 $(M, \omega)$ 를 의미한다.^[5]^[11] ''k''=2인 경우가 일반적인 심플렉틱 다양체에 해당한다.
'''고차 심플렉틱 다양체'''(polysymplectic manifold): 고차 심플렉틱 접공간(polysymplectic tangent space)에 값을 가지는 $(n+2)$ -형식이 주어진 르장드르 다발(Legendre bundle)이다. 이는 해밀턴 장 이론에서 중요한 역할을 한다.^[6]^[12]^[13]

참조

_[1] 웹사이트 What is a symplectic manifold, really? https://sbseminar.wo[...] 2012-01-09
_[2] 웹사이트 Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics https://math.mit.edu[...]
_[3] 서적 Symplectic Geometry and Quantum Mechanics Birkhäuser Verlag
_[4] 서적 The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1 Birkhäuser
_[5] 학술지 On the Geometry of Multisymplectic Manifolds
_[6] 학술지 Covariant Hamiltonian equations for field theory
_[7] 문서 "What is a symplectic manifold, really?" http://sbseminar.wor[...]
_[8] 문서 "Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics" http://research.micr[...]
_[9] 문서 "Symplectic Geometry and Quantum Mechanics" Birkhäuser Verlag, Basel 2006
_[10] 서적 The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1 Birkhäuser
_[11] 문서 J. Austral. Math. Soc. Ser. A 66 (1999), no. 3, 303-330
_[12] 문서 Covariant Hamiltonian equations for field theory
_[13] 문서 Covariant Hamiltonian equations for field theory
_[14] 서적 Handbook of Differential Geometry (vol. 2) North-Holland Press 2006
_[15] 웹인용 What is a symplectic manifold, really? https://sbseminar.wo[...] 2012-01-09
_[16] 웹인용 Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics https://math.mit.edu[...]

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