제트 (수학)

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1. 개요

제트(jet)는 매끄러운 다양체 위의 올다발의 단면에 대한 개념으로, 함수를 특정 차수까지 미분한 정보를 나타낸다. 제트는 동치 관계에 대한 동치류로 정의되며, 제트 공간, 제트 다발, 무한 제트 다발 등의 개념으로 확장된다. 제트는 대수적 성질을 가지며, 유클리드 공간에서의 함수, 다양체 사이의 함수, 단면 등에 대해 정의될 수 있다. 제트의 개념은 편미분 방정식, 변분법, 오일러-라그랑주 복합체 등과 밀접한 관련이 있으며, 샤를 에레스만이 처음 도입했다.

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제트 (수학)

2. 정의

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 올다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow M$ 이 주어졌다고 하자. 이때, $E$ 의 올 역시 $k$ 차원의 매끄러운 다양체라고 가정한다.

점 $x\in M$ 근방에 정의되는, $E$ 의 매끄러운 단면의 공간을 $\Gamma_x(E)$ 라고 표기한다. 제트의 엄밀한 정의에 앞서 몇 가지 특수한 경우를 살펴보는 것이 도움이 된다.

2. 1. 제트

매끄러운 다양체

M

위의 올다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow M

에서, 점

x\in M

의 근방에 정의되는

E

의 매끄러운 단면의 공간을

\Gamma_x(E)

라고 표기한다.

E

의 두 매끄러운 국소 단면

s,t\in\Gamma_x(E)

이

x\in M

에서 같은 '''

r

차 제트'''(rth jet^영어)를 갖는다는 것은,

M

의 국소 좌표계 및

E

의 국소 자명화 및 다중지표

\alpha\in\mathbb N^n

에 대하여,

|\alpha|\le r

이라면

\partial^\alpha s|_x=\partial^\alpha t|_x

임을 의미한다. 즉,

x

에서의 모든

r

차까지의 편미분 계수가 같다는 것을 의미한다.

r

차 제트는 이러한 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면

s\in\Gamma_x(E)

의

x\in M

에서의

r

차 제트를

j^r_xs

로 표기한다.

2. 2. 제트 공간

rth jet space^영어 템플릿을 수정해야 합니다.

n차원 매끄러운 다양체 M 위의 올다발 π: E→M이 주어졌다고 하자. 또한, E의 올 역시 k차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

점 x∈M의 근방에 정의되는, E의 매끄러운 단면의 공간을 Γ_x(E)라고 표기하자.

임의의 x∈M에 대하여, r차 제트들의 집합 J^r_xE에는 다음과 같이

:

\dim J^r_xE=k\sum_{i=0}^r\binom{i+n-1}i=k\binom{r+n}r

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. M의 π(e)∈M에서의 국소 좌표계 (x¹,...,xⁿ) 및 이를 확장하는 E의 e∈E에서의 국소 좌표계 (x¹,...,xⁿ,e¹,...,e^k)가 주어졌다면,

: (∂^αeⁱ)_{α∈Nⁿ, |α|≤r, i∈{1,...,k}}

는 J^r_xE의 국소 좌표계를 정의한다. J^r_xE를 E의 '''r차 제트 공간'''(r次jet空間, rth jet space^영어)이라고 한다.

r차 제트 공간에서 s
: J^r_xE→J^s_xE

그러나 s차 제트 공간에서 r>s차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

2. 3. 제트 다발

매끄러운 다양체

M

위의 올다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow M

이 주어졌다고 하자.

E

의 올 역시 매끄러운 다양체라고 하자.

M

위에, 모든 점에서의

r

차 제트 공간

J^r_xE

를 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를

r

차 '''제트 다발'''

J^rE\twoheadrightarrow M

이라고 한다.

자연스러운 사영

J^rE\twoheadrightarrow E

이 존재하므로, 이는

E

위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

:

j^r\colon \Gamma_x(E)\to \Gamma_x(J^rE)

:

j^r\colon s\mapsto j^rs\qquad\forall s\in\Gamma_x(E)

이 존재한다.

j^rs

를

s

의 '''

r

차 제트 연장'''(rth jet prolongation^영어)이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

2. 4. 무한 제트 다발

제트 다발 사이에는 사영 사상

:

J^rE\to J^sE\qquad(s

이 존재한다. 이에 대한 역극한

:

J^\infty E=\varprojlim_rJ^rE

을 '''무한 제트 다발'''(infinite jet bundle^영어)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(diffeological space^영어)의 구조를 줄 수 있다.

3. 제트의 대수적 성질

제트는 곱셈과 합성이라는 두 가지 기본적인 대수적 구조를 가질 수 있다.

만약 $f,g:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}$ 가 실수 값을 갖는 함수 쌍이라면, 제트의 곱은 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $J^k_{x_0}f\cdot J^k_{x_0}g=J^k_{x_0}(f\cdot g).$

여기서 제트는 형식적인 다항식이므로, 미지수 ''z''는 생략되었다. 이 곱은 ''z''에 대한 일반적인 다항식의 곱을 $z^{k+1}$ 로 나눈 나머지이다. 즉, $(z^{k+1})$ 이 차수가 ''k'' + 1 이상인 동차 다항식으로 생성된 아이디얼인 환 ${\mathbb R}[z]/(z^{k+1})$ 에서의 곱셈이다.

다음으로, 제트의 합성을 살펴보자. 불필요한 복잡함을 피하기 위해, 원점을 원점으로 보내는 함수의 제트를 고려한다. 만약 $f:{\mathbb R}^m\rightarrow{\mathbb R}^\ell$ 이고 $g:{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^m$ 이며, ''f''(0) = 0 및 ''g''(0) = 0이면, $f\circ g:{\mathbb R}^n \rightarrow{\mathbb R}^\ell$ 이다. ''제트의 합성''은 다음과 같이 정의된다.

: $J^k_0 f\circ J^k_0 g=J^k_0 (f\circ g).$

연쇄 법칙을 사용하면, 이것이 원점에서의 제트 공간에 대한 결합적이고 비가환적인 연산임을 쉽게 확인할 수 있다.

사실, ''k''-제트의 합성은 차수가 ''k''보다 큰 동차 다항식의 아이디얼을 모듈로로 하는 다항식의 합성과 같다.

'''예시:'''

1차원에서 $f(x)=\log(1-x)$ 이고 $g(x)=\sin\,x$ 라고 하자. 그러면

:

(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}

:

(J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}

이고, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}& (J^3_0f)\circ (J^3_0g)=-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\frac{1}{3} \left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3 \pmod{x^4} \\[4pt]= {} & -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\end{align}

4. 유클리드 공간에서의 제트

제트의 엄밀한 정의에 앞서, 몇 가지 특수한 경우를 살펴보는 것이 유용하다.

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 이 $x_0$ 의 근방 ''U''에서 적어도 ''k'' + 1개의 도함수를 갖는 실수 값을 갖는 함수라고 가정하면, 테일러 정리에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \cdots + \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x - x_0)^{k+1}$

여기서 $|R_{k+1}(x)| \le \sup_{x \in U} |f^{(k+1)}(x)|$ 이다. 그러면 점 $x_0$ 에서 ''f''의 ''k''-제트는 다음과 같은 다항식으로 정의된다.

: $(J^k_{x_0}f)(z) = \sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}z^i = f(x_0) + f'(x_0)z + \cdots + \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k.$

제트는 해당 변수의 실제 다항식 함수가 아닌 변수 ''z''의 추상 다항식으로 간주된다. 즉, ''z''는 제트 사이에서 다양한 대수 연산을 수행할 수 있게 해주는 부정원 변수이다. 제트는 기준점 $x_0$ 에 따라 달라지며, 기준점을 변경하면 최대 ''k''차의 다항식을 생성한다. 이는 제트와 잘린 테일러 급수의 중요한 차이점인데, 테일러 급수는 기준점보다는 변수에 함수적으로 의존하는 반면, 제트는 테일러 급수의 대수적 속성을 함수적 속성과 분리한다.

$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 이 최소 (''k'' + 1)개의 도함수를 갖는 함수라고 가정하면, 테일러 정리에 의해 다음과 같이 표현 된다.

: $f(x) = f(x_0) + (Df(x_0)) \cdot (x - x_0) + \frac{1}{2}(D^2f(x_0)) \cdot (x - x_0)^{\otimes 2} + \cdots + \frac{D^kf(x_0)}{k!} \cdot (x - x_0)^{\otimes k} + \frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!} \cdot (x - x_0)^{\otimes (k+1)}.$

''f''의 ''k''-제트는 다음과 같은 다항식으로 정의된다.

: $(J^k_{x_0}f)(z) = f(x_0) + (Df(x_0)) \cdot z + \frac{1}{2}(D^2f(x_0)) \cdot z^{\otimes 2} + \cdots + \frac{D^kf(x_0)}{k!} \cdot z^{\otimes k}$

여기서 $z = (z_1, \ldots, z_n)$ 이고, $\mathbb{R}[z]$ 에서 정의된다.

테일러 정리는 $J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)$ 과 ${\mathbb R}^m[z_1, \dotsc, z_n]/(z_1, \dotsc, z_n)^{k+1}$ 사이의 벡터 공간에 대한 표준 동형사상을 설정한다. 따라서 유클리드 공간에서 제트는 일반적으로 이 동형사상 하에서 다항식 표현과 동일시된다.

4. 1. 해석적 정의

\mathbb{R}^n

에서

\mathbb{R}^m

으로 가는 매끄러운 함수

f

를 생각해보자. ''k''를 음수가 아닌 정수, ''p''를

\mathbb{R}^n

의 한 점이라고 하자. 두 함수 ''f''와 ''g''가 ''p''에서 같은 값을 가지고, ''p''에서 ''k''차까지의 모든 편미분이 같다면, 이 함수들 사이에 동치 관계

E_p^k

를 정의할 수 있다. 간단히 말하면, ''k''차까지

f - g = 0

이면

f \sim g

이다.

C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)

의 ''k''차 제트 공간은 ''p''에서

E^k_p

에 대한 동치류들의 집합으로 정의되며,

J^k_p(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)

로 쓴다.

매끄러운 함수

f \in C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)

의 ''p''에서의 ''k''차 제트는

J^k_p(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)

에서 ''f''의 동치류로 정의된다.

4. 2. 대수기하학적 정의

대수기하학과 가환대수학의 아이디어를 사용하여 제트와 제트 공간의 개념을 정의할 수 있다. 이 정의는 매끄러운 범주로 구성되어 있기 때문에 대수기하학 자체에서 사용하기에 특별히 적합하지는 않지만, 그러한 용도로 쉽게 맞춤화할 수 있다.

C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)

을

{\mathbb R}^n

의 점 ''p''에서 매끄러운 함수

f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m

의 germ의 벡터 공간이라고 하자.

{\mathfrak m}_p

를 ''p''에서 사라지는 함수의 germ으로 구성된 아이디얼이라고 하자. (이것은 국소환

C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)

에 대한 극대 아이디얼이다.) 그러면 아이디얼

{\mathfrak m}_p^{k+1}

은 ''p''에서 ''k''차까지 사라지는 모든 함수 germ으로 구성된다. ''p''에서의 '''제트 공간'''은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)=C_p^\infty({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)/{\mathfrak m}_p^{k+1}

f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^m

이 매끄러운 함수인 경우, ''p''에서 ''f''의 ''k''-제트는

J^k_p({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^m)

의 원소로 정의되며, 다음과 같이 표현된다.

:

J^k_pf=f \pmod

이것은 더 일반적인 구조이다.

\mathbb{F}

-공간

M

에 대해,

\mathcal{F}_p

를

p

에서의 줄기이고,

{\mathfrak m}_p

를 국소환

\mathcal{F}_p

의 극대 아이디얼이라고 하면,

p

에서의 k번째 제트 공간은 환

J^k_p(M)=\mathcal{F}_p/{\mathfrak m}_p^{k+1}

으로 정의된다. (

{\mathfrak m}_p^{k+1}

은 아이디얼의 곱이다.)

5. 다양체 사이의 함수에 대한 제트

매끄러운 다양체 ''M''과 ''N'' 사이의 함수 $f:M\rightarrow N$ 에 대한 제트는 제트 다발의 원소로 정의된다. 제트는 텐서처럼 변환되지 않기 때문에, ''M''과 ''N''에 대한 국소 좌표를 사용하여 제트를 정의하는 방법은 불변적이지 않다.

5. 1. 실수 선에서 다양체로의 함수에 대한 제트

r^영어차 제트는 두 매끄러운 국소 단면

s,t\in\Gamma_x(E)

이

x\in M

에서 같다는 것을 의미하며, 이는 다음과 동치이다. 임의의

M

의 국소 좌표계 및

E

의 국소 자명화 및 다중지표

\alpha\in\mathbb N^n

에 대하여,

|\alpha|\le r

이라면

\partial^\alpha s|_x=\partial^\alpha t|_x

이다. 즉,

x\in M

에서의

r

차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면

s\in\Gamma_x(E)

의

x\in M

에서의

r

차 제트를

j^r_xs

로 표기한다.

''M''이 점 ''p''를 포함하는 매끄러운 다양체라고 가정하고, ''p''를 지나는 곡선들의 제트(jet)를 정의한다. 여기서 곡선은 ''f''(0)= ''p''를 만족하는 매끄러운 함수

f:{\mathbb R}\rightarrow M

을 의미한다. ''f''와 ''g''를 ''p''를 지나는 곡선의 쌍이라고 하고, 다음과 같이 동치 관계

E_p^k

를 정의한다. 어떤 근방 ''U''가 존재하여, 모든 매끄러운 함수

\varphi : U \rightarrow {\mathbb R}

에 대해

J^k_0 (\varphi\circ f)=J^k_0 (\varphi\circ g)

를 만족하면, ''f''와 ''g''가 ''p''에서 ''k''차까지 동치라고 한다. 이 제트들은 합성 함수

\varphi\circ f

와

\varphi\circ g

가 실수선에서 자신으로의 사상이기 때문에 잘 정의된다. 이 동치 관계는 ''p''에서의 곡선들 사이의 ''k''차 접촉이라고도 불린다.

''p''를 지나는 곡선 ''f''의 ''k''-제트는

E^k_p

아래에서 ''f''의 동치류로 정의되며,

J^k\! f\,

또는

J^k_0f

로 표기한다. ''k''차 제트 공간

J^k_0({\mathbb R},M)_p

은 ''p''에서의 ''k''-제트의 집합이다.

''p''가 ''M'' 위에서 변함에 따라,

J^k_0({\mathbb R},M)_p

는 ''M'' 위에 섬유 다발을 형성한다. 이는 ''k''차 접다발 ''T''^''k''''M''으로 표기되기도 한다(이 표기는 때때로 혼동을 야기할 수 있다). ''k''=1인 경우, 1차 접다발은 일반적인 접다발과 같다: ''T''¹''M'' = ''TM''.

''T''^''k''''M''이 실제로 섬유 다발임을 증명하기 위해, 지역 좌표계에서

J^k_0({\mathbb R},M)_p

의 속성을 살펴본다. (''x''^''i'')= (''x''¹,...,''x''^''n'')을 ''p''의 근방 ''U''에서 ''M''에 대한 지역 좌표계라고 하자. 표기 남용을 통해, (''x''^''i'')를 국소 미분동형사상

(x^i):M\rightarrow\R^n

으로 간주할 수 있다.

''p''를 지나는 두 곡선 ''f''와 ''g''가

E_p^k

를 모듈로로 하여 동치일 필요충분조건은

J^k_0\left((x^i)\circ f\right)=J^k_0\left((x^i)\circ g\right)

이다.

필요성은 명백하다. 동치 관계

E_p^k

의 정의에 의해, 두 개의 동치 곡선은

J^k_0(x^i\circ f)=J^k_0(x^i\circ g)

를 가져야 한다.

충분성을 증명하기 위해,

\varphi

가 ''p''의 근방에서 ''M'' 위의 매끄러운 실수 값을 갖는 함수라고 가정한다. 모든 매끄러운 함수는 국소 좌표 표현을 가지므로,

\varphi

를 좌표의 함수로 표현할 수 있다. ''q''가 ''p'' 근처의 ''M''의 점인 경우,

\varphi(q)=\psi(x^1(q),\dots,x^n(q))

와 같이 표현 가능하다. 여기서 ψ는 ''n''개의 실수 변수에 대한 매끄러운 실수 값 함수이다. 따라서, ''p''를 지나는 두 곡선 ''f''와 ''g''에 대해,

\varphi\circ f=\psi(x^1\circ f,\dots,x^n\circ f)

와

\varphi\circ g=\psi(x^1\circ g,\dots,x^n\circ g)

를 얻는다.

이제 연쇄 법칙을 통해 "충분" 조건이 성립함을 알 수 있다. 예를 들어, ''f''와 ''g''가 실수 변수 ''t''의 함수인 경우,

::

\left. \frac{d}{dt} \left( \varphi\circ f \right) (t) \right|_{t=0}= \sum_{i=1}^n\left.\frac{d}{dt}(x^i\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_i\psi)\circ f(0)

위 식은 ''f''(0)=''g''(0)=p이고, ''f''와 ''g''가 좌표계 (''x''^''i'')에서 ''k''차 접촉을 이루고 있음을 통해, ''f'' 대신 ''g''에 대해 평가할 때 동일한 표현식과 같다.

''T''^''k''''M''은 각 좌표 근방에서 국소적인 자명화를 허용한다. 이 섬유 다발이 실제로 섬유 다발임을 증명하기 위해, 좌표 변화에 따라 비특이적 전이 함수를 갖는다는 것을 보인다.

(y^i):M\rightarrow{\mathbb R}^n

을 다른 좌표계로 하고

\rho=(x^i)\circ (y^i)^{-1}:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n

을 유클리드 공간에서 자신으로의 관련된 좌표 변환 미분동형사상이라고 하자.

{\mathbb R}^n

의 아핀 변환을 통해, 일반성을 잃지 않고 ρ(0)=0이라고 가정할 수 있다. 이 가정으로,

J^k_0\rho:J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)\rightarrow J^k_0({\mathbb R}^n,{\mathbb R}^n)

이 제트 합성에 대해 가역 변환임을 증명하는 것으로 충분하다. (제트 군 참조). ρ가 미분동형사상이므로,

\rho^{-1}

역시 매끄러운 사상이다. 따라서,

:

I=J^k_0I=J^k_0(\rho\circ\rho^{-1})=J^k_0(\rho)\circ J^k_0(\rho^{-1})

위 식은

J^k_0\rho

가 비특이적임을 증명한다.

이는 ''M''의 국소 좌표에서 테일러 급수를 사용하여 ''p''를 지나는 곡선의 제트를 표현할 수 있음을 의미한다.

'''국소 좌표에서의 예:'''

''p''를 지나는 곡선의 1-제트는 접벡터이다. ''p''에서의 접벡터는 ''p''에서의 매끄러운 실수 값 함수에 작용하는 1차 미분 연산자이다. 국소 좌표에서, 모든 접벡터는 다음과 같은 형태를 갖는다.

::

v=\sum_iv^i\frac{\partial}{\partial x^i}

이러한 접벡터 ''v''가 주어지면, ''f''를

x^i\circ f(t)=tv^i

로 주어진 ''x''^''i'' 좌표계에서의 곡선이라고 하자. 만약 ''φ''가 ''p''의 근방에서 ''φ''(''p'')= 0인 매끄러운 함수이면,

\varphi\circ f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}

는 1-제트가 다음과 같이 주어진 하나의 변수의 매끄러운 실수 값 함수이다.

::

J^1_0(\varphi\circ f)(t)=\sum_itv^i \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}(p).

이는 한 점에서의 접벡터를 그 점을 지나는 곡선의 1-제트와 자연스럽게 식별할 수 있음을 증명한다.

한 점을 지나는 곡선의 2-제트 공간.

한 점 ''p''를 중심으로 하는 국소 좌표계 ''xⁱ''에서, ''p''를 지나는 곡선 ''f''(''t'')의 2차 테일러 다항식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

::

J_0^2(x^i(f))(t)=t\frac{dx^i(f)}{dt}(0)+\frac{t^2}{2}\frac{d^2x^i(f)}{dt^2}(0).

따라서 ''x'' 좌표계에서, ''p''를 지나는 곡선의 2-제트는 실수

(\dot{x}^i,\ddot{x}^i)

의 목록으로 식별된다. 한 점에서의 접벡터(곡선의 1-제트)와 마찬가지로, 곡선의 2-제트는 좌표 변환 함수의 적용 시 변환 법칙을 따른다.

(''y''^''i'')를 다른 좌표계라고 하자. 연쇄 법칙에 의해,

::

\begin{align}\frac{d}{dt}y^i(f(t)) & = \sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \\[5pt]\frac{d^2}{dt^2}y^i(f(t)) & = \sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(f(t))\frac{d}{dt}x^j(f(t)) \frac{d}{dt}x^k(f(t))+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(f(t))\frac{d^2}{dt^2}x^j(f(t))\end{align}

''t''= 0에서 위 두 표현식을 평가하면 변환 법칙이 주어진다.

::

\begin{align}& \dot{y}^i=\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\dot{x}^j \\[5pt]& \ddot{y}^i=\sum_{j,k}\frac{\partial^2 y^i}{\partial x^j \, \partial x^k}(0)\dot{x}^j\dot{x}^k+\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}(0)\ddot{x}^j.\end{align}

2-제트의 변환 법칙은 좌표 변환 함수에서 2차이다.

5. 2. 다양체에서 다양체로의 함수에 대한 제트

''M''과 ''N''이 두 개의 매끄러운 다양체라 가정하고, ''p''를 ''M''의 점이라 하자. ''p''의 어떤 근방에서 정의된 매끄러운 사상

f:M\rightarrow N

으로 구성된 공간

C^\infty_p(M,N)

을 고려한다. 다음과 같이

C^\infty_p(M,N)

에 동치 관계

E^k_p

를 정의한다. 두 사상 ''f''와 ''g''는 ''p''를 통과하는 모든 곡선 γ에 대해 (여기서

\gamma(0)=p

인 사상

\gamma:{\mathbb R}\rightarrow M

를 생각하자) 어떤 ''0''의 근방에서

J^k_0(f\circ \gamma)=J^k_0(g\circ \gamma)

를 가지면 ''동치''라고 한다.

그러면 제트 공간

J^k_p(M,N)

은 동치 관계

E^k_p

를 모듈로 한

C^\infty_p(M,N)

의 동치류들의 집합으로 정의된다. 대상 공간 ''N''이 어떤 대수적 구조를 가질 필요가 없기 때문에

J^k_p(M,N)

역시 그러한 구조를 가질 필요가 없다는 점에 유의해야 한다. 이것은 실제로 유클리드 공간의 경우와는 뚜렷한 대조를 이룬다.

만약

f:M\rightarrow N

이 ''p'' 근처에서 정의된 매끄러운 함수라면, ''f''의 ''p''에서의 ''k''-제트

J^k_pf

는

E^k_p

를 모듈로 한 ''f''의 동치류로 정의한다.

5. 3. 멀티제트

존 매더는 멀티제트의 개념을 도입했다. 멀티제트는 서로 다른 기점 위에 있는 유한한 제트의 목록이다. 매더는 멀티제트 횡단성 정리를 증명했으며, 이를 안정 사상 연구에 사용했다.

6. 단면의 제트

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 올다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow M$ 이 주어졌다고 하자. $E$ 의 올 역시 $k$ 차원의 매끄러운 다양체라고 가정한다.

점 $x\in M$ 의 근방에 정의되는, $E$ 의 매끄러운 단면의 공간을 $\Gamma_x(E)$ 라고 표기한다. $E$ 의 두 매끄러운 국소 단면 $s,t\in\Gamma_x(E)$ 이 $x\in M$ 에서 같은 ''' $r$ 차 제트'''( $r$ th jet^영어)를 갖는다는 것은, $M$ 의 국소 좌표계 및 $E$ 의 국소 자명화 및 다중지표 $\alpha\in\mathbb N^n$ 에 대하여, $|\alpha|\le r$ 이라면 $\partial^\alpha s|_x=\partial^\alpha t|_x$ 인 것과 같다.

즉, $x\in M$ 에서의 $r$ 차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 $s\in\Gamma_x(E)$ 의 $x\in M$ 에서의 $r$ 차 제트를 $j^r_xs$ 로 표기한다.

임의의 $x\in M$ 에 대하여, $r$ 차 제트들의 집합 $J^r_xE$ 에는 다음과 같이

: $\dim J^r_xE=k\sum_{i=0}^r\binom{i+n-1}i=k\binom{r+n}r$

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다.

$M$ 의 $\pi(e)\in M$ 에서의 국소 좌표계 $(x^1,\dots,x^n)$ 및 이를 확장하는 $E$ 의 $e\in E$ 에서의 국소 좌표계 $(x^1,\dots,x^n,e^1,\dots,e^k)$ 가 주어졌다면,

: $(\partial^\alpha e^i)_{\alpha\in\mathbb N^n,\;|\alpha|\le r,\;i\in\{1,\dots,k\}}$

는 $J^r_xE$ 의 국소 좌표계를 정의한다. $J^r_xE$ 를 $E$ 의 ''' $r$ 차 제트 공간'''( $r$ 次jet空間, $r$ th jet space^영어)이라고 한다.

$r$ 차 제트 공간에서 $s 차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.$

: $J^r_xE\to J^s_xE$

그러나 $s$ 차 제트 공간에서 $r>s$ 차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

$M$ 위에, $r$ 차 제트 공간 $J^r_xE$ 을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 $r$ 차 '''제트 다발''' $J^rE\twoheadrightarrow M$ 이라고 한다. 즉, 제트 다발 $J^rE$ 의 전체 공간은 $\textstyle n+k\binom{r+n}r$ 차원이다.

자연스러운 사영 $J^rE\twoheadrightarrow E$ 이 존재하므로, 이는 $E$ 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

: $j^r\colon \Gamma_x(E)\to \Gamma_x(J^rE)$

: $j^r\colon s\mapsto j^rs\qquad\forall s\in\Gamma_x(E)$

이 존재한다. $j^rs$ 를 $s$ 의 ''' $r$ 차 제트 연장'''( $r$ 次jet延長, $r$ th jet prolongation^영어)이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

6. 1. 벡터 다발 사이의 미분 연산자

벡터 다발의 미분 연산자는 제트 다발을 사용하여 정의할 수 있다.

E

가 다양체

M

위의 유한 차원 매끄러운 벡터 다발이고, 사영

\pi:E\rightarrow M

을 갖는다고 가정하자.

E

의 단면은

s:M\rightarrow E

와 같은 매끄러운 함수이며,

\pi\circ s

는

M

의 항등 자기 동형 사상이다. 점

p

의 근방에서의 단면

s

의 제트는 단순히

p

에서

M

에서

E

로의 이 매끄러운 함수의 제트이다.

점

p

에서의 단면 제트의 공간은

J^k_p(M,E)

로 표기한다. 한 다양체에서 다른 다양체로의 함수의 제트와 달리,

p

에서의 단면 제트의 공간은 단면 자체의 벡터 공간 구조에서 상속된 벡터 공간 구조를 갖는다.

p

가

M

에 걸쳐 변함에 따라, 제트 공간

J^k_p(M,E)

는

M

위의 벡터 다발을 형성하며, 이를

E

의

k

차 제트 다발이라고 하며,

J^k(E)

로 표기한다.

예를 들어, 접다발의 1차 제트 다발을 생각해보자. 아인슈타인 표기법을 사용하여 한 점에서 국소 좌표계에서 벡터장

:

v=v^i(x)\partial/\partial x^i

를

M

에서

p

의 근방에서 고려한다.

v

의 1-제트는 벡터장의 계수의 1차 테일러 다항식을 취함으로써 얻어진다.

:

J_0^1v^i(x)=v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}(0)=v^i+v^i_jx^j.

x

좌표에서, 한 점에서의 1-제트는 실수 목록

(v^i,v^i_j)

로 식별될 수 있다. 다른 좌표계

y^i

로 넘어가는 변환 법칙을 고려해보면,

w^k

를

y

좌표에서 벡터장

v

의 계수라고 할 때,

y

좌표에서

v

의 1-제트는 실수들의 새로운 목록

(w^i,w^i_j)

이다.

:

v=w^k(y)\partial/\partial y^k=v^i(x)\partial/\partial x^i,

이므로, 다음이 성립한다.

::

w^k(y)=v^i(x)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x).

따라서

::

w^k(0)+y^j\frac{\partial w^k}{\partial y^j}(0)=\left(v^i(0)+x^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\right)\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(x)

테일러 급수로 전개하면, 다음을 얻는다.

::

w^k=\frac{\partial y^k}{\partial x^i}(0) v^i

::

w^k_j=v^i\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i \, \partial x^j}+v_j^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}.

이 변환 법칙은 좌표 변환 함수에 대해 2차이다.

7. 편미분 방정식과의 관계

매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식은 제트 다발을 통해 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$ 위의, 올다발 $E$ 의 단면에 대한 ''' $r$ 차 편미분 방정식'''은 $r$ 차 제트 다발 $J^rE$ 의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 $P\hookrightarrow J^rE$ 이다. 편미분 방정식 $P$ 의 '''해'''(解, solution^영어)는 제트 연장 $j^rs\colon M\to J^rE$ 의 상 $j^rs(M)$ 이 $P$ 에 속하는, $E$ 의 매끄러운 단면 $s\in\Gamma(E)$ 이다.

: $\operatorname{Sol}(P)=\{s\in\Gamma(E)\colon j^rs(M)\subseteq P\}$

8. 변분 이중 복합체

무한 제트 다발 $J^\infty E$ 은 미분학적 공간의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. $J^\infty E$ 위의 미분 형식 공간 $\Omega^nJ^\infty E$ 에서, 차수 $n=h+v$ 는 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

$X$ 방향의 차수 $h$ . 이를 '''수평 차수'''라고 한다.
무한 제트 다발의 올 $J^\infty_eE$ 방향의 차수 $v$ . 이를 '''수직 차수'''라고 한다.

따라서,

:

\Omega^nE=\bigoplus_{h+v=n}\Omega^{h,v}J^\infty E

가 된다. 이를

E\twoheadrightarrow M

의 '''변분 이중 복합체'''(variational bicomplex^영어)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분

\mathbf d

역시 수평 방향

d

와 수직 방향

\delta

로 분해할 수 있다.

:

\mathbf d=d+\delta

:

d\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h+1,v}J^\infty E

:

\delta\colon\Omega^{h,v}J^\infty E\to\Omega^{h,v+1}J^\infty E

이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.

9. 오일러-라그랑주 복합체

올다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, '''오일러-라그랑주 복합체'''(Euler–Lagrange complex^영어)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $0\to\mathbb R\to\Omega^{0,0}\xrightarrow d\Omega^{1,0}\xrightarrow d\Omega^{2,0}\xrightarrow d\cdots\xrightarrow d\Omega^{n,0}\to\mathcal F^1(J^\infty E)\xrightarrow\delta F^2(J^\infty E)\to\cdots$

여기서

: $\mathcal F^v(E)=\Omega^{n,v}/d(\Omega^{n-1,s})$

는 $\Omega^{\bullet,\bullet}$ 을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

: $\mathcal F^v(E)\hookrightarrow \Omega^{n,v}$

가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 $E$ 의 드람 코호몰로지와 동형이다.

10. 예시

제트의 차수에 따라 몇 가지 예가 있다.

0차 제트: 올다발의 0차 제트 다발은 원래 올다발과 같다. 즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.
1차 제트:
자명한 올다발의 경우, 1차 제트는 함수의 미분이다.
일반적인 올다발의 경우, 1차 제트 다발은 수직 다발과 밑공간의 공변접다발의 텐서곱으로 표현된다.
피복 공간의 제트: 피복 공간의 경우, 임의의 차수의 제트는 0차 제트와 같다.

10. 1. 0차 제트

올다발

E\twoheadrightarrow M

의 0차 제트 다발은

E

이다.

:

J^0E=E

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.

:

j^0s=s\qquad\forall s\in\Gamma(E)

10. 2. 자명한 올다발의 1차 제트

자명한 올다발

:

E=M\times N\twoheadrightarrow M

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

:

\Gamma(E)=\mathcal C^\infty(M;N)

매끄러운 함수

f\colon M\to N

의 1차 제트는 함수의 미분이다.

:

j^1_xf=Df(x)\in T^*_xM\otimes T_{f(x)}N

여기서

T^*M

및

TN

은 각각 공변접다발과 접다발이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은 다음과 같다.

:

J^1E=\operatorname{pr}_M^*T^*M\otimes\operatorname{pr}_NTN

여기서

:

\operatorname{pr}_M\colon M\times N\twoheadrightarrow M

:

\operatorname{pr}_N\colon M\times N\twoheadrightarrow N

는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며,

\operatorname{pr}_M^*

은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.

특히,

M=\mathbb R^n

일 경우

:

J^1E=\mathbb R^n\times(TN)^{\otimes n}

이며, 반대로

N=\mathbb R^k

일 경우

:

J^1E=(T^*M)^{\otimes k}\times\mathbb R^k

이다.

10. 3. 일반적 올다발의 1차 제트

매끄러운 다양체인 밑공간과 올을 갖는 올다발

:

\pi\colon E\twoheadrightarrow M

:

\dim M=n

:

\dim E=n+k

을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발

TE

의 자연스러운 부분 다발인 '''수직 다발'''(vertical bundle^영어)

VE

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

V_eE=T_eE_{\pi(e)}

즉, 올다발

E

의 수직 다발

VE

의 올

V_eE

는

E

의 올의 접공간이다.

VE

는

E

위의

k

차원 벡터 다발을 이룬다.

그렇다면,

E\twoheadrightarrow M

위의 1차 제트 다발은 (

E

위의 올다발로서) 다음과 같다.

:

J^1E=VE\otimes_E \pi^*T^*M

:

\dim J^1E=nk+k+n

J^1E\twoheadrightarrow E

의 단면

\theta

는 (

\pi^*T^*M\subset T^*E

이므로)

E

위의

VE

값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한,

\theta

를 다발 사상

TE\to VE\subset TE

로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵

\ker \theta\subset TE

는

E

위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

:

TE=\ker\theta\oplus VE

가 되어,

\ker\theta

를 수평 다발로 여길 수 있다.

10. 4. 피복 공간의 제트

n

겹 피복 공간

:

E\twoheadrightarrow M

은 올이

n

개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우,

E\twoheadrightarrow M

의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의

r

에 대하여

r

차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

:

E=J^0E=J^1E=J^2E=\cdots

가 된다.

11. 역사

제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.^[1]

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