통계역학

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1. 개요

통계역학은 많은 수의 입자로 구성된 물리계의 거동을 확률적 방법으로 연구하는 학문이다. 다니엘 베르누이, 제임스 클러크 맥스웰, 루트비히 볼츠만, 조시아 윌러드 깁스 등의 연구를 통해 발전했다. 통계역학의 기본 원리는 역학 법칙과 실제 경험 사이의 차이를 메우기 위해 불확실성을 도입하는 것이며, 고전 통계역학과 양자 통계역학으로 나뉜다. 통계역학은 응집 물질 물리학, 화학, 생물리학, 전산 통계역학 등 다양한 분야에 응용되며, 비평형 통계역학은 선형 및 비선형 비평형 현상을 연구한다.

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통계역학
통계 역학

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입자 통계
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학문 정보
학문명	통계역학

다른 이름	통계물리학

2. 역사

통계역학은 대상의 자유도가 매우 커서 정확한 해를 구할 수 없을 때 유용하게 쓰이는 방법이다. 비선형 동역학, 혼돈 이론, 플라즈마 물리학, 열역학, 유체역학 등이 통계역학의 세부 분야 또는 파생 분야이다. 간단한 통계역학 문제는 항의 무더기 전개나 근사 방법을 통해 해석적으로 해를 구할 수 있지만, 최근의 복잡한 문제들은 방정식을 수치적으로 풀거나 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 결과를 얻는다. 복잡계를 푸는 데 널리 쓰이는 방법으로는 몬테카를로 시뮬레이션이 있으며, 최근 통계 물리학자들은 네트워크 이론을 많이 연구하고 있다.

2. 1. 초기 발전 (18세기 ~ 20세기 초)

1738년, 스위스의 물리학자이자 수학자인 다니엘 베르누이는 기체 운동론의 기초를 마련한 『Hydrodynamica』를 출판했다. 이 책에서 베르누이는 기체는 모든 방향으로 움직이는 수많은 분자로 구성되어 있으며, 표면에 대한 그 충격이 우리가 느끼는 기체 압력을 야기하고, 우리가 열로 경험하는 것은 단순히 그 운동의 운동 에너지라는 주장을 제시했다.^[34]

통계역학 분야의 창설은 일반적으로 다음 세 명의 물리학자에게 공로가 돌아간다.

루트비히 볼츠만: 미시 상태의 집합에 대한 엔트로피의 기본적인 해석을 개발했다.
제임스 클러크 맥스웰: 그러한 상태의 확률 분포 모델을 개발했다.
조시아 윌러드 깁스: 1884년에 이 분야의 이름을 만들었다.

1859년, 루돌프 클라우지우스의 분자 확산에 관한 논문을 읽은 후, 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰은 특정 범위 내에서 특정 속도를 갖는 분자의 비율을 나타내는 분자 속도의 맥스웰 분포를 공식화했다.^[9] 이것은 물리학 최초의 통계 법칙이었다.^[10] 맥스웰은 또한 분자 충돌이 온도의 평등화와 평형으로의 경향을 수반한다는 최초의 기계적 주장을 제시했다.^[11] 5년 후인 1864년, 빈의 젊은 학생이었던 루트비히 볼츠만은 맥스웰의 논문을 접하게 되었고, 그의 생애 대부분을 이 주제를 더욱 발전시키는 데 바쳤다.

통계역학은 1870년대 볼츠만의 연구로 시작되었으며, 그의 1896년 저서 『Lectures on Gas Theory』에 많이 수록되었다.^[12] 열역학의 통계적 해석, H 정리, 수송 이론, 열적 평형, 기체의 상태 방정식 및 유사한 주제에 대한 볼츠만의 초기 논문은 빈 아카데미 및 기타 학회의 회보에 약 2,000페이지를 차지한다. 볼츠만은 평형 통계 앙상블의 개념을 도입했고, 그의 ''H'' 정리를 통해 비평형 통계역학을 최초로 연구했다.

"통계역학"이라는 용어는 1884년 미국의 수리 물리학자 조시아 윌러드 깁스가 만들었다.^[13] 깁스에 따르면, 역학의 맥락에서 "통계적", 즉 통계역학이라는 용어는 1871년 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰이 처음 사용했다.

"물질의 질량을 다룰 때, 우리는 개별 분자를 인식하지 못하지만, 제가 통계적 계산 방법이라고 설명한 것을 채택하고, 미적분으로 모든 운동을 추적하는 엄격한 역학적 방법을 포기해야 합니다."|J. Clerk Maxwell^영어^[14]

"확률적 역학"이 오늘날 더 적절한 용어처럼 보일 수 있지만, "통계역학"은 확고히 자리 잡았다.^[15] 사망 직전인 1902년, 깁스는 『Elementary Principles in Statistical Mechanics』을 출판했는데, 이 책은 모든 기계 시스템—거시적 또는 미시적, 기체 또는 비기체—을 다루는 완전히 일반적인 접근 방식으로 통계역학을 공식화했다.^[31] 깁스의 방법은 처음에는 고전 역학 틀에서 유도되었지만, 그 일반성이 매우 뛰어나 나중에 양자 역학에 쉽게 적용될 수 있었고, 오늘날까지도 통계역학의 기초를 형성하고 있다.^[32]

3. 통계역학의 기본 원리

볼츠만이 처음 정립한 고전 통계역학을 이해하기 위해서는 우선 엔트로피 개념이 필요하다. 엔트로피는 어떤 계의 무질서도 또는 거시상태에 대응되는 미시상태의 가짓수라고 할 수 있다. 예를 들어 주사위 3개를 던지는 '''계'''를 생각해 보자. 3 주사위 눈의 합이 3인 경우는 각 주사위가 모두 1의 눈인 경우만 가능하다. 하지만, 주사위 눈의 합이 6인 경우는 총 10가지 경우가 있다. 따라서 주사위 눈의 합이 3인 거시상태는 합이 6인 거시상태보다 엔트로피가 낮다. 엔트로피가 높을수록 해당 거시상태가 나타날 확률은 높아진다. 볼츠만은 물리적인 계의 엔트로피를 계산하여 해당 계가 어떤 특정한 거시상태에 있을 확률을 유도하고, 에너지와 계의 온도를 변수로 하는 볼츠만 인자를 도입하였다.

물리학에서는 일반적으로 고전역학과 양자역학 두 가지 유형의 역학을 연구한다. 두 유형 모두 다음 두 가지 개념을 고려한다.

주어진 시간의 시스템의 완전한 상태는 상점(고전역학) 또는 순수한 양자 상태 벡터(양자역학)로 나타낸다.
시간에 따라 상태를 변화시키는 운동 방정식으로 해밀턴 방정식(고전역학) 또는 슈뢰딩거 방정식(양자역학)이 있다.

이 두 개념으로 과거 또는 미래 시간의 상태를 계산할 수 있다. 그러나 일상적인 경험에서는 각 분자의 미시적 상태를 정확히 알 필요가 없으며, 이는 이론적으로도 불가능하다. 통계역학은 불완전한 지식에 대한 불확실성을 추가하여 이러한 차이를 메운다.

일반적인 역학은 단일 상태만 고려하지만, 통계역학은 여러 상태에 있는 시스템의 가상 복제본 집합인 통계적 앙상블을 도입한다. 통계적 앙상블은 시스템의 모든 가능한 상태에 대한 확률 분포이다. 고전 통계역학에서 앙상블은 상공간에서 정준 좌표 축으로 분포로 표현된다. 양자 통계역학에서 앙상블은 순수 상태에 대한 확률 분포이며 밀도 행렬로 요약할 수 있다.

앙상블은 단일 시스템의 가능한 상태(인식적 확률) 또는 반복 실험의 시스템 상태(경험적 확률)로 해석될 수 있다. 앙상블의 각 상태는 운동 방정식에 따라 시간에 따라 진화하며, 앙상블 자체의 진화는 리우빌 방정식(고전역학) 또는 폰 노이만 방정식(양자역학)으로 주어진다.

시간에 따라 진화하지 않는 앙상블은 ''평형 앙상블''이며, ''통계적 평형'' 상태에 있다. 고립된 시스템의 평형 앙상블 연구는 통계 열역학의 초점이다. 비평형 통계역학은 시간에 따라 변하는 앙상블, 또는 고립되지 않은 시스템의 앙상블을 다룬다.

통계역학은 아보가드로 수(약 ) 정도의 입자로 구성된 계를 다룬다. 이 계의 상태는 거시적인 물리량인 상태량으로 지정된다. 열역학적 상태는 온도, 압력, 에너지, 물질량 등 적은 자유도로 지정되지만, 역학적으로는 막대한 상태를 취할 수 있다. 통계역학은 열역학적 조건에서 역학적 상태가 확률적으로 나타난다고 본다.

계가 취할 수 있는 모든 상태의 집합을 Ω라 한다. 계가 상태 ω ∈ Ω 에 있을 때의 물리량은 확률변수 O(ω) 로 표현된다. 조건 α 에서 계가 상태 ω를 취하는 조건부 확률밀도함수가 p(ω | α) 로 주어질 때, 열역학적 물리량은 기댓값

:

O(\alpha) = \langle O(\omega) \rangle_\alpha =\sum_{\omega \in\Omega} O(\omega)\, p(\omega|\alpha)

으로 실현된다. 특히 엔트로피는

:

S(\alpha) = -k\langle \ln p(\omega|\alpha) \rangle_\alpha =-k \sum_{\omega \in\Omega} p(\omega|\alpha) \ln p(\omega|\alpha)

로 주어지며, 비례계수 k는 볼츠만 상수이다.

고립계의 경우, 미세 정준 집합에서 미시적 상태는 같은 확률을 가지며, 이를 ''등확률의 원리''라고 한다. 볼츠만 공식에 따라, 고립계(에너지 E, 부피 V, 입자수 N)의 엔트로피 S는 계의 미시적 상태의 수 W를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

S=k_\mathrm{B}\ln W

여기서

k_\mathrm{B}

는 볼츠만 상수이다.

양자 통계역학에서는 미시적 상태를 양자역학으로 기술하며,^[39]^[40] 고전 통계역학은 양자 통계역학의 고전적 극한으로 구성된다.

등확률의 원리는 고립계가 통계적 평형 상태에 있을 때, 확률 분포가 보존되는 성질(총 에너지, 총 입자 수 등)의 함수라는 것이다.^[31] 많은 교과서에서는 '같은 사전 확률 가정'을 사용하는데,^[32] 이는 정확하게 알려진 에너지와 조성을 가진 고립계에서, 그 지식과 일치하는 모든 미시 상태에서 시스템을 같은 확률로 찾을 수 있다는 가정이다.

이 가정은 다음의 근거를 갖는다.

에르고딕 가설: 에르고딕 계는 시간에 따라 진화하여 같은 에너지와 조성을 가진 모든 상태를 탐색한다. 하지만 대부분의 계는 에르고딕하지 않아 적용 가능성이 제한적이다.
무차별의 원리: 더 이상의 정보가 없는 경우, 각 호환 상황에 같은 확률만 할당할 수 있다.
최대 정보 엔트로피: 알려진 정보와 호환되고 가장 큰 깁스 엔트로피(정보 엔트로피)를 갖는 앙상블이 올바른 앙상블이다.^[16]

통계 역학에 대한 다른 기본 가정도 제안되었으며,^[34]^[17]^[18] 같은 사전 확률 가정 없이 통계 역학 이론을 구축할 수 있다는 연구도 있다.^[17]^[18]

3. 1. 통계적 앙상블 (Statistical Ensemble)

볼츠만이 정립한 고전 통계역학에서, 통계적 앙상블은 어떤 계가 가질 수 있는 모든 가능한 상태에 대한 확률 분포이다. 앙상블은 단일 시스템이 가질 수 있는 다양한 상태를 나타내거나(인식적 확률), 유사하게 준비된 독립 시스템들의 실험 결과를 나타낸다(경험적 확률).

앙상블의 각 상태는 시간에 따라 진화하며, 앙상블 자체의 진화는 리우빌 방정식(고전역학) 또는 폰 노이만 방정식(양자역학)으로 기술된다. 시간에 따라 변하지 않는 앙상블은 ''평형 앙상블''이며, ''통계적 평형'' 상태에 있다.

통계 열역학에서는 주로 다음 세 가지 평형 앙상블을 다룬다.

마이크로캐노니컬 앙상블: 정확하게 주어진 에너지와 고정된 조성을 갖는 계를 기술한다.
캐노니컬 앙상블: 정확한 온도의 열욕과 열적 평형 상태에 있는 고정된 조성의 계를 기술한다.
그랜드 캐노니컬 앙상블: 열적 및 화학적 평형 상태에 있는 열역학적 저장소와 비고정 조성(불확실한 입자 수)의 계를 기술한다.

많은 입자를 포함하는 계(열역학적 극한)에서는 세 앙상블이 대체로 동일한 거동을 보인다. 그러나 미시적 계, 상전이 상태의 큰 계, 장거리 상호 작용을 하는 큰 계에서는 앙상블 간 차이가 중요해진다.

열역학적 앙상블^[31]
	마이크로캐노니컬	캐노니컬	그랜드 캐노니컬
고정 변수	$E, N, V$	$T, N, V$	$T, \mu, V$
미시적 특징	미시 상태 수	캐노니컬 분배 함수	그랜드 분배 함수
미시적 특징	$W$	$Z = \sum_k e^{- E_k / k_B T}$	$\mathcal Z = \sum_k e^{ -(E_k - \mu N_k) /k_B T}$
거시적 함수	볼츠만 엔트로피	헬름홀츠 자유 에너지	그랜드 포텐셜
거시적 함수	$S = k_B \log W$	$F = - k_B T \log Z$	$\Omega =- k_B T \log \mathcal Z$

통계역학은 아보가드로 수(약 ) 정도의 입자로 구성된 계를 다룬다. 열역학적 조건 하에서 역학적 상태(미시적 상태)가 확률적으로 나타난다고 가정한다. 계가 취할 수 있는 모든 상태의 집합을 Ω라 하고, 상태 ω ∈ Ω 에서의 물리량은 확률변수 O(ω) 로 표현된다.

조건 α 하에서 상태 ω를 취하는 조건부 확률밀도함수가 p(ω | α) 일 때, 열역학적 물리량은 기댓값

: $O(\alpha) = \langle O(\omega) \rangle_\alpha =\sum_{\omega \in\Omega} O(\omega)\, p(\omega|\alpha)$

으로 나타난다. 특히 엔트로피는

: $S(\alpha) = -k\langle \ln p(\omega|\alpha) \rangle_\alpha =-k \sum_{\omega \in\Omega} p(\omega|\alpha) \ln p(\omega|\alpha)$

로 주어지며, 비례계수 k는 볼츠만 상수이다.

통계집단(앙상블)은 계를 열역학적으로 특징짓는 조건(에너지, 온도, 화학퍼텐셜 등)에 따라 결정된다. 대표적인 앙상블은 다음과 같다.

고립계에 대응하는 '''미소정준집단'''(미크로카노니컬 앙상블)
등온 폐쇄계에 대응하는 '''정준집단'''(캐노니컬 앙상블)
등온 등화학퍼텐셜 개방계에 대응하는 '''대정준집단'''(그랜드 캐노니컬 앙상블)

고립계의 경우, 미세 정준 집합에서 미시적 상태는 같은 확률을 가지며, 이를 ''등확률의 원리''라고 한다. 볼츠만 공식에 따라, 고립계(에너지 E, 부피 V, 입자수 N)의 엔트로피 S는 계의 미시적 상태의 수 W를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

S=k_\mathrm{B}\ln W

여기서

k_\mathrm{B}

는 볼츠만 상수이다.

양자 통계역학에서는 미시적 상태를 양자역학으로 기술하며,^[39]^[40] 고전 통계역학은 양자 통계역학의 고전적 극한으로 구성된다.

에르고드 가설은 충분히 많은 입자로 구성된 고전적인 계에서 물리량 A의 시간 평균값 $\bar{A}$와 집단 평균

\langle A \rangle

이 같다고 가정한다. 하지만 에르고드 가설은 통계역학의 기초와 무관하다는 주장도 있다.^[41]^[42]

3. 2. 등확률의 원리 (Principle of Equal a priori Probability)

볼츠만이 처음 정립한 고전 통계역학에서, 격리된 계가 통계적 평형 상태에 있을 때, 확률 분포는 보존되는 성질(총 에너지, 총 입자 수 등)의 함수이다.^[31] 이와 관련하여, 많은 교과서에서는 '같은 사전 확률 가정'을 사용한다.^[32] 이는 정확하게 알려진 에너지와 조성을 가진 격리된 계에서, 그 지식과 일치하는 모든 미시 상태에서 시스템을 같은 확률로 찾을 수 있다는 가정이다.

이러한 가정은 다음의 근거를 갖는다.

에르고딕 가설: 에르고딕 계는 시간에 따라 진화하여 같은 에너지와 조성을 가진 모든 상태를 탐색한다. 에르고딕 계에서 마이크로카노니컬 앙상블은 고정된 에너지를 가진 유일한 가능한 평형 앙상블이다. 하지만 대부분의 계는 에르고딕하지 않아 적용 가능성이 제한적이다.
무차별의 원리: 더 이상의 정보가 없는 경우, 각 호환 상황에 같은 확률만 할당할 수 있다.
최대 정보 엔트로피: 알려진 정보와 호환되고 가장 큰 깁스 엔트로피(정보 엔트로피)를 갖는 앙상블이 올바른 앙상블이다.^[16]

한편, 통계 역학에 대한 다른 기본 가정도 제안되었다.^[34]^[17]^[18] 예를 들어, 같은 사전 확률 가정 없이 통계 역학 이론을 구축할 수 있다는 연구도 있다.^[17]^[18]

3. 3. 볼츠만 분포 (Boltzmann Distribution)

고전 통계역학은 볼츠만이 처음 정립했다. 엔트로피는 어떤 계의 무질서도 또는 거시상태에 대응되는 미시상태의 가짓수로 설명할 수 있다. 예를 들어 주사위 3개를 던지는 '계'를 생각할 때, 3 주사위 눈의 합이 3인 경우는 각각의 주사위가 모두 1의 눈인 경우만 가능하지만, 주사위 눈의 합이 6인 경우는 총 10가지 경우가 있기에, 주사위 눈의 합이 3인 거시상태는 합이 6인 거시상태보다 엔트로피가 낮다고 볼 수 있다. 이처럼 엔트로피가 높을수록 해당하는 거시상태가 나타날 확률은 높아진다. 볼츠만은 물리적인 계의 엔트로피를 계산하여 해당하는 계가 어떤 특정한 거시상태에 있을 확률을 유도하였으며, 에너지와 계의 온도를 변수로 하는 볼츠만 인자를 도입하였다.

평형 상태의 통계역학은 등확률의 원리와 볼츠만의 원리에서 유도된다.

4. 고전 통계역학

볼츠만이 처음 정립한 고전 통계역학을 이해하기 위해서는 우선 엔트로피 개념을 알아야 한다. 엔트로피는 어떤 계의 무질서도 또는 거시상태에 대응되는 미시상태의 가짓수라고 할 수 있다. 예를 들어 주사위 3개를 던지는 '계'를 생각해 보자. 주사위 눈의 합이 3인 경우는 각 주사위가 모두 1이 나오는 경우만 가능하다. 하지만, 주사위 눈의 합이 6인 경우는 총 10가지 경우가 있다. 따라서 주사위 눈의 합이 3인 거시상태는 합이 6인 거시상태보다 엔트로피가 낮다고 할 수 있다. 엔트로피가 높을수록 해당 거시상태가 나타날 확률은 높아진다. 볼츠만은 물리적인 계의 엔트로피를 계산하여 해당 계가 어떤 특정한 거시상태에 있을 확률을 유도하였다. 이에 에너지와 계의 온도를 변수로 하는 볼츠만 인자를 도입하였다.^[32]

물리학에서는 일반적으로 고전역학과 양자역학 두 가지 유형의 역학을 연구한다. 두 유형 모두 표준적인 수학적 접근 방식은 다음 두 가지 개념을 고려한다.

주어진 시간에 기계 시스템의 완전한 상태는 수학적으로 상점(고전역학) 또는 순수한 양자 상태 벡터(양자역학)로 인코딩된다.
시간에 따라 상태를 진행시키는 운동 방정식: 해밀턴 방정식(고전역학) 또는 슈뢰딩거 방정식(양자역학)

이 두 가지 개념을 사용하면 원칙적으로 과거 또는 미래의 다른 시간의 상태를 계산할 수 있다.

그러나 이러한 법칙과 일상적인 경험 사이에는 차이가 있다. 인간 규모에서 과정을 수행할 때 각 분자의 동시 위치와 속도를 미시적 수준에서 정확히 알 필요가 없으며, 이론적으로도 불가능하다. 통계역학은 불완전한 지식에 대한 불확실성을 추가하여 역학 법칙과 불완전한 지식에 대한 실제 경험 사이의 이러한 차이를 메운다.

일반적인 역학은 단일 상태의 거동만 고려하는 반면, 통계역학은 여러 상태에 있는 시스템의 가상적인 독립 복제본의 큰 집합인 통계적 앙상블을 도입한다. 통계적 앙상블은 시스템의 모든 가능한 상태에 대한 확률 분포이다. 고전 통계역학에서 앙상블은 일반적인 역학에서 단일 상점과는 달리 상점에 대한 확률 분포이며, 일반적으로 상공간에서 정준 좌표 축으로 분포로 표현된다.

확률의 경우와 마찬가지로 앙상블은 다음 두가지 방식으로 해석될수 있다.^[31]

앙상블은 ''단일 시스템''이 가질 수 있는 다양한 가능한 상태를 나타내는 것으로 간주될 수 있다(인식적 확률, 지식의 한 형태).
앙상블의 구성원은 유사하지만 불완전하게 제어된 방식으로 준비된 독립 시스템에서 반복되는 실험의 시스템 상태로 이해될 수 있다(경험적 확률).

이 두 가지 의미는 많은 목적에 있어 동등하며, 본 문서에서는 서로 바꿔 사용한다.

앙상블의 각 상태는 운동 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. 따라서 앙상블 자체(상태에 대한 확률 분포)도 진화하는데, 앙상블에 있는 가상 시스템이 계속해서 한 상태를 떠나 다른 상태로 들어가기 때문이다. 앙상블 진화는 리우빌 방정식(고전역학)에 의해 주어진다.

앙상블의 특별한 한 종류는 시간에 따라 진화하지 않는 앙상블이다. 이러한 앙상블을 ''평형 앙상블''이라고 하며, 그 조건을 ''통계적 평형''이라고 한다. 통계적 평형은 앙상블의 각 상태에 대해 앙상블이 그 상태에 있을 확률과 같은 확률로 그 상태의 미래와 과거 상태를 모두 포함하는 경우 발생한다. 고립된 시스템의 평형 앙상블에 대한 연구는 통계 열역학의 초점이다. 비평형 통계역학은 시간에 따라 변하는 앙상블, 또는 고립되지 않은 시스템의 앙상블과 같은 더 일반적인 경우를 다룬다.

통계역학에서 다루는 역학계가 고전역학에 기반을 두는 경우 고전통계역학으로 구분된다.

역학계의 상태 집합인 표본공간은 고전론에서는 위상공간이며, 물리량은 위상공간 위의 함수이다.

고전론에서는 위상공간의 측도는 한 쌍의 정준변수마다 플랑크 상수로 나누는 약속으로, 상태에 대한 합은

:

\sum_{\omega\in\Omega} \to \frac{1}{h^f} \int d^fp\, d^fq

로 대체된다. 여기서 f는 역학적 자유도이며, 3차원 공간의 N-입자계라면,

1=f=3N

이다.

4. 1. 맥스웰-볼츠만 통계 (Maxwell-Boltzmann Statistics)

이상 기체는 상호 작용하지 않는 입자로 구성되어 있어, 맥스웰-볼츠만 통계를 정확하게 유도할 수 있다.^[32]

4. 2. 열역학과의 관계

볼츠만이 처음 정립한 고전 통계역학을 이해하기 위해서는 우선 엔트로피 개념을 알아야 한다. 엔트로피는 어떤 계의 무질서도 또는 거시상태에 대응되는 미시상태의 가짓수라고 할 수 있다. 예를 들어 주사위 3개를 던지는 '계'를 생각해 보자. 3개 주사위 눈의 합이 3인 경우는 각 주사위가 모두 1이 나오는 경우만 가능하다. 하지만, 주사위 눈의 합이 6인 경우는 총 10가지 경우가 있다. 따라서 주사위 눈의 합이 3인 거시상태는 합이 6인 거시상태보다 엔트로피가 낮다고 할 수 있다. 엔트로피가 높을수록 해당 거시상태가 나타날 확률은 높아진다. 볼츠만은 물리적인 계의 엔트로피를 계산하여 해당 계가 어떤 특정한 거시상태에 있을 확률을 유도하였다. 이에 에너지와 계의 온도를 변수로 하는 볼츠만 인자를 도입하였다.

열역학 이론들은 경험적으로 발전했지만, 통계역학에서는 이 이론들을 계 구성 요소의 물리학적 성질로부터 유도한다. 그렇지만 열역학의 접근 방법이 물리적으로 잘못된 것은 아니며, 이 둘의 관계는 고전역학과 양자역학의 관계와 같다고 해석할 수 있다.

통계열역학(평형 통계역학이라고도 함)의 주요 목표는 구성 입자의 특성과 그들 사이의 상호작용 측면에서 물질의 열역학을 유도하는 것이다. 다시 말해, 통계열역학은 열역학적 평형 상태에 있는 물질의 거시적 특성과 물질 내부에서 일어나는 미시적 거동과 운동 사이의 연결 고리를 제공한다.

통계역학 자체는 동역학을 포함하지만, 여기서는 '통계적 평형'(정상 상태)에 초점을 맞춘다. 통계적 평형은 입자가 움직임을 멈췄다는 것을 의미하지 않는다(역학적 평형). 오히려 앙상블이 진화하지 않는다는 것을 의미한다.

5. 양자 통계역학

통계역학은 19세기에 정립되었으며, 20세기 양자역학 발전에 영향을 미쳤다. 통계역학의 확률적 관점과 계산 방법은 양자역학에 많이 사용되었다. 20세기 중반에는 통계역학의 경로적분 개념이 양자장론에 영향을 주었고, 1970년대 케네스 G. 윌슨의 재규격화 이론은 입자물리학에 큰 영향을 미쳤다.

양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 볼츠만 분포에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 페르미온과 보손이 보여주는 양자역학적 동일 입자(identical particle)의 성질을 이해해야 한다. 여러 개의 동일 입자들이 있을 때, 이를 나타내는 확률파동함수를 $\psi(x_1, x_2, \dots x_n)$ 이라고 하면, 입자 1과 입자 2를 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자는 아무런 차이를 감지할 수 없다. 즉, $\psi(x_1, x_2, \dots x_n) = \psi(x_2, x_1, \dots x_n)$ 이다. 여기서 '''맞바꾸는 교환 작용자''' $\chi$ 에 대한 고윳값 r을 생각해 볼 수 있는데, $\chi^2$ 는 두 번 맞바꾼 것이므로 항등연산자이다. 따라서 $\chi^2$ 의 고윳값 $r^2$ 는 1이 되고, $r$ 은 실수라고 가정하면 +1 또는 -1이 된다.

페르미-디랙 통계, 보스-아인슈타인 통계, 애니온 통계는 각각 페르미온, 보손, 애니온의 통계적 성질을 다룬다.

양자 통계역학은 양자역학적 계에 적용되는 통계역학이다. 양자역학에서 통계적 앙상블(가능한 양자 상태에 대한 확률 분포)은 밀도 행렬(밀도 연산자) ''S''로 기술되는데, 이는 양자계를 기술하는 힐베르트 공간 ''H''에서 1의 트레이스를 갖는 비음의 자기수반, 트레이스 클래스 연산자이다.

통계역학에서 다루는 역학계가 고전역학에 기반을 두는 경우 고전통계역학, 양자역학에 기반을 두는 경우 양자통계역학으로 크게 구분된다. 역학계의 상태 집합인 표본공간은 고전론에서는 위상공간이며, 양자론에서는 상태 벡터에 의해 형성되는 힐베르트 공간이다. 또한, 물리량은 고전론에서는 위상공간 위의 함수이며, 양자론에서는 상태 벡터에 작용하는 에르미트 연산자이다.

고전론에서는 위상공간의 측도는 한 쌍의 정준변수 마다 플랑크 상수로 나누는 약속으로, 상태에 대한 합은

: $\sum_{\omega\in\Omega} \to \frac{1}{h^f} \int d^fp\, d^fq$

로 대체된다. 여기서 f는 역학적 자유도이며, 3차원 공간의 N-입자계라면, $f = 3N$ 이다.

양자론에서는 양자수의 집합 의 합

: $\sum_{\omega\in\Omega} \to \sum_{n_1} \sum_{n_2} \dots \sum_{n_f}$

로 대체된다.

양자장론을 이용한 통계역학은 마쓰바라 타케오(松原武生)에 의한 '''온도 그린 함수'''의 도입으로 시작되었다.

5. 1. 페르미-디랙 통계 (Fermi-Dirac Statistics)

양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 볼츠만 분포에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 페르미온과 보손이 보여주는 양자역학적 동일 입자(identical particle)의 성질을 이해할 필요가 있다. 여러 개의 동일 입자가 있을 때 이를 나타내는 확률파동함수를

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이라고 할 때, 입자 1과 입자 2를 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자로서는 아무런 차이를 감지할 수 없다. 즉,

\psi(x_1, x_2, \dots x_n) = \psi(x_2, x_1, \dots x_n)

이다. 이제 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값 r을 생각해 볼 수 있는데,

\chi^2

는 두 번 맞바꾼 것이기 때문에 단순한 항등연산자이다. 그러므로

\chi^2

의 고윳값

r^2

는 1이 되고,

r

은 실수라 가정할 때 +1 또는 -1이 된다.

페르미온은 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값

r = -1

인 경우이다. 따라서

\chi \psi(x_1, x_2, \dots x_n)= - \psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이고, 위에서 언급한 대로 맞바꾸기를 한 이후의 확률파동함수는 그 이전과 비교해서 구분할 수 없다. 즉,

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)= - \psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이 된다. 따라서 앞의 식의 양변을 한쪽으로 옮기면

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)= 0

을 확인할 수 있다. 이는 한 개 보다 많은 복수의 페르미온이 동일한 상태에 존재 할 수 없음을 나타낸다. 그러므로 특정한 에너지

\epsilon

를 갖는 페르미온에 대한 확률분포를 볼츠만 분포를 확장하여 계산하면 다음과 같다.

상태1: $\epsilon$ 의 에너지를 갖는 페르미온이 존재하지 않는 경우의 볼츠만 인자는 1이다.

상태2: $\epsilon$ 의 에너지를 갖는 페르미온이 하나 존재하는 경우의 볼츠만 인자는 $e^{-\frac{\epsilon}{k T}}$ 이다.

이제

\epsilon

의 에너지를 갖는 페르미온이 '하나' 존재할 확률을 계산해 보면

\frac{e^{- \frac {\epsilon} {k T}}}{1+e^{- \frac {\epsilon}{k T}}}

이 된다.

5. 2. 보스-아인슈타인 통계 (Bose-Einstein Statistics)

양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 볼츠만 분포에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 페르미온과 보손이 보여주는 양자역학적 동일 입자(identical particle)의 성질을 이해할 필요가 있다. 여러 개의 동일 입자들가 있을 때 이를 나타내는 확률파동함수를

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이라고 할 때에 입자 1과 입자 2을 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자로서는 아무런 차이를 감지 할 수 없다. 즉

\psi(x_1, x_2, \dots x_n) = \psi(x_2, x_1, \dots x_n)

이라고 할 수 있다. 이제 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값 r을 생각해 볼 수 있는데,

\chi^2

는 두 번 맞바꾼 것이기 때문에 단순한 항등연산자이다. 그러므로

\chi^2

의 고윳값

r^2

는 1이 되고,

r

은 실수라 가정할 때에 당연히 +1 또는 -1이 될 것이다.

보손은 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값 r이 +1인 경우이다. 이때 기본 양자역학적인 대칭의 필요에서 어떤 두 알갱이를 바꿀 때, 총 파동함수

\psi

가 대칭적이다(즉 바뀌지 않은 채로 남아 있다.). 기호로

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)=  \psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이다. 두 알갱이를 서로 바꾼다고 하여 전체 기체의 새로운 상태가 되는 것은 아니다. 그러므로 기체의 구별되는 상태를 셀 때, 알갱이들이 정말로 구별할 수 없다고 생각해야 한다. 대칭에 필요한 알갱이들은 보즈-아인쉬타인 통계를 따른다고 하며 그들을 보손이라 부른다.

여기에서 알갱이들은 구별할 수 없는 것으로 생각하므로 수

\{n_1, n_2, n_3, \dots\}

의 단순한 명시는 기체상태를 충분히 설명한다.

모든 가능한 값은 각 r에 대해서

n_r=0, 1, 2, 3, \dots

에 대해 합하는 것만 필요하다.

즉 알갱이들이 구별이 안 되기 때문에 어떤 알갱이 수도 어떤 한 상태에 있을 수 있지만, 두 알갱이가 있을 때 들어가는 상태가 교환이 되지 않는 것을 의미한다.

5. 3. 애니온 통계 (Anyon Statistics)

양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 볼츠만 분포에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 페르미온과 보손이 보여주는 양자역학적 동일 입자(identical particle)의 성질을 이해할 필요가 있다. 여러 개의 동일 입자가 있을 때 이를 나타내는 확률파동함수를

\psi(x_1, x_2, \dots x_n)

이라고 할 때, 입자 1과 입자 2를 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자로서는 아무런 차이를 감지할 수 없다. 즉

\psi(x_1, x_2, \dots x_n) = \psi(x_2, x_1, \dots x_n)

이라고 할 수 있다. 이제 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값 r을 생각해 볼 수 있는데,

\chi^2

는 두 번 맞바꾼 것이기 때문에 단순한 항등연산자이다. 그러므로

\chi^2

의 고윳값

r^2

는 1이 되고,

r

은 실수라 가정할 때 +1 또는 -1이 될 것이다.

애니온은 '''맞바꾸는 교환 작용자'''

\chi

에 대한 고윳값 r이 복소수로서

r^2 = 1

을 만족하는 경우이다.

6. 비평형 통계역학

비평형 통계역학은 평형 상태에서 벗어난 계의 물리적 현상을 다룬다. 여기에는 열전도, 전기 전도, 화학 반응, 마찰, 소산, 양자 얽힘 소멸, 외부 힘에 의한 시스템 구동, 그리고 일반적인 비가역 과정 등이 포함된다.^[33] 이러한 과정들은 특정 속도로 시간에 따라 발생하며, 이 속도는 공학적으로 중요하다. 비평형 통계역학은 이러한 비평형 과정을 미시적인 수준에서 이해하고자 한다.

비평형 통계역학은 수학적으로 정확할 수 있다. 고립된 시스템의 앙상블은 리우빌 방정식이나 그 양자적 등가물인 폰 노이만 방정식과 같은 결정론적 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. 그러나 이러한 방정식들은 정확한 해를 얻기 어렵고, 앙상블 진화 방정식은 가역적이어서 정보를 파괴하지 않는다. 따라서 비가역 과정을 모델링하려면 확률 및 가역 역학 외에 추가적인 요소를 고려해야 한다. 비평형계는 열평형에서 벗어난 정도에 따라 선형 비평형계와 비선형 비평형계로 분류할 수 있다.

비평형 역학은 이러한 추가적인 가정의 유효성을 탐구하는 활발한 이론적 연구 분야이다.

6. 1. 선형 비평형 통계역학

많은 물리적 현상은 비평형 상태의 준열역학적 과정을 포함한다. 예를 들어, 물질 내부의 운동에 의한 열 전달(온도 불균형에 의해 유도됨), 도체 내 전하의 운동에 의한 전류(전압 불균형에 의해 유도됨), 자유 에너지 감소에 의한 자발적인 화학 반응, 마찰, 소산, 양자 얽힘 소멸, 외부 힘에 의해 구동되는 시스템(광 펌핑 등), 그리고 일반적인 비가역 과정 등이 있다. 이러한 과정은 특징적인 속도로 시간에 따라 발생하며, 이러한 속도는 공학에서 중요하다. 비평형 통계 역학 분야는 이러한 비평형 과정을 미시적 수준에서 이해하는 데 관심이 있다.^[33]

원칙적으로 비평형 통계 역학은 수학적으로 정확할 수 있다. 고립된 시스템의 앙상블은 리우빌 방정식 또는 그 양자적 등가물인 폰 노이만 방정식과 같은 결정론적 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. 그러나 이러한 방정식은 정확한 해를 얻기가 매우 어렵고, 앙상블 진화 방정식은 완전히 가역적이며 정보를 파괴하지 않으므로, 비가역 과정을 모델링하기 위해서는 확률과 가역 역학 외에 추가적인 요소를 고려해야 한다.

평형 상태에서 아주 약간만 벗어난 계를 다루는 비평형 통계역학 모델의 중요한 부류가 있다. 매우 작은 섭동의 경우, 그 응답은 선형 응답 이론을 통해 분석할 수 있다. 요동-소산 정리에 의해 공식화된 놀라운 결과는 평형 상태에 가까운 계의 응답이 계가 완전한 평형 상태에 있을 때 발생하는 요동과 정확하게 관련되어 있다는 것이다. 본질적으로, 외부 힘이나 요동에 의해 평형 상태에서 약간 벗어난 계는 계가 평형 상태에서 벗어나게 된 원인을 구분하거나 "알 수" 없기 때문에 동일한 방식으로 평형 상태로 이완된다.^[33]

이는 옴의 전도도와 열전도도와 같은 수치를 평형 통계역학의 결과를 추출하여 얻을 수 있는 간접적인 방법을 제공한다. 평형 통계역학은 수학적으로 잘 정의되어 있으며 (어떤 경우에는) 계산하기에 더 적합하기 때문에, 요동-소산 관계는 근평형 통계역학에서 계산을 위한 편리한 지름길이 될 수 있다.

이러한 관계를 맺는 데 사용되는 몇 가지 이론적 도구는 다음과 같다.

요동-소산 정리
온사거 상호 관계
그린-쿠보 관계식
란다우어-뷔티커 형식
모리-츠반찌크 형식
GENERIC 형식

고급 접근 방식은 확률적 방법과 선형 응답 이론을 결합하여 사용한다. 예를 들어, 전자 시스템의 전도도에서 양자 코히어런스 효과(약한 국소화, 전도도 변동)를 계산하는 한 가지 방법은 켈디시 방법을 사용하여 다양한 전자 간의 상호 작용에 의한 확률적 위상 붕괴를 포함하는 그린-쿠보 관계식을 사용하는 것이다.^[27]^[28]

6. 2. 비선형 비평형 통계역학

많은 물리적 현상은 비평형 상태의 준열역학적 과정을 포함한다. 예를 들면 다음과 같다.

물질 내부의 운동에 의한 열 전달(온도 불균형에 의해 유도됨)
도체 내 전하의 운동에 의한 전류(전압 불균형에 의해 유도됨)
자발적인 화학 반응(자유 에너지 감소에 의해 유도됨)
마찰, 소산, 양자 얽힘 소멸
외부 힘에 의해 구동되는 시스템(광 펌핑 등)
그리고 일반적인 비가역 과정

이러한 모든 과정은 특징적인 속도로 시간에 따라 발생하며, 이러한 속도는 공학에서 중요하다. 비평형 통계 역학 분야는 이러한 비평형 과정을 미시적 수준에서 이해하는 데 관심이 있다.(통계 열역학은 외부 불균형이 제거되고 앙상블이 평형 상태로 돌아간 후 최종 결과를 계산하는 데만 사용할 수 있다.)

원칙적으로 비평형 통계 역학은 수학적으로 정확할 수 있다. 고립된 시스템의 앙상블은 리우빌 방정식 또는 그 양자적 등가물인 폰 노이만 방정식과 같은 결정론적 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. 이러한 방정식은 역학적 운동 방정식을 앙상블의 각 상태에 독립적으로 적용한 결과이다. 이러한 앙상블 진화 방정식은 기본적인 역학적 운동의 복잡성을 많이 상속받으므로 정확한 해를 얻기가 매우 어렵다. 또한, 앙상블 진화 방정식은 완전히 가역적이며 정보를 파괴하지 않는다(앙상블의 깁스 엔트로피는 보존된다). 비가역 과정을 모델링하는 데 진전을 이루려면 확률과 가역 역학 외에 추가적인 요소를 고려해야 한다.

따라서 비평형 역학은 이러한 추가적인 가정의 유효성 범위가 계속 탐구됨에 따라 이론적 연구의 활발한 분야이다.

비평형 통계역학 모델에서 또 다른 중요한 부류는 평형 상태에서 아주 약간만 벗어난 계를 다룬다. 매우 작은 섭동의 경우, 그 응답은 선형 응답 이론을 통해 분석할 수 있다. 요동-소산 정리에 의해 공식화된 놀라운 결과는 평형 상태에 가까운 계의 응답이 계가 완전한 평형 상태에 있을 때 발생하는 요동과 정확하게 관련되어 있다는 것이다. 본질적으로, 외부 힘이나 요동에 의해 평형 상태에서 약간 벗어난 계는 계가 평형 상태에서 벗어나게 된 원인을 구분하거나 "알 수" 없기 때문에 동일한 방식으로 평형 상태로 이완된다.^[33]

이는 옴의 전도도와 열전도도와 같은 수치를 평형 통계역학의 결과를 추출하여 얻을 수 있는 간접적인 방법을 제공한다. 평형 통계역학은 수학적으로 잘 정의되어 있으며 (어떤 경우에는) 계산하기에 더 적합하기 때문에, 요동-소산 관계는 근평형 통계역학에서 계산을 위한 편리한 지름길이 될 수 있다.

이러한 관계를 맺는 데 사용되는 몇 가지 이론적 도구는 다음과 같다.

요동-소산 정리
온사거 상호 관계
그린-쿠보 관계식
란다우어-뷔티커 형식
모리-츠반찌크 형식
GENERIC 형식

고급 접근 방식은 확률적 방법과 선형 응답 이론을 결합하여 사용한다. 예를 들어, 전자 시스템의 전도도에서 양자 코히어런스 효과(약한 국소화, 전도도 변동)를 계산하는 한 가지 방법은 켈디시 방법을 사용하여 다양한 전자 간의 상호 작용에 의한 확률적 위상 붕괴를 포함하는 그린-쿠보 관계식을 사용하는 것이다.^[27]^[28]

비평형계에서는 열평형으로부터의 어긋남을 1차의 미소량(섭동)으로 볼 수 있는 '''선형 비평형계'''와 그렇게 볼 수 없는 '''비선형 비평형계'''로 분류할 수 있다.

6. 3. 확률적 방법 (Stochastic Methods)

분자 동역학 컴퓨터 시뮬레이션은 에르고딕 시스템에서 미소 정준 앙상블 평균을 계산하는 데 사용될 수 있다. 확률적 열역학과의 연결을 포함하면 정준 및 그랜드 정준 조건도 모델링할 수 있다.^[33] 비평형 통계 역학 결과를 포함하는 혼합 방법이 유용할 수 있다.

비평형 통계역학에 대한 한 가지 접근법은 계에 확률적(무작위) 행동을 통합하는 것이다. 확률적 행동은 앙상블에 포함된 정보를 파괴한다. 블랙홀을 포함하는 가상적인 상황을 제외하고는 기술적으로 정확하지 않지만(계 자체가 정보 손실을 야기할 수는 없다), 관심 있는 정보가 시간이 지남에 따라 계 내부의 미묘한 상관관계 또는 계와 환경 간의 상관관계로 변환된다는 것을 반영하기 위해 무작위성이 추가된다. 이러한 상관관계는 관심 있는 변수에 카오스적 또는 의사난수적 영향으로 나타난다. 이러한 상관관계를 적절한 무작위성으로 대체함으로써 계산을 훨씬 쉽게 만들 수 있다.

''볼츠만 수송 방정식'': "통계역학"이라는 용어가 만들어지기 전에도 기체 운동론 연구에서 초기 형태의 확률적 역학이 나타났다. 제임스 클러크 맥스웰은 분자 충돌이 기체 내부에서 겉보기에 카오스적인 운동으로 이어질 것임을 보여주었다. 루트비히 볼츠만은 이후 이러한 분자 카오스를 완전한 무작위화로 받아들이면 기체 내 입자의 운동이 기체를 평형 상태로 빠르게 복원하는 간단한 볼츠만 수송 방정식을 따를 것임을 보였다(H 정리 참조). 볼츠만 수송 방정식 및 관련 접근 방식은 극도의 단순성으로 인해 비평형 통계역학에서 중요한 도구이다. 이러한 근사는 "흥미로운" 정보가 단 한 번의 충돌 후 즉시 미묘한 상관관계로 뒤섞이는 시스템에서 잘 작동하며, 이는 본질적으로 희박 기체로 제한한다. 볼츠만 수송 방정식은 전자가 실제로 희박 기체와 유사한 약하게 도핑된 반도체(트랜지스터 내)에서의 전자 수송 시뮬레이션에 매우 유용한 것으로 밝혀졌다. 주제와 관련된 양자 기술은 임의 위상 근사이다.

''BBGKY 계층'': 액체와 고밀도 기체에서는 한 번의 충돌 후 입자 간의 상관관계를 즉시 버리는 것이 유효하지 않다. BBGKY 계층(Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon 계층)은 볼츠만 유형 방정식을 도출하는 방법을 제공하지만 몇 번의 충돌 후 상관관계를 포함하도록 희박 기체의 경우를 넘어 확장한다.

''켈디시 형식주의''(NEGF—비평형 그린 함수): 확률적 역학을 포함하는 양자 접근 방식은 켈디시 형식주의에서 찾을 수 있다. 이 접근 방식은 종종 전자 양자 수송 계산에 사용된다.

확률적 리우빌 방정식.

7. 통계역학의 응용

통계역학은 대상의 자유도가 매우 커서 정확한 해를 구하기 어려울 때 유용하게 쓰인다. 비선형 동역학, 혼돈 이론, 플라스마 물리학, 열역학, 유체역학 등이 통계역학의 세부 분야 또는 파생 분야이다. 간단한 문제는 항의 무더기 전개나 근사 방법으로 해석적인 해를 구할 수 있지만, 최근의 복잡한 문제들은 방정식의 수치적인 해를 구하거나 컴퓨터 시뮬레이션을 이용한다. 복잡계 문제 해결에 널리 쓰이는 방법으로 몬테카를로 시뮬레이션이 있으며, 최근에는 네트워크 이론이 통계 물리학자들의 주요 연구 주제로 떠오르고 있다. 앙상블 형식은 계의 상태에 대한 지식의 불확실성을 가진 일반적인 역학계를 분석하는 데 사용될 수 있다. 또한 앙상블은 시간에 따른 불확실성 전파, 중력 궤도의 회귀 분석, 날씨의 앙상블 예측, 신경망의 역학, 게임 이론 및 경제학에서의 제한적 합리성 잠재적 게임 등에도 사용된다.^[31] 통계 물리는 의료 진단 분야에도 응용되고 있다.^[30]

7. 1. 화학

통계 물리는 초전도성, 초유체, 난류, 고체와 플라스마의 집단 현상, 그리고 액체의 구조적 특징을 설명하고 정량적으로 기술한다. 고체 물리학에서 통계 물리는 액정, 상전이, 임계 현상 연구에 도움을 준다. 물질에 대한 많은 실험 연구는 시스템의 통계적 설명에 전적으로 기반하며, 저온 중성자, X선, 가시광선 등의 산란을 포함한다. 통계 물리는 재료 과학, 핵물리학, 천체물리학, 화학, 생물학 및 의학(예: 전염병 확산 연구)에서도 역할을 한다.

7. 2. 생물리학

통계 물리는 초전도성, 초유체, 난류, 고체와 플라스마의 집단 현상, 그리고 액체의 구조적 특징을 설명하고 정량적으로 기술한다. 이는 현대 천체물리학의 기초가 된다. 고체 물리학에서 통계 물리는 액정, 상전이, 그리고 임계 현상 연구에 도움을 준다. 물질에 대한 많은 실험 연구는 시스템의 통계적 설명에 전적으로 기반한다. 여기에는 저온 중성자, X선, 가시광선 등의 산란이 포함된다. 통계 물리는 또한 재료 과학, 핵물리학, 천체물리학, 화학, 생물학 및 의학(예: 전염병 확산 연구)에서도 역할을 한다.

7. 3. 전산 통계역학

주어진 계에 대한 앙상블의 특성 상태 함수가 계산되면 그 계는 '해결된' 것으로 간주된다(거시적 관측 가능량은 특성 상태 함수에서 추출할 수 있다). 그러나 열역학적 앙상블의 특성 상태 함수를 계산하는 것은 계의 모든 가능한 상태를 고려해야 하므로 반드시 간단한 작업은 아니다. 일부 가상 시스템은 정확하게 해결되었지만, 가장 일반적인(그리고 현실적인) 경우는 정확한 해를 구하기에는 너무 복잡하다. 진정한 앙상블을 근사하고 평균량을 계산할 수 있도록 다양한 방법이 존재한다.

7. 4. 사회과학

앙상블 형식은 계의 상태에 대한 지식의 불확실성을 가진 일반적인 역학계를 분석하는 데 사용될 수 있다. 앙상블은 다음과 같은 경우에도 사용된다.^[31]

시간에 따른 불확실성 전파
중력 궤도의 회귀 분석
날씨의 앙상블 예측
신경망의 역학
게임 이론 및 경제학에서의 제한적 합리성 잠재적 게임

통계 물리는 재료 과학, 핵물리학, 천체물리학, 화학, 생물학 및 의학(예: 전염병 확산 연구) 등 다양한 분야에서 활용된다. 무질서 시스템의 통계 물리학에서 파생된 분석적 및 계산적 기법은 머신 러닝을 포함한 대규모 문제로 확장될 수 있으며, 예를 들어 심층 신경망의 가중치 공간을 분석하는 데 사용될 수 있다.^[29] 따라서 통계 물리는 의료 진단 분야에서 응용되고 있다.^[30]

8. 한국의 통계역학 연구 현황과 전망

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참조

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