선형 푸아송 다양체

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1. 개요

선형 푸아송 다양체는 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응하는 푸아송 다양체의 한 종류이다. 이는 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념으로, 리 대수 구조를 쌍대 공간에 부여하거나, 유한 차원 실수 리 대수로부터 푸아송 다양체 구조를 정의하여 구성된다. 선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎은 리 군의 공수반 표현 궤도와 일치하며, 멱영 리 군 및 콤팩트 리 군의 표현론과 관련이 있다. 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프는 1961년에 선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계를 발견했다.

선형 푸아송 다양체

개요

유형	푸아송 다양체

같이 수반 작용 궤도

영어 이름	Coadjoint orbit
설명	리 군의 같이 수반 표현의 궤도
관련 주제	리 군 리 대수 푸아송 다양체 심플렉틱 다양체 기약 표현 기리요프 특성 공식

선형 푸아송 다양체

영어 이름	Linear Poisson manifold
정의	리 대수의 쌍대 공간에 정의된 푸아송 구조
관련 개념	푸아송 다양체 리 대수 리 군 심플렉틱 잎

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 선형 푸아송 다양체
- 2.2. 리 대수로부터의 구성
3. 성질
4. 예시
5. 역사

2. 정의

유한 차원 실수 벡터 공간 $V$ 위에 푸아송 다양체 구조 $\{-,-\}$ 가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

: $\{f,g\}(x) = x^if_i{}^{jk}\partial_jf\partial_kf$

그렇다면, 쌍대 공간 $V^*$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

: $[t^j,t^k] = \sum_i f_i{}^{jk} t^i$

반대로, 유한 차원 실수 리 대수 $(\mathfrak g,[,])$ 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 $\mathfrak g^*$ 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 $f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)$ 및 $x\in\mathfrak g^*$ 에 대하여,

: $\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])$

여기서

: $\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.

$G$ 를 리 군(Lie group)이라고 하고, $\mathfrak{g}$ 를 해당 리 대수(Lie algebra)라고 하자. $\mathrm{Ad} : G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 를 $G$ 의 수반 표현이라고 하자. 그러면 공수반 표현 $\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{GL}(\mathfrak{g}^*)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle$ ( $g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,$ 에 대해)

여기서 $\langle \mu, Y \rangle$ 는 벡터 $Y$ 에 대한 선형 범함수 $\mu$ 의 값을 나타낸다.

$\mathrm{ad}^*$ 를 리 군 $G$ 의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 $\mathfrak{g}^*$ 에 대한 표현이라고 하자. 그러면 $\mathrm{Ad}^*$ 에 대한 정의 방정식의 미소 버전은 다음과 같다.

: $\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle$ ( $X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*$ 에 대해)

여기서 $\mathrm{ad}$ 는 리 대수의 수반 표현 $\mathfrak{g}$ 이다.

2.1. 선형 푸아송 다양체

2.2. 리 대수로부터의 구성

유한 차원 실수 리 대수 $(\mathfrak g,[,])$ 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 $\mathfrak g^*$ 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의할 수 있다. 임의의 $f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)$ 및 $x\in\mathfrak g^*$ 에 대하여,
: $\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])$
여기서
: $\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g$
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.

$G$ 를 리 군(Lie group)이라고 하고, $\mathfrak{g}$ 를 해당 리 대수(Lie algebra)라고 하자. $\mathrm{Ad} : G \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 를 $G$ 의 수반 표현이라고 하자. 그러면 공수반 표현 $\mathrm{Ad}^*: G \rightarrow \mathrm{GL}(\mathfrak{g}^*)$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle$ ( $g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,$ 에 대해)
여기서 $\langle \mu, Y \rangle$ 는 벡터 $Y$ 에 대한 선형 범함수 $\mu$ 의 값을 나타낸다.

$\mathrm{ad}^*$ 를 리 군 $G$ 의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 $\mathfrak{g}^*$ 에 대한 표현이라고 하자. 그러면 $\mathrm{Ad}^*$ 에 대한 정의 방정식의 미소 버전은 다음과 같다.
: $\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle$ ( $X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*$ 에 대해)

여기서 $\mathrm{ad}$ 는 리 대수의 수반 표현 $\mathfrak{g}$ 이다.

3. 성질

3.1. 심플렉틱 잎과 쌍대딸림표현 궤도

리 대수 $\mathfrak g$ 에 대응하는 단일 연결 리 군 $G$ 를 생각할 때, $\mathfrak g^*$ 는 $G$ 의 쌍대딸림표현을 갖는다. $\mathfrak g^*$ 의 심플렉틱 잎들은 $G$ 의 작용에 대한 궤도, 즉 쌍대딸림표현 궤도와 일치한다.

$G$ 의 공수반 표현은 다음과 같이 정의된다.
: $\langle \mathrm{Ad}^*_g \, \mu, Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}^{-1}_{g} Y \rangle = \langle \mu, \mathrm{Ad}_{g^{-1}} Y \rangle$ ( $g \in G, Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*,$ 에 대해)
여기서 $\langle \mu, Y \rangle$ 는 벡터 $Y$ 에 대한 선형 범함수 $\mu$ 의 값을 나타낸다.

리 군 $G$ 의 공수반 표현에 의해 유도된 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 $\mathfrak{g}^*$ 에 대한 표현 $\mathrm{ad}^*$ 는 다음과 같다.
: $\langle \mathrm{ad}^*_X \mu, Y \rangle = \langle \mu, - \mathrm{ad}_X Y \rangle = - \langle \mu, [X, Y] \rangle$ ( $X,Y \in \mathfrak{g}, \mu \in \mathfrak{g}^*$ 에 대해)

여기서 $\mathrm{ad}$ 는 리 대수의 수반 표현 $\mathfrak{g}$ 이다.

$\mathfrak{g}$ 의 쌍대 공간 $\mathfrak{g}^*$ 에서 $\mu$ 에 대한 코어드조인트 궤도 $\mathcal{O}_\mu$ 는 $\mathfrak{g}^*$ 내의 실제 궤도 $\mathrm{Ad}^*_G \mu$ 로 정의되거나, 안정자를 이용해 정의될 수 있다.

코어드조인트 궤도는 $\mathfrak{g}^*$ 의 부분 다양체이며, 각 궤도 $\mathcal{O}_\mu$ 에서 닫힌 비퇴화 $G$ -불변 2-형식 $\omega \in \Omega^2(\mathcal{O}_\mu)$ 가 다음과 같은 방식으로 $\mathfrak{g}$ 로부터 상속되어 자연스러운 심플렉틱 구조를 갖는다.
: $\omega_\nu(\mathrm{ad}^*_X \nu, \mathrm{ad}^*_Y \nu) := \langle \nu, [X, Y] \rangle , \nu \in \mathcal{O}_\mu, X, Y \in \mathfrak{g}$ .
정규 2-형식 $\omega$ 는 키릴로프-코스탄트-수리우 심플렉틱 형식 또는 KKS 형식이라고도 불린다.

3.2. 멱영 리 군의 표현론

연결 단일 연결 멱영 리 군 $G$ 의 유니터리 기약 표현들은 그 리 대수의 쌍대 공간 $\mathfrak{lie}(G)^*$ 의 쌍대딸림궤도들과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 쌍대딸림궤도는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 $G$ 의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있다. 이 유니터리 표현은 주어진 쌍대딸림궤도에 대응하는 기약 표현이다.

표현 $\rho$ 의 지표는 쌍대딸림궤도의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

3.3. 콤팩트 리 군의 표현론

연결 단일 연결 콤팩트 리 군 $G$ 의 쌍대딸림표현 궤도들은 $G$ 의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 키릴로프 지표 공식을 통해 기약 표현의 지표를 쌍대딸림궤도 위의 적분으로 나타낼 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합) $\mathfrak g$
* $\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$
* $\mathfrak h$ 의 양근 집합 $\{\alpha^1,\dotsc,\alpha^{\dim\mathfrak g/2}\} \subseteq \mathfrak h^*$
* 기약 표현 $\pi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$
* $\pi$ 의 최고 무게 $\lambda \in \mathfrak h^*$

그렇다면,

: $\rho = \frac12\sum_{i=1}^{\dim\mathfrak g/2} \alpha^i$

가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도

: $\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) \subseteq \mathfrak g^*$

는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 $\mu_{\lambda+\rho}$ 가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

: $(\det(\mathrm D\exp|_\xi))^{1/2} \operatorname{tr}_V\pi(\exp\xi) = \int_{\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho)} \exp(\mathrm i\langle x|\xi\rangle) \mu_{\lambda+\rho}$

여기서

* $\det(\mathrm D\exp|_\xi) = \operatorname{sinh}(\operatorname{ad}(\xi/2))/\operatorname{ad}(\xi/2)$ 는 리 지수 사상 $\mathfrak g \to G$ 의, $\xi\in\mathfrak g$ 에서의 야코비 행렬 $\mathrm D\exp|_\xi \in \mathfrak g^* \otimes \mathrm T_{\exp\xi}G$ 의 행렬식이다.

3.4. 고리 리 대수

단일 연결 반단순 리 군 $G$ 의 리 대수 $\mathfrak g$ 를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간
: $\mathrm LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)$
은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수
: $\mathrm L\mathfrak g = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathfrak g)$
를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여
: $\mathfrak g \otimes \mathbb C[z,z^{-1}] \subseteq \mathrm L\mathfrak g$
이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

원 $\mathbb S^1$ 은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라
: $\mathrm L\mathfrak g \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g^*)$
으로 놓을 수 있다. 또한, $\mathfrak g$ 의 킬링 형식을 사용하여 $\mathfrak g^* \cong \mathfrak g$ 이므로
: $(\mathrm L\mathfrak g)^* \cong \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)$
이다. 이 공간
: $(\mathrm L\mathfrak g)^* = \Omega^1(\mathbb S^1;\mathfrak g)$
은 원 위의 자명한 $G$ -주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, $\mathrm LG$ 는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 $\mathrm L\mathfrak g^*$ 위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 $G/\!/G$ 이다.

4. 예시

아벨 리 대수 $\mathfrak g$ 를 생각하자. 그렇다면, $\mathfrak g^*$ 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,
: $\mathfrak g = \mathbb R^n$
이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 $G = \mathbb R^n$ 은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.
: $(t^1,\dotsc,t^n) \cdot z \mapsto \exp(\mathrm i\alpha_1t^1+\mathrm i\alpha_2t^2+\dotsb+\mathrm i\alpha_nt^n) z$
이 기약 표현은 점 $(\alpha_1,\alpha_2,\dotsc,\alpha_n) \in \mathfrak g^*$ 으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표
: $\chi_{(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)}(t_1,\dotsc,t_n) = \exp(\mathrm i\alpha_1t^1 + \dotsb + \mathrm i\alpha_nt^n)$
는 부피 형식( $(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ 에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

$\mathfrak{g} = \mathfrak{o}(3)$ (3차원 직교군의 리 대수)는 3차원 벡터 공간이다. 킬링 형식 $B(-,-)$ 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같다.

: $\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))$

이는 음이 아닌 실수 반지름 $r$ 의 구이며, $\operatorname{SU}(2)$ 의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

$r>0$ 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, $r=0$ 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 $(r,\theta,\phi)$ 에서

: $\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta$

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 $1\in\mathbb R$ 에 해당하며, $\rho = 1/2$ 이다.

스핀 $\lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}$ 에 대하여,

: $\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}$

이며,

: $\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2}=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}$

이다.

여기서 정적분

: $\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm i\cos\theta) = \frac{2\sin r}r$

을 사용하였다.

야코비안은

: $\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi$

이다.

스핀 $\lambda$ 에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}$

스핀 $\lambda$ 의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)$

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

멱영 리 군인 하이젠베르크 군
: $\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$
을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.
: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$
3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적
: $\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)$
을 사용한다면, $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)$ 의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 $\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)$ 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.
: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}($
이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.
: $\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0&x-ay&y\\0&0&z+by\\0&0&0\end{pmatrix}$
따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
* $y = 0$ 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다.
* $y \ne 0$ 일 때, 궤도는 $(\mathbb R,y,\mathbb R)$ 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 $\mathrm dx\wedge\mathrm dz / y$ 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다.

4.1. 아벨 리 군

4.2. SU(2)

$\mathfrak{g} = \mathfrak{o}(3)$ (3차원 직교군의 리 대수)는 3차원 벡터 공간이다. 킬링 형식 $B(-,-)$ 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같다.

: $\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))$

이는 음이 아닌 실수 반지름 $r$ 의 구이며, $\operatorname{SU}(2)$ 의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

$r>0$ 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, $r=0$ 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 $(r,\theta,\phi)$ 에서

: $\omega_r = \frac r{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\phi\wedge\mathrm d\theta$

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 $1\in\mathbb R$ 에 해당하며, $\rho = 1/2$ 이다.

스핀 $\lambda\in\{1/2,1,3/2,2,\dotsc\}$ 에 대하여,

: $\operatorname{Orbit}(\lambda+\rho) = \{x\in\mathbb R^3\colon \|x\|= \lambda+1/2\}$

이며,

: $\int_{\|x\|=2\lambda+1/2} \exp(\mathrm i\langle x,\xi\rangle) \omega_{\lambda+1/2}=\frac{\lambda+1/2}{2\pi}\int_0^2\pi\mathrm d\phi\int_0^\pi\mathrm d\theta\,\sin\theta\exp(2\mathrm i\xi(\lambda+1/2)\cos\theta)=\frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\xi}$

이다.

여기서 정적분

: $\int_0^\pi \sin\theta \exp(\mathrm ir\cos\theta) = \frac{2\sin r}r$

을 사용하였다.

야코비안은

: $\det \mathrm D\exp|_{\operatorname{diag}(\mathrm i\xi,-\mathrm i\xi)} = \frac{\sin\xi}\xi$

이다.

스핀 $\lambda$ 에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \frac{\sin((2\lambda+1)\xi)}{\sin\xi}$

스핀 $\lambda$ 의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

: $\operatorname{tr} \lambda(\operatorname{diag}(\exp(\mathrm i\xi),\exp(-\mathrm i\xi)))= \exp(2\mathrm i\lambda)\xi)+ \exp(2\mathrm i(\lambda-1)\xi)+ \dotsb + \exp(-2\mathrm i\lambda\xi)$

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

4.3. 하이젠베르크 군

멱영 리 군인 하이젠베르크 군
: $\operatorname{Heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$
을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.
: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R) = \left\{\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}\colon a,b,c\in\mathbb R\right\}$
3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적
: $\langle X|Y\rangle = \operatorname{tr}(XY)$
을 사용한다면, $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)$ 의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 $\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)$ 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.
: $\mathfrak{heis}(3;\mathbb R)^\perp = \left\{\begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix}\colon x,y,z\in\mathbb R\right\} = \{M\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)\colon \operatorname{tr}($
이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.
: $\operatorname{ad}^*\left(\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\right) \colon \begin{pmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}0&x-ay&y\\0&0&z+by\\0&0&0\end{pmatrix}$
따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
* $y = 0$ 인 점은 군의 작용의 고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다.
* $y \ne 0$ 일 때, 궤도는 $(\mathbb R,y,\mathbb R)$ 의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식 $\mathrm dx\wedge\mathrm dz / y$ 은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다.

5. 역사

선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프/Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов^러시아어, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.