허수 단위

3. 성질

허수 단위 i의 거듭제곱은 다음 패턴으로 표현되는 순환을 이룬다.

:i⁴ⁿ = 1

:i⁴ⁿ⁺¹ = i

:i⁴ⁿ⁺² = -1

:i⁴ⁿ⁺³ = -i (n은 정수)

따라서 곱셈에 대해 i는 크기가 4인 순환군의 생성원이며, 곱셈에 대한 단위 복소수의 연속적인 원군의 이산 부분군이다.

정수 n에 대한 오일러의 공식의 특수한 경우로 iⁿ을 표현하면 다음과 같다.

:iⁿ = exp(½πi)ⁿ = exp(½nπi) = cos(½nπ) + isin(½nπ)

4. 오일러 공식

오일러 공식은 허수 단위를 포함한 지수 함수와 삼각 함수 간의 관계를 나타내며 다음과 같다.^[13]

:$e^\{i\backslash theta\}\; =\; \backslash cos(\backslash theta)\; +\; i\backslash sin(\backslash theta)$

그로부터 다음과 같은 공식도 얻을 수 있다.

:$x^\{i\backslash theta\}\; =\; \backslash cos(\{\backslash theta\; \backslash ln\; x\})\; +\; i\backslash sin(\{\backslash theta\; \backslash ln\; x\})$

:$\backslash sqrt[i\backslash theta]\{x\}\; =\; x^\; =\; \backslash cos()\; -\; i\backslash sin()$

복소지수함수는 정의역에서의 복소수 덧셈을 공역에서의 복소수 곱셈으로 연결하며, 허수 방향에서 주기가 2πi인 주기함수이다. 복소지수함수는 짝함수와 홀함수 성분인 쌍곡선 함수 또는 삼각함수로 분해될 수 있다.

$$\backslash exp\; z\; =\; \backslash cosh\; z\; +\; \backslash sinh\; z\; =\; \backslash cos(-iz)\; +\; i\backslash sin(-iz)$$

복소지수함수를 기반으로 하는 다른 함수들은 허수 입력값으로도 잘 정의된다. 예를 들어, n i 제곱으로 올린 수는 다음과 같다.

$$x^\{n\; i\}\; =\; \backslash cos(n\backslash ln\; x)\; +\; i\; \backslash sin(n\backslash ln\; x\; ).$$

지수함수는 주기적이기 때문에, 그 역함수인 복소 로그는 다가함수이며, 정의역의 각 복소수는 공역의 여러 값에 대응하며, 서로 2πi의 정수 배만큼 떨어져 있다.^[15]

5. i의 i제곱

오일러 공식^[20]

:$e^\{i\backslash theta\}=\backslash cos(\backslash theta)+i\; \backslash sin(\backslash theta)$

에 $\backslash theta=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2\backslash pi\; n$ (여기서 n은 정수)를 대입하면

:$e^\{i(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2\backslash pi\; n)\}=\backslash cos(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2\backslash pi\; n))+i\backslash sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2\backslash pi\; n))=0+1i=i$

이 된다. 이제 양변에 i제곱을 취하면 지수법칙에 의해

:$i^i=e^\{i\backslash cdot\; i(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2\backslash pi\; n))\}$

이라고 할 수 있다.(복소수에서 지수법칙을 사용하기 위해서는 보다 엄밀한 논증을 거쳐야 하지만, 이곳에서는 그냥 넘어가기로 한다.)

정의에 의해 $i\backslash cdot\; i=-1$이므로,

:$i^i=e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}-2\backslash pi\; n\}$

을 얻는다.

여기에 주 분지인 $n=0$을 대입한다면, $i^i$의 수치적 값은 다음과 같이 계산된다.

:$i^i=e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{e^\{\backslash pi\}\}\}\backslash approx\; 0.207879576...$

모든 가능한 분지에 대해, $i^i$의 값은 실수이며, 또한 초월수이다.^[20] 주값에서의 값은 = e}} = 0.20787957…}}이다.

6. 계승

허수 단위 ''i''에 대한 계승 ''i!''은 감마 함수로 표현될 수 있다.^[16]

: ''i!'' = Γ(1+''i'') ≈ 0.4980 - 0.1549''i''

''i!''의 절댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[16][17]

: |Γ(1+''i'')| = √(π/sinhπ)/sqrt^영어 ≈ 0.5216

7. 표현

실수체 의 직적집합 }}에 합과 곱을 다음과 같이 정의한다.

:

:

이때, 는 복소수 에 대응되며, 허수 단위 는 에 대응된다.

사원수는 }}의 원소에 대응하며, 실수 단위 , 3개의 허수 단위 는 }}의 정규직교기저에 대응한다. 실수체 R 위의 다항식환 R[X]에 대해, X² + 1로 나눈 잉여환 R[X]/(X² + 1)은 복소수체 C와 체 동형이다. 이 대응에서, 허수 단위는 동치류 [X]이다.

==== 행렬 표현 ====

복소수는 2x2 행렬로 표현될 수 있으며, 이 경우 허수 단위 i는 다음과 같은 행렬에 대응한다.

:$J\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

0 &-1 \\

1 &0

\end{pmatrix}

이때 J² = -E (E는 2차 단위행렬)이다.

==== 기하학적 표현 ====

복소수는 실수를 수평축으로, 허수를 수직축으로 하는 데카르트 평면인 복소평면에 그래프로 나타낼 수 있다. 이 표현에서 수 1 과 ''i'' 는 0으로부터 같은 거리에 있으며, 서로 직각을 이룬다. 복소수를 더하는 것은 평면에서의 이동에 해당하고, 단위 크기의 복소수를 곱하는 것은 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 허수 단위 ''i''를 곱하면, 복소평면의 임의의 복소수는 4분의 1회전 (90°)만큼 반시계 방향으로 회전한다. -''i''를 곱하면 임의의 복소수는 4분의 1회전만큼 시계 방향으로 회전한다.

극형식으로 표현하면 다음과 같다.

: $$i\; \backslash ,\; re^\{\backslash varphi\; i\}\; =\; re^\{(\backslash varphi\; +\; \backslash pi/2)i\},\; \backslash quad$$

• i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi - \pi/2)i}.

7. 1. 행렬 표현

7. 2. 기하학적 표현

• i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi - \pi/2)i}.

8. 역사

허수 단위는 16세기 이탈리아에서 3차 방정식을 푸는 과정에서 발견되었다. 근세 수학 초기에는 물리적 측정이나 기본적인 산술 연산을 통해 얻을 수 있는 실수만이 숫자로 간주되었고, 심지어 음수조차 회의적으로 다뤄졌기 때문에 음수의 제곱근은 무의미한 것으로 여겨졌다.^[2][3] 르네 데카르트는 1637년 허수를 "Nombre imaginaire"(“상상의 수”)라고 명명하며, 실수축 위에 존재하지 않는 수의 도입에 대해 회의적인 입장을 보였다. 아이작 뉴턴은 1670년대 초에 이 용어를 사용했다.^[2][3] 1770년경, 레온하르트 오일러는 허수 단위를 이마기나리우스/imaginarius^la의 첫 글자를 따 ''i'' 로 표기했다.^[18][19][4]

9. 일반화

복소수를 일반화한 이원수, 분해형 복소수 및 이중수에 대해서도, ''j''² = +1 또는 ''ε''² = 0을 만족하는 (실수가 아닌) 요소를 허수 단위라고 부르는 경우도 있다.

참조

_[1] 서적 Elementary vectors for electrical engineers https://archive.org/[...] I. Pitman
_[2] 학술지 The New Language of Mathematics https://www.american[...] 2017-11-01
_[3] OED imaginary number
_[4] 서적 A History of Mathematics https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[5] 서적 Circles Disturbed: The interplay of mathematics and narrative https://books.google[...] Princeton University Press
_[6] 서적 Hermann Günther Graßmann (1809–1877) Springer
_[7] 서적 Mathematical Fallacies and Paradoxes https://books.google[...] Courier Corporation
_[8] 서적 Math for Electricity & Electronics https://books.google[...] Cengage Learning
_[9] 서적 Algebra: Themes, tools, concepts https://books.google[...] Henri Picciotto
_[10] 서적 An Imaginary Tale: The story of "{{mvar|i}}" [the square root of minus one] https://books.google[...] Princeton University Press
_[11] 웹사이트 What is the square root of {{mvar|i}} ? http://www.math.utor[...] 2007-03-26
_[12] 서적 A first course in complex analysis with applications https://www.worldcat[...] Jones and Bartlett
_[13] 웹사이트 i to the i is a Real Number – Math Fun Facts https://math.hmc.edu[...] 2024-08-22
_[14] 학술지 Euler and his Work on Infinite Series
_[15] 서적 Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering https://www.worldcat[...] Cambridge University Press
_[16] 학술지 Arggh! Eye factorial . . . Arg(i!)
_[17] 웹사이트
_[18] 서적 数学用語と記号ものがたり 裳華房 2003-08-25
_[19] 서적 ビジュアル数学全史 人類誕生前から多次元宇宙まで 岩波書店 2017-05-26
_[20] 서적 虚数の話 青土社
_[21] 서적 理工系の数学入門コース5 複素関数 岩波書店
_[22] 서적 複素関数論 学術図書出版社