P-군

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 자기 동형 사상
- 2.2. 정규 부분군
3. 예시
4. 분류
- 4.1. p³ 차수까지
5. p-군의 편재성
- 5.1. 군 중에서
- 5.2. 군 내에서
6. 군의 구조론에 대한 응용
- 6.1. 국소적 제어
참조

1. 개요

P-군은 유한군 이론에서 중요한 개념으로, 크기가 소수 p의 거듭제곱인 유한군을 의미하며, 이러한 군의 구조와 성질에 대한 연구가 활발하게 진행되고 있다. P-군은 가해군이며, 자명하지 않은 경우 자명하지 않은 중심을 갖는다는 특징을 가진다. 또한, 유한 p-군의 자기 동형 사상 군, 정규 부분군, 그리고 순환군, 이면체군 등 다양한 예시를 통해 그 구조를 이해할 수 있다. P-군은 유한군의 분류 및 구조 연구에 핵심적인 역할을 하며, 특히 유한 단순군 분류에서 중요한 도구로 활용된다.

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P-군
p-군
정의	모든 원소의 차수가 p의 거듭제곱인 군
성질
중심	자명군이 아님
멱영군	모든 p-군은 멱영군임
가해군	모든 p-군은 가해군임

2. 성질

''p''가 소수일 때, '''p-군'''은 모든 원소의 위수가 소수 ''p''의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 ''G''의 모든 원소 ''g'' ∈ ''G''에 대하여, ''g''^{''p''^''n''(''g'')} = 1 인 자연수 ''n''(''g'')가 존재할 경우, ''G''를 ''p''-군이라고 한다.

유한 ''p''-군의 크기는 항상 ''p''의 거듭제곱이며, 반대로 크기가 ''p''의 거듭제곱인 유한군은 항상 ''p''-군이다. 모든 ''p''-군은 정의에 따라 모든 원소가 유한 차수를 가지므로 주기군이다.

유한 ''p''-군은 여러 중요한 성질을 가진다.

번사이드 정리에 따라, 유한 ''p''-군은 항상 가해군이다.
자명군이 아닌 유한 ''p''-군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다.^[12] 이 사실은 ''p''-군에 대한 많은 다른 성질들을 귀납적으로 증명하는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 이 성질로부터 모든 유한 ''p''-군은 멱영군임을 보일 수 있다. 구체적으로, 유한 ''p''-군 ''G''의 진부분군 ''H''의 정규화군 ''N''_''G''(''H'')는 항상 ''H''를 진정으로 포함한다(''N''_''G''(''H'') <0xE2><0x8A><0x87> ''H'').
또한, 크기가 ''p''^''k''인 유한 ''p''-군은 1 ≤ ''m'' ≤ ''k'' 인 모든 ''m''에 대해 크기가 ''p''^''m''인 정규 부분군을 갖는다는 것이 알려져 있다. (자세한 내용과 관련 성질은 정규 부분군 섹션 참조)

2. 1. 자기 동형 사상

''p''-군의 자기 동형 사상 군은 잘 연구되어 있다. 모든 유한 ''p''-군은 자명하지 않은 중심을 가지므로, 내부 자기 동형 사상 군은 자기 동형 사상 군의 진부분군이 된다. 이와 마찬가지로, 모든 유한 ''p''-군은 자명하지 않은 외부 자기 동형 사상 군을 갖는다.

''G''의 프라티니 부분군을 Φ(''G'')로 표기하면, ''G''의 임의의 자기 동형 사상은 몫군 ''G''/Φ(''G'') 위의 자기 동형 사상을 유도한다. 몫군 ''G''/Φ(''G'')는 기본 아벨 군이며, 그 자기 동형 사상 군은 일반 선형군이므로 매우 잘 알려져 있다. ''G''의 자기 동형 사상 군에서 이 일반 선형군으로의 사상은 번사이드에 의해 연구되었으며, 그 핵은 ''p''-군임이 밝혀졌다.

2. 2. 정규 부분군

''p''가 소수이고 ''G''가 ''p''^''k'' 차수의 유한군이라면, ''G''는 1 ≤ ''m'' ≤ ''k''인 모든 ''m''에 대해 차수가 ''p''^''m''인 정규 부분군을 갖는다.

이 명제는 코시의 정리와 군에 대한 대응 정리를 사용하여 귀납법으로 증명할 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같다.

먼저, 자명군이 아닌 유한 ''p''-군의 중심 ''Z''는 자명하지 않다. 코시의 정리에 따라, 중심 ''Z''는 차수가 ''p''인 부분군 ''H''를 포함한다. ''H''는 ''G''의 중심에 포함되므로, ''H''는 ''G''의 정규 부분군이다. 이제 몫군 ''G/H''는 ''G''보다 작은 차수를 가지며 역시 ''p''-군이다. ''G/H''에 귀납 가설을 적용하면, ''G/H''는 각 적절한 차수에 대해 정규 부분군을 가진다. 대응 정리를 이용하면, 이러한 ''G/H''의 정규 부분군들은 ''G''의 정규 부분군에 해당하며, ''H'' 자체와 함께 ''G''가 필요한 모든 차수의 정규 부분군을 가짐을 알 수 있다.

이 결과와 관련된 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같다.

임의의 유한 ''p''-군의 정규 부분군 ''N''과 중심 ''Z''의 교차는 자명군이 아니다. 즉, ''N'' ∩ ''Z'' ≠ {e} 이다. ^[12]
중심에 포함된 모든 부분군은 정규 부분군이다. 따라서 ''p''-군의 모든 극소 정규 부분군(en: minimal normal subgroup)은 중심 ''Z''에 포함되며, 그 차수는 ''p''이다.
유한 ''p''-군의 소클(en: socle)은 차수가 ''p''인 중심 원소들로 구성된 ''Z''의 부분군이다.
차수가 ''p''^''n''인 유한 ''p''-군 ''G''는 0 ≤ ''i'' ≤ ''n''인 각 ''i''에 대해 차수가 ''p''^''i''인 정규 부분군을 포함한다. 또한, 차수가 ''p''^''i''인 임의의 정규 부분군은 ''G''의 upper central series|승중심열^eng의 ''i''번째 항인 ''Z''_''i''에 포함된다. 만약 어떤 정규 부분군이 ''Z''_''i''에 포함되지 않는다면, 그 정규 부분군과 ''Z''_''i''+1의 교차는 최소한 ''p''^''i''+1의 차수를 가진다.

3. 예시

동일한 위수의 ''p''-군은 반드시 동형일 필요는 없다. 예를 들어, 순환군 ''C''₄와 클라인 4원군 ''V''₄는 모두 위수가 4인 2-군이지만 서로 동형이 아니다.

또한 ''p''-군이 반드시 가환군일 필요도 없다. 위수가 8인 정이면체군 Dih₄는 비가환 2-군이다. 그러나 위수가 ''p''²인 모든 군은 가환군이다.^[2]

정이면체군, 반정이면체군, 사원수군은 위수 2^''n''+1과 멱영 차수 ''n''을 갖는 최대 계수의 2-군을 형성한다.

3. 1. 순환군의 반직접곱

위수 ''p''의 순환군의 륜곱은 p-군의 중요한 예시를 제공한다. 위수 ''p''의 순환군을 ''W''(1)로 표기하고, ''W''(''n'')과 ''W''(1)의 륜곱을 ''W''(''n'' + 1)로 귀납적으로 정의하자. 이 구성은 반직접곱의 반복으로도 볼 수 있다. 이렇게 정의된 군 ''W''(''n'')은 대칭군 Sym(''p''^''n'')의 실로우 ''p''-부분군이 된다.^[1]

일반선형군 GL(''n'', '''Q''')의 극대 ''p''-부분군은 적절한 ''W''(''n'')들의 직접곱으로 분해될 수 있다.^[1] ''W''(''n'')의 위수는 ''p''^''k''이며, 여기서 ''k'' = (''p''^''n'' − 1)/(''p'' − 1)이다. 이 군의 멱영 등급은 ''p''^''n''−1이며, 하강 중심열, 상승 중심열, 하강 멱-''p'' 중심열, 상승 멱-''p'' 중심열은 모두 같다.^[1] ''W''(''n'')은 위수가 ''p''인 원소들로 생성되지만, 군 전체의 지수(exponent)는 ''p''^''n''이다.^[1]

특히 ''W''(2)는 위수가 ''p''^''p''+1이고 멱영 등급이 ''p''인 최대 등급(maximal class)의 ''p''-군이다. 그러나 ''W''(2)는 정칙 p-군은 아니다. 위수가 ''p''^''p'' 이하인 모든 ''p''-군은 항상 정칙 ''p''-군이기 때문에, ''W''(2)는 정칙이 아닌 ''p''-군의 최소 위수 예시 중 하나가 된다.^[1]

3. 2. 일반화된 이면체군

''p'' = 2이고 ''n'' = 2일 때, ''W''(''n'')은 위수 8의 이면체군이다. 따라서 어떤 의미에서는 ''W''(''n'')이 ''n'' = 2일 때 이면체군을 일반 소수 ''p''로 일반화한 것으로 이해할 수 있다. 그러나 ''n''이 커질수록 이러한 유추는 적절하지 않게 된다.

위수 2^''n''인 이면체군과 더 유사한 성질을 가지는 군의 족(family)이 알려져 있는데, 이는 ''W''(''n'')보다 구성 과정이 조금 더 복잡하다. 먼저 ζ를 1의 원시 ''p''제곱근이 되는 복소수로 하고, 이 ζ가 생성하는 원분 정수의 환을 '''Z'''[ζ]라 하자. 또한 1−ζ가 생성하는 소 아이디얼을 ''P''라고 하자. ''G''를 원소 ''z''를 생성원으로 하는 위수 ''p''의 순환군으로 정의한다. 이때, ''z''가 ζ를 곱하는 연산으로 작용하도록 하여 '''Z'''[ζ]와 ''G''의 반직접곱 ''E''(''p'')를 만든다. ''P''의 거듭제곱 ''P''^''n''은 모두 ''E''(''p'')의 정규 부분군이 되며, 우리가 찾는 군의 족은 몫군 ''E''(''p'', ''n'') = ''E''(''p'')/''P''^''n''으로 주어진다.

이 군 ''E''(''p'', ''n'')은 위수가 ''p''^''n''+1이고 멱영 계급이 ''n''이므로, 멱영 계급이 최대인 ''p''-군(p-group of maximal class)이다. 특히 ''p'' = 2일 때, ''E''(2, ''n'')는 위수 2^''n''의 이면체군이 된다. 반면, ''p''가 홀수 소수일 경우, ''W''(2)와 ''E''(''p'', ''p'')는 모두 멱영 계급이 최대이고 위수가 ''p''^''p''+1인 비정칙 ''p''-군(irregular p-group)이지만, 서로 동형은 아니다.

3. 3. 단삼각행렬군

일반 선형군의 실로우 부분군의 중요한 예시 중 하나로 단삼각행렬군을 들 수 있다.

''n''차원 벡터 공간 ''V''와 그 기저 {''e''₁, ''e''₂, …, ''e''_''n''}를 생각하자. 각 1 ≤ ''i'' ≤ ''n''에 대해, 벡터 {''e''_''i'', ''e''_''i''+1, …, ''e''_''n''}으로 생성되는 부분 공간을 ''V''_''i''라고 정의하고, ''i'' > ''n''일 경우에는 ''V''_''i'' = 0으로 정의한다.

각 1 ≤ ''m'' ≤ ''n''에 대해, ''V''의 정칙 선형 변환 중에서 모든 ''V''_''i''를 ''V''_''i''+''m''으로 보내는 변환들의 집합을 ''U''_''m''이라고 하면, 이는 Aut(''V'')의 부분군을 형성한다.

만약 ''V''가 유한체 '''Z'''/''p'''''Z''' 위의 벡터 공간이라면, ''U''₁은 Aut(''V'') = GL(''n'', ''p'')의 실로우 ''p''-부분군이 된다. 이 경우, 군의 하강 중심열의 각 항은 정확히 ''U''_''m''으로 주어진다.

행렬의 관점에서 보면, ''U''_''m''은 주대각선 성분이 모두 1이고, 주대각선 바로 위부터 시작하여 ''m''-1개의 초대각선까지의 모든 성분이 0인 상삼각행렬들의 집합이다. 특히 ''U''₁은 주대각선 성분이 모두 1인 상삼각행렬 전체의 군으로, 이를 단삼각행렬군이라고 부른다.

군 ''U''₁은 다음과 같은 성질을 가진다.

위수: ''p''^{''n''(''n''−1)/2}
멱영 차수: ''n''
멱수: ''p''^''k'' (여기서 ''k''는 ''p''^''k'' ≥ ''n''을 만족하는 가장 작은 정수, 즉 ''n''의 밑 ''p''에 대한 로그 값보다 크거나 같은 최소 정수이다.)

4. 분류

유한 $p$ -군의 크기는 항상 소수 $p$ 의 거듭제곱 형태이며, 역으로 크기가 $p$ 의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$ -군이다. 번사이드 정리에 따라 모든 유한 $p$ -군은 가해군이며, 자명군이 아닌 유한 $p$ -군은 항상 자명하지 않은 중심을 가진다.

유한 $p$ -군은 주로 그 크기(위수) $p^n$ 에 따라 분류한다. $n \le 6$ 인 경우는 모두 분류되었으나, $n \ge 7$ 인 경우는 가능한 군의 가짓수가 매우 많아져 분류가 매우 어렵다.^[4] 예를 들어, 마셜 홀 주니어와 제임스 K. 시니어는 1964년에 $n \le 6$ 인 $2^n$ 차수의 군을 분류했다.^[5] 작은 차수의 군에 대한 분류는 아래에서 더 자세히 다룬다.

차수에 따른 분류의 어려움 때문에 다른 접근법도 제안되었다. 필립 홀은 유한 $p$ -군들을 그들의 큰 몫군과 부분군 구조를 기반으로 묶는 군 동족사상(isoclinism) 개념을 사용하여 분류할 것을 제안했다.^[6]

또 다른 중요한 분류 방법은 '''코클래스'''(coclass)를 이용하는 것이다. 코클래스는 군의 합성열 길이와 멱영군으로서의 멱영도 사이의 차이로 정의된다. 1980년대에 리 대수와 강력 p-군(powerful p-group) 관련 기법을 사용하여 증명된 '''코클래스 추측'''(coclass conjectures)은, 고정된 코클래스를 가진 모든 유한 $p$ -군의 집합이 유한 개의 pro-p 군(pro-p group)의 섭동(perturbation)으로 설명될 수 있음을 보였다.^[7] 이 결과를 바탕으로 한 '''코클래스 정리'''의 최종 증명은 1994년 A. 샬레프와 C. R. 리덤-그린에 의해 독립적으로 이루어졌으며, 이는 유한 $p$ -군들을 유한 개의 매개변수화된 표현으로 특징지어지는 방향성 코클래스 그래프(directed coclass graph)를 통해 분류할 수 있게 한다.

특정 차수의 군에 대한 성질도 연구되었는데, 예를 들어 $p^5$ 차수의 모든 군은 메타벨리안 군임이 알려져 있다.^[8]^[14]

4. 1. p³ 차수까지

유한 ''p''-군은 그 크기(위수) ''p''^''n''에 따라 분류할 수 있다. ''n''이 작을 경우의 분류는 다음과 같다.

'''차수 1 (''n''=0)''': 자명군 1 하나뿐이다.
'''차수 ''p'' (''n''=1)''': 순환군 C_''p'' (또는 $\mathbb Z/p$ 로 표기) 하나뿐이다. 이 군은 아벨 군이다.
'''차수 ''p''² (''n''=2)''': 정확히 두 개의 군이 존재하며, 두 군 모두 아벨 군이다.^[2] 이들은 순환군 C_''p''² (또는 $\mathbb Z/p^2$ )와 두 순환군 C_''p''의 직접곱인 C_''p'' × C_''p'' (또는 $(\mathbb Z/p)^{\oplus2}$ )이다. 예를 들어, 차수가 4 = 2²인 군은 순환군 C₄와 클라인 사원군 V₄ (C₂ × C₂와 동형) 두 가지뿐이며, 이 둘은 서로 동형이 아니다.
'''차수 ''p''³ (''n''=3)''': 총 다섯 종류의 군이 존재한다. 이 중 세 개는 아벨 군이고, 두 개는 비아벨 군이다.
아벨 군: 다음 세 가지가 있다.
순환군 C_''p''³ (또는 $\mathbb Z/p^3$ )
C_''p''² × C_''p'' (또는 $\mathbb Z/p^2\oplus\mathbb Z/p$ )
C_''p'' × C_''p'' × C_''p'' (또는 $(\mathbb Z/p)^{\oplus3}$ )
비아벨 군: 두 가지가 있으며, ''p''의 값에 따라 구체적인 형태가 달라진다.
'''p'' > 2 인 경우''': 두 종류의 반직접곱으로 나타낼 수 있다.
(C_''p'' × C_''p'') ⋊ C_''p'' (또는 $(\mathbb Z/p)^{\oplus2}\rtimes\mathbb Z/p$ ): 이 군은 유한체 $\mathbb F_p$ 상의 3×3 단위 상삼각 행렬의 군 UT(3, ''p'')으로도 표현되며, 하이젠베르크 군 mod ''p''라고도 불린다.
C_''p''² ⋊ C_''p'' (또는 $(\mathbb Z/p^2)\rtimes\mathbb Z/p$ )
'''p'' = 2 인 경우''' (차수 8): 비아벨 군은 다음 두 가지이다.
정이면체군 Dih₄: ''p'' > 2 경우의 두 반직접곱은 ''p'' = 2일 때 모두 이 군과 동형이다.
사원수군 Q₈

5. p-군의 편재성

p-군은 유한군 이론에서 매우 중요한 위치를 차지하는데, 이는 p-군이 다양한 방식으로 '흔하게' 발견되기 때문이다. 이러한 p-군의 편재성은 크게 두 가지 측면에서 살펴볼 수 있다.

첫째, 전체 유한군의 동형류를 고려할 때, 차수가 특정 소수 ''p''의 거듭제곱인 p-군, 특히 2-군이 매우 큰 비율을 차지한다. 실제로 "거의 모든 유한군은 2-군이다"라는 통념적인 추측이 있을 정도로, 주어진 크기 이하의 유한군 중 대부분이 2-군이라는 통계적 경향성이 나타난다.^[9]^[10]

둘째, 개별적인 유한군 ''G'' 내부에서도 p-군의 구조는 항상 발견된다. 코시 정리에 따르면 ''G''의 크기(위수)가 소수 ''p''로 나누어떨어지면, ''G''는 반드시 크기가 ''p''인 부분군을 가진다. 더 나아가 실로우 정리는 모든 유한군 ''G''가 그 크기를 나누는 ''p''의 최대 거듭제곱 크기를 갖는 부분군, 즉 '''실로우 p-부분군'''을 포함함을 보장한다. 이 실로우 p-부분군은 유한군의 구조를 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.

5. 1. 군 중에서

차수가 ''pⁿ''인 군의 동형류 수는 대략

p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}

의 비율로 매우 빠르게 증가하며, 이러한 증가는 주로 2단계 멱영군(nilpotent group of class 2)에 의해 주도된다.^[9] 이렇게 동형류의 수가 급격히 증가하기 때문에, "거의 모든 유한군은 2-군이다"라는 통념적인 추측이 있다. 이는 차수가 ''n'' 이하인 모든 유한군 중에서 2-군이 차지하는 비율이, ''n''이 무한히 커짐에 따라 1에 가까워진다는 의미이다. 예를 들어, 차수가 2000 이하인 군은 총 49,910,529,484가지의 동형류가 존재하는데, 이 중 49,487,367,289개(약 99% 이상)가 차수가 1024인 2-군이다.^[10]

5. 2. 군 내에서

코시 정리에 따르면, 위수(크기)가 소수 ''p''로 나누어 떨어지는 모든 유한군 ''G''는 위수가 ''p''인 원소를 가지며, 이 원소는 위수가 ''p''인 순환 부분군을 생성한다. 즉, ''G''는 자명하지 않은 ''p''-군을 반드시 포함한다.

또한, 유한군 ''G''는 가능한 가장 큰 위수를 갖는 ''p''-부분군을 포함하는데, 이를 '''실로우 p-부분군'''이라고 부른다. 만약 ''G''의 위수가

|G|=p^km

이고 ''p''가 ''m''을 나누지 않는 소수라면 (즉,

p^k

가 ''G''의 위수를 나누는 ''p''의 최대 거듭제곱이라면), ''G''는 위수가 정확히

p^k

인 부분군 ''P''를 가진다. 이 ''P''가 바로 실로우 ''p''-부분군이다.

이러한 실로우 ''p''-부분군은 ''G'' 내에서 유일하지 않을 수 있지만, 위수가

p^k

인 모든 부분군(즉, 모든 실로우 ''p''-부분군)은 서로 켤레(conjugate)이다. 또한, ''G''의 모든 ''p''-부분군(위수가 ''p''의 거듭제곱인 부분군)은 어떤 실로우 ''p''-부분군에 반드시 포함된다. 이러한 성질들은 실로우 정리를 통해 증명된다.

6. 군의 구조론에 대한 응용

p-군은 군의 구조를 이해하고 유한 단순군 분류에 있어 기본적인 도구이다. p-군은 부분군과 몫군(잉여군)의 형태로 나타난다.

부분군으로는 주어진 소수 p에 대해 실로우 p-부분군 P(가장 큰 위수를 갖는 p-부분군으로, 유일하지는 않지만 모두 서로 켤레이다)와 p-핵 $O_p(G)$ (유일한 가장 큰 정규 p-부분군) 등이 있다. 몫군으로는 가장 큰 p-군 몫군이 군 G를 p-잉여 부분군 $O^p(G)$ 으로 나눈 몫군으로 얻어진다.

이러한 부분군과 몫군들은 (서로 다른 소수에 대해) 서로 관련되어 있으며, 초점 부분군 정리와 같은 중요한 성질을 통해 군의 구조의 여러 측면을 결정할 수 있다.

6. 1. 국소적 제어

유한군의 구조는 소위 '''국소 부분군'''의 구조를 통해 상당 부분 파악할 수 있다.^[11] 국소 부분군이란 자명하지 않은 ''p''-부분군의 정규화 부분군을 의미하며, 유한군 구조론의 상당 부분은 이러한 국소 부분군들의 구조 연구로 귀결된다.

유한군 내부에 있는 큰 기본 아벨 부분군은 군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 이는 페이트-톰슨 정리의 증명에서도 활용되었다. 또한, 기본 아벨 군의 특정 중심 확장인 extra special group|엑스트라스페셜 군^eng은 심플렉틱 벡터 공간에 작용하는 군의 구조를 설명하는 데 유용하다.

국소적 제어의 개념은 단순군 분류 연구에서도 중요하게 사용되었다. 예를 들어, 리처드 브라우어는 실로우 2-부분군이 크기가 4인 순환군 두 개의 직접곱인 모든 군을 분류했다. 또한 존 월터, 대니얼 고렌스타인, 헬무트 벤더, 스즈키 미치오, 조지 글라우버만 등은 실로우 2-부분군이 아벨 군, 이면군, 반이면군, 또는 사원수 군인 단순군들을 분류하는 데 기여했다.

참조

_[1] 문서 proof Conjugacy class#Exam[...]
_[2] 문서
_[3] 간행물 1897
_[4] 간행물 2002
_[5] 간행물 1964
_[6] 간행물 1940
_[7] 간행물 2002
_[8] 웹사이트 Every group of order p5 is metabelian https://math.stackex[...] Stack Exchange 2012-03-24
_[9] 간행물 1965
_[10] 논문 On the number of groups of order 1024 https://www.tandfonl[...] 2021-12-08
_[11] 간행물 1971
_[12] 서적 The Theory of Nilpotent Groups Birkhäuser
_[13] 문서
_[14] 웹사이트 Every group of order p5 is metabelian http://math.stackexc[...] 2012-09-17

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