P-군

1. 개요

P-군은 유한군 이론에서 중요한 개념으로, 크기가 소수 p의 거듭제곱인 유한군을 의미하며, 이러한 군의 구조와 성질에 대한 연구가 활발하게 진행되고 있다. P-군은 가해군이며, 자명하지 않은 경우 자명하지 않은 중심을 갖는다는 특징을 가진다. 또한, 유한 p-군의 자기 동형 사상 군, 정규 부분군, 그리고 순환군, 이면체군 등 다양한 예시를 통해 그 구조를 이해할 수 있다. P-군은 유한군의 분류 및 구조 연구에 핵심적인 역할을 하며, 특히 유한 단순군 분류에서 중요한 도구로 활용된다.

2. 성질

p가 소수일 때, p-군은 모든 원소의 위수가 소수 p의 거듭제곱인 군이다. 즉, 군 G의 모든 원소 g ∈ G에 대하여, g^pn(g) = 1 인 자연수 n(g)가 존재할 경우, G를 p-군이라고 한다.

유한 p-군의 크기는 항상 p의 거듭제곱이며, 반대로 크기가 p의 거듭제곱인 유한군은 항상 p-군이다. 모든 p-군은 정의에 따라 모든 원소가 유한 차수를 가지므로 주기군이다.

유한 p-군은 여러 중요한 성질을 가진다.
* 번사이드 정리에 따라, 유한 p-군은 항상 가해군이다.
* 자명군이 아닌 유한 p-군은 항상 자명하지 않은 중심을 갖는다. 이 사실은 p-군에 대한 많은 다른 성질들을 귀납적으로 증명하는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 이 성질로부터 모든 유한 p-군은 멱영군임을 보일 수 있다. 구체적으로, 유한 p-군 G의 진부분군 H의 정규화군 N_G(H)는 항상 H를 진정으로 포함한다(N_G(H) <0xE2><0x8A><0x87> H).
* 또한, 크기가 p^k인 유한 p-군은 1 ≤ m ≤ k 인 모든 m에 대해 크기가 p^m인 정규 부분군을 갖는다는 것이 알려져 있다. (자세한 내용과 관련 성질은 정규 부분군 섹션 참조)

2.1. 자기 동형 사상

p-군의 자기 동형 사상 군은 잘 연구되어 있다. 모든 유한 p-군은 자명하지 않은 중심을 가지므로, 내부 자기 동형 사상 군은 자기 동형 사상 군의 진부분군이 된다. 이와 마찬가지로, 모든 유한 p-군은 자명하지 않은 외부 자기 동형 사상 군을 갖는다.

G의 프라티니 부분군을 Φ(G)로 표기하면, G의 임의의 자기 동형 사상은 몫군 G/Φ(G) 위의 자기 동형 사상을 유도한다. 몫군 G/Φ(G)는 기본 아벨 군이며, 그 자기 동형 사상 군은 일반 선형군이므로 매우 잘 알려져 있다. G의 자기 동형 사상 군에서 이 일반 선형군으로의 사상은 번사이드에 의해 연구되었으며, 그 핵은 p-군임이 밝혀졌다.

2.2. 정규 부분군

p가 소수이고 G가 p^k 차수의 유한군이라면, G는 1 ≤ m ≤ k인 모든 m에 대해 차수가 p^m인 정규 부분군을 갖는다.

이 명제는 코시의 정리와 군에 대한 대응 정리를 사용하여 귀납법으로 증명할 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같다.
먼저, 자명군이 아닌 유한 p-군의 중심 Z는 자명하지 않다. 코시의 정리에 따라, 중심 Z는 차수가 p인 부분군 H를 포함한다. H는 G의 중심에 포함되므로, H는 G의 정규 부분군이다. 이제 몫군 G/H는 G보다 작은 차수를 가지며 역시 p-군이다. G/H에 귀납 가설을 적용하면, G/H는 각 적절한 차수에 대해 정규 부분군을 가진다. 대응 정리를 이용하면, 이러한 G/H의 정규 부분군들은 G의 정규 부분군에 해당하며, H 자체와 함께 G가 필요한 모든 차수의 정규 부분군을 가짐을 알 수 있다.

이 결과와 관련된 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같다.

* 임의의 유한 p-군의 정규 부분군 N과 중심 Z의 교차는 자명군이 아니다. 즉, N ∩ Z ≠ {e} 이다.
* 중심에 포함된 모든 부분군은 정규 부분군이다. 따라서 p-군의 모든 극소 정규 부분군(en: minimal normal subgroup)은 중심 Z에 포함되며, 그 차수는 p이다.
* 유한 p-군의 소클(en: socle)은 차수가 p인 중심 원소들로 구성된 Z의 부분군이다.
* 차수가 pⁿ인 유한 p-군 G는 0 ≤ i ≤ n인 각 i에 대해 차수가 pⁱ인 정규 부분군을 포함한다. 또한, 차수가 pⁱ인 임의의 정규 부분군은 G의 upper central series^영어의 i번째 항인 Z_i에 포함된다. 만약 어떤 정규 부분군이 Z_i에 포함되지 않는다면, 그 정규 부분군과 Z_i+1의 교차는 최소한 pⁱ⁺¹의 차수를 가진다.

3. 예시

동일한 위수의 p-군은 반드시 동형일 필요는 없다. 예를 들어, 순환군 C₄와 클라인 4원군 V₄는 모두 위수가 4인 2-군이지만 서로 동형이 아니다.

또한 p-군이 반드시 가환군일 필요도 없다. 위수가 8인 정이면체군 Dih₄는 비가환 2-군이다. 그러나 위수가 p²인 모든 군은 가환군이다.

정이면체군, 반정이면체군, 사원수군은 위수 2ⁿ⁺¹과 멱영 차수 n을 갖는 최대 계수의 2-군을 형성한다.

3.1. 순환군의 반직접곱

위수 p의 순환군의 륜곱은 p-군의 중요한 예시를 제공한다. 위수 p의 순환군을 W(1)로 표기하고, W(n)과 W(1)의 륜곱을 W(n + 1)로 귀납적으로 정의하자. 이 구성은 반직접곱의 반복으로도 볼 수 있다. 이렇게 정의된 군 W(n)은 대칭군 Sym(pⁿ)의 실로우 p-부분군이 된다.

일반선형군 GL(n, Q)의 극대 p-부분군은 적절한 W(n)들의 직접곱으로 분해될 수 있다. W(n)의 위수는 p^k이며, 여기서 k = (pⁿ − 1)/(p − 1)이다. 이 군의 멱영 등급은 pⁿ⁻¹이며, 하강 중심열, 상승 중심열, 하강 멱-p 중심열, 상승 멱-p 중심열은 모두 같다. W(n)은 위수가 p인 원소들로 생성되지만, 군 전체의 지수(exponent)는 pⁿ이다.

특히 W(2)는 위수가 p^p+1이고 멱영 등급이 p인 최대 등급(maximal class)의 p-군이다. 그러나 W(2)는 정칙 p-군은 아니다. 위수가 p^p 이하인 모든 p-군은 항상 정칙 p-군이기 때문에, W(2)는 정칙이 아닌 p-군의 최소 위수 예시 중 하나가 된다.

3.2. 일반화된 이면체군

p = 2이고 n = 2일 때, W(n)은 위수 8의 이면체군이다. 따라서 어떤 의미에서는 W(n)이 n = 2일 때 이면체군을 일반 소수 p로 일반화한 것으로 이해할 수 있다. 그러나 n이 커질수록 이러한 유추는 적절하지 않게 된다.

위수 2ⁿ인 이면체군과 더 유사한 성질을 가지는 군의 족(family)이 알려져 있는데, 이는 W(n)보다 구성 과정이 조금 더 복잡하다. 먼저 ζ를 1의 원시 p제곱근이 되는 복소수로 하고, 이 ζ가 생성하는 원분 정수의 환을 Z[ζ]라 하자. 또한 1−ζ가 생성하는 소 아이디얼을 P라고 하자. G를 원소 z를 생성원으로 하는 위수 p의 순환군으로 정의한다. 이때, z가 ζ를 곱하는 연산으로 작용하도록 하여 Z[ζ]와 G의 반직접곱 E(p)를 만든다. P의 거듭제곱 Pⁿ은 모두 E(p)의 정규 부분군이 되며, 우리가 찾는 군의 족은 몫군 E(p, n) = E(p)/Pⁿ으로 주어진다.

이 군 E(p, n)은 위수가 pⁿ⁺¹이고 멱영 계급이 n이므로, 멱영 계급이 최대인 p-군(p-group of maximal class)이다. 특히 p = 2일 때, E(2, n)는 위수 2ⁿ의 이면체군이 된다. 반면, p가 홀수 소수일 경우, W(2)와 E(p, p)는 모두 멱영 계급이 최대이고 위수가 p^p+1인 비정칙 p-군(irregular p-group)이지만, 서로 동형은 아니다.

3.3. 단삼각행렬군

일반 선형군의 실로우 부분군의 중요한 예시 중 하나로 단삼각행렬군을 들 수 있다.

n차원 벡터 공간 V와 그 기저 {e₁, e₂, …, e_n}를 생각하자. 각 1 ≤ i ≤ n에 대해, 벡터 {e_i, e_i+1, …, e_n}으로 생성되는 부분 공간을 V_i라고 정의하고, i > n일 경우에는 V_i = 0으로 정의한다.

각 1 ≤ m ≤ n에 대해, V의 정칙 선형 변환 중에서 모든 V_i를 V_i+m으로 보내는 변환들의 집합을 U_m이라고 하면, 이는 Aut(V)의 부분군을 형성한다.

만약 V가 유한체 Z/pZ 위의 벡터 공간이라면, U₁은 Aut(V) = GL(n, p)의 실로우 p-부분군이 된다. 이 경우, 군의 하강 중심열의 각 항은 정확히 U_m으로 주어진다.

행렬의 관점에서 보면, U_m은 주대각선 성분이 모두 1이고, 주대각선 바로 위부터 시작하여 m-1개의 초대각선까지의 모든 성분이 0인 상삼각행렬들의 집합이다. 특히 U₁은 주대각선 성분이 모두 1인 상삼각행렬 전체의 군으로, 이를 단삼각행렬군이라고 부른다.

군 U₁은 다음과 같은 성질을 가진다.
* 위수: p^n(n−1)/2
* 멱영 차수: n
* 멱수: p^k (여기서 k는 p^k ≥ n을 만족하는 가장 작은 정수, 즉 n의 밑 p에 대한 로그 값보다 크거나 같은 최소 정수이다.)

4. 분류

유한 $p$-군의 크기는 항상 소수 $p$의 거듭제곱 형태이며, 역으로 크기가 $p$의 거듭제곱인 유한군은 항상 $p$-군이다. 번사이드 정리에 따라 모든 유한 $p$-군은 가해군이며, 자명군이 아닌 유한 $p$-군은 항상 자명하지 않은 중심을 가진다.

유한 $p$-군은 주로 그 크기(위수) $p^n$에 따라 분류한다. $n\; \backslash le\; 6$인 경우는 모두 분류되었으나, $n\; \backslash ge\; 7$인 경우는 가능한 군의 가짓수가 매우 많아져 분류가 매우 어렵다. 예를 들어, 마셜 홀 주니어와 제임스 K. 시니어는 1964년에 $n\; \backslash le\; 6$인 $2^n$ 차수의 군을 분류했다. 작은 차수의 군에 대한 분류는 아래에서 더 자세히 다룬다.

차수에 따른 분류의 어려움 때문에 다른 접근법도 제안되었다. 필립 홀은 유한 $p$-군들을 그들의 큰 몫군과 부분군 구조를 기반으로 묶는 군 동족사상(isoclinism) 개념을 사용하여 분류할 것을 제안했다.

또 다른 중요한 분류 방법은 코클래스(coclass)를 이용하는 것이다. 코클래스는 군의 합성열 길이와 멱영군으로서의 멱영도 사이의 차이로 정의된다. 1980년대에 리 대수와 강력 p-군(powerful p-group) 관련 기법을 사용하여 증명된 코클래스 추측(coclass conjectures)은, 고정된 코클래스를 가진 모든 유한 $p$-군의 집합이 유한 개의 pro-p 군(pro-p group)의 섭동(perturbation)으로 설명될 수 있음을 보였다. 이 결과를 바탕으로 한 코클래스 정리의 최종 증명은 1994년 A. 샬레프와 C. R. 리덤-그린에 의해 독립적으로 이루어졌으며, 이는 유한 $p$-군들을 유한 개의 매개변수화된 표현으로 특징지어지는 방향성 코클래스 그래프(directed coclass graph)를 통해 분류할 수 있게 한다.

특정 차수의 군에 대한 성질도 연구되었는데, 예를 들어 $p^5$ 차수의 모든 군은 메타벨리안 군임이 알려져 있다.

4.1. p³ 차수까지

유한 p-군은 그 크기(위수) pⁿ에 따라 분류할 수 있다. n이 작을 경우의 분류는 다음과 같다.

* 차수 1 (n=0): 자명군 1 하나뿐이다.
* 차수 p (n=1): 순환군 C_p (또는 $\backslash mathbb\; Z/p$로 표기) 하나뿐이다. 이 군은 아벨 군이다.
* 차수 p² (n=2): 정확히 두 개의 군이 존재하며, 두 군 모두 아벨 군이다. 이들은 순환군 C_p² (또는 $\backslash mathbb\; Z/p^2$)와 두 순환군 C_p의 직접곱인 C_p × C_p (또는 $(\backslash mathbb\; Z/p)^\{\backslash oplus2\}$)이다. 예를 들어, 차수가 4 = 2²인 군은 순환군 C₄와 클라인 사원군 V₄ (C₂ × C₂와 동형) 두 가지뿐이며, 이 둘은 서로 동형이 아니다.
* 차수 p³ (n=3): 총 다섯 종류의 군이 존재한다. 이 중 세 개는 아벨 군이고, 두 개는 비아벨 군이다.
* 아벨 군: 다음 세 가지가 있다.
* 순환군 C_p³ (또는 $\backslash mathbb\; Z/p^3$)
* C_p² × C_p (또는 $\backslash mathbb\; Z/p^2\backslash oplus\backslash mathbb\; Z/p$)
* C_p × C_p × C_p (또는 $(\backslash mathbb\; Z/p)^\{\backslash oplus3\}$)
* 비아벨 군: 두 가지가 있으며, p의 값에 따라 구체적인 형태가 달라진다.
* p > 2 인 경우: 두 종류의 반직접곱으로 나타낼 수 있다.
* (Cp × Cp) ⋊ Cp (또는 $(\backslash mathbb\; Z/p)^\{\backslash oplus2\}\backslash rtimes\backslash mathbb\; Z/p$): 이 군은 유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$ 상의 3×3 단위 상삼각 행렬의 군 UT(3, p)으로도 표현되며, 하이젠베르크 군 mod p라고도 불린다.
* Cp² ⋊ Cp (또는 $(\backslash mathbb\; Z/p^2)\backslash rtimes\backslash mathbb\; Z/p$)
* p = 2 인 경우 (차수 8): 비아벨 군은 다음 두 가지이다.
* 정이면체군 Dih₄: p > 2 경우의 두 반직접곱은 p = 2일 때 모두 이 군과 동형이다.
* 사원수군 Q₈

5. p-군의 편재성

p-군은 유한군 이론에서 매우 중요한 위치를 차지하는데, 이는 p-군이 다양한 방식으로 '흔하게' 발견되기 때문이다. 이러한 p-군의 편재성은 크게 두 가지 측면에서 살펴볼 수 있다.

첫째, 전체 유한군의 동형류를 고려할 때, 차수가 특정 소수 p의 거듭제곱인 p-군, 특히 2-군이 매우 큰 비율을 차지한다. 실제로 "거의 모든 유한군은 2-군이다"라는 통념적인 추측이 있을 정도로, 주어진 크기 이하의 유한군 중 대부분이 2-군이라는 통계적 경향성이 나타난다.

둘째, 개별적인 유한군 G 내부에서도 p-군의 구조는 항상 발견된다. 코시 정리에 따르면 G의 크기(위수)가 소수 p로 나누어떨어지면, G는 반드시 크기가 p인 부분군을 가진다. 더 나아가 실로우 정리는 모든 유한군 G가 그 크기를 나누는 p의 최대 거듭제곱 크기를 갖는 부분군, 즉 실로우 p-부분군을 포함함을 보장한다. 이 실로우 p-부분군은 유한군의 구조를 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.

5.1. 군 중에서

차수가 pⁿ인 군의 동형류 수는 대략 $p^\{\backslash frac\{2\}\{27\}n^3+O(n^\{8/3\})\}$의 비율로 매우 빠르게 증가하며, 이러한 증가는 주로 2단계 멱영군(nilpotent group of class 2)에 의해 주도된다. 이렇게 동형류의 수가 급격히 증가하기 때문에, "거의 모든 유한군은 2-군이다"라는 통념적인 추측이 있다. 이는 차수가 n 이하인 모든 유한군 중에서 2-군이 차지하는 비율이, n이 무한히 커짐에 따라 1에 가까워진다는 의미이다. 예를 들어, 차수가 2000 이하인 군은 총 49,910,529,484가지의 동형류가 존재하는데, 이 중 49,487,367,289개(약 99% 이상)가 차수가 1024인 2-군이다.

5.2. 군 내에서

코시 정리에 따르면, 위수(크기)가 소수 p로 나누어 떨어지는 모든 유한군 G는 위수가 p인 원소를 가지며, 이 원소는 위수가 p인 순환 부분군을 생성한다. 즉, G는 자명하지 않은 p-군을 반드시 포함한다.

또한, 유한군 G는 가능한 가장 큰 위수를 갖는 p-부분군을 포함하는데, 이를 실로우 p-부분군이라고 부른다. 만약 G의 위수가 $|G|=p^km$이고 p가 m을 나누지 않는 소수라면 (즉, $p^k$가 G의 위수를 나누는 p의 최대 거듭제곱이라면), G는 위수가 정확히 $p^k$인 부분군 P를 가진다. 이 P가 바로 실로우 p-부분군이다.

이러한 실로우 p-부분군은 G 내에서 유일하지 않을 수 있지만, 위수가 $p^k$인 모든 부분군(즉, 모든 실로우 p-부분군)은 서로 켤레(conjugate)이다. 또한, G의 모든 p-부분군(위수가 p의 거듭제곱인 부분군)은 어떤 실로우 p-부분군에 반드시 포함된다. 이러한 성질들은 실로우 정리를 통해 증명된다.

6. 군의 구조론에 대한 응용

p-군은 군의 구조를 이해하고 유한 단순군 분류에 있어 기본적인 도구이다. p-군은 부분군과 몫군(잉여군)의 형태로 나타난다.

부분군으로는 주어진 소수 p에 대해 실로우 p-부분군 P(가장 큰 위수를 갖는 p-부분군으로, 유일하지는 않지만 모두 서로 켤레이다)와 p-핵 $O\_p(G)$(유일한 가장 큰 정규 p-부분군) 등이 있다. 몫군으로는 가장 큰 p-군 몫군이 군 G를 p-잉여 부분군 $O^p(G)$으로 나눈 몫군으로 얻어진다.

이러한 부분군과 몫군들은 (서로 다른 소수에 대해) 서로 관련되어 있으며, 초점 부분군 정리와 같은 중요한 성질을 통해 군의 구조의 여러 측면을 결정할 수 있다.

6.1. 국소적 제어

유한군의 구조는 소위 국소 부분군의 구조를 통해 상당 부분 파악할 수 있다. 국소 부분군이란 자명하지 않은 p-부분군의 정규화 부분군을 의미하며, 유한군 구조론의 상당 부분은 이러한 국소 부분군들의 구조 연구로 귀결된다.

유한군 내부에 있는 큰 기본 아벨 부분군은 군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 이는 페이트-톰슨 정리의 증명에서도 활용되었다. 또한, 기본 아벨 군의 특정 중심 확장인 extra special group^영어은 심플렉틱 벡터 공간에 작용하는 군의 구조를 설명하는 데 유용하다.

국소적 제어의 개념은 단순군 분류 연구에서도 중요하게 사용되었다. 예를 들어, 리처드 브라우어는 실로우 2-부분군이 크기가 4인 순환군 두 개의 직접곱인 모든 군을 분류했다. 또한 존 월터, 대니얼 고렌스타인, 헬무트 벤더, 스즈키 미치오, 조지 글라우버만 등은 실로우 2-부분군이 아벨 군, 이면군, 반이면군, 또는 사원수 군인 단순군들을 분류하는 데 기여했다.