루프 양자중력

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1. 개요
2. 역사
3. 이론의 내용
4. 응용
5. 한계 및 다른 이론과의 비교
참조

1. 개요

루프 양자 중력(LQG)은 아인슈타인의 일반 상대성 이론과 양자역학을 결합하려는 시도로, 시공간을 이산적인 구조로 간주하는 양자 중력 이론이다. 1986년 아바히 아슈테카르에 의해 재구성된 일반 상대성 이론을 기반으로, 카를로 로벨리와 리 스몰린에 의해 개발되었다. LQG는 시공간을 스핀 네트워크라는 그래프로 표현하며, 면적과 부피가 양자화된 이산 스펙트럼을 갖는다는 것을 예측한다. LQG는 배경 독립성을 가지며, 블랙홀 엔트로피 계산, 호킹 복사 연구, 플랑크 별의 존재 예측, 고리 양자 우주론 개발 등 다양한 분야에 응용되고 있다. 그러나, 일반 상대성 이론을 회복하는 준고전적 극한의 부재, 해밀토니안 연산자 부재, 물질장과의 결합 문제 등 기술적인 문제와 끈 이론과의 차이점이 존재한다. 또한, 실험적 관측을 통해 검증된 예측이 아직 없으며, 플랑크 척도에서의 시공간 설명이 올바른지 여부도 입증되지 않았다.

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루프 양자중력
개요
유형	양자중력 이론
분야	이론물리학
문제	양자장론과 일반 상대성이론의 결합
상세 정보
개발	1986년 카를로 로벨리와 리 스몰린이 개발
접근법	배경 독립적 양자화 일반 상대성이론의 정준 양자화
기본 아이디어	공간은 연속적이지 않고, 분리된 양자로 구성됨 공간의 양자는 스핀 네트워크로 표현됨
주요 개념	스핀 네트워크 스핀 폼 양자 기하학 중력자
주요 연구자	카를로 로벨리 리 스몰린 아슈테카 토마스 틸만 에우제니오 비안치 프란체스카 비디 조나단 엥글 메르세데스 마르틴-베니토 크리스토퍼 아이켈 스테펜 그니에우 클레멘스 쇠프커
관련 이론	끈 이론 인과적 동적 삼각화
현재 상태
상태	활발히 연구 중인 이론
주요 목표	블랙홀의 양자중력 설명 우주론의 양자중력 효과 설명 양자중력의 실험적 검증
난제	배경 독립성 유지 일반 상대성이론과의 일관성 유지 실험적 검증의 어려움
기타
관련 항목	양자 중력 일반 상대성이론 양자장론 스핀 네트워크 스핀 폼 양자 우주론

2. 역사

1986년, 아바히 아슈테카르는 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 양-밀스 이론과 유사한 언어로 재구성했다.^[1] 얼마 지나지 않아 테드 제이콥슨과 리 스몰린은 휠러-드윗 방정식이 아슈테카르 변수로 다시 쓰여졌을 때 루프로 표시되는 해를 갖는다는 것을 발견했다. 카를로 로벨리와 리 스몰린은 이러한 루프 해를 기반으로 비섭동적이고 배경 독립적인 양자 중력 이론을 정의했다. 호르헤 풀린과 제르지 레반도프스키는 루프의 교차점이 이론의 일관성에 필수적이며, 이론은 교차하는 루프, 즉 그래프를 사용하여 공식화되어야 함을 이해했다.

1994년, 로벨리와 스몰린은 면적 및 부피와 관련된 이론의 양자 연산자가 이산 스펙트럼을 갖는다는 것을 보였다.^[2] 이는 기하학이 양자화되었음을 의미한다. 양자 기하학의 상태에 대한 명시적인 기저는 로저 펜로즈의 스핀 네트워크로 표시되며, 이는 스핀으로 표시된 그래프이다.

토마스 티만은 역학의 정준 버전을 확립하여 이상이 없는 해밀토니안 연산자를 정의하고 수학적으로 일관된 배경 독립적인 이론의 존재를 보였다. 역학의 공변 또는 "스핀 폼" 버전은 프랑스, 캐나다, 영국, 폴란드 및 독일의 연구 그룹에 의해 수십 년에 걸쳐 공동으로 개발되었다. 2008년에 완성되었으며, 고전적 극한에서 일반 상대성 이론의 잘림 현상과 관련이 있는 일련의 전이 진폭의 정의로 이어졌다. 이러한 진폭의 유한성은 2011년에 증명되었다. 이는 관찰된 가속 팽창 우주와 일치하는 양의 우주 상수의 존재를 필요로 한다.

3. 이론의 내용

아바히 아슈테카르가 1986년에 일반 상대성 이론을 양자역학과 더 잘 통합될 수 있는 형태로 재구성하면서 루프 양자중력 이론이 시작되었다.^[1] 얼마 지나지 않아 테드 제이콥슨과 리 스몰린은 양자 중력의 방정식인 휠러-드윗 방정식이 아슈테카르 변수를 통해 루프 형태의 해를 가질 수 있음을 발견했다. 카를로 로벨리와 스몰린은 이 결과를 바탕으로 비섭동적이고 배경 독립적인 양자 중력 이론을 정의하였다. 호르헤 풀린과 제르지 레반도프스키는 루프들의 교차가 이론의 일관성에 중요하며, 그래프를 사용하여 이론을 공식화해야 함을 알아냈다.

1994년, 로벨리와 스몰린은 면적 및 부피와 관련된 양자 연산자가 이산적인 스펙트럼을 갖는다는 것을 증명했다.^[2] 이는 기하학이 양자화되었음을 의미한다. 이 결과는 양자 기하학의 상태를 로저 펜로즈의 스핀 네트워크로 표현할 수 있게 해주었다. 스핀 네트워크는 스핀으로 표시된 그래프이다.

토마스 티만은 해밀토니안 연산자를 정의하고, 수학적으로 일관된 배경 독립적인 이론을 확립하여 이론의 역학 버전을 정립했다. 프랑스, 캐나다, 영국, 폴란드, 독일의 연구 그룹들은 공동으로 "스핀 폼" 버전을 개발했다. 2008년에 완성된 이 버전은 고전적 극한에서 일반 상대성 이론과 관련된 일련의 전이 진폭 정의로 이어졌다. 이 진폭의 유한성은 2011년에 증명되었으며, 이는 관측된 가속 팽창 우주와 일치하는 양의 우주 상수의 존재를 필요로 한다.

이 이론에 따르면, 시공간은 결정 격자처럼 이산적인 값을 갖는 것으로 생각된다. 이로 인해 시공간을 연속적인 것으로 간주할 때 발생하는 단거리 극한의 발산 문제가 해결된다. 일반 상대성 이론의 좌표 변환에 대한 형식 불변성을 유지하면서 이러한 시공간 구조를 제공하는 데 성공한 양자 중력 이론은 루프 양자 중력 이론뿐이다.^[9]

공간은 노드(점)와 링크(선)로 구성된 그래프인 스핀 네트워크로 표현된다. 스핀 네트워크로 표현되는 공간의 연결 변화는 중력 등의 힘을 매개하고, 전자 등의 기본 입자의 존재를 나타낸다. 스핀 네트워크에 시간을 더한 것을 스핀 폼이라고 한다. 스핀 폼은 시계의 초침처럼 이산적으로 변화하며, 연결 변화 전후의 시간 차이는 1플랑크 초(10^-43초)이다.

3. 1. 배경 독립성

루프 양자 중력(LQG)은 형식적으로 배경 독립적이다. 즉, 루프 양자 중력의 방정식은 공간과 시간에 포함되거나 의존하지 않는다(불변 위상 제외).^[1] 대신, 플랑크 길이의 10배 거리에서 공간과 시간을 생성할 것으로 예상된다. 물리학이 일어나는 "무대"로서의 시공간은 객관적인 물리적 의미가 없으며, 대신 중력 상호 작용은 세계를 형성하는 장 중 하나로 표현된다. 이것은 시공간에 대한 관계주의적 해석으로 알려져 있다. 루프 양자 중력에서는 일반 상대성 이론의 이러한 측면을 진지하게 받아들이고, 이 대칭은 물리적 상태가 미분동형 사상의 생성원들 아래에서 불변 상태로 유지되도록 요구함으로써 보존된다.

이 조건의 해석은 순전히 공간적 미분 동형 사상들에 대해 잘 이해된다. 그러나 시간과 관련된 미분 동형 사상들(해밀턴 제약 조건)에 대한 이해는 일반 상대성 이론에서 역학 및 소위 "시간 문제"와 관련되기 때문에 더 미묘하다. 이 제약을 설명하기 위해 일반적으로 허용되는 계산 틀은 아직 발견되지 않았다. 티만(Thiemann)은 양자 해밀턴 제약 조건에 대한 그럴듯한 후보가 되는 연산자를 도입하였다.^[9]

3. 2. 과정

리 스몰린은 루프 양자중력(LQG)을 전개할 때 (해밀토니안) 격자 게이지 이론을 활용했다. 그러나 이 이론은 (고리를 이용한) 체계를 기술하기 위함이 아니라 근사하기 위하여 개발되었다. 양에 상관없이 곡선 전체에 미치는 누적 효과만을 고려한 것이다. 그 후 물리학자 안토니 트리아스(Antoni Trias)가 이론을 다듬었고, 체계를 기술하기 위하여 쓰였다. 스몰린도 같은 방식에 루프를 도입하여 체계를 기술하기 시작했다. 기본적으로 일반 상대론의 기본적 착상인 공변성을 고려하였고, 중력을 기술하는 고리는 바뀌지 않는다는 생각을 적용시켰다. 중력 외의 다른 힘을 기술하기 위해 모양을 바꾸기도 하는데, 이때 고리들은 서로 얽히거나 매듭지어진다.^[10] 이 고리는 스핀 네트워크를 통해 기술된다.

3. 3. 불연속적 힐베르트 공간

LQG는 불연속적인 힐베르트 공간의 결합으로 생성되는 정보망을 가정한다. (일반적으로 LQG는 불연속적인 공간을 결합시키거나 정보망을 많이 다룬다.)^[10] 이런 논리로 출발하는 개념이 정보망이다.

시공간은 본질적으로 연속적이고 매끄러운 값을 갖는 것으로 생각되어 왔지만, 이 이론에서는 시공간이 결정 격자와 같이 이산적인 값을 갖는 것으로 생각된다. 이 때문에 시공간을 연속적인 것으로 간주할 때 발생하는 단거리 극한의 발산이 발생하지 않는다는 장점이 있다. 일반 상대성 이론에서 요구되는 좌표 변환에 대한 형식 불변성을 유지하면서 이러한 시공간 구조를 제공하는 데 성공한 양자 중력 이론은 루프 양자 중력 이론뿐이다.^[9]

3. 4. 제약 조건과 그 푸아송 괄호 대수

디랙 관측 가능량은 페이즈 공간 함수

O

로 정의된다. 푸아송은 제약 조건 방정식이 부과될 때 모든 제약 조건과 교환한다:

:

\{ G_j, O \}_{G_j=C_a=H = 0} = \{ C_a, O \}_{G_j=C_a=H = 0} = \{ H, O \}_{G_j=C_a=H = 0} = 0,

즉, 이들은 이론의 게이지 변환에 대해 변하지 않는 제약 곡면에 정의된 양이다.

이후, 제약

G_j = 0

만 풀고 이와 관련하여 디랙 관측 가능량을 결정하면 제약 조건

H, C_a

이 있는 ADM 페이즈 공간으로 되돌아간다. 일반 상대성 이론의 동역학은 이 제약 조건에 의해 생성되며, 시간 진화(실제로는 게이지 변환)를 설명하는 6개의 아인슈타인 방정식은 3개 계량의 푸아송 괄호와 공간 미분 동형 사상 및 해밀토니안 제약을 계산해서 얻을 수 있다. 물리적 페이즈 공간을 제공하는 제약 조건의 소멸은 다른 네 가지 아인슈타인 방정식이다.

3. 5. 제약 조건의 양자화 – 양자 일반 상대성 이론의 방정식

루프 양자 중력(LQG)은 홀로노미 개념을 포함한다. 홀로노미는 닫힌 루프를 따라 평행 이동한 후 스피너 또는 벡터의 초기값과 최종값이 얼마나 다른지를 측정한 값으로, 다음과 같이 표시된다.^[10]

:

h_\gamma [A]

.

홀로노미를 알면 게이지 동등성까지 연결성을 알 수 있다. 닫힌 루프 주위의 홀로노미의 대각합은 윌슨 루프라고 불리며 다음과 같이 작성된다.^[10]

:

W_\gamma [A]

윌슨 루프는 게이지 불변량이다. 홀로노미의 명시적 형태는 다음과 같다.^[10]

:

h_\gamma [A] = \mathcal{P} \exp \left \{-\int_{\gamma_0}^{\gamma_1} ds \dot{\gamma}^a A_a^i (\gamma (s)) T_i \right \}

여기서

\gamma

는 홀로노미가 평가되는 곡선,

s

는 곡선을 따라가는 매개변수,

\mathcal{P}

는 경로 정렬을 나타내며, 작은

s

값에 대한 인수가 왼쪽에 나타난다.

T_i

는

\operatorname{SU}(2)

대수를 만족하는 행렬이다.

:

[T^i ,T^j] = 2i \epsilon^{ijk} T_k.

윌슨 루프를 사용하면 가우스 게이지 제약 조건이 명시적으로 해결된다. 루프 표현은 공간 미분 동형 제약 조건을 처리하는 데 필요하다. 윌슨 루프를 기반으로 가우스 게이지 불변 함수는 다음과 같이 확장된다.^[10]

:

\Psi [A] = \sum_\gamma \Psi [\gamma] W_\gamma [A].

이것을 루프 변환이라고 하며 양자 역학의 운동량 표현과 유사하다 (위치 및 운동량 공간 참조). 역 루프 변환은 다음과 같이 정의된다.^[10]

:

\Psi [\gamma] = \int [dA] \Psi [A] W_\gamma [A]

이것은 루프 표현을 정의한다. 연결 표현에서 연산자

\hat{O}

가 주어지면, 루프 표현에서 그에 해당하는 연산자를 정의할 수 있다.

루프 표현에서 공간 미분 동형 제약 조건은 루프

\gamma

의 공간 미분 동형에 불변인 함수

\Psi [\gamma]

를 고려하여 해결된다. 즉, 매듭 불변량이 사용된다. 이것은 매듭 이론과 양자 중력 사이의 예상치 못한 연결을 열어준다.

비교차 윌슨 루프의 집합은 아슈테카의 양자 해밀턴 제약 조건을 만족한다. 항의 특정 순서를 사용하고

\tilde{E}^a_i

를 도함수로 대체하면 윌슨 루프에 대한 양자 해밀턴 제약 조건의 작용은 다음과 같다.

:

\hat{\tilde{H}}^\dagger W_\gamma [A] = - \epsilon_{ijk} \hat{F}^k_{ab} \frac{\delta}{\delta A_a^i} \frac{\delta}{\delta A_b^j} W_\gamma [A].

도함수를 취하면 루프

\gamma

의 접선 벡터

\dot{\gamma}^a

가 내려온다.

:

\hat{F}^i_{ab} \dot{\gamma}^a \dot{\gamma}^b.

그러나

F^i_{ab}

는 인덱스

a

와

b

에 대해 반대칭이므로 이 값은 사라진다(

\gamma

가 어느 곳에서도 불연속적이지 않으므로 접선 벡터가 고유하다고 가정).

파동 함수

\Psi [\gamma]

는 루프에 불연속성이 있을 때 사라지고 매듭 불변량이다. 이러한 함수는 가우스 법칙, 공간 미분 동형 제약 조건을 해결하고 (형식적으로) 해밀턴 제약 조건을 해결한다. 이것은 양자 일반 상대성 이론의 모든 방정식에 대한 무한 집합의 정확한 (형식적이기만 한) 해를 제공한다.^[10]

3. 5. 1. 선사 시대와 아슈테카르의 새로운 변수들

정준 양자 중력의 많은 기술적 문제는 제약 조건을 중심으로 전개된다. 정준 일반 상대성 이론은 원래 계량 변수 측면에서 공식화되었지만, 정준 변수에 대한 비선형 의존도가 높기 때문에 양자 연산자에 대한 제약 조건을 촉진하는 데 극복하기 매우 어려운 수학적 어려움이 있는 것처럼 보였다. 이 방정식들은 아슈테카르의 새로운 변수의 도입으로 훨씬 단순화되었다. 아슈테카르 변수는 게이지 이론에 더 가까운 새로운 표준 변수 쌍의 관점에서 표준 일반 상대성을 설명한다.^[1]

아슈테카르 변수의 제약 조건에 대한 표현식은 다음과 같다.

가우스의 정리: $G^i = \mathcal{D}_a \tilde{E}_i^a = 0$
공간 미분 동형 사상 제약 조건: $C_a = \tilde{E}_i^b F^i_{ab} - A_a^i (\mathcal{D}_b \tilde{E}_i^b) = V_a - A_a^i G^i = 0,$
(밀도화된) 해밀토니안 제약 조건: $\tilde{H} = \epsilon_{ijk} \tilde{E}_i^a \tilde{E}_j^b F^k_{ab} = 0$

여기서

F^i_{ab}

는 접속

A_a^i

의 장 세기를 나타내는 텐서이다. 그리고

V_a

는 벡터 제약 조건이라고 한다. (아슈테카르 형식화 유도에 대해서는 자기 쌍대 팔라티니 작용 문서 참조).^[1]

주어진 짜임새 변수

A^i_a

에 대해 아슈테카르의 새로운 변수를 사용하여 파동 함수

\Psi (A^i_a)

를 고려하는 것은 자연스럽다. 이것은 접속 표현이라 하고 짜임새 변수

q

와 파동함수

\psi (q)

가 있는 일반적인 양자 역학과 비슷하다. 양자 이론으로 넘어갈 때 제약 조건은 운동학적 힐베르트 공간의 연산자가 된다 (제약 없는

\operatorname{SU}(2)

양–밀스 힐베르트 공간). 이 모든 방정식들을 제대로 정의하고 푸는 데에는 여전히 문제가 있다.^[1]

3. 5. 2. 양자 일반 상대성 이론의 방정식으로서의 양자 제약

제약 조건

C_I = 0

을 해결하는 고전 이론의 두 단계 과정, 즉 초기 데이터에 대한 허용 조건을 푸는 것과 게이지 궤도를 찾는 것('진화' 방정식을 푸는 것)은 양자 이론에서 하나의 단계로 바뀐다. 이 단계는 양자 방정식

\hat{C}_I \Psi = 0

의 해

\Psi

를 찾는 것이다.^[11]

고전적 수준에서 허용 조건과 진화 방정식을 푸는 것은 아인슈타인의 모든 장 방정식을 푸는 것과 같다. 이는 정준 양자 중력에서 양자 제약 방정식이 중심적인 역할을 한다는 것을 보여준다.^[11]

3. 5. 3. 고리 표현 소개

게이지 이론과 양자 중력에서 고리 표현을 고려하게 된 계기는, 특히 로벨리와 스몰린이 가우스 법칙과 공간 미분 동형 사상 제약 조건에 대한 해 공간을 잘 제어할 수 없었기 때문이다.^[10]

고리 양자 중력(LQG)은 홀로노미 개념을 포함한다. 홀로노미는 스피너 또는 접벡터를 닫힌 곡선을 따라 평행 운송할 때, 초기 값과 최종 값이 얼마나 다른지 측정한 것이다. 닫힌 고리에 대한 홀로노미의 대각합은

W_\gamma [A]

로 적고 윌슨 고리라고 한다. 따라서 윌슨 고리는 게이지 불변량이다.^[10]

윌슨 고리를 사용하면 가우스 게이지 제약 조건을 명시적으로 해결할 수 있다. 공간 미분 동형 사상 제약 조건을 처리하려면 고리 표현이 필요하다. 윌슨 고리를 기반으로 모든 가우스 게이지 불변 함수는 다음과 같이 확장된다.^[10]

:

\Psi [A] = \sum_\gamma \Psi [\gamma] W_\gamma [A].

이것을 고리 변환이라고 하며 양자 역학의 운동량 표현과 비슷하다(위치 및 운동량 공간 참조). 역 고리 변환은 다음과 같이 정의된다.^[10]

:

\Psi [\gamma] = \int [dA] \Psi [A] W_\gamma [A].

이는 고리 표현을 정의한다.^[10]

3. 5. 4. 기하 연산자, 교차 윌슨 고리 및 스핀 네트워크 상태의 필요성

고리 양자 중력에서 가장 다루기 쉬운 기하학적 양은 면적이다. 정준 양자화 규칙에 따라, 트라이어드

\tilde{E}^3_i

들은 양자 연산자로 승격되어야 한다. 면적

A_\Sigma

는 두 함수 도함수와 제곱근의 곱을 포함한다는 사실에도 불구하고 잘 정의된 양자 연산자로 승격될 수 있다.^[9] 부피의 양자화는 면적과 동일한 방식으로 진행된다. 도함수가 취해질 때마다 접벡터

\dot{\gamma}^a

가 내려간다. 부피 연산자가 교차하지 않는 윌슨 고리에 작용하면 결과가 사라진다. 따라서 부피가 0이 아닌 양자 상태는 교차점을 포함해야 한다.

게이지 군

\operatorname{SU}(2)

에 대한 실수 표현을 가정하면, 윌슨 고리들은 서로 다른 윌슨 고리와 관련된 항등식이 있으므로 완비 기저가 아니다. 특정 스핀 네트워크는 만델스탐 항등식에 의해 도입된 과잉 완전성을 해결하도록 설계된 교차 윌슨 고리의 선형 조합이며(3중 교차의 경우 과잉 완전성을 완전히 제거함) 실제로 모든 게이지 불변 함수의 기초를 구성한다.^[9]

다양한 윌슨 고리를 연관시키는 가장 간단한 비자명 만델스탐 항등식의 그래픽 표현

위에서 언급했듯이 홀로노미는 반스핀 시험 입자를 전파하는 방법을 알려준다. 스핀 네트워크 상태는 공간에서 경로를 추적하고 병합 및 분할하는 반스핀 입자들에 진폭을 할당한다. 이들은 스핀 네트워크

\gamma

에 의해 설명된다.^[9]

3. 5. 5. 고리 양자 중력의 해밀토니안 제약 조건

정식 양자 중력의 오랜 역사에서, 수학적으로 엄밀하게 양자 연산자(휠러-드윗 방정식)로서 해밀토니안 제약 조건을 공식화하는 것은 어려운 문제였다. 수학적으로 잘 정의된 해밀토니안 제약 조건은 1996년에 고리 표현에서 최종적으로 공식화되었다. 이 제약 조건에 의해 소멸되는 상태(물리적 상태)를 찾고, 해당 물리적 내적과 관찰 가능 항목을 찾는 것이 고리 양자 중력의 기술적 측면의 주요 목표이다.

4. 응용

BF 이론을 이용한 경로 적분 공식화의 대안적인 방법들이 있다. BF 이론은 일반 상대성이론보다 단순하며, 국소적인 자유도를 갖지 않고 장의 위상적인 측면에만 의존하는 위상 양자장론이다. 일반 상대성이론은 BF 이론에 제약 조건을 부과하여 얻을 수 있다.^[12]

BF 이론은 $B_{ab}^{IJ}$ 라는 장을 포함하며, $B$ 장을 두 개의 테트라드(4차원 시공간에서 사용되는 삼각자와 유사)의 반대칭 곱으로 선택하면 일반 상대성이론을 복구할 수 있다.

: $B_{ab}^{IJ} = {1 \over 2} \left(E^I_a E^J_b - E^I_b E^J_a\right)$

$B$ 장이 두 테트라드의 곱으로 주어진다는 조건은 단순성 제약이라고 불린다. 위상 양자장론의 스핀 폼 역학은 잘 이해되어 있으며, 이 단순한 이론에 대한 스핀 폼 '상호작용' 진폭이 주어지면, 일반 상대성이론에 대한 경로 적분을 얻기 위해 단순성 조건을 구현하려고 시도한다.

스핀 폼 모델을 구성하는 어려운 작업은 양자론에서 이 단순성 제약 조건을 어떻게 부과해야 하는가에 대한 질문으로 축소된다. 첫 번째 시도는 바렛-크레인 모델이었으나,^[12] 이 모델은 올바른 고전적 극한을 보장할 만큼 충분한 자유도가 없는 등의 문제가 있었다.^[12] 단순성 제약이 양자 수준에서 너무 강하게 부과되었으며, 양자 전기역학의 굽타-블러 공식에서 로렌츠 게이지 조건과 마찬가지로 기대값의 의미에서만 부과되어야 한다고 주장되었다. 이후 더 약한 의미에서 단순성 조건을 부과하려는 새로운 모델이 제시되었다.

스핀 폼이 시공간의 이산화에 대해 정의된다는 어려움도 존재한다. 이는 국소적인 자유도를 갖지 않는 위상 양자장론에는 문제가 없지만, 일반 상대성이론에는 문제를 야기하며, 이를 삼각화 의존성 문제라고 한다.

4. 1. 블랙홀 엔트로피

블랙홀 열역학은 열역학 법칙과 블랙홀 사건의 지평의 존재를 조화시키려는 연구 분야이다. 일반 상대성 이론의 무모 정리에 따르면, 블랙홀은 질량, 전하, 각운동량으로만 특징지어지며, 따라서 엔트로피가 없다. 따라서 엔트로피가 0이 아닌 물체를 블랙홀에 떨어뜨리면 열역학 제2법칙을 위반할 수 있는 것으로 보인다.^[12] 스티븐 호킹과 제이콥 베켄슈타인의 연구는 각 블랙홀에 블랙홀 엔트로피를 할당함으로써 열역학 제2법칙을 보존할 수 있음을 보여주었다.

:

S_{\text{BH}} = \frac{k_{\text{B}}A}{4\ell_{\text{P}}^2},

여기서

A

는 블랙홀의 사건의 지평 면적,

k_{\text{B}}

는 볼츠만 상수이고,

\ell_{\text{P}} = \sqrt{G\hbar/c^{3}}

는 플랑크 길이이다.^[12] 블랙홀 엔트로피가 베켄슈타인 경계에 의해 얻을 수 있는 최대 엔트로피라는 사실이 홀로그래픽 원리를 이끌어낸 주요 관찰이었다.^[12]

털 없음 정리의 적용에서는 블랙홀의 엔트로피를 설명하는 관련 자유도가 본질적으로 고전적이어야 한다는 가정을 간과하고 있다. 대신 순전히 양자 역학이고 엔트로피가 0이 아닌 경우를 고려해야 한다. 고리 양자 중력^[12]에서는 양자 기하학적 관점을 미시 상태에 연관시키는 것이 가능하다. 이들은 면적

A

와 일치하는 수평선의 양자 기하학, 블랙홀과 사건의 지평의 위상(예: 구형)이다. 고리 양자 중력은 엔트로피의 유한성과 수평선 면적의 비례성에 대한 기하학적 설명을 제공한다. 이러한 계산은 회전하는 블랙홀에 대해 일반화되었다.

지평선의 양자 기하학 표현. 벌크의 폴리머 들뜸은 수평선을 관통하여 양자화된 면적을 부여한다. 본질적으로 지평선은 양자화된 적자 각도 또는 양자화된 곡률 양을 획득하는 천공을 제외하고는 평평하다. 이 적자 각도는 $4 \pi$ .

전체 양자 이론(스핀 거품)의 공변 공식에서 에너지와 면적(제1법칙) 사이의 올바른 관계, 언루 온도 및 호킹 엔트로피를 생성하는 분포를 도출하는 것이 가능하다. 계산은 역학적 지평의 개념을 사용하며 극단적이지 않은 블랙홀에 대해 수행된다.

이 방향에서 이론의 최근 성공은 이미르지 매개변수와 무관하게 이론에서 직접 모든 비특수 블랙홀의 엔트로피를 계산한 것이다. 결과는 예상 공식

S=A/4

이다. 여기서

S

는 엔트로피이고

A

는 베켄슈타인과 호킹이 휴리스틱 근거에서 도출한 블랙홀의 면적이다. 이것은 일반적인 비특이 블랙홀의 경우 기본 이론에서 이 공식을 유도한 것으로 알려진 유일한 것이다. 이 계산에 대한 이전 시도에는 어려움이 있었다. 문제는 고리 양자 중력이 블랙홀의 엔트로피가 사건의 지평 면적에 비례한다고 예측했지만, 그 결과는 이론 상 중요한 자유 매개변수인 앞서 언급한 이미르지 매개변수에 의존한다는 점이었다. 그러나 이미 알려진 이미르지 매개변수의 계산법이 없기 때문에 베켄슈타인과 호킹의 블랙홀 엔트로피 계산법에 합의를 요구하여 수정해야 했다.

4. 2. 고리 양자 중력의 호킹 복사

고리 양자 중력(Loop Quantum Gravity, LQG)을 사용하여 블랙홀 지평선의 양자 기하학에 대한 자세한 연구가 이루어졌다.^[12] 고리 양자화는 베켄슈타인과 호킹이 처음 발견한 블랙홀 엔트로피에 대한 결과를 재현하지 못한다. 단, 유도 과정에서 발생하는 다른 상수를 상쇄하기 위해 임미르지 매개변수 값을 선택하는 경우는 예외이다. 그러나 고리 양자 중력은 블랙홀의 엔트로피와 복사에 대한 고차 보정 계산으로 이어졌다.

사건의 지평 면적의 변화에 따라 양자 블랙홀은 증발하는 원시 블랙홀의 호킹 복사에서 X-선을 관찰할 수 있는 경우, 호킹 스펙트럼에서 벗어나는 현상을 보인다. 양자 효과는 호킹 방사 스펙트럼의 상단에서 아주 두드러지는 일련의 불연속적이고 혼합되지 않은 주파수에 집중되어 있다.

4. 3. 플랑크 별

카를로 로벨리와 프란체스카 비도토는 2014년에 모든 블랙홀 내부에 플랑크별이 존재한다고 제안했다.^[5] 고리 양자 중력(LQG)에 기반한 이 이론에 따르면, 별이 블랙홀로 붕괴될 때 에너지 밀도가 플랑크 에너지 밀도에 도달하면 반발력이 발생하여 별을 생성한다. 또한, 이러한 별의 존재는 블랙홀 방화벽과 블랙홀 정보 역설을 해결할 수 있다.^[5]

4. 4. 고리 양자 우주론

고리 양자 우주론은 주로 마르틴 보요왈드가 개발했으며, ''사이언티픽 아메리칸''에서 빅뱅 이전에 빅 바운스를 예측하여 대중화되었다. 고리 양자 우주론은 수축하는 우주 가지와 확장하는 우주 가지 사이의 "양자 다리"를 예측하는 고리 양자 중력을 모방하는 방법을 사용하여 양자화된 고전 일반 상대성 이론의 대칭 축소 모델이다.

고리 양자 중력의 성과는 빅뱅 특이점의 해결, 빅 바운스의 예측, 급팽창의 자연스러운 메커니즘이었다.

4. 5. 고리 양자 중력 현상학

플랑크 길이는 매우 작기 때문에 양자 중력 효과는 측정하기 어려운 것으로 알려져 있다. 그러나 최근 잭 팔머와 같은 물리학자들은 주로 천체 물리학적 관측과 중력파 검출기를 통해 양자 중력 효과를 측정할 가능성을 고려하기 시작했다. 이처럼 작은 규모의 요동 에너지는 더 큰 규모에서 보이는 공간 교란을 일으킨다.

4. 6. 배경 독립적 산란 진폭

고리 양자 중력(LQG)은 배경 독립적인 언어로 구성되어 있다. 즉, 시공간은 미리 가정되지 않고, 이론 자체의 상태에 의해 구성된다. 그러나 산란 진폭은 상관 함수 (

n

-점 함수)에서 파생되며, 기존의 양자장론에서는 배경 시공간 점의 함수로 나타낸다. 주어진 시공간에서 배경 독립적 형식주의와 양자장론의 기존 형식주의 사이의 관계, 그리고 전체 배경 독립적 이론에서 낮은 에너지 양을 복구하는 방법은 명확하지 않다. 양자 일반 상대성 이론의 표준 섭동 전개와 비교하여, 고리 양자 중력이 올바른 저에너지 극한을 생성하는지 확인하기 위해 배경 독립적 형식화에서 이론의

n

-점 함수를 계산해야 한다.

이 문제를 해결하기 위해 장의 경계 값의 함수로 보이는 경계 진폭, 즉 유한 시공간 면적에 대한 경로 적분을 연구하는 전략이 제시되었다. 기존의 양자장 이론에서 이 경계 진폭은 잘 정의되어 있으며 이론의 물리적 정보를 담고 있다. 양자 중력에서도 마찬가지이지만, 완전히 배경에 독립적인 방식이다.

n

-점 함수의 일반 공변적 정의는 물리적 점 사이의 거리라는 개념을 바탕으로 할 수 있다.

n

-점 함수는 고려되는 시공간 면적의 경계에 있는 중력장의 상태에 의해 결정된다.

스핀 거품을 사용하여 이러한 방식으로 배경 독립적 산란 진폭을 계산하는 데 진전이 있었다. 이것은 이론에서 물리적 정보를 추출하는 방법이다. 중력자 산란 진폭에 대한 올바른 동작을 재현하고 고전 중력을 복구했다는 주장이 제기되었다. 카를로 로벨리는 "우리는 공간과 시간이 없는 세계에서 시작하여 뉴턴의 법칙을 계산했다."라고 언급했다.

5. 한계 및 다른 이론과의 비교

루프 양자 중력(LQG)은 끈 이론과 마찬가지로 양자 중력 문제에 대한 가능한 해결책 중 하나이지만, 몇 가지 중요한 차이점과 한계를 가지고 있다.
다른 이론과의 비교

끈 이론과의 비교: 끈 이론은 모든 힘과 입자를 통합하는 통일장 이론을 추구하며, 추가 차원, 아직 발견되지 않은 입자, 그리고 대칭성을 가정한다. 반면, LQG는 양자장론과 일반 상대성 이론에만 기반을 두고 중력 상호작용의 양자적 측면을 이해하는 데 초점을 맞춘다. LQG는 시공간의 특성을 근본적으로 변화시키며, 양자 시공간에 대한 상세한 그림을 제공한다는 점에서 급진적인 이론이다.
배경 독립성: 끈 이론은 일반적으로 고정된 배경을 가정하는 배경 의존적인 이론인 반면, LQG는 일반 상대성 이론과 마찬가지로 배경 독립적인 이론이다.
중력자: 끈 이론에서는 중력자가 핵심적인 역할을 하지만, LQG는 중력자를 구성 요소로 사용하지 않고, 준고전적 극한에서 중력자와 유사한 현상이 나타날 것으로 예상한다.
초대칭 및 추가 차원: LQG는 초대칭이나 추가 차원 없이 3차원 및 4차원에서 공식화될 수 있지만, 끈 이론은 이 두 가지를 모두 요구한다. 현재까지 끈 이론의 초대칭 및 추가 차원 예측을 뒷받침하는 실험적 증거는 없다.

한계 및 문제점

준고전적 극한: 현재 LQG는 일반 상대성 이론을 복원하는 준고전적 극한을 갖지 않는 것으로 나타났다. 즉, 플랑크 척도에서 LQG의 시공간 설명이 일반 상대성 이론으로 이어지는 연속체 극한을 갖는지 증명되지 않았다.^[11]
해밀토니안 부재: 이론의 동역학은 해밀토니안 제약 조건으로 표현되지만, 적절한 해밀토니안 후보가 존재하지 않는다.^[11]
기타 기술적 문제:
제약 조건 대수 및 물리적 내적 벡터 공간의 오프쉘 닫힘을 찾는 문제
양자장론의 물질 장과의 결합 문제
섭동 이론에서 중력자의 재규격화 문제 (자외선 발산이 2-루프를 넘어섬)^[11]
실험적 검증: LQG는 아직 표준 모형이나 일반 상대성 이론에서 예측하지 못한 실험적 결과를 제시하지 못하고 있다.
유효 장론: 일반 상대성 이론이 유효 장론일 수 있으므로, 양자화가 기본 자유도를 무시한다는 비판도 존재한다.

추가 연구

INTEGRAL 위성: ESA의 INTEGRAL 위성은 서로 다른 파장 광자의 편광을 측정하여 공간의 입자성에 대한 한계를 플랑크 길이보다 훨씬 작은 10^-48m 미만으로 설정했다.^[14]
카이랄 페르미온 및 페르미온 중복 문제: LQG 프레임워크에 카이랄 페르미온을 통합하려는 시도는 종종 가짜 거울상 입자의 출현을 초래하는 페르미온 중복 문제에 직면한다.^[3] 이는 표준 모형의 관찰된 카이랄리티와 모순되며, 일관된 양자 중력 이론을 구성하는 데 심각한 장애물이다.

5. 1. 중력자, 끈 이론, 초대칭, 고리 양자 중력의 추가 차원

중력의 일부 양자 이론에서는 양자화를 통해 중력을 발생시키는 스핀-2 양자장, 즉 중력자를 가정한다. 끈 이론은 일반적으로 고전적으로 고정된 배경 위에서 양자화된 들뜸(excitation) 상태에서 시작하며, 이러한 배경 의존성은 쿼크 세대 수 결정과 같은 중요한 물리적 결과로 이어진다. 끈 이론에서 광자와 같은 입자와 시공간 기하학의 변화(중력자)는 모두 끈 세계면에서의 들뜸으로 설명된다. 반면, 루프 양자중력(LQG)은 일반 상대성 이론과 마찬가지로 배경에 독립적이어서 끈 이론에서 요구하는 배경을 필요로 하지 않는다. 끈 이론과 마찬가지로, 루프 양자 중력 역시 양자장 이론에서 나타나는 재규격화 불가능한 발산 문제를 해결하고자 한다.

루프 양자 중력은 배경과 그 배경 위에 존재하는 들뜸을 도입하지 않기 때문에 중력자를 구성 요소로 사용하지 않는다. 대신, "중력자"와 유사한 현상이 나타나는 일종의 준고전적 극한 또는 약한 장 극한을 복구할 수 있을 것으로 기대한다. 반대로, 중력자는 초끈 들뜸의 첫 번째(질량이 없는) 단계에 속하는 끈 이론에서 핵심적인 역할을 수행한다.

루프 양자 중력은 초대칭이나 칼루차-클라인 추가 차원 없이 3차원 및 4차원에서 공식화될 수 있다는 점에서 끈 이론과 차이를 보인다. 현재까지 초대칭과 칼루차-클라인 추가 차원에 대한 끈 이론의 예측을 뒷받침하는 실험적 증거는 존재하지 않는다. 2003년 논문 "양자 중력에 관한 대화"에서^[11] 카를로 로벨리는 루프 양자 중력이 4차원에서 공식화되고 초대칭이 없다는 점을 가장 절약적인 설명으로 간주하며, 이는 현재의 실험 결과와 일치하고 경쟁 이론인 끈/M-이론보다 우위에 있다고 주장했다. 반면 끈 이론 지지자들은 끈 이론이 일반 상대성 이론 및 양자장 이론과 같은 확립된 이론을 적절한 극한 내에서 명백하게 재현한다는 점을 강조한다.

루프 양자 중력은 우주의 물질(페르미온)에 대해서는 다루지 않는다.

주류 루프 양자 중력 형식주의를 고차원 초중력, 초대칭을 포함한 일반 상대성 이론, 칼루차-클라인 추가 차원으로 확장하는 것은 실험적 증거가 그 존재를 입증할 경우 가능하다.

5. 2. 고리 양자 중력 및 관련 연구 프로그램

여러 연구 단체에서 고리 양자 중력(LQG)을 다른 연구 프로그램과 결합하려는 시도를 해왔다.^[13]

연구 프로그램/이론	결합 내용 및 관련 인물
비가환 기하학	표준 양자 중력 및 아슈테카르 변수와 결합 (요하네스 아스트럽, 예스퍼 그림스트럽 등)
스피너, 트위스터 이론	고리 양자 중력과 결합 (로런트 프레이델, 시몬느 스피치알레 등)
베를린데의 엔트로피 중력	고리 양자 중력과 결합 (리 스몰린 등)
아슈테카르 변수, 양-밀스 장	4차원에서 고리 양자 중력과 결합하여 약력의 키랄성 기원 설명 시도 (스테판 알렉산더, 안토니노 마르시아노, 리 스몰린)
표준 모형	고리 양자 중력 자유도를 통해 창발적 속성으로 도입 시도 (선덴스 빌슨-톰프슨, 헤켓 등, 포티니 마르코풀루-칼라마라 등 - 잡음 없는 하위 계 아이디어 활용)
인과 역학적 삼각화, 점근적으로 안전한 중력	고리 양자 중력과 비교
군 장론, AdS/CFT 대응	스핀 거품과 비교
끈-그물 유체, 텐서, 양자 중력	고리 양자 중력과 결합 제안 (스몰린, 웬)
경로 적분, 표준 접근 방식	양자 중력에 대한 틀 제공, 스핀 거품과 표준 고리 표현 방식 조화 (풀린, 감비니)
탑스핀 네트워크	위상수학적 구조 변경 소개 (크리스 더스톤, 마틸드 마르콜리)

5. 3. 대체 접근 방식과 비교 및 문제점

끈 이론과 마찬가지로, 루프 양자 중력(LQG)은 양자 중력 문제에 대한 가능한 해결책 중 하나이다. 그러나 둘 사이에는 상당한 차이점이 존재한다. 끈 이론은 추가 차원, 아직 관찰되지 않은 입자 및 대칭을 가정하여 모든 힘과 입자를 단일 개체로 설명하는 통일장 이론을 목표로 한다. 반면, LQG는 양자장론과 일반 상대성 이론에만 기반하며, 중력 상호 작용의 양자적 측면을 이해하는 데 집중한다. 그럼에도 불구하고 LQG는 시공간의 본질을 근본적으로 바꾸고, 잠정적이지만 상세한 양자 시공간 그림을 제공한다는 점에서 급진적인 이론이다.

현재 LQG는 일반 상대성 이론을 복원하는 준고전적 극한을 갖지 않는 것으로 나타났다. 이는 LQG의 플랑크 척도에서 시공간에 대한 설명이 올바른 연속체 극한(양자 보정을 포함하는 일반 상대성 이론)을 갖는지 증명되지 않았음을 의미한다. 구체적으로, 이론의 동역학은 해밀토니안 제약 조건으로 표현되지만, 적절한 해밀토니안 후보가 존재하지 않는다.^[11]

다른 기술적인 문제점들은 다음과 같다:

제약 조건 대수 및 물리적 내적 벡터 공간의 오프쉘 닫힘을 찾는 문제
양자장론의 물질 장과의 결합 문제
섭동 이론에서 중력자의 재규격화 운명 (자외선 발산이 2-루프를 넘어섬)^[11]

벌거벗은 특이점 관측 및 이중 특수 상대성 이론과 관련된 제안이 루프 양자 우주론의 일부로 제시되었지만, LQG는 표준 모형이나 일반 상대성 이론에서 예측하지 못한 실험적 관측 결과를 내놓지 못하고 있다. 이는 현재 모든 양자 중력 이론이 겪는 문제이기도 하다. 앞서 언급한 준고전적 극한의 부재로 인해, LQG는 아직 일반 상대성 이론의 예측을 재현하지도 못하고 있다.

일반 상대성 이론이 유효 장론일 수 있으므로, 양자화가 기본 자유도를 무시한다는 비판도 존재한다.

ESA의 INTEGRAL 위성은 서로 다른 파장 광자의 편광을 측정하여 공간의 입자성에 대한 한계를 10^-48m 미만(플랑크 길이의 13배)으로 설정했다.^[14]

참조

_[1] 학술지 New Variables for Classical and Quantum Gravity https://journals.aps[...] 1986-11-03
_[2] 학술지 Discreteness of area and volume in quantum gravity
_[3] arXiv Fermion Doubling in Loop Quantum Gravity 2015-07-05
_[4] arXiv Introduction to Modern Canonical Quantum General Relativity 2001-10-05
_[5] 문서 List of loop quantum gravity researchers
_[6] arXiv Constrained Mechanics and Noiseless Subsystems 2006
_[7] 웹사이트 Integral challenges physics beyond Einstein https://www.esa.int/[...]
_[8] Kotobank 2022-02-03
_[9] 서적 明解量子重力理論入門講談社
_[10] 서적 빅뱅 이전 김영사
_[11] 문서 Introduction to modern canonical quantum general relativity Cambridge University Press
_[12] 문서 List of loop quantum gravity researchers
_[13] 문서 Constrained Mechanics and Noiseless Subsystems
_[14] 웹인용 Integral challenges physics beyond Einstein https://www.esa.int/[...]

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