벌집 (기하학)
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1. 개요
벌집은 공간을 채우는 다면체 또는 폴리토프의 배열을 의미하며, 다양한 종류가 존재한다. 3차원 유클리드 공간에서 가장 간단한 벌집은 정육면체 벌집이며, 이는 유일한 정규 벌집이다. 균일 벌집은 꼭짓점이 동일한 세포로 구성되며, 정규 벌집은 플래그에 추이적으로 작용하는 등거리 변환 그룹을 갖는다. 벌집은 평면 채움, 균일 다면체, 존슨의 다면체, 고차원 및 비유클리드 공간에서도 존재하며, 쌍대성을 갖는다.
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| 벌집 (기하학) | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 유형 | 공간 채움 |
| 차원 | 3차원 이상 |
| 요소 | 벌집은 셀로 구성됨 |
| 이중 | 자기 쌍대 (일반적으로) |
| 속성 | 균일 (일반적으로) 테셀레이션 |
| 상세 정보 | |
| 설명 | 벌집 (기하학)은 유클리드 공간 (또는 더 일반적으로 균일 공간)의 테셀레이션으로, 공간을 채우는 다면체 또는 더 높은 차원의 셀입니다. |
| 어원 | 벌집이라는 이름은 벌집에서 따온 것입니다. |
| 3차원 벌집 | 일반적으로 3차원 유클리드 공간의 테셀레이션을 의미합니다. |
| 관련 용어 | 공간 채움 |
| 종류 | 벌집은 다면체 또는 고차원 셀을 사용하여 공간을 반복적으로 채우는 테셀레이션의 한 종류입니다. |
| 균일 벌집 | |
| 정의 | 공간을 채우는 꼭지점-추이적 균일 테셀레이션입니다. |
| 구성 요소 | 균일 다면체 셀 꼭지점 도형 |
| 유형 | 볼록 균일 벌집 별모양 (nonconvex) 균일 벌집 |
| 기타 벌집 | |
| 정의 | 균일하지 않은 셀로 구성된 테셀레이션 |
| 예시 | 존슨 고체 셀을 사용한 것 아르키메데스 고체 셀을 사용한 것 |
2. 분류
벌집은 무한히 많으며, 부분적으로만 분류되어 있다. 더 정규적인 벌집들이 가장 많은 관심을 받았지만, 다른 것들의 풍부하고 다양한 구색들이 계속해서 발견된다.[1]
가장 단순한 벌집은 평면의 테셀레이션을 기반으로 각기둥의 층이나 ''판''을 쌓아서 만드는 것이다. 특히 모든 평행육면체는 정육면체 벌집으로 공간을 채울 수 있는데, 이는 일반적인 (유클리드) 공간에서 유일한 ''정규'' 벌집이기 때문에 특별하다. 힐 사면체와 그 일반화도 공간 타일링을 할 수 있어 흥미로운 벌집군이다.[1]
2. 1. 균일 3차원 벌집
3차원 균일 벌집은 3차원 공간에서 균일 다면체 세포로 구성되며, 모든 꼭짓점이 동일한 벌집을 의미한다. 유클리드 3차원 공간에는 28개의 볼록 다포체 예시가 있으며,[1] 이를 '''아르키메데스 벌집'''이라고도 부른다.벌집은 타일을 보존하는 등거리 변환 그룹이 플래그에 추이적으로 작용하는 경우 '''정규'''라고 한다. 여기서 '''플래그'''는 세포 위에 있는 면 위에 있는 모서리 위에 있는 꼭짓점이다. 모든 정규 벌집은 자동으로 균일하다. 유클리드 3차원 공간에는 정육면체 벌집이 유일한 정규 벌집이다.
두 가지 유형의 정규 세포로 구성된 ''준정규'' 벌집은 다음과 같다.
사면체-팔면체 벌집과 회전 사면체-팔면체 벌집은 각기 정사면체와 정팔면체를 교대로 배열하는 세포의 슬래브 레이어 3개 또는 2개의 위치에 의해 생성된다. 이러한 슬래브 레이어를 반복하는 상위 차수 패턴에 의해 무한히 많은 고유한 벌집을 만들 수 있다.
2. 2. 공간 채움 다면체
모든 세포가 대칭 내에서 동일한 벌집은 '''세포 추이성''' 또는 '''등체적'''이라고 하며, 3차원 유클리드 공간에서 이러한 벌집의 세포는 ''공간 채움 다면체''라고 한다.[2] 다면체가 공간 채움 다면체가 되기 위한 필요 조건은 Dehn 불변량이 0이어야 한다는 것이다.[3][4] 이는 정육면체를 제외한 다른 플라톤 다면체를 배제한다.평행 이동만 사용하여 3차원 유클리드 공간을 테셀레이션할 수 있는 5개의 공간 채움 볼록 다면체는 평행다면체라고 불린다.
| 종류 | 벌집 | 다면체 | 모서리 |
|---|---|---|---|
| 정육면체 벌집 (또는 변형: 직육면체, 롬비 육면체 또는 평행 육면체) |  |  | 3개의 모서리 길이 |
| 육각 기둥 벌집[5] |  |  | 3+1개의 모서리 길이 |
| 능면체 십이면체 벌집 |  |  | 4개의 모서리 길이 |
| 늘어난 십이면체 벌집[6] |  |  | 4+1개의 모서리 길이 |
| 절단된 이중 정육면체 벌집 또는 잘린 팔면체[7] |  |  | 6개의 모서리 길이 |
알려진 다른 공간 채움 다면체의 예는 다음과 같다.
2. 3. 두 개 이상의 다면체로 구성된 벌집
두 개 이상의 서로 다른 다면체를 결합하여 공간을 채울 수 있다. 많은 정다면체 벌집 외에도, 웨이레-필란 구조는 잘 알려진 예시이며 클라스레이트 수화물 결정의 구조에서 채택되었다.[12]
2. 4. 비볼록 3차원 벌집
문서화된 예시는 드물다. 두 가지 종류로 구분할 수 있다.- 겹치지 않고 쌓이는 비볼록 다포체로, 오목 다각형의 테셀레이션과 유사하다. 여기에는 작은 별모양 십이면체의 쌓임이 포함되며, 이는 요시모토 큐브에서 볼 수 있다.
- 양과 음의 밀도가 '상쇄'되어 균일한 밀도의 연속체를 형성하는 다포체의 겹침으로, 평면의 겹치는 테셀레이션과 유사하다.
3. 평면 채움과의 관계
평면 채움 도형을 기둥·사각 기둥으로 만든 것은 모두 공간 채움이 가능하다. 예를 들어, 임의의 삼각형은 평면 채움이 가능하므로, 임의의 삼각 기둥은 공간 채움이 가능하다.[1]
반대로, 공간 채움을 평면에 투영하면 평면 채움을 얻을 수 있다. 투영 각도를 바꾸면 또 다른 평면 채움을 얻을 수 있다. 다음은 그 예이다.[1]
4. 균일 다면체 (및 그 쌍대)에 의한 공간 채움
한 종류의 다면체로 공간을 채울 수 있는 경우와 그 쌍대를 이용해 공간을 채울 수 있는 경우는 다음과 같다.
- 정육면체 (아르키메데스의 정사각형 기둥) {4, 3, 4}
- 아르키메데스의 정삼각기둥
- 아르키메데스의 정육각기둥
- 깎은 팔면체
- 마름모 십이면체
처음 세 가지는 정사각형, 정삼각형, 정육각형을 이용한 평면 채우기를 기둥 형태로 쌓은 것이다. 깎은 팔면체와 마름모 십이면체만이 본질적으로 3차원 공간을 채울 수 있는 균일 다면체이다.
이 다면체들의 쌍대 채우기는 다음과 같다.
- 정육면체 → 정육면체
- 아르키메데스의 정삼각기둥 → 정육각기둥 (변의 길이가 달라져 아르키메데스 기둥이 아님)
- 아르키메데스의 정육각기둥 → 정삼각기둥
- 깎은 팔면체 → 사면체의 한 종류
- 마름모 십이면체 → 정사면체와 정팔면체 (두 종류)
이 다면체들을 아핀 변환한 도형(예: 정육면체를 변환한 평행육면체, 아르키메데스의 정삼각기둥을 변환한 사삼각기둥)도 공간을 채울 수 있다. 또한, 대응하는 면(예: 반대쪽 평행면)에 요철을 만들거나, 채우기 도형을 합동인 여러 도형으로 다시 나누어도 새로운 채우기 도형을 얻을 수 있지만, 이는 수학적으로 새로운 것은 아니다.
마름모 십이면체를 이용한 채우기의 쌍대 채우기는 사면체로 구성된다. 어떤 다면체도 사면체로 분할할 수 있으므로 사면체를 이용한 채우기는 가능하나, 이는 특정한 형태의 사면체에서만 가능하다. 임의의 삼각형으로 채우기가 가능한 2차원 공간과는 다르다.
하나의 도형을 평행 이동만으로 공간을 채울 수 있는 도형을 평행 다면체라고 하며, 모든 면이 반대쪽 면과 평행하다. 변형으로 얻을 수 있는 것을 제외하면 다음 다섯 종류가 있다.
- 정육면체
- 아르키메데스의 육각기둥 (단순히 육각기둥이라고 하는 경우도 많음)
- 깎은 팔면체
- 마름모 십이면체
- 긴 마름모 십이면체
이 중 긴 마름모 십이면체만 광의의 균일 다면체 또는 그 쌍대가 아니며, 아핀 변환 등으로도 얻을 수 없다.
정다면체, 준정다면체, 정각기둥 등 두 종류 이상의 다면체로 공간을 채우는 경우도 많다. 다음은 그 예시이다.
- 정사면체와 정팔면체
- 정사면체와 절단 사면체
- 정팔면체와 절단 육면체
- 정팔면체와 육방팔면체
- 능형 절단 육방팔면체와 정팔각기둥
- 잘린 사면체, 잘린 팔면체, 정육면체 팔면체
- 잘린 사면체, 잘린 육면체, 롬비깎은 정육면체 팔면체
- 정사면체, 정육면체, 롬비정육면체 팔면체
- 정육면체, 정육면체 팔면체, 롬비정육면체 팔면체
- 정육면체, 잘린 팔면체, 롬비깎은 정육면체 팔면체
5. 존슨의 다면체를 포함하는 공간 채움
정다면체, 준정다면체뿐만 아니라 존슨의 다면체까지 포함해서 공간 채움을 구성하는 경우에는 다음과 같은 다양한 조합이 가능하다.
(이 목록은 완전하지 않을 수 있다.)
6. 고차원 및 비유클리드 공간
4차원 정다포체 중에서 공간 채움 도형은 다음 3가지가 한 종류씩 있다.
정팔포체로 채우는 것은 자기 자신과 쌍대이며, 정이십사포체와 정십육포체는 서로 쌍대이다.
5차원 이상의 정다포체 중에서는 한 차원 낮은 채움으로부터 자명하게 유도되는 초입방체의 채움만 가능하다. 이 외의 정채움 도형이 존재하는 것은 2차원과 4차원뿐이다.
비유클리드 공간에서도 공간 채움이 가능하다.
예를 들어, 쌍곡 공간에서는 다각형의 각이 유클리드 공간보다 작아지기 때문에, 정오각형에 의한 2차원 쌍곡 공간 채움 {5,4} 등, 유클리드 공간에서 실현하려고 하면 각의 합이 360°를 넘는 채움이 가능해진다.
구면 공간에서는 다각형의 각이 유클리드 공간보다 커지기 때문에, 유클리드 공간에서 실현하려고 하면 각의 합이 360°보다 작아지지만, 이것은 하나 높은 차원의 유클리드 공간 상의 정포체로 간주할 수 있다. 예를 들어, 2차원 구면 공간 채움은 정다면체, 3차원 구면 공간 채움은 정포체이다.
7. 쌍대성
모든 벌집에는 쌍대 벌집이 있으며, 다음을 교환하여 얻을 수 있다.
- 셀을 꼭짓점으로.
- 면을 모서리로.
이는 4차원 4-다포체의 쌍대화를 위한 규칙과 동일하지만, 동심 초구에 대한 통상적인 유한 반전 방법은 문제에 직면할 수 있다.
더욱 정규적인 벌집들은 깔끔하게 쌍대화된다.[13]
8. 자기 쌍대 벌집
슐레플리 기호가 {4,3^(n-2),4}인 n차원 초입방체 벌집은 자기쌍대이다.
참조
[1]
간행물
"Uniform tilings of 3-space"
Geombinatorics
1994
[2]
웹사이트
Space-filling polyhedron
https://mathworld.wo[...]
[3]
논문
Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln
1980
[4]
논문
Polytopes that fill \mathbb{R}^n and scissors congruence
1995
[5]
웹사이트
Uniform space-filling using triangular, square, and hexagonal prisms
http://www.nanomedic[...]
[6]
웹사이트
Uniform space-filling using only rhombo-hexagonal dodecahedra
http://www.nanomedic[...]
[7]
웹사이트
Uniform space-filling using only truncated octahedra
http://www.nanomedic[...]
[8]
뉴스
Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles
https://groups.googl[...]
2003-12-22
[9]
간행물
J. Comput. Chem.
2001
[10]
웹사이트
O. Delgado-Friedrichs and M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
http://scripts.iucr.[...]
[11]
웹사이트
A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy
https://web.archive.[...]
2015-06-30
[12]
서적
The Nature of the Chemical Bond
Cornell University Press
1960
[13]
논문
The Archimedean honeycomb duals
http://www.steelpill[...]
1997-07
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