변형 (수학)

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1. 개요
2. 복소 다양체의 변형
- 2.1. 고차원 복소 다양체의 변형
3. 대수 다양체의 변형
4. 해석 대수의 싹의 변형
5. 함자적 설명
6. 변형 이론의 응용
7. 끈 이론과의 관계
참조

1. 개요

변형(수학)은 복소 다양체, 대수 다양체, 해석 대수의 싹, 함자적 설명, 그리고 끈 이론 등 다양한 수학 분야에서 나타나는 개념이다. 복소 다양체의 변형 이론은 층 코호몰로지 군을 통해 연구되며, 리만 곡면의 경우 종수에 따라 변형 양상이 달라진다. 대수 다양체의 변형은 스킴의 평탄 사상을 이용하여 정의되며, 해석 대수의 싹의 변형은 국소적 변형 연구에 활용된다. 변형 이론은 함자를 통해 추상적으로 설명될 수 있으며, 모듈라이 공간의 무한소 구조를 연구하는 데 유용하다. 변형 이론은 곡선 계수의 차원 계산, 모리의 구부려서 부러트리기, 산술 변형, 아벨 스킴, 갈루아 변형 등 다양한 분야에 응용된다. 또한 끈 이론과도 연관되어 있으며, 델리뉴 추측이 그 연관성을 보여주는 중요한 예시이다.

2. 복소 다양체의 변형

수학에서 복소다양체와 대수다양체의 변형 이론은 중요한 연구 분야이다. 이탈리아 대수기하학파의 초기 연구 이후, 고다이라 구니히코와 도널드 C. 스펜서의 기초 연구를 통해 이론적 기반이 확립되었다. 직관적으로 1차 변형 이론은 자리스키 접공간을 모듈라이 공간과 동일시하는 것으로 생각할 수 있지만, 실제로는 더 복잡한 양상을 보인다.

고다이라-스펜서 이론은 변형을 설명하는 데 층 코호몰로지 군을 핵심 도구로 사용한다. 구체적으로, 1차 변형은 정칙 접다발 $\Theta$ 의 1차 층 코호몰로지 군 $H^1(\Theta)$ 와 관련되며, 변형의 존재를 방해하는 장애물은 2차 층 코호몰로지 군 $H^2(\Theta)$ 에 있다. 리만 곡면의 경우, 차원상의 이유로 이 장애물 군은 항상 0이 된다.

리만 곡면의 경우, 이 이론을 통해 복소 구조의 변형을 구체적으로 이해할 수 있다.

종수 0 (리만 구): 리만 구의 복소 구조는 유일하여 변형이 존재하지 않는다(모듈라이 없음). 이는 $H^1(\Theta)$ 군이 사라지기 때문이다.
종수 1 (타원곡선): 타원곡선은 복소 구조가 하나의 매개변수에 따라 변하는 계열을 가진다. 이는 $H^1(\Theta)$ 의 차원이 호지 수 $h^{1,0}$ 와 같아 1이기 때문이다. 모든 종수 1 곡선은 $y^2=x^3+ax+b$ 형태로 나타낼 수 있는데, 이는 두 매개변수 $a, b$ 를 가지지만, 동형인 곡선들의 집합(동치류)은 단 하나의 매개변수(j-불변량)로 결정된다. 예를 들어, $b^2a^{-3}$ 값이 같은 곡선들은 서로 동형이다. 따라서 $a, b$ 를 바꾸는 것이 항상 곡선의 기하학적 구조(동치류)를 바꾸는 것은 아니다.
종수 $g>1$ : 세르 쌍대성에 의해 $H^1(\Theta)$ 는 정칙 여접다발 $\Omega$ 의 텐서 제곱 $\Omega^{[2]}$ 의 0차 코호몰로지 군 $H^0(\Omega^{[2]})$ 와 동형이다. 즉, 변형은 리만 곡면 위의 정칙 2차 미분의 공간과 관련된다. 이 경우 모듈라이 공간인 타이히뮐러 공간의 차원은 리만-로흐 정리를 통해 $3g-3$ 으로 계산된다.

이러한 리만 곡면의 예시는 고다이라-스펜서 이론이 어떻게 작동하는지 보여주며, 모든 차원의 복소 다양체 변형 이론의 기초가 된다.

2. 1. 고차원 복소 다양체의 변형

고차원 복소다양체의 변형 문제는 리만 곡면(1차원 복소 다양체)의 경우보다 훨씬 복잡한 양상을 띤다. 코다이라와 도널드 C. 스펜서가 정립한 변형 이론은 여전히 중요한 기초를 제공하며, 특히 층 코호몰로지 군을 핵심 도구로 사용한다.

1차 변형은 저차원의 경우와 유사하게 정칙 접다발

\Theta

의 1차 코호몰로지 군

H^1(\Theta)

와 관련된다. 하지만 고차원에서는 변형의 존재를 방해하는 '장애물'이 일반적으로 사라지지 않는다. 이 장애물은

H^2(\Theta)

군에 존재하는데, 리만 곡면의 경우에는 차원의 제약으로 인해 항상 0이 되지만, 고차원 다양체에서는 0이 아닐 수 있어 변형이 불가능하거나 그 구조가 더 복잡해지는 원인이 된다.

따라서 고차원 복소 다양체의 변형을 이해하기 위해서는 층 코호몰로지뿐만 아니라 더욱 발전된 기하학적, 대수적 방법들이 필요하다. 스펜서의 연구는 미분기하학의 다른 구조로 확장되었으며, 알렉산더 그로텐디크는 코다이라-스펜서 이론을 추상 대수기하학의 맥락으로 통합하여 이론을 더욱 정교하게 발전시켰다. 이러한 연구는 대수학과 같은 다른 수학 분야의 변형 이론 발전에도 영향을 주었다.

3. 대수 다양체의 변형

변형의 가장 일반적인 형태는 복소 해석적 공간, 스킴, 또는 공간 위 함수들의 싹과 같은 대상들 사이의 평탄 사상 $f:X \to S$ 으로 이해될 수 있다. 그로텐디크^[1]는 변형에 대한 이론을 광범위하게 일반화하고 체계적으로 발전시킨 선구자이다.

이 이론의 핵심적인 아이디어 중 하나는 보편족(universal family) $\mathfrak{X} \to B$ 의 존재 가능성이다. 만약 보편족이 존재한다면, 어떠한 변형 $f:X \to S$ 이라도 아래와 같은 유일한 당김 사각형(pullback square)을 통해 보편족으로부터 유도될 수 있다.

$\begin{matrix}X & \to & \mathfrak{X} \\\downarrow & & \downarrow \\S & \to & B\end{matrix}$

많은 중요한 경우에 이러한 보편족은 힐베르트 스킴이나 Quot 스킴, 또는 이들 중 하나의 몫(quotient)으로 구체적으로 구성될 수 있다. 예를 들어, 대수 곡선의 모듈라이 공간(moduli space)을 구성할 때, 힐베르트 스킴 내에서 매끄러운 곡선에 해당하는 부분 공간을 적절한 동치 관계로 나누어 얻는 방식이 사용된다.

만약 위의 당김 사각형이 유일하게 결정되지 않는 경우, 즉 $S \to B$ 사상이 유일하지 않은 경우에는 해당 족 $\mathfrak{X} \to B$ 를 Versal 족이라고 부른다. 이는 보편족보다는 약한 성질을 가지지만, 여전히 국소적인 변형을 연구하는 데 중요한 역할을 한다.

4. 해석 대수의 싹의 변형

변형 이론에서 유용하며 비교적 계산이 용이한 분야 중 하나는 슈타인 다양체, 복소 다양체, 또는 복소 해석 다양체와 같은 복소 공간의 싹(germ)에 대한 변형 이론이다.^[2] 이 이론은 정칙 함수의 싹으로 이루어진 층, 접공간 등을 고려하여 복소 다양체 및 복소 해석 공간 전체로 대역화(globalize)될 수 있다. 여기서 다루는 대수는 다음과 같은 형태를 가진다.

: $A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}$

여기서 $\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}$ 은 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환이며, $I$ 는 그 이데알이다. 예를 들어, 평면 곡선의 특이점을 나타내는 다음과 같은 대수가 연구 대상이 된다.

: $A \cong \frac{\mathbb{C}\{x,y\}}{(y^2 - x^n)}$

이러한 대수는 특이점 함수의 싹을 연구한다. 해석 대수의 싹은 이러한 대수들의 범주의 반대 범주(opposite category)에 속하는 대상이다.

해석 대수의 싹 $X_0$ 의 변형(deformation)은 해석 대수의 싹들의 평탄 사상(flat morphism) $f:X \to S$ 로 주어진다. 여기서 $S$ 는 특별한 점 $0$ 을 가지며, $X_0$ 는 다음 당김 사각형(pullback square)을 만족한다.

: $\begin{matrix}X_0 & \to & X \\\downarrow & & \downarrow \\$

& \xrightarrow[0]{} & S

\end{matrix}

변형들 사이의 동치 관계는 다음과 같은 가환 사각형(commutative diagram)으로 정의된다.

:

\begin{matrix}X'& \to & X \\\downarrow & & \downarrow \\S' & \to & S\end{matrix}

여기서 수평 화살표는 동형 사상(isomorphism)이다. 예를 들어, 평면 곡선 특이점의 변형은 해석 대수의 가환 사각형의 반대 그림으로 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{matrix}\frac{\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})} & \leftarrow & \frac{\mathbb {C} \{x,y, s\}}{(y^{2}-x^{n} + s)} \\\uparrow & & \uparrow \\\mathbb{C} & \leftarrow & \mathbb{C}\{s\}\end{matrix}

존 밀너(John Milnor)는 특이점이 상수에 의해 변형되는 경우를 연구했으며, 이때

0

이 아닌

s

위의 올(fiber)을 밀너 올(Milnor fiber)이라고 부른다.

하나의 해석 함수의 싹에 여러 변형이 존재할 수 있으므로, 이 정보들을 체계적으로 정리할 필요가 있다. 이를 위해 접 코호몰로지(tangent cohomology)라는 도구가 사용된다.^[3] 접 코호몰로지는 코쥘-테이트 분해(Koszul–Tate resolution)를 사용하고, 필요한 경우 비정규 대수(non-regular algebra)에 대한 추가 생성자를 더하여 구성된다. 해석 대수의 경우, 이러한 분해를 처음 연구한 수학자 갈리나 튜리나(Galina Tyurina)의 이름을 따 튜리나 분해(Tyurina resolution)라고 부른다. 이는 등급 가환 미분 등급 대수(graded-commutative differential graded algebra)

(R_\bullet, s)

로, 해석 대수

A

위로의 전사 사상

R_0 \to A

가 다음 완전열(exact sequence)에 포함된다.

:

\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0

미분 등급 유도 가군(module of differential graded derivations)

(\text{Der}(R_\bullet), d)

을 이용하여 그 코호몰로지를 계산하면, 이것이 해석 대수

A

의 싹의 접 코호몰로지가 된다. 이 코호몰로지 군들은

T^k(A)

로 표기된다. 특히

T^1(A)

는

A

의 모든 변형에 대한 정보를 담고 있으며, 다음 완전열을 통해 계산될 수 있다.

:

0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0

만약

A

가 다음과 같은 대수와 동형이라면,

:

A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}

그 변형 공간

T^1(A)

는 다음과 같이 계산된다 (원본 소스 표기).

:

T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}

여기서

df

는 함수

f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m

의 야코비 행렬(Jacobian matrix)이다. 예를 들어, 함수

f

하나로 정의되는 초곡면(hypersurface)의 경우 (

m=1

), 변형 공간은 야코비 이데알

J(f) = (\frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n})

에 대한 몫으로 주어진다.

:

T^1(A) \cong \frac{A}{J(f)} = \frac{A}{(\frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n})}

구체적인 예로, 특이점

y^2 - x^3

을 갖는 대수

A = \mathbb{C}\{x,y\}/(y^2 - x^3)

의 경우,

f(x,y) = y^2 - x^3

이다. 야코비 이데알은

J(f) = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y) = (-3x^2, 2y)

이다. 따라서 접 코호몰로지 군은 다음과 같다.

:

T^1(A) \cong \frac{A}{(-3x^2, 2y)A} = \frac{A}{(x^2, y)}

(환

A

에서 상수 -3과 2는 가역원이므로 이데알 생성원에서 생략 가능)

이 계산 결과는

A/(x^2, y)

가

1

과

x

를 기저로 갖는 2차원 벡터 공간임을 의미한다. 이는

f(x,y) = y^2 - x^3

의 변형이 상수항과

x

항을 추가하는 방식으로 주어진다는 것을 시사한다. 따라서 일반적인 변형은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x

여기서

a_1, a_2

는 변형 매개변수이다.

5. 함자적 설명

변형 이론을 공식화하는 또 다른 방법은 체 $k$ 위의 국소 아틴 대수들의 범주인 $\text{Art}_k$ 상의 함자를 이용하는 것이다. '''준 변형 함자'''(pre-deformation functor)는 $F(k)$ 가 단일 원소 집합(점)인 함자

: $F: \text{Art}_k \to \text{Sets}$

로 정의된다. 여기서 $\text{Sets}$ 는 집합의 범주를 나타낸다. 이 접근법의 기본 아이디어는 어떤 대상(예: 스킴, 다양체 등)의 모듈라이 공간을 직접 구성하기 어려울 때, 그 대신 해당 대상의 변형들을 분류하는 함자를 정의하여 연구하는 것이다. 특히, 모듈라이 공간의 한 점 주변의 무한소 구조(infinitesimal structure), 즉 대상이 아주 작은 '방향'으로 어떻게 변형될 수 있는지를 아틴 대수를 통해 대수적으로 포착하는 데 유용하다.

예를 들어, $n$ 차원 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 안의 $d$ 차 초곡면들의 모듈라이 공간을 고려한다고 하자. 이 모듈라이 문제를 나타내는 함자 $F: \text{Sch} \to \text{Sets}$ (여기서 $\text{Sch}$ 는 스킴의 범주)를 생각할 수 있다. 이 함자는 각 스킴 $S$ 에 대해, $S$ 위에서 정의된 $d$ 차 초곡면들의 족(family)

: $F(S) = \left\{\begin{matrix}X \\\downarrow \\S\end{matrix}: \text{ 각 올(fiber)이 } \mathbb{P}^n \text{ 안의 } d\text{차 초곡면인 경우} \right\}$

의 집합을 대응시킨다. 실제로는 집합 대신 준군(groupoid)들의 함자를 사용하는 것이 자기동형사상(automorphism)을 다루기 위해 더 편리하고 일반적이다. 변형 이론에서는 이러한 모듈라이 문제의 '무한소적' 측면, 즉 $S$ 가 $\operatorname{Spec}(A)$ (여기서 $A$ 는 아틴 대수) 형태일 때의 함자 $F(A)$ 값에 집중한다.

무한소( $\varepsilon$ ) 개념은 역사적으로 미적분학에서 엄밀하지 않은 방식으로 사용되었다. 예를 들어, $(x+\varepsilon)^3$ 을 전개할 때 $\varepsilon^2$ 이상의 항을 무시하면,

: $(x+\varepsilon)^3 \approx x^3 + 3x^2\varepsilon$

이 되는데, 여기서 $\varepsilon$ 의 계수 $3x^2$ 는 $x^3$ 의 도함수이다. 변형 이론에서는 이러한 무한소 개념을 국소 아틴 대수의 멱영원(nilpotent element)을 사용하여 엄밀하게 다룬다. 가장 기본적인 예는 이원수 환 $k[\varepsilon] = k[y]/(y^2)$ 이다. 이 환에서 $\varepsilon$ 은 $\varepsilon^2 = 0$ 을 만족하는 원소로, '1차 무한소'의 역할을 한다.

더 높은 차수의 무한소 정보를 다루기 위해서는 $k[y]/(y^k)$ 와 같은 아틴 대수를 사용한다. 예를 들어, $(x+\varepsilon)^3$ 의 전개를 $\varepsilon^3$ 항까지 고려하면

: $(x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + 3x\varepsilon^2 + \varepsilon^3$

이 되는데, 이는 $k[y]/(y^4)$ (또는 더 높은 차수의 몫환)에서 의미를 가진다. 이는 함수의 테일러 급수 전개와 유사하며, 아틴 대수를 통해 고차 변형 정보를 포착할 수 있다. 변형 이론에서는 일반적으로 모든 국소 아틴 $k$ -대수의 범주 $\text{Art}_k$ 를 고려한다.

구체적인 예로, 복소수체 $\mathbb{C}$ 위의 페르마 4차 곡면

: $X = \operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right)$

을 생각해보자. 이 곡면의 $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\varepsilon])$ 위에서의 무한소 변형은 다음과 같은 가환 도식(commutative diagram)으로 표현될 수 있다.

: $\begin{matrix}X & \to & \mathfrak{X} \\\downarrow & & \downarrow\\\operatorname{Spec}(\mathbb{C}) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\varepsilon])\end{matrix}$

여기서 $\mathfrak{X}$ 는 $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\varepsilon])$ 위의 스킴으로, 그 정의 방정식은 원래 방정식에 $\varepsilon$ 항이 추가된 형태, 예를 들어 $(x_0^4 + \dots + x_3^4 + \varepsilon f(x_0, \dots, x_3))$ (단, $f$ 는 4차 동차 다항식) 같은 형태를 가진다. $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\varepsilon])$ 는 위상적으로는 한 점이지만, 스킴 구조로서 멱영원 $\varepsilon$ 을 가지고 있어 무한소 정보를 담는다. 준 변형 함자 $F$ 는 임의의 국소 아틴 $k$ -대수 $A$ 에 대해, $\operatorname{Spec}(A)$ 위에서 $X$ 의 변형이 되는 스킴 $\mathfrak{X}$ 들의 집합 (또는 동형류의 집합) $F(A)$ 를 대응시킨다.

: $F(A) = \left\{\begin{matrix}\text{동형류 } [\mathfrak{X}] \text{ सच दैट } \mathfrak{X} \text{는 } \operatorname{Spec}(A) \text{ 위의 평탄한(flat) 스킴이고,} \\\mathfrak{X} \times_{\operatorname{Spec}(A)} \operatorname{Spec}(k) \cong X\end{matrix}\right\}$

준 변형 함자 $F$ 가 매끄럽다(smooth)는 것은, 핵(kernel) $I$ 가 $I^2 = 0$ 을 만족하는 임의의 전사 사상(surjective map) $A' \to A$ (아틴 대수 간의 사상)에 대해, 자연스러운 사상 $F(A') \to F(A)$ 역시 전사 함수가 될 때를 말한다. 이는 기하학적으로 $\operatorname{Spec}(A)$ 위의 변형 $\mathfrak{X}$ 가 주어졌을 때, 이를 '더 두꺼운' 밑공간 $\operatorname{Spec}(A')$ 위의 변형 $\mathfrak{X}'$ 으로 항상 '들어올릴(lift)' 수 있다는 의미이다. 이 조건은 스킴의 매끄러움(smoothness) 판정법과 유사한 형태를 가진다.

스킴 $X$ 의 한 점에서의 접공간(tangent space)은 $\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])$ 에서 $X$ 로 가는 사상들의 집합으로 이해할 수 있다. 즉,

: $T_X := \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/k}(\operatorname{Spec}(k[\varepsilon]),X)$

이 아이디어를 확장하여, 준 변형 함자 $F$ (이는 모듈라이 문제를 나타낸다고 생각할 수 있음)의 '접공간'은 이원수 환 $k[\varepsilon]$ 에서의 함자 값으로 정의한다.

: $T_F := F(k[\varepsilon]).$

$T_F$ 는 벡터 공간의 구조를 가지며, 모듈라이 문제에서 다루는 대상의 '1차 변형' 또는 '무한소 변형'들의 공간을 나타낸다.

6. 변형 이론의 응용

변형 이론은 대수기하학과 수론을 포함한 수학의 여러 분야에서 중요한 개념과 도구를 제공한다. 이 이론은 기하학적 대상이나 대수적 구조가 국소적으로 어떻게 변하는지를 연구하며, 다양한 문제 해결에 응용된다.

주요 응용 분야는 다음과 같다.

대수기하학:
대수 곡선들의 모듈라이 공간 연구: 변형 이론은 모듈라이 공간의 접공간을 분석하여 그 차원을 계산하는 데 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, 종수 $g \ge 2$ 인 매끄러운 곡선의 모듈라이 공간 $\mathcal{M}_g$ 의 차원이 $3g-3$ 임을 보이는 데 사용된다.
모리의 '''구부려서 부러트리기''' 기법: 쌍유리 기하학에서 대수다양체 위의 유리 곡선의 존재를 증명하는 데 활용된다.^[4] 이는 곡선을 점진적으로 변형시켜 더 단순한 곡선(유리 곡선)으로 분해하는 방법이다.

수론:
산술 변형: 유한체 위에 정의된 대수다양체를 p진 정수와 같은 더 큰 환 위로 '들어 올리는' 문제를 다룬다. 이는 산술 기하학의 중요한 주제이다.
아벨 스킴의 변형: 아벨 스킴의 변형과 그 p-가약군(p-divisible group)의 변형 사이의 관계를 연구한다 (세르-테이트 정리).
갈루아 변형: 갈루아 표현을 특정 체나 환 위에서 다른 체나 환 위로 확장하는 문제를 다룬다. 이는 랭글랜즈 프로그램과 같은 현대 정수론의 핵심 분야와 연결된다.

이러한 응용들은 변형 이론이 추상적인 대수적, 기하학적 구조를 구체적인 문제에 연결하는 강력한 다리 역할을 함을 보여준다.

6. 1. 곡선 계수의 차원

대수 곡선들의 모듈라이 공간

\mathcal{M}_g

의 중요한 성질 중 하나는 기초적인 변형 이론을 사용하여 유도할 수 있다. 이 공간의 차원은 종수(genus)

g

인 임의의 매끄러운 곡선

C

에 대해 변형 공간이 모듈라이 공간의 접공간과 같다는 사실을 이용하여 다음과 같이 계산한다.

$\dim(\mathcal{M}_g) = \dim H^1(C,T_C)$

여기서

T_C

는 곡선

C

의 접다발(tangent bundle)을 나타낸다.

세르 쌍대성을 사용하면, 이 접공간의 차원은 다음과 같이 코호몰로지 군의 차원과 같다.

$\begin{align}H^1(C,T_C) &\cong H^0(C,T_C^* \otimes \omega_C)^\vee \\&\cong H^0(C,\omega_C^{\otimes 2})^\vee\end{align}$

여기서

\omega_C

는 곡선

C

의 표준 선다발(canonical line bundle)이고,

T_C^*

는 공변접다발(cotangent bundle)이며,

\vee

는 쌍대 공간을 의미한다. 따라서

\dim H^1(C,T_C) = h^0(C,\omega_C^{\otimes 2})

이다 (

h^0

는 0차 코호몰로지 군, 즉 전역 단면 공간의 차원을 의미).

리만-로흐 정리를 선다발

\omega_C^{\otimes 2}

에 적용하면 다음 관계식을 얻는다.

$\begin{align}h^0(C,\omega_C^{\otimes 2}) - h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) &= \text{deg}(\omega_C^{\otimes 2}) - g + 1 \\&= 2 \cdot \text{deg}(\omega_C) - g + 1 \\&= 2(2g - 2) - g + 1 \\&= 4g - 4 - g + 1 \\&= 3g - 3\end{align}$

여기서

\text{deg}

는 선다발의 차수(degree)를 나타낸다.

종수

g \geq 2

인 곡선의 경우,

h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = 0

임을 보일 수 있다. 세르 쌍대성에 의해

$h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = h^0(C, (\omega_C^{\otimes 2})^{\vee}\otimes \omega_C)$

이고, 선다발

(\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C

의 차수는 다음과 같이 계산된다.

$\begin{align}\text{deg}((\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C) &= \text{deg}((\omega_C^{\vee})^{\otimes 2} \otimes \omega_C) \\&= -2 \cdot \text{deg}(\omega_C) + \text{deg}(\omega_C) \\&= -\text{deg}(\omega_C) \\&= -(2g - 2) = 2 - 2g\end{align}$

g \geq 2

이면 이 차수는 음수(

2 - 2g \leq -2

)가 되며, 음수 차수를 가진 선다발의

h^0

값(즉, 전역 단면 공간의 차원)은 0이다.

따라서,

g \geq 2

일 때

h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = 0

이므로, 리만-로흐 정리로부터

h^0(C,\omega_C^{\otimes 2}) = 3g - 3

을 얻는다. 결과적으로 모듈라이 공간

\mathcal{M}_g

의 차원은 다음과 같다.

$\dim(\mathcal{M}_g) = 3g - 3$

6. 2. 구부려서 부러트리기(Bend-and-Break)

변형 이론은 모리 시게후미가 버라이어티 위의 유리 곡선의 존재를 연구하기 위해 쌍유리 기하학에 적용한 것으로 유명하다.^[4] 양수 차원의 파노 버라이어티에 대해, 모리는 모든 점을 통과하는 유리 곡선이 존재함을 증명했다. 이 증명에 사용된 방법은 후에 '''모리의 구부려서 부러트리기(Mori's bend-and-break)'''라는 이름으로 알려지게 되었다.

이 기법의 대략적인 아이디어는 다음과 같다. 먼저, 선택한 점을 지나는 임의의 곡선

C

에서 시작한다. 이 곡선

C

를 여러 개의 성분으로 쪼개질 때까지 계속해서 변형시킨다. 그런 다음, 원래 곡선

C

대신 쪼개진 성분 중 하나를 선택하여 과정을 반복한다. 이 과정은 곡선

C

의 종수나 차수를 감소시키는 효과가 있다. 따라서 이 절차를 여러 번 반복하면 결국 종수가 0인 곡선, 즉 유리 곡선을 얻게 된다. 곡선

C

의 변형이 존재하고 그 특성을 파악하기 위해서는 변형 이론과 양의 표수로의 축소(reduction to positive characteristic)로부터 얻어지는 논증이 필요하다.^[4]

6. 3. 산술 변형

변형 이론의 주요 적용 분야 중 하나는 수론이다. 수론에서는 다음과 같은 질문에 답하기 위해 변형 이론을 사용한다: 유한체

\mathbb{F}_p

위의 버라이어티

X

가 주어졌을 때, 이를 p진 정수환

\mathbb{Z}_p

위로 어떻게 전개(lifting)할 수 있는가?

만약 이 버라이어티가 곡선이라면, 2차 코호몰로지 군

H^2

이 사라진다는 사실은 모든 변형이 결국

\mathbb{Z}_p

위의 버라이어티로 이어진다는 것을 의미한다. 즉, 매끄러운 곡선

\begin{matrix}X \\\downarrow \\\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p)\end{matrix}

과 그 변형

\begin{matrix}X & \to & \mathfrak{X}_2 \\\downarrow & & \downarrow \\\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2))\end{matrix}

이 주어졌을 때, 항상 이를 다음과 같은 가환 그림으로 확장할 수 있다.

\begin{matrix}X & \to & \mathfrak{X}_2 & \to & \mathfrak{X}_3 & \to \cdots \\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\\operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2)) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^3)) & \to \cdots\end{matrix}

이는 각 단계의 변형

\mathfrak{X}_n

들을 모아 형식적 스킴

\mathfrak{X} = \operatorname{Spet}(\mathfrak{X}_\bullet)

을 구성할 수 있음을 의미하며, 이 형식적 스킴은

\mathbb{Z}_p

위의 곡선을 나타낸다.

6. 4. 아벨 스킴의 변형

세르-테이트 정리는 대략적으로 말하면 아벨 스킴

A

의 변형이

p

-승 비틀림 점으로 구성되는 p-가약군

A[p^\infty]

의 변형에 의해 제어된다는 것을 주장한다.

6. 5. 갈루아 변형

변형 이론의 또 다른 적용 분야로 갈루아 변형이 있다. 갈루아 변형은 갈루아 표현

:

G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)

이 주어졌을 때, 이 표현을

:

G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}_p)

와 같은 형태로 어떻게 확장할 수 있는지에 대한 질문을 다룬다.

7. 끈 이론과의 관계

대수학, 특히 호흐실트 코호몰로지 분야에서 제기된 들리뉴 추측은 변형 이론과 끈 이론 사이의 연관성에 대한 많은 관심을 불러일으켰다. 이는 끈 이론을 점입자 이론의 변형으로 볼 수 있다는 기대와 관련이 있다. 들리뉴 추측은 초기에 몇 가지 어려움이 있었지만, 현재는 증명된 것으로 받아들여진다. 막심 콘체비치는 이 추측에 대한 증명을 제시한 주요 인물 중 한 명이다.

참조

_[1] 서적 Several Complex Variables IV
_[2] 서적 Several Complex Variables IV
_[3] 서적 Several Complex Variables IV
_[4] 서적 Higher-Dimensional Algebraic Geometry Springer

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